三角形三条边的垂直平分线

登封市直一初中九年级数学组导学案2012—2013 班级 姓名

课题：三角形三边的垂直平分线

课型：新授课 时间：9月25日 主备课：姜转枝 审核人：姜转枝

学习目标：

1、能够证明三角形三条边的垂直平分线交于一点。

2、已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

学习内容：

、课本30—31页。

学法指导：自主学习，合作交流。

学习过程：自学课本29——31页，回答下列问题。

1.分别画出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三边垂直平分线

2.通过画图可知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的三边垂直平分线的交点的位置分别在

3、三角形的三边的垂直平分线相交于 ，并且这一点到

相等。

4.议一议：已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?

如果能,能作出几个?所作出的三角形都全等吗?

已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?

做一做P31 已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形.

已知:线段a,h(如图).

求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h..

二、知识运用

一、填空题

1.如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA________PB________PC. 登封市直一初中九年级数学组导学案2012—2013 班级 姓名

2.如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_________∠2，∠3________∠4，∠5__________∠6，∠2+∠3=__________度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=__________度，∠BOC=__________度.

三角形三条边的垂直平分线的关系

示例文章篇一：

《三角形三条边的垂直平分线的关系》

嘿，你知道三角形吗？三角形可有意思啦，就像我们生活中的好多东西都能找到三角形的影子呢。比如说我们吃的三角饼，还有那种屋顶的形状有时候也是三角形的。那三角形有好多秘密，今天我就想和你说说三角形三条边的垂直平分线的关系。

我先给你讲讲啥是垂直平分线吧。就好比有一条线段，你想把它从中间分成一模一样的两段，而且这条分开它的线和它是垂直的，这条线就是垂直平分线啦。你可以想象一下，就像把一根直直的小木棍，从正中间直直地切一刀，这一刀的线就是小木棍这个线段的垂直平分线呢。

那三角形有三条边呀，这三条边就都有自己的垂直平分线。这三条垂直平分线可神奇啦，它们之间有着很有趣的关系。

我们先从等边三角形说起吧。等边三角形的三条边都一样长，那它的三条垂直平分线就像三个特别要好的小伙伴，它们是重合在一起的呢！你看，等边三角形就像一个特别对称的小三角星，它的每条边都那么均匀，所以垂直平分线都在同一条线上，就好像三个小伙伴紧紧抱在一起，怎么分都分不开。我就想啊，这等边三角形的垂直平分线是不是太团结啦？你要是不信呀，你可以自己拿张纸画一个等边三角形，然后再试着画它的垂直平分线，你就会发现这个神奇的现象啦。

再来说说等腰三角形吧。等腰三角形有两条边是一样长的，那它的垂直平分线就有点不一样了。等腰三角形的那条和另外两条不一样长的边的垂直平分线，就像是一个特别的存在。它和另外两条相等边的垂直平分线可不一样，那两条相等边的垂直平分线就像双胞胎一样，特别相似。我当时在学这个的时候就在想，这等腰三角形的垂直平分线是不是像一个小家庭呀？有一个稍微有点不同的成员，但是又和其他成员有着紧密的联系。当你画等腰三角形的垂直平分线的时候，你就会看到，那两条像双胞胎的垂直平分线感觉像是一伙的，而另一条就有自己独特的位置，但是它们也都在三角形里面起着很重要的作用呢。

那普通的三角形呢？普通三角形的三条垂直平分线呀，它们虽然不重合，也不像等腰三角形那样有两条像双胞胎的垂直平分线，但是它们有一个超级神奇的地方。这三条垂直平分线呀，它们一定会相交于一个点。这个点就像是三角形的一个秘密基地一样。我就觉得好神奇呀，不管三角形的三条边是多长，是多么不规则的长度，这三条垂直平分线就像被一种神秘的力量牵引着，一定会在一个点上相遇。我就和我的小伙伴们讨论这个事儿呢，我的小伙伴小明就说：“这就像我们三个人，不管我们在操场上怎么跑，最后总会在那个大树下集合一样。”我觉得他这个比喻可真恰当呢。这个相交的点也有个名字，叫外心。外心可厉害了，它到三角形的三个顶点的距离是相等的呢。就好像这个外心是三角形的一个中心，和三个顶点的关系都特别好，距离都一样，就像一个很公平的小裁判。

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析

三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质

角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质

对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。则有以下结论：

（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。 2. 三角形外的角平分线性质

接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：

（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质

垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。下面将讨论垂直平分线的性质。

三角形中的角平分线与垂直平分线

在数学几何学中，三角形是一个非常重要的概念。从三条边的长度关系到三条角的关系，三角形的性质被广泛地研究和应用。本文将讨论三角形中的两个重要概念：角平分线与垂直平分线。

角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。在任意三角形中，每个角都存在一个角平分线。设三角形的顶点为A，边AB和AC为两条边，角BAC为所给角，其角平分线为AD。根据角平分线的性质，角BAD与角DAC相等，并且AD与BC相交于一点D。这样，我们可以得出一个重要的结论：在三角形中，角平分线将对边分成两个相等的线段。即BD=DC。

垂直平分线是指将一条线段分成两个相等部分，并且与该线段垂直相交的线段。在三角形中，每条边都存在一个垂直平分线。设三角形的边BC为所给边，垂直平分线为AD。根据垂直平分线的性质，AD与BC相交于一点D，并且BD=DC。此外，AD与BC垂直相交，即AD⊥BC。这样，我们可以得出一个重要的结论：在三角形中，垂直平分线将对边分成两个相等的线段，并且垂直于对边。

角平分线和垂直平分线在三角形的性质和应用中起着重要的作用。下面，我们将讨论它们的几个重要性质。

性质一：一个三角形中的三条角的角平分线交于一点，该点称为该三角形的内心。内心是三角形中心的一种，它到三条边的距离都相等。 性质二：一个三角形中的三条边的垂直平分线交于一点，该点称为该三角形的垂心。垂心是三角形中心的一种，它到三条边的距离都相等。

性质三：一个三角形中，内心、垂心和重心是共线的。重心是三角形中心的一种，它是三条中线的交点。

性质四：角平分线和垂直平分线可以相互垂直平分。即角平分线同时也是对应角的垂直平分线，垂直平分线同时也是对应边的角平分线。这个性质对于解决一些数学几何题目具有很大的帮助。

通过以上的论述，我们了解到了角平分线和垂直平分线在三角形中的重要性质和作用。它们为我们解决三角形相关问题提供了很大的便利。在实际中，我们可以利用这些性质来求解三角形的面积、边长、角度等。同时，也可以将其应用到工程建筑、地理测量等领域中。