常用概率分布

第四章

选择题：

1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。

A．n > 50 B．π=0.5 C．nπ=1 D．π=1 E．nπ> 5

2．满足 时，二项分布B（n,π）近似正态分布。

A．nπ和n（1－π）均大于等于5 B．nπ或n（1－π）大于等于5

C．nπ足够大 D．n > 50 E．π足够大

3. 的均数等于方差。

A．正态分布 B．二项分布 C．对称分布 D．Poisson分布 E．以上均不对

4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。

A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58

D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.64

5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。

A．n（1－π） B．（n－1）π C．nπ（1－π） D．nπ πE.

6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。

A. B.

（1-π）（1-π）（ -）π1

C. D. π（1-π）（1-π）π E.π

7.设X1,X2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson分布,且X1与X2独立,则X1+X2服从以

为方差的Poisson分布。

A. B .λ2λ12+2λ2λ1+ C. D. 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E.λ2λ12+2

8．满足

时，Poisson分布Ⅱ（λ）近似正态分布。

A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5

概率论常见分布及应用

概率论是数学中的一个分支学科，研究随机现象的规律以及概率的性质和应用。概率论中有许多常见的分布，它们描述了各种不同的随机现象，并在实际应用中发挥重要作用。本文将介绍一些常见的概率分布及其应用。

1. 均匀分布（Uniform Distribution）

均匀分布是最简单的概率分布之一，表示随机变量在一段区间内取值的概率相等。在实际应用中，均匀分布常被用于模拟随机抽样和产生随机数。

2. 正态分布（Normal Distribution）

正态分布是自然界中非常常见的一种分布模式，也被称为高斯分布。它具有钟形曲线状的密度函数，均值和方差完全决定了分布的形状。正态分布在统计学中有广泛应用，常被用于描述连续型变量的分布，例如身高、体重、测试成绩等。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）

泊松分布是一种用于描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布。它的特点是事件在时间或空间上是随机独立的，并且平均发生率是恒定的。泊松分布广泛应用于计数模型，例如描述单位时间内电话呼叫数量、人员流量等。

4. 二项分布（Binomial Distribution）

二项分布是一种离散概率分布，它描述的是在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。每次试验有两个可能结果，成功和失败，并且每次试验的成功概率相同。二项分布常用于描述二分类问题的概率，例如抛硬币的正反面结果、产品合格率等。

5. 指数分布（Exponential Distribution）

指数分布描述了连续型随机变量的等待时间或寿命的概率分布。它的密度函数呈指数形式下降，适用于描述无记忆性的随机现象，例如设备故障间隔、客户到达间隔等。

6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）

卡方分布是一种常用的统计分布，它由平方和的形式得到。卡方分布常用于检验两个分类变量之间的独立性，或者检验样本数据与理论模型之间的拟合度。

常⽤的概率分布：伯努利分布、⼆项式分布、多项式分布、先验

概率，后验概率

⼀，伯努利分布(bernouli distribution)

⼜叫做0-1分布，指⼀次随机试验，结果只有两种。也就是⼀个随机变量的取值只有0和1。

记为: 0-1分布 或B(1,p)，其中 p 表⽰⼀次伯努利实验中结果为正或为1的概率。

概率计算：

⼆，⼆项式分布(binomial distrubution)

表⽰n次伯努利实验的结果。

记为：X~B(n,p)，其中n表⽰实验次数，p表⽰每次伯努利实验的结果为1的概率，X表⽰n次实验中成功的次数。

概率计算：

期望计算：

例⼦就是，求多次抛硬币，预测结果为正⾯的次数。

三，多项式分布(multinomial distribution)

多项式分布是⼆项式分布的扩展，不同的是多项式分布中，每次实验有n种结果。

概率计算：

期望计算：

最简单的例⼦就是多次抛筛⼦，统计各个⾯被掷中的次数。

四，先验概率，后验概率，共轭分布

先验概率和后验概率 ：

先验概率和后验概率的概念是相对的，后验的概率通常是在先验概率的基础上加⼊新的信息后得到的概率，所以也通常

称为条件概率。⽐如抽奖活动，5个球中有2个球有奖，现在有五个⼈去抽，⼩名排在第三个，问题⼩明抽到奖的概率是多

少？初始时什么都不知道，当然⼩明抽到奖的概率P( X = 1 ) = 2/5。但当知道第⼀个⼈抽到奖后，⼩明抽到奖的概率就要发

⽣变化，P(X = 1| Y1 = 1) = 1/4。

再⽐如⾃然语⾔处理中的语⾔模型，需要计算⼀个单词被语⾔模型产⽣的概率P(w)。没有看到任何语料库的时候，我们

只能猜测或者平经验，或者根据⼀个⽂档中单词w的占⽐，来决定单词的先验概率P(w) = 1/1000。之后根据获得的⽂档越

多，我们可以不断的更新

。也可以写成。再⽐如，你去抓娃娃机，没抓之前，你也可以估计抓到的概率，⼤致在1/5到1/50之间，它不可能是1/1000或期望计算：

- 1 - 常见分布的概率密度函数

概率密度函数是描述随机变量概率分布的数学函数，表示了随机变量取某个值的概率密度。常见的概率密度函数包括正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布等。

正态分布是最为常见的分布，其概率密度函数为：

$$f(x) =

frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$$

其中，$mu$ 和 $sigma$ 分别表示均值和标准差。正态分布的图像呈钟形曲线，具有以下特点：对称性、均值、中位数和众数相等、标准差越小峰越尖等。

均匀分布是另一种常见的分布，其概率密度函数为：

$$f(x) = begin{cases} frac{1}{b-a}, & aleq xleq b 0, &

text{otherwise} end{cases}$$

其中，$a$ 和 $b$ 分别表示区间的起始值和终止值。均匀分布的图像呈矩形，特点是各点概率密度相等。

指数分布是描述等待时间的分布，其概率密度函数为：

$$f(x) = begin{cases} lambda e^{-lambda x}, & xgeq 0 0,

& text{otherwise} end{cases}$$

其中，$lambda$ 表示事件发生的速率。指数分布的图像呈指数下降曲线，特点是随着时间的增加，事件发生的概率逐渐减小。

伽马分布是描述正随机变量的分布，其概率密度函数为：

$$f(x) = begin{cases} - 2 - frac{1}{Gamma(k)theta^k}x^{k-1}e^{-frac{x}{theta}}, & xgeq 0

0, & text{otherwise} end{cases}$$

其中，$k$ 和 $theta$ 分别表示形状参数和尺度参数。伽马分布的图像呈现出右偏斜的形态，具有长尾性质。