开放性探索性问题专题复习
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NMHDCFEO图1
一、双基强化
一、 选择题【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的．】
1．9的平方根是……………………………………………………………………（ ）
（A）3； （B）－3； （C）3和－3； （D）9．
2．下列实数中，是无理数的是……………………………………………………（ ）
（A）2； （B）25； （C）722； （D）cos60．
3．在下列二次根式中，与a是同类二次根式的是………………………………（ ）（A）2a；
（B）23a； （C）3a； （D）4a
4．下列方程有实数根的是 ………………………………………………………（ ）
（A）210xx； （B）40x； （C）111xxx； （D）210x．
5．某中学篮球队14名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是…………………………………………………………………………………………（ ）
（A）15，16； （B）16，16；
（C）16，16.5； （D）17，16.5．
6．如图1，EF是⊙O的直径，CD
交⊙O于M、N，H为MN的中点，EC⊥CD
于点C，FD⊥CD于点D，则下列结论错误的是……（ ）
（A）CM﹦DN； （B） CH﹦HD；
（C）OH⊥CD； （D）ECOHOHFD．
二、填空题：
7．我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为 千米．
8．计算：4nnxx ．
9．因式分解：2a2－2＝ ．
10．化简221(1)(1)xxx的结果是 ．
11．方程+12x的解是 ．
12．已知反比例函数y＝m－1x的图象如图2所示， 年龄（单位：岁） 14 15 16
17 18
人数 2 3 4 3 2
O x y
图2 图3
图6
DCBA图5 则实数m的取值范围是 ．
13．从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰梯形共6个图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 ．
14．某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一
次抽样调查(每人只参加其中的一项活动)，调查结果如图3
所示．根据图示所提供的样本数据，可得学生参加科技活动
的频率是 ．
15．已知3,5ab，且b与a反向，则用向量b表示向量a，即a= b．
16．如图4，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为，
高度BC为 米．（结果用含的三角比表示）
17．如图5，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB、BC上，
将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝ 度．
18．如图6，等腰△ABC的顶角A的度数是36°，点D是腰AB的
黄金分割点（AD＞BD），将△BCD绕着点C按照顺时针方向旋转一个角
度后点D落在点E处，联结AE，当AE∥CD时，这个旋转角是
度．
三、解答题：
19．计算：120213tan6014（-1)．
20．解不等式组：.1312412xxxx， ，并把解集在数轴上表示出来．
A C B
图4
①
②
3 0 2 1 -1 -2 4 5 D'DCBADCBA
二、例题引路
例1．（1） 如图，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC=BC且∠ACB=100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD’重合，则∠D’BA= 度.
（2） 如图，在四边形ABCD中，若AD//BC，BC=CD=AC=6, AB=23,则BD长为
例2.二次函数223yx的图像如图所示，点0A位于坐标原点， 点1A，2A，3A，…， 2012A在y轴的正半轴上，点1B，2B，3B，…， 2012B在二次函数223yx位于第一象限的图像上， 若△011ABA,△122ABA，△233ABA，…，△201120122012ABA都为等边三角形，求△201120122012ABA的边长。
例3.如图，已知二次函数mxxy22的图像经过点B（1,2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线BM上有点P（1，23），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系并说明理由；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。
A P
O x B
M y
第1题
例4．已知：如图10，二次函数y＝ax2＋4的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO＝22．（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形．．．．，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
例5.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于_____________。
（导思：四边形的中点四边形受原四边形对角线的控制，原四边形对角线相等时中点四边形为菱形，原四边形的对角线垂直时中点四边形为矩形）
图10 O x y
B A C
三、巩固与提高
1.如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD，那么EF⊥AE”。他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论。
你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由。
2.如图，在矩形ABCD中()ABAD，E为线段AD上的一个动点（点E不与AD，两点重合），连结EC，过E点作EFEC交AB于F，连结FC．
（1）AEF△与DCE△是否相似？并说明理由；
（2）E点运动到什么位置时，EF平分AFC，证明你的结论．
A A A A
B B B B C C C C D D
E D D
E E E
F F F F
图① 图② 图③ 图④
A
B C D E
F
3.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP∶PC＝1∶3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），
请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
4.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
F P(O) D
C B A
图1 图2 O D
C B A
E F P O D
C B A
图3 P C B
Q A
P
