麦克斯韦方程

第三章 麦克斯韦方程

第一章我们已提到电磁场可以用以下四个场量描述，它们是：

E(r, t)——电场强度 (伏特/米，V/m)

D(r, t)——电通量密度或电位移（库仑/米2，C/m2）

H(r, t)——磁场强度（安培/米，A/m）

B(r, t)——磁感应强度或磁通量密度（韦伯/米2，Wb/m2）

这四个量都是矢量，都是时间坐标t和空间矢径r的函数。这些场量在我们周围总是存在的，有来自太阳和其它星球的场，也有来自闪电的场。传播电视的无线电波、激光则是用人工方法产生的场。

本章主要讨论电磁运动服从的基本方程——麦克斯韦方程。需要指出的是，麦克斯韦方程不是从几个公理推导出来的，而是根据科学实验总结出来的电磁运动基本规律。麦克斯韦方程是正确的，因为宏观世界电磁运动都遵循麦克斯韦方程。本章分别讨论积分形式、微分形式的麦克斯韦方程以及用复矢量表示的时谐场的麦克斯韦方程。与讨论电荷守恒定律与物质的本构关系。麦克斯韦方程描述源产生的场，而场对源的作用由洛仑兹力方程描述。洛仑兹力方程在讨论。讨论坡印廷定理，它表示电磁运动满足能量守恒关系。简要介绍唯一性定理、镜像定理、等效原理、磁流和磁荷以及互易定理。

积分与微分形式的麦克斯韦方程

本节根据基本电磁现象以及对实验规律的总结，得出积分形式的麦克斯韦方程组，然后利用散度定理与斯托克斯定理，又从积分形式的麦克斯韦方程组得到微分形式的麦克斯韦方程组。

从库仑定理到高斯定理

根据库仑定理，真空中带电量q的质点对周围试验电荷q1的作用可以看作点电荷q激发的电场E对试验电荷q1的作用，点电荷q激发的电场强度E为

0rE204rq （V/m） （）

式中电场强度E的单位为V/m，电量q的单位为库仑（C），mF/10854.8120，为真空介电常数，r为点电荷q到试验电荷q1之间距离，用米（m）做单位，r0表示由q指向q1的单位矢量。

将点电荷q放到介质中，由于介质极化的影响，点电荷q在介质中产生的电场强度E为

0rE24rq （）

式中叫做介质的介电常数

 = r0 （）

r叫做介质的相对介电常数。 与电场强度E相关连的电通量密度或电位移D为

D = E （）

那末根据式（），点电荷q产生的电通量密度

0rD24rq

（）

将点电荷q置于原点，其电通量密度D在半径r方向。以原点为球心作一球面（图3-1），则通过该球面的电通量D为

图3-1 点电荷q产生的电通量密度D

dSrdSD0 2 4SSDrq球面球面

02rdSdr，r为球面的半径，d为球面上面积元dS对球心所张立体角，r0为r方向的单位矢量，即面积元dS法线方向单位矢量，将dS代入上式，得到

qdqdrqrSSD球面球面球面 S 0022 44rrdSD （）

这就是说穿过球面的电通量等于球心处点电荷q。

实验证明电荷产生的电场满足叠加原理，即N个点电荷产生的场等于每个点电荷产生的场的叠加。

014nNnnnrqrD

由此进一步得到穿过任意闭曲面的电通量S dSD等于该闭曲面包围的总电荷Q，即

QS dSD

如果v为体电荷密度，则总电荷Q为闭曲面包围的体积V内电荷密度v的体积分VvdVQ ，所以上式成为 n0 = r0

假想球面 D VvSdV

dSD （）

这就是积分形式的高斯定理。

注意库仑定理、高斯定理都是实验规律的总结，两者等价。

磁通连续性原理

迄今为止，对磁现象的研究表明，世界上没有单独的磁极存在，磁力线永远构成闭合回路（见图3-2），这就是磁通连续性原理。因为磁力线自成闭合回路，对于任何封闭曲面，穿出闭曲面的磁通量，一定等于穿进闭曲面的磁通量，这就是说穿出或穿进闭曲面的净磁通量等于零，

0SdSB （）

（a） （b）

图3-2 圆环电流（磁偶极子）与永磁体产生的磁场

（a）磁偶极子 （b）永磁棒

因此，磁力线与电力线不同，电力线总是从正电荷出发，终止于负电荷，电力线“有头有尾”，而磁力线没有起始，“无头无尾”。

法拉电第磁感应定理

1831年法拉第发现电磁感应现象，这是人们第一次对随时间变化的电磁场进行研究。法拉第定理表示随时间变化的磁场会产生电场。参看图3-3，如果穿过闭合导线l所包围的面积的磁通量m随时间变化，则会感应一个电动势Vemf

lemfV dlE

Vemf的大小等于穿过闭合导线l所包围面积S的磁通量Sm dSB随时间变化率的负数，即

SmlemfttV dSBdlE

因为微分对时间坐标进行，积分对空间坐标进行，两者次序可调换，这样就得到

Sl dStBdlE （） 随时间增加

S I

R B 1

2 +

– Vemf

图3-3 穿过闭合导线l的磁通量随时间变化会感应一个电动势 这就是积分形式的法拉第定理。图3-4用来说明得出法拉第定理的原理实验装置（在大学物理课程中已见过）。矩形导电线圈与一电流计相连，如有电流通过线圈，电流计指针将偏转。螺线管与电池连接，当螺线管与电池接通，流过螺线管的电流会产生磁场，部分磁力线穿过矩形导电线圈包围的面积。不管采用什么方法，比如螺线管与电池的接通或断开，通电螺细管靠近或远离矩形导电线圈等，只要使螺线管产生的磁力线穿过线圈包围面积的磁通量m随时间变化，电流计指针就会偏转，表示矩形线圈上有电流流过。此电流由感应的电动势Vemf驱动，而指针偏转的大小反映电动势的大小。指针偏转的方向，也就是电流的方向取决于感应电动势的符号。实验得出的规律是，感应电动势Vemf大小与穿过线圈磁通量随时间的变化率dtdm成正比，而感应电动势驱动的电流方向，使得该电流激发的磁场抵抗螺线管产生的磁场随时间的变化，式（）右边的负号就说明这一点。

安培全电流定理

电流流过导体，在其周围产生磁场，如果右手大姆指与电流方向一致，则右手四指方向就是磁场方向，安培全电流定理告诉我们，磁场强度H沿任一闭合回路l的线积分等于穿过回路l所包围面积的电流 It，即

dtlIII dlH （）

式中It是全电流。右边第一项I在导电媒质中叫传导电流Ic，它由导体中自由电子的定向运动引起；在气体或真空中叫运流电流Iv，它由真空或气体中荷电粒子的运动引起。所以I包括传导电流与运流电流两部分，即

I =Ic + Iv （）

第二项Id叫位移电流，它并不代表电荷的运动，因而与传导电流、运流电流不同。传导电流、运流电流和位移电流之和叫全电流。如果引入电流密度Jc 、Jv与Jd，则Ic、Iv 与Id可表示为

SddSvvSccIII

dSJdSJdSJ

于是式（）式成为 图3-4 说明法拉第定理的原理实验装置 I I B 矩形导电线圈 螺线管

电池 电流计 SdSl dSJdSJdlH （）

式中 J =Jc+ Jv

（）

EJc，为传导电流密度，其中为导体的电导率，E为导体内电场强度。vJvv，为真空中或气体中电流密度，其中v和v分别为真空或气体中荷电粒子的密度和速度。Jd为位移电流密度，它等于

tdDJ （）

D为电通量密度或电位移。Jd是麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879年）在1873年首先引入的。为了说明位移电流的概念，参看图3-5所示电路，电容器C通过导线连到交流电源VS(t)，设

tVtVScos0

显然导线中电流

ccSSccI dSEdSJ

式中Sc为导线截面，dS的方向为电流流过导线的方向。

在电容器极板上有电荷Q = CVS，C为电容器的电容量。对于平行板电容器，电容dAC，其中A为极板面积，d为两平板间距，为两平行极板间填充介质的介电常数，VS为电容器两极板间电压。Q随时间的变化率即极板上的电流Iq

tCVtVdtdCdtdVCdtdQISqsincos00

这里我们假定导线的电导率很大很大，导线上压降可忽略，极板两端电压等于源电压。由源、导线、电容器构成的电流回路，其上通过的电流应连续，导线中电流要等于极板上电流Iq，那末电容器中电流是什么呢？位移电流的引入可解释回路电流连续的问题。两极板上加电压VS后，在电容器空间产生电场E

000cosyyEtdVdVS

E的大小为VS /d，方向在y0方向，总的位移电流Id为 介质

极板 极板

面积A

y VS(t)=V0cost y=0

y=d 边缘电场线 s

–s dS

图3-5 交流电源与平行板电容器相连构成的回路 +Q

E E tCVtVdAdStdVttIASSddsinsincos00 00

yydSDdSJ0

因为dS方向为极板法线方向，故dS0ydS，C为平行板电容器电容。这个电流与极板上电流刚好相等。

注意，上面的例题不是给位移电流的正确性进行证明，而是说明位移电流概念解释了由电容器构成的回路中电流的连续性。引入位移电流的正确性是因为引入位移电流概念后得出的结论被其后的实验证明，其中最重要的一点是，麦克斯韦引入位移电流概念后预言电磁波的存在，其后赫兹在1886-1889年间通过实验证明电磁波的存在。迄今宏观世界观察到的电磁现象没有一个与位移电流的概念相冲突，所以我们说位移电流概念的引入是正确的。

将式（）代入式（），安培全电流定理为

SSl dStDdSJdlH （）

这就是安培全电流定理的积分形式。

积分与微分形式的麦克斯韦方程组

现在我们把法拉第电磁感应定理、安培全电流定理、高斯定理、磁通连续性原理的积分形式重写如下：

Sl dStBdlE （）

Sl dStDJdlH （）

VvSdV dSD （）

0 SdSB （）

这就是积分形式的麦克斯韦方程组，它们是在实验基础上得出的电磁运动规律的科学概括。

根据矢量场的斯托克斯定理

Sl dSAdlA

麦克斯韦方程中两个旋度方程式（ b）可写为

SSlt dSBdSEdlE

SSlt dSDJdSHdlH

由上两式可得

tBE （）

tDJH （）

同样根据矢量场的散度定理