麦克斯韦方程组

第7章 麦克斯韦方程组

 静止电荷和运动电荷都可以激发电场-库伦定律。

 运动电荷还可以激发磁场-比萨定律。

 变化的磁场可以激发电场-法拉第定律。

 变化电场可以激发磁场-麦克斯韦假设。

7-1 安培环路定律与位移电流

1. 对于恒定电流激发的恒定磁场，安培环路定律得到满足:

ISdJldHSl111

ISdJldHSl222

 I I

R 导体

环路l 曲面2S 曲面1S

2J 1J 2. 对于时变电流激发的时变磁场，安培环路定律出现矛盾

ISdJldHSl111

0222SlSdJldH

3. 引入位移电流概念，对于时变电流激发的时变磁场，消除安培环

路定律出现的矛盾。

 电流连续性定律：

VSdVtSdJ

22122211SSSdStSdJSdJ  I I

R D

环路L 曲面2S 曲面1S

tDJJD,02 01J  111SSdJI

0222SSdJ

3222SSdSDdS

3312211SSSdStDdSDtSdJI

 位移电流密度和位移电流定义：

tDJD

3222SSDDdStDSdJI

 用位移电流表述电流连续性定律：

ISdJdStDSdJISSSDD1321122

DSDSSISdJdStDSdJI2312211

 无矛盾的安培环路定律

ISdJldHSl111

麦克斯韦方程组

关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。

麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。

它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。

麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。

在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。

该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。

麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：

变化的磁场可以激发涡旋电场，

变化的电场可以激发涡旋磁场；

电场和磁场不是彼此孤立的，

它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场

（也是电磁波的形成原理）。

麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，

建立了完整的电磁场理论体系。

这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。

麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。

从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。

麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。

从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。 麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。

他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。

现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。

麦克斯韦方程组的地位

麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。

以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。

它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：

物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。

另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。

㈠麦克斯韦方程组

描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是

tBE/

tDH/

（4-3-1）

如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：

jwt

rEtrE)(),(

jwt

rHtrH)(),(

（4-3-2）

则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成

HjE



EjH



（4-3-3）

式中，

和

分别是介质的介电常数及磁导率。2

0n



；n是介质的折射率；磁导率

0



。

在平面波导中，存在着沿z方向的一个行波，而在xy平面内，由于宽度（y方向）远大于

厚度（x方向），平板波导的光只在一个方向上（x方向）受到限制，波导的几何结构及折

射率沿y方向是不变的。因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y方向变化。上面的

),(trE

和),(trH

可以分别写成

)(

),(),(ztj

yxEtrE





)(

),(),(ztj

yxHtrH





(4-3-4)

式中

是沿z方向的传播常数。将（4-3-4）式的E与H代入（4-3-3）式中，并展开运算，

注意到0/y

，就可以得到电磁场中各分量之间的关系

xyHE



yzxHjxEEj

/

zyHjxE

/

xyEH



zyEjxH

/

(4-3-5) yzxEjxHHj

/

以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有

yE

，

xH

，

zH

，另一组含有

yH

，

xE

，

zE

。第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE波，第二组则是磁场只含有横向分量，

所以称为TM波。根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。

电磁张量麦克斯韦方程组

引言

在物理学中，麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组。它由一组四个偏微分方程组成，分别是麦克斯韦方程的积分形式和微分形式。本文将重点讨论电磁张量以及它与麦克斯韦方程组之间的关系。

电磁场的张量表示

电磁张量是描述电磁场的一个重要工具。它可以通过麦克斯韦方程组的微分形式推导得出。电磁场张量F的定义如下：

[ F^{} = A- A ]

其中，A是电磁四势，(^)是四维导数算符。

电磁张量的各个分量表示了电场和磁场之间的相互作用关系。其中，(F{0i})表示电场强度，(F{ij})表示磁场强度。

麦克斯韦方程组的张量形式

将电磁张量引入麦克斯韦方程组可以简化方程的形式。从电动力学的角度来看，麦克斯韦方程组可以用张量形式表示为：

[ _F^{} = J^ ]

其中，(_)是四维导数算符，J是电流密度。这个方程组描述了电磁场如何与电流相互作用，并形成闭合的物理系统。

麦克斯韦方程组的积分形式

除了微分形式，麦克斯韦方程组还有积分形式。通过对微分形式进行积分，我们可以得到以下方程：

[ d = dV ]

[ d = 0 ]

[ d = - d ] [ d = _0 d + _0_0 d ]

其中，()和()分别表示电场和磁场，()是电荷密度，()是电流密度，(_0)是真空介电常数，(_0)是真空磁导率。

电磁张量与电磁场强度的关系

电磁张量的各个分量与电场和磁场强度之间有着密切的关系。我们可以通过电磁张量来计算电场和磁场强度的分量。具体来说，电场强度和磁场强度的分量可以表示为：

[ E_i = F^{0i} ]

[ B_i = _{ijk}F^{jk} ]

其中，(_{ijk})是三维空间的完全反对称张量。

电磁张量的对称性和规范不变性

电磁张量有一些重要的对称性和规范不变性。其中最为重要的是轻度对称性和洛伦兹规范不变性。

轻度对称性是指对称性的一种特殊形式，它将电磁张量的各个分量联系在一起。根据轻度对称性，电磁张量满足以下关系：