中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
- 格式：docx
- 大小：1.22 MB
- 文档页数：68
中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
1 / 68
线段最值问题（一）
一．两点之间线段最短
两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.
1.两点之间，线段最短：A和B两点之间，线段AB最短.
2. ABa，BCb（ab），则当点C在D点时，minACABACab，当点C在点E时，maxACABBCab
二．垂线段最短
垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB外一点C与线段上各点的连线中，垂线段CD最短. DCBAEDCBA中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
2 / 68
一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短
二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短
三．易错点：
1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；
2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．
题模一：两点之间线段最短
例1.1.1 在RtABC中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．
（I）如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转30°，所得到与AB交于点M，则CM的长=__；
（II）如图②，点D是边AC上一点D且AD=23 ，将线段AD绕点A旋转，得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转__度时，线段CF的长最大，最大值为__． FEDCBA中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
3 / 68
【答案】 （1）6
（2）150；63
【解析】 （Ⅰ）如下图①所示：
∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，
∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC
∵∠BAC=30°，
∴△MBC为等边三角形，
∴AM=MB=CM
又∵BC=6，
∴AB=2BC=12，
∴CM=6
故答案为：6 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
4 / 68 （2）∵在RtABC中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6，
∴AB=12
取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以12EFAD
∵ECEFCF，
∴CF的最大值为63ECEF，
即：当将线段AD绕点A逆时针旋转 150度时，线段CF的长最大，最大值为63
例1.1.2 如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（ ）
A． 1+2+3 B． 2+6
C． 2+3 D． 1+22
【答案】A
【解析】 如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．
设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，
∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB
∴CF=32AC=3，AF=BF=1，
∵∠BOC=∠AOC=22.5°，
∴∠EOA=∠EAO=22.5°，
∴∠FEA=∠FAE=45°， 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
5 / 68 ∴AF=EF=1，AE=2，
∴OC=OE+EF+CF=1+2+3．
例1.1.3 如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A． 2﹣3 B． 3+1 C． 2 D． 3﹣1
【答案】D
【解析】 AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF，
∴△DAG∽△DCF， 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
6 / 68 ∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO=22BCOC=2221=3，OM=12AC=1，
则BM=BO﹣OM=3﹣1．
例1.1.4 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．
（1） 当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长．
【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）2
【解析】 该题考查的是四边形综合．
（1）当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小．……………………………1分
（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时AMBMCM的值最小．
……………………………2分
理由如下： 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
7 / 68 ∵M是正方形ABCD对角线上一点
∴AMCM
又ABBC，BMBM
∴△ABM≌△CBM
∴BAMBCM……………………………3分
又BEBABC
∴BECBCM
∴BECBAM在EC上取一点N使得ENAM，连结BN
又∵EBAB
∴△BNE≌△ABM……………………3分
∴EBNABM，BNBM
又∵60EBNNBA
∴60ABMNBA
即60NBM
∴△BMN是等边三角形．
∴BMMN＝……………………………4分
∴AMBMCMENMNCM＝．
根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长．
……………………………5分 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
8 / 68
（3）过E点作EFBC交CB的延长线于F
∴906030EBF
设正方形的边长为x，则32BFx， 2xEF……………………………6分
在Rt△EFC中，
∵222EFFCEC，
∴22233122xxx．
解得2x（舍去负值）．
∴正方形的边长为2．……………………………7分
例1.1.5 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值． 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
9 / 68
【答案】 （1）CH=AB；
（2）成立，见解析
（3）323
【解析】 （1）如图1，连接BE，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E是DC的中点，DE=DF，
∴点F是AD的中点，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
ABCBABCEAFCE
∴△ABF≌△CBE， 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
10 / 68 ∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．
如图2，连接BE，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
ABCBABCEAFCE 中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
11 / 68 ∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（3）如图3，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，
