学案4：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

课标要求

1．掌握导数的和、差、积、商的求导法则．

2．会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题．

核心扫描

1．应用四则运算法则求导是本节课的重点．

2．本节内容常与研究函数性质相结合命题.

课前探究学习

自学导引

导数运算法则

法则 语言叙述

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)

[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数

fxgx′＝f′xgx－fx·g′x[gx]2(g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方

想一想：fxgx′＝gxf′x－fxg′xg2x成立的条件是什么？

提示 f(x)，g(x)都有导数，且g(x)≠0.

名师点睛

1．运用导数运算法则的注意事项

(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．

(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f′n(x)．

②[ af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；

③当f(x)＝1时，有1gx′＝－g′xg2x..

(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．

2．变形化简，减少求导的运算量

应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行

化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错.

课堂讲练互动

题型一 求导法则的直接运用

例1：求下列函数的导数．

(1)y＝3x－lg x； (2)y＝(x2＋1)(x＋1)；

(3)y＝x＋3x2＋3； (4)y＝－sin x＋ex.

规律方法 应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式．

变式1：求下列函数的导数．

(1)y＝2x2＋3x3； (2)y＝x3·10x；

(3)y＝cos x·ln x; (4)y＝x2sin x.

题型二 导数求导法则的灵活运用

例2：求下列函数的导数：

(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－2cos x；

(3)y＝x5＋x7＋x9x；

(4)y＝x－sinx2cosx2.

规律方法 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，然后再求导，这样可减少计算量．

变式2：求下列函数的导数．

(1)y＝－sinx21－2cos2x4； (2)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x；

(3)y＝x·tan x.

题型三 求导法则的应用

例3：求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．

变式3：若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线方程，结果会怎样？

方法技巧 数形结合思想在导数中的应用

数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．

(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．

(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．

示例：讨论关于x的方程ln x＝kx解的个数．

方法点评 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义 ，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某

种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁.

参考答案：

题型一 求导法则的直接运用

例1：解：(1)y′＝(3x)′－(lg x)′＝3x·ln 3－1xln 10.

(2)y＝(x2＋1)(x＋1)＝x3＋x2＋x＋1，

∴y′＝3x2＋2x＋1.

(3)y′＝x＋3x2＋3′＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32

＝x2＋3－x＋3·2xx2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.

(4)y′＝(－sin x)′＋(ex)′＝－cos x＋ex.

变式1：解：(1)y＝2x2＋3x3＝2x－2＋3x－3，y′＝－4x－3－9x－4.

(2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10.

(3)y′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋cos xx.

(4)y′＝x2′·sin x－x2·sin x′sin2x＝2x·sin x－x2cos xsin2x.

题型二 导数求导法则的灵活运用

例2：解：(1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.

(2)y′＝(xsin x)′－2cos x′＝sin x＋xcos x－2sin xcos2x.

(3)∵y＝x5＋x7＋x9x＝x2＋x3＋x4，

∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.

(4)先使用三角公式进行化简，得

y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，

∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x.

变式2：解 (1)y＝－sinx21－2cos2x4＝－sinx2·－cosx2＝12sin x，∴y′＝12cos x.

(2)y＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，

∴y′＝－41－x′1－x2＝41－x2. (3)y＝x·tan x＝xsin xcos x，

∴y′＝xsin x′cos x－xsin xcos x′cos2x

＝sin x＋xcos xcos x＋xsin2xcos2x

＝x＋sin xcos xcos2x.

题型三 求导法则的应用

例3：解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－2

故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ①

∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ②

又∵(1，－1)在切线上，

∴将②式和(1，－1)代入①式得

－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．

解得x0＝1或x0＝－12.

故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

变式3：解：∵点A(1，－1)在曲线上，点A是切点，

∴在A处的切线方程为x－y－2＝0.

示例：解：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x交点的个数．

设直线y＝kx与y＝ln x切于P(x0，ln x0) ，则kx0＝ln x0.

∵(ln x)′＝1x，∴k＝1x0，kx0＝1＝ln x0.

∴x0＝e，k＝1e.结合图象知：当k≤0或k＝1e时，

方程ln x＝kx有一解．

当0

当k>1e时，方程ln x＝kx无解．