二次函数的综合应用

1 / 11 二次函数的综合应用 一、二次函数与几何图形问题 例一：（2019 吉林中考）如图，抛物线y=(x-1)²+k与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0，-3)。P为抛物线上一点，横坐标为m，且m>0。 (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值; (3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. ①求h关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围! ②当h=9时，直接写出ΔBCP的面积. 二、二次函数与销售问题 例一： （2020 湖北中考）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定价为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元。 （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中提出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的取值范围。 三、二次函数与增长率问题 2 / 11 例一：为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进就放改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设。 （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4，32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 四、二次函数与行程问题 例一：（2019 江西中考）蜗牛A和蜗牛B分别从相距120厘米的甲水坑和乙水坑以相同的速度同时相向而行，相遇后，两只蜗牛继续前进，蜗牛A的速度不变，蜗牛B每分钟比原来多走1厘米，结果蜗牛B到达甲水坑后蜗牛A还需10分钟才能到达乙水坑，求两只蜗牛原来的速度是多少？ 五、二次函数与动点问题 例一： （2019秋惠州期末）如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； 六、二次函数与阅读理解型问题（新定义题型） 3 / 11 例一： （2019 ）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”．例如：y=3/4*x和y=5/4*x为关于直线y=x的“相依函数”。 （1）已知点M （1，m）是直线y=2x+4上一点，请求出点M （1，m）关于点（1，1）成中心对称的点N的坐标； （2）若直线y=3x+n和它关于直线y=x的“相依函数”的图像与y轴围成的三角形的面积为8，求n的值； （3）若二次函数y=ax²+bx+c和y=x²+d为关于直线y=x的“相依函数”． ①请求出a、b的值； ②已知点P（-3，2）、点Q（2，2），连接PQ，直接写出y=ax²+bx+c和y=x²+d两条抛物线与线段PQ有且只有两个交点时对应的d的取值范围． 七、二次函数与桥洞限高限宽问题 例一：如图，是一座古拱桥的界面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m。 （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如上图），你选择的方案是（ ） （填方案一，方案二，方案三），则B点的坐标是（ ），求出你选择方案中抛物线的解析式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度。 八、二次函数与一次函数综合问题 例一：如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于A、B两点，求： 4 / 11 （1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点,到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）设点P为该抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，直接写出使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标。 5 / 11 ---------------------答案解析---------------------- 一、二次函数与几何图形问题 例一：（2019 吉林中考）如图，抛物线y=(x-1)²+k与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0，-3)。P为抛物线上一点，横坐标为m，且m>0。 (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值; (3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. ①求h关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围! ②当h=9时，直接写出ΔBCP的面积. 【解析】 （1）因为抛物线y=(x-1)²+k与y轴相交于C(0，-3),将其坐标带入得： -3=(0-1)² + k，解得 k=-4，故，抛物线方程为：y=(x-1)²-4，即：y=x² -2x -3 ； （2）令y=0，得(x-1)² -4=0，解得：x=-1 或 x=3，故：A(-1，0)、B(3，0)，所以AB=4； 解法一： 由（1）知，抛物线顶点坐标为（-1，4），由题意，当P点位于抛物线顶点时，ΔABP的面积有最大值，即：S_max=1/2 *4 *4 =8； 解法二： 由题意，得P(m,m² -2m -3)，所以S=1/2 *4 *（-m² +2m +3）=-2m²+4m+6=-2(m – 1)²+8，所以当m=1时，S_max = 8； （3）问题一：当02时，h=m²-2m-3-（-4）=m²-2m+1； 问题二：当h=9时，若-m²+2m=9，此时Δ<0，m无解；若m²-2m+1=9，则m=4 所以：P(4，5) ，因为B(3，0)，C(0，-3)，所以：S_ΔBCP=1/2 *8 *4-1/2 *5 *1-1/2 * （4+1） 6 / 11 *3=6 二、二次函数与销售问题 例一： （2020 湖北中考）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定价为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元。 （1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中提出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的取值范围。 【解析】 （1）根据题意得：y=300-10(x-44)=-10x+740，故y与x之间得函数关系式为：y=-10x+740（44<=x<=52）; （2）根据题意得：w=(-10x+740)(x-40)=-10x²+1140x-29600=-10(x-57)²+2890，由解析式可知，二次函数开口向下，且在x<57时单调递增，又因为：44<=x<=52，则在x=52时，w取最大值，即：-10*(52-57)²+28900=2640。 即将纪念品定价为52元时，商家每天获得利润最大，为：2640元。 （3）由题意可知，捐赠后，每天余下利润：（w-200）元，欲使捐款后利润不低于2200元，则：w-200>=2200，即：-10(x-57)²+2890-200>=2200，由-10(x-57)²+2890-200=2200得： X=50或x=64，又因为：44<=x<=52，则捐款后每天利润不低于2200元，则：50<=x<=52, 综上所述，销售单价得范围是：50<=x<=52。 三、二次函数与增长率问题 例一：为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进就放改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设。 （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4，32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000 7 / 11 元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【解析】 （1）设平均增长率为x，则x>0；由题意可得：3(1+x)²=4.32，解得：x=0.2或x=-2.2 （舍去），故旧房改造得平均增长率为：20%； （2）设多改造x户，且投入最高为w元，由题意可得：w= （300+x）* （20000-50x）=-50(x-50)²+612500，由此可知，当x=50时，w取最大值，此时w=612500元，故旧房改造申报最高投入费用为：612500元。 四、二次函数与行程问题 例一：（2019 江西中考）蜗牛A和蜗牛B分别从相距120厘米的甲水坑和乙水坑以相同的速度同时相向而行，相遇后，两只蜗牛继续前进，蜗牛A的速度不变，蜗牛B每分钟比原来多走1厘米，结果蜗牛B到达甲水坑后蜗牛A还需10分钟才能到达乙水坑，求两只蜗牛原来的速度是多少？ 五、二次函数与动点问题 例一： （2019秋惠州期末）如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； 【解析】 （1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c可得抛物线的解析式为：y＝x²﹣x﹣6； （2）在y＝x²﹣x﹣6中，对称轴为直线x＝12， ∵点A与点B关于对称轴x＝12对称， ∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值， 8 / 11 而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，在y＝x²﹣x﹣6中，当y＝0时，𝑥1＝﹣2，𝜒2＝3， ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，将点B（3，0）代入，得，k＝2， ∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，当x＝12时，y＝﹣5， ∴点D的坐标为（12，﹣5）； （3）如图2，连接OE，设点E(a，a²-a-6)，𝑠𝛥𝐵𝐶𝐸=𝑠𝛥𝑂𝐶𝐸+𝑠𝛥𝑂𝐵𝐸−𝑠𝛥𝑂𝐵𝐶=1/2 *6*a +1/2 *3(-a²+a+6)-1/2*3*6=-3/2 *a² +9/2*a =-3/2(a-3/2)²+27/8，根据二次函数的图像及性质可知，当a=3/2时，ΔBCE的面积有最大值 27/8，此时点E的坐标为：(3/2，-21/4) 六、二次函数与阅读理解型问题（新定义题型） 例一： （2019 ）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”．例如：y=3/4*x和y=5/4*x为关于直线y=x的“相依函数”。 （1）已知点M （1，m）是直线y=2x+4上一点，请求出点M （1，m）关于点（1，1）成中心对称的点N的坐标； （2）若直线y=3x+n和它关于直线y=x的“相依函数”的图像与y轴围成的三角形的面积为8，求n的值； （3）若二次函数y=ax²+bx+c和y=x²+d为关于直线y=x的“相依函数”． ①请求出a、b的值；