解直角三角形的6种常见类型

专训1 解直角三角形的五种常见类型

名师点金：

解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形． . 已知两直角边解直角三角形

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形．

1．解：∵a＝23，b＝6，

∴c＝a2＋b2＝12＋36＝48＝43.

∵tan A＝ab＝236＝33，∴∠A＝30°.∴∠B＝60°.

已知一直角边和斜边解直角三角形

2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．

2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，

∴BC＝AB2－AC2＝169－144＝25＝5.

∴sin ∠BAC＝BCAB＝513.过点B作BD⊥MC于点D.

设点B到直线MC的距离为d，则BD＝d.

∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BAC＝sin ∠BCM.

∴sin ∠BCM＝dBC＝513，

即d5＝513.∴d＝2513，

即点B到直线MC的距离为2513.

已知一直角边和一锐角解直角三角形

3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.

(1)求AC的长；

(2)求BC的长．

3．解：(1)由题意知sin C＝ABAC，即12＝3AC，则AC＝6.

(2)由题意知tan C＝ABBC，即33＝3BC，则BC＝33.

已知斜边和一锐角解直角三角形

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，

∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．

4．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，

∴∠A＝45°，a＝b＝52.

已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形

题型1

化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)

5．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝13，求∠A的三角函数值．

5．解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.

在Rt△CDE中，

∵tan ∠BCD＝13＝DECD，∴可设DE＝x，则CD＝3x.

∵CD⊥AC，∴DE∥AC.

又∵点D为AB的中点，∴点E为BC的中点．

∴DE＝12AC.

∴AC＝2DE＝2x.

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，

∴AD＝AC2＋CD2＝4x2＋9x2＝13x.

∴sin A＝CDAD＝3x13x＝31313，

cos A＝ACAD＝2x13x＝21313，

tan A＝CDAC＝3x2x＝32.

方法技巧：本题中出现了tan ∠BCD＝13，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．

题型2 化解四边形问题为解直角三角形问题

6．【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22.求CD的长和四边形ABCD的面积．

(第6题)

6．解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.

∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝2，

∴EH＝DE·cos 45°＝2×22＝1.

∴DH＝1.

又∵∠DCE＝30°，

∴HC＝DHtan 30°＝3，CD＝DHsin 30°＝2. ∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝22，

∴AB＝AE＝2.∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋3＝3＋3.

∴S四边形ABCD＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92.

方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．

题型3 化解方程问题为解直角三角形问题

7．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.

(1)判断△ABC的形状；

(2)求sin A＋sin B的值．

7．解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则

Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．

∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.

∴△ABC为直角三角形．

(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①

将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.

∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.

由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝45c.②

将②代入①，得a＝35c.

∴在Rt△ABC中，

sin A＋sin B＝ac＋bc＝35＋45＝75.

点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．

专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用

名师点金：

1．同角的三角函数关系：sin²α＋cos²α＝1，tan α＝sin α/cos α.

2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，

cos α＝sin(90°－α)，tan α•tan(90°－α)＝1.

同角间的三角函数的应用

1．已知tan A＝4，求sin A－3cos A4sin A＋cos A的值．

1．解：方法一：原式＝（sin A－3cos A）÷cos A（4sin A＋cos A）÷cos A＝

sin Acos A－34sin Acos A＋1＝tan A－34tan A＋1.

∵tan A＝4，∴tan A－34tan A＋1＝4－34×4＋1＝117.

方法二：∵tan A＝4，∴sin Acos A＝4，∴sin A＝4cos A.

∴原式＝4cos A－3cos A4×4cos A＋cos A＝cos A17cos A＝117.

2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．

2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．

解：∵sin α－cos α＝22，

∴(sin α－cos α)2＝12，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝12.

∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12.

∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋12＝32.

又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.

∴sin α＋cos α＝62.

余角间的三角函数的应用

3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )

A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)

B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1

C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1

D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1

3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.

4．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．

4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan

44°·tan 46°)·tan 45°＝1.

点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.

同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用

5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin

α和cosα.

5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cos α＝1225，

∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×1225＝4925.

∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75.

又∵sin α·cos α＝1225，

∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x2－75x＋1225＝0.

点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0.

6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．

6．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，

∴由求根公式，得

sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54.

∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)．

∵sin2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＝1－122＝34.

又∵cos α＞0，∴cos α＝32.

∴1－2sin αcos α＝

sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝

（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝12－32＝3－12.

专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型

名师点金：

解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．

构造一个直角三角形解实际问题

1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8 m，已知小汽车车门宽AO为1.2 m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan