2017高考全国3卷理科数学试题及答案
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合22(,)1Axyxy，(,)Bxyyx，则AB中元素的个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】A表示圆221xy上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，
故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，故选B.
2．设复数z满足(1i)2iz，则z（）
A．12 B．22 C．2 D．2
【答案】C
【解析】由题，2i1i2i2i2i11i1i1i2z，则22112z，故选C.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.
4．5()(2)xyxy的展开式中33xy的系数为（）
A． B． C．40 D．80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33xy的项为
2332233355C2C240xxyyxyxy，则33xy的系数为40，故选C.
5．已知双曲线22221xyCab：（0a，0b）的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点．则C的方程为（）
A．221810xy B．22145xy C．22154xy D．22143xy
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba①
又∵椭圆221123xy与双曲线有公共焦点，易知3c，则2229abc②
由①②解得2,5ab，则双曲线C的方程为22145xy，故选B.
6．设函数π()cos()3fxx，则下列结论错误的是（）
A．()fx的一个周期为2π B．()yfx的图像关于直线8π3x对称
C．()fx的一个零点为π6x D．()fx在π(,π)2单调递减
【答案】D
【解析】函数πcos3fxx的图象可由cosyx向左平移π3个单位得到，
如图可知，fx在π,π2上先递减后递增，D选项错误，故选D.
-6xyO
7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5
B．4
C．3
D．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
S M t
初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 10 2
第2次循环结束 90 1 3
此时9091S首次满足条件，程序需在3t时跳出循环，即2N为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．π B．3π4 C．π２ D．π4
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，
则圆柱体体积23ππ4Vrh，故选B.
9．等差数列na的首项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）
A．24 B．3 C．3 D．8
【答案】A
【解析】∵na为等差数列，且236,,aaa成等比数列，设公差为d.
则2326aaa，即211125adadad
又∵11a，代入上式可得220dd
又∵0d，则2d
∴61656561622422Sad，故选A.
10．已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段1A2A为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）
A．63 B．33 C．2３ D．13
【答案】A
【解析】∵以12AA为直径为圆与直线20bxayab相切，∴圆心到直线距离d等于半径，
∴222abdaab 又∵0,0ab，则上式可化简为223ab
∵222bac，可得2223aac，即2223ca
∴63cea，故选A
11．已知函数211()2(ee)xxfxxxa有唯一零点，则a（）
A．1２ B．13 C．12 D．1
【答案】C
【解析】由条件，211()2(ee)xxfxxxa，得：
221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)2(ee)xxxxxxfxxxaxxxaxxa
∴(2)()fxfx，即1x为()fx的对称轴，
由题意，()fx有唯一零点，
∴()fx的零点只能为1x，
即21111(1)121(ee)0fa，
解得12a．
12．在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为（）
A．3 B．22
C．5 D．2
【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设BD与C切于点E，连接CE．
以A为原点，AD为x轴正半轴，
AB为y轴正半轴建立直角坐标系，
则C点坐标为(2,1)．
∵||1CD，||2BC．
∴22125BD．
∵BD切C于点E．
∴CE⊥BD．
∴CE是RtBCD△中斜边BD上的高．
12||||2222||5||||55BCDBCCDSECBDBD△
即C的半径为255．
∵P在C上．
∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5xy．
设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下： ()AODxyBPgCE00225cos5215sin5xy
而00(,)APxy，(0,1)AB，(2,0)AD．
∵(0,1)(2,0)(2,)APABAD
∴0151cos25x，0215sin5y．
两式相加得：
222515sin1cos552552()()sin()552sin()3≤
(其中5sin5，25cos5)
当且仅当π2π2k，kZ时，取得最大值3．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y满足约束条件0,20,0,xyxyy≥≤≥则34zxy的最小值为________．
【答案】1
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为34zxy，则直线344zyx纵截距越大，z值越小．
由图可知：z在1,1A处取最小值，故min31411z．
AB(1,1)(2,0)0xy20xyyx
14．设等比数列na满足121aa，133aa，则4a________．
【答案】8
【解析】na为等比数列，设公比为q．
121313aaaa，即1121113aaqaaq①②，
显然1q，10a，
②①得13q，即2q，代入①式可得11a， 3341128aaq．
15．设函数1,0,()2,0,xxxfxx≤则满足1()()12fxfx的x的取值范围是________．
【答案】1,4
【解析】1,02 ,0xxxfxx≤，112fxfx，即112fxfx
由图象变换可画出12yfx与1yfx的图象如下：
121211(,)441()2yfx1()yfxyx
由图可知，满足112fxfx的解为1,4.
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；
②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；
③直线AB与a所成角的最小值为45；
④直线AB与a所成角的最大值为60．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【解析】由题意知，abAC、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，
故||1AC，2AB，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向，
CA为z轴正方向建立空间直角坐标系．
则(1,0,0)D，(0,0,1)A，
直线a的方向单位向量(0,1,0)a，||1a．
B点起始坐标为(0,1,0)，
直线b的方向单位向量(1,0,0)b，||1b．
设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，
其中为BC与CD的夹角，[0,2π)．
那么'AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，||2AB．
设AB与a所成夹角为π[0,]2，
