二元一次方程组与一元一次不等式综合拓展

二元一次方程组及一元一次不等式(组）应用题1.某商店准备购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。

（1）若该商品同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进的甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商品准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润为多少？2.同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310 元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：租金（单位：元/台•时）挖掘土石方量（单位：m3/台•时）甲型挖掘机100 60乙型挖掘机120 80（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？4.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1 块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？5.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，，且购4套A型和6套B型课桌凳共需1820元。

1 某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同.若购买2个足球和3个篮球共需340元；购买4个排球和5个篮球共需600元.（1）求购买一个足球、一个篮球分别需要多少元？（2）该中学根据实际情况，需从该体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？ 答案：解（1）设购买一个足球需要x 元，购买一个篮球需要y 元 根据题意，得2334045600x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得：5080x y =⎧⎨=⎩答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元（2）设该中学购买篮球m 个根据题意，得8050(100)6000m m +-≤ 解这个一元一次不等式得：1333m ≤m 是整数33m ∴≤（或m 的最大整数解是33）答：这所中学最多可以购买33个篮球。

2.近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A 、B 两种设备，已知：购买1台A 种设备和2台B 种设备需要3.5万元；购买2台A 种设备和1台B 种设备需要2.5万元． （1）求每台A 种、B 种设备各多少万元？（2）根据学校实际，需购进A 种和B 种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计 解：（1）设每台A 种、B 种设备各x 万元、y 万元，根据题意得出：，解得：，答：每台A 种、B 种设备各0.5万元、1.5万元；（2）设购买A 种设备z 台，根据题意得出： 0.5z+1.5（30﹣z ）≤30， 解得：z≥15，答：至少购买A 种设备15台．3．暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人．（1）旅游团中成人和儿童各有多少人？（2）旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件T恤衫，成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫（不足10件不赠送），儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问每件成人T恤衫的价格最高是多少元？4某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为70％，九年二班的满分率为80％. （1）求九年一班和九年二班各有多少名学生.（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75％，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分.5．学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？6.某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男女两种款式的书包。

类型十一、一元一次不等式组与二元一次方程组结合求解【解惑】已知关于x y 、的二元一次方程组22124x y m x y m +=-⎧⎨+=+⎩的解满足24x y x y +>⎧⎨-<⎩，则m 的取值范围是 __．方法：1.由已知方程组得出1x y m +=+且5x y m -=-；2.根据24x y x y +>⎧⎨-<⎩得出关于m 的不等式组，解之即可得出答案．【融会贯通】1．若x ，y 满足方程3y x -=和不等式组1414x y y +>⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，则x 的范围是（ ）A ．15x -<≤B ．5x ≥C ．11x -<≤D ．1x ≥2．若关于x 的不等式组1131()02x x x a -⎧-<⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩有解，且最多有3个整数解，且关于y 、z 的方程组12224y z ay z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．9B ．6C ．-2D ．-13．若关于x 、y 的方程组2432x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩满足12x y <+<，则k 的取值范围是______．【知不足】1．如果整数m 使得关于x 的不等式组0443x m x x ->⎧⎪-⎨-≥-⎪⎩有解，且使得关于x ，y 的二元一次方程组521mx y x y +=⎧⎨+=⎩的解为整数（x ，y 均为整数），则符合条件的所有整数m 的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知关于x 、y 的方程组31230ax y x y +=⎧⎨-=⎩的解为整数，且关于x 的不等式组2(1)534x x x a +<+⎧⎨>-⎩有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣63．若关于x ，y 的二元一次方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩的解满足68x y x y ->-⎧⎨+<⎩，求m 的取值范围______．4．已知关于x y 、的二元一次方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足x y >，且关于x 的不等式组212213147x a x +<⎧⎪-⎨≥⎪⎩无解，那么所有符合条件的整数a 的个数为________．【一览众山小】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组31234x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解满足x y ≥，且关于x 的不等式组212213105x ax +>⎧⎪-⎨≤⎪⎩有解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______．3．关于x 、y 的二元一次方程组21222x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩，求m 的取值范围．4．（1）利用数轴，确定不等式组的解集：273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②．（2）若关于x ，y 的二元一次方程组：23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足232x y x y ⎧+>-⎪⎨⎪-<⎩，求m 的整数值． 5．已知关于x 、y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y ->⎧⎨-+≥-⎩，求整数k 的值．【温故为师】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．若整数a 使关于x 的不等式组125262x x x a ++⎧≤⎪⎨⎪->⎩至少有4个整数解，且使关于x ，y 的方程组206ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解为正整数，那么所有满足条件的整数a 的值的和是( )． A ．－3B ．－4C ．－10D ．－143．已知关于x ，y 的二元一次方程组21222x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩．(1)试求出m 的取值范围；(2)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2x ﹣mx ＜2﹣m 的解集为x ＞1． 4．点(),P x y 满足525744x y ax y a+=⎧⎨+=⎩．（1）当1a =时，求P 点的坐标；（2）点(),P x y 的坐标满足不等式组259x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值之和．5．已知关于x 、y 的方程组212x y x y m +=⎧⎨-=⎩的解都小于1，若关于a 的不等式组1215231a n a ⎧+≥⎪⎨⎪-≥⎩恰好有三个整数解．（1）分别求出m 与n 的取值范围； （2）化简：|m +3|（52n +﹣n +2）÷32nn++|． 6．当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．（1）解关于x ，y 的二元一次方程组33522x y ax y a +=⎧⎨+=⎩，（2）若关于x ，y 的二元一次方程组：33522x y ax y a+=⎧⎨+=⎩的解满足不等式组246x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值．7．已知a 是不等式组()5131131722a a a a⎧->+⎪⎨-<-⎪⎩的整数解，x ，y 满足方程组27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩，求(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)的值． 8．我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①240 523xx-=⎧⎨-⎩＜；②5323233124x xx x--⎧=-⎪⎪⎨+-⎪-⎪⎩＜．（2）若关于x的组合515032xx aa+=⎧⎪⎨-⎪⎩＞是“有缘组合”，求a的取值范围；（3）若关于x的组合5323212a xx ax ax a-⎧-=-⎪⎪⎨-⎪+≤+⎪⎩是“无缘组合”；求a的取值范围．答案与解析【融会贯通】1．若x ，y 满足方程3y x -=和不等式组1414x y y +>⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，则x 的范围是（ ）A ．15x -<≤B ．5x ≥C ．11x -<≤D ．1x ≥2．若关于x 的不等式组1131()02x x x a -⎧-<⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩有解，且最多有3个整数解，且关于y 、z 的方程组12224y z ay z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．9B ．6C ．-2D ．-13．若关于x 、y 的方程组2432x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩满足12x y <+<，则k 的取值范围是______．【答案】01k <<【详解】解：2432x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩①②用①+②得： 3333x y k +=+，∴1x y k +=+，∵12x y <+<，∴112k <+<，∴01k <<，【知不足】1．如果整数m 使得关于x 的不等式组0443x m x x ->⎧⎪-⎨-≥-⎪⎩有解，且使得关于x ，y 的二元一次方程组521mx y x y +=⎧⎨+=⎩的解为整数（x ，y 均为整数），则符合条件的所有整数m 的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知关于x 、y 的方程组31230ax y x y +=⎧⎨-=⎩的解为整数，且关于x 的不等式组2(1)534x x x a +<+⎧⎨>-⎩有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣63．若关于x ，y 的二元一次方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩的解满足68x y x y ->-⎧⎨+<⎩，求m 的取值范围______．4．已知关于x y 、的二元一次方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足x y >，且关于x 的不等式组212213147x ax +<⎧⎪-⎨≥⎪⎩无解，那么所有符合条件的整数a 的个数为________．【一览众山小】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组31234x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解满足x y ≥，且关于x 的不等式组212213105x ax +>⎧⎪-⎨≤⎪⎩有解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个．x y ≥，∴12-，不等式2．整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______．x ，y 是正整数，解不等式6有且仅有4m 252125m 是整数3．关于x 、y 的二元一次方程组21222x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩，求m 的取值范围．4．（1）利用数轴，确定不等式组的解集：273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②．（2）若关于x ，y 的二元一次方程组：23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足232x y x y ⎧+>-⎪⎨⎪-<⎩，求m 的整数值． ∴不等式组的解集是42x -<≤．5．已知关于x 、y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y ->⎧⎨-+≥-⎩，求整数k 的值．【答案】整数k 的值为1、2．【详解】解：213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩①②，①＋②得：5x −y ＝6k −1，①－②得：−x ＋3y ＝−4k ＋3，∵关于x 、y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y ->⎧⎨-+≥-⎩，6【温故为师】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．若整数a 使关于x 的不等式组125262x x x a ++⎧≤⎪⎨⎪->⎩至少有4个整数解，且使关于x ，y 的方程组206ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解为正整数，那么所有满足条件的整数a 的值的和是( )． A ．－3B ．－4C ．－10D ．－141256x a +>，22x x a >+，由不等式组至少有206ax y y +=+=又关于20ax y +=3．已知关于x ，y 的二元一次方程组21222x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩．(1)试求出m 的取值范围；(2)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2x ﹣mx ＜2﹣m 的解集为x ＞1．4．点(),P x y 满足525744x y ax y a +=⎧⎨+=⎩．（1）当1a =时，求P 点的坐标；（2）点(),P x y 的坐标满足不等式组259x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值之和．5．已知关于x 、y 的方程组212x y x y m +=⎧⎨-=⎩的解都小于1，若关于a 的不等式组1215231a n a ⎧+≥⎪⎨⎪-≥⎩恰好有三个整数解．（1）分别求出m 与n 的取值范围； （2）化简：|m +3|（5﹣n +2）÷3n+|．6．当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．（1）解关于x ，y 的二元一次方程组33522x y a x y a +=⎧⎨+=⎩， （2）若关于x ，y 的二元一次方程组：33522x y a x y a+=⎧⎨+=⎩的解满足不等式组246x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值． 7．已知a 是不等式组5131131722a a a a ⎧->+⎪⎨-<-⎪⎩的整数解，x ，y 满足方程组27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩，求(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)的值． 【答案】7【详解】解：解不等式①得：a ＞2解不等式②得：a ＜4∴不等式组的解集是：2＜a ＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为327234x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，∴（x +y ）（x 2-xy +y 2） =（-1+2）（1+2+4）=7．8．我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①240523x x -=⎧⎨-⎩＜；②5323233124x xx x--⎧=-⎪⎪⎨+-⎪-⎪⎩＜．（2）若关于x的组合515032xx aa+=⎧⎪⎨-⎪⎩＞是“有缘组合”，求a的取值范围；（3）若关于x的组合5323212a xx ax ax a-⎧-=-⎪⎪⎨-⎪+≤+⎪⎩是“无缘组合”；求a的取值范围．。

解：设可以安排成人 a 人，少年 b 人带队(a，b 均为整 数)，则 1≤a≤17，1≤b≤5. 当 10≤a≤17 时， (ⅰ)当 a＝10 时，100×10＋80b≤1 200，解得 b≤52，
∴b 最大值＝2，此时 a＋b＝12，费用为 1 160 元． (ⅱ)当 a＝11 时，100×11＋80b≤1 200，解得 b≤54， ∴b 最大值＝1，此时 a＋b＝12，费用为 1 180 元． (ⅲ)当 a≥12 时，100a≥1 200，即成人票至少需要 1 200 元，不合题意，舍去． 当 1≤a＜10 时， (ⅰ)当 a＝9 时，100×9＋80b＋60≤1 200，解得 b≤3，
(2)该公司准备用不超过300万元资金，采购A，B两种型号 的新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车 多少台？
解：设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能 源汽车(22－m)台，依题意得12m＋15(22－m)≤300， 解得m≥10. 答：最少需要采购A型新能源汽车10台．
4 【教材P125练习T2变式】【2021·长沙】为庆祝伟大的中 国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神， 某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德， 学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100 分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
解：设该参赛同学一共答对了x道题， 则答错了(25－1－x)道题， 依题意得：4x－(25－1－x)＝86，解得：x＝22. 答：该参赛同学一共答对了22道题．
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90 分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答 对多少道题才能被评为“学党史小达人”？