高二数学人教A必修5练习及解析：3-2 一元二次不等式及其解法
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高二数学人教A必修5第3章不等式
课时训练 一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式的解法
1.不等式-x2
-5x+6≤0的解集为( )
A.{x|x≥6或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1}
D.{x|x≤-6或x≥1}
答案:D
解析:由-x2
-5x+6≤0得x2
+5x-6≥0,
即(x+6)(x-1)≥0,
∴x≥1或x≤-6.
2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式2𝑥2
-5𝑥+5
>1
2的解集是 .
答案:{x|x<2或x>3}
解析:因为指数函数y=2x
是增函数,
所以2𝑥2
-5𝑥+5
>1
2化为x2
-5x+5>-1,
即x2
-5x+6>0,解得x<2或x>3.
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
3.解不等式:-2
-3x≤10.
解:原不等式等价于不等式组{𝑥2
-3𝑥>-2,
𝑥2
-3𝑥≤10,①
②
不等式①为x2
-3x+2>0,解得x>2或x<1.
不等式②为x2
-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].
二、三个二次之间的关系
4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2
+bx+2>0的解集是{𝑥|-1
2<𝑥<1
3},则a-b的值为( )
A.14 B.-14 C.10 D.-10
答案:
D 解析:不等式ax2
+bx+2>0的解集是{𝑥|-1
2<𝑥<1
3},可得-1
2,1
3是一元二次方程ax2
+bx+2=0的两个实
数根,
∴-1
2+1
3=-𝑏
𝑎,-1
2×1
3=2
𝑎,
解得a=-12,b=-2.
∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D.
5.如果ax2
+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2
+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系
是 .
答案:f(2)
解析:由ax2
+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax2
+bx+c=0的两实根,所以
{-2+4=-𝑏
𝑎,
-2×4=𝑐
𝑎,
可得{𝑏=-2𝑎,
𝑐=-8𝑎,
所以f(x)=ax2
-2ax-8a=a(x+2)(x-4).
因为a>0,所以f(x)的图象开口向上.
又对称轴方程为x=1,f(x)的大致图象如图所示,由图可得f(2)
6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x2
-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx2
-ax-1>0的解集
是 .
答案:(-1
2,-1
3)
解析:∵不等式x2
-ax-b<0的解集为(2,3),
∴一元二次方程x2
-ax-b=0的根为x
1=2,x
2=3.
根据根与系数的关系可得:{2+3=𝑎,
2×3=-𝑏,
所以a=5,b=-6.
不等式bx2
-ax-1>0,即不等式-6x2
-5x-1>0,
整理,得6x2
+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<
0, 解之得-1
2
3.
∴不等式bx2
-ax-1>0的解集是(-1
2,-1
3).
三、含参不等式的解法
7.不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1
𝑥-
1>1的解集为 .
答案:{x|x<-2或x>1}
解析:由已知不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1
∴a=2.
∴不等式𝑎𝑥+1
𝑥-
1>1可化为2𝑥+1
𝑥-
1>1,移项通分得𝑥+2
𝑥-
1>0,
∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.
∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.
8.解关于x的不等式2x2
+ax+2>0.
解:对于方程2x2
+ax+2=0,其判别式Δ=a2
-16=(a+4)(a-4).
①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2
+ax+2=0的两根为:
x
1=1
4(-a-√𝑎2-16),x
2=1
4(-a+√𝑎2-16).
∴原不等式的解集为
{𝑥|𝑥<1
4(-𝑎-√𝑎2-
16)或𝑥>1
4(-𝑎+√𝑎2-
16)}.
②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x
1=x
2=-1;
当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x
1=x
2=1.
∴原不等式的解集为{x|x≠±1}.
四、不等式恒成立问题
9.若一元二次不等式x2
-ax+1>0恒成立,则a的取值范围是 .
答案:-2
解析:由Δ=a2
-4<0,解得-2
10.已知关于x的不等式(m2
+4m-5)x2
-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当m2
+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;
(2)当m2
+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x恒为正数,
得{𝑚2
+4𝑚-5>0,
𝛥=16(𝑚-1)2
-12(𝑚2
+4𝑚-5)<0,
解得1
(建议用时:30分钟)
1.不等式-6x2
-x+2≤0的解集是( )
A.{𝑥|-2
3≤𝑥≤1
2}
B.{𝑥|𝑥≤-2
3,或𝑥≥1
2}
C.{𝑥|𝑥≥1
2}
D.{𝑥|𝑥≤-2
3}
答案:B
解析:原不等式等价于6x2
+x-2≥0.方程6x2
+x-2=0的两根为-2
3,1
2,可得原不等式的解集为{𝑥|𝑥≤-2
3,或
x≥1
2}.
2.函数y=√𝑥2-2𝑥-3+log
2(x+2)的定义域为 ( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.(-2,-1]
D.(-2,-1]∪[3,+∞)
答案:D
解析:要使函数有意义,x的取值需满足
{𝑥2-2𝑥-3≥0,
𝑥+2>0,
解得-2
3.已知0
𝑎)>0的解集为( )
A.{𝑥|𝑥<𝑎或𝑥>1
𝑎} B.{x|x>a}
C.{𝑥|𝑥<1
𝑎或𝑥>𝑎} D.{𝑥|𝑥<1
𝑎}
答案:A
解析:∵0
𝑎>1,即a<1
𝑎
, ∴不等式的解集为{𝑥|𝑥>1
𝑎或𝑥<𝑎}.
4.在R上定义运算|𝑎 𝑐
𝑏 𝑑|=ad-bc,若|𝑥 3
-𝑥 𝑥|<|2 0
1 2|成立,则x的取值范围是( )
A.{x|x<-4或x>1} B.{x|-4
C.{x|x<-1或x>4} D.{x|-1
答案:B
解析:由已知|𝑥 3
-𝑥 𝑥|=x2
+3x,|2 0
1 2|=4,
∴x2
+3x<4,即x2
+3x-4<0,解得-4
5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式𝑎𝑥+𝑏
𝑥-
2>0的解集为( )
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:B
解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且𝑏
𝑎=1,即a=b,所以关于x的不等式
𝑎𝑥+𝑏
𝑥-
2>0可化为𝑥+1
𝑥-
2>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).
6.已知二次方程ax2
+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2
-bx+c>0的解集是 .
答案:{x|x<-3或x>2}
解析:由题意知{-𝑏
𝑎=-2+3,
𝑐
𝑎=-2×3,∴b=-a,c=-6a.
∴不等式ax2
-bx+c>0,化为ax2
+ax-6a>0,
又∵a>0,∴x2
+x-6>0,而方程x2
+x-6=0的根为-3和2,
∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.
7.已知关于x的不等式x2
-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案:(0,8)
解析:由题意得,Δ=(-a)2
-4×2a<0.
即a2
-8a<0,∴0
8.设0≤α≤π,不等式8x2
-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是 .
答案:[0,π
6]∪[5π
6,2π]
解析:由已知不等式的解集为R,
