解不等式的几种常见思路

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浅谈不等式证明的几种常见方法

作者：钟毅

来源：《西部论丛》2018年第09期

内容摘 要：在当今的教育改革背景下，高中数学越来越重视技巧的归纳、总结与应用。不等式的证明是高中数学的重点、难点，也是将来学习高等数学的重要基础，为了能使证明过程有规律可循，本文主要从高中数学的角度，在相应的概念或预备知识的基础上，总结归纳出不等式的几种常见的证明方法，然后通过具体的应用实例体现其优越性.

关键词：不等式证明；常见方法；比较法；分析法；基本不等式法；导数法

引言 不等式的证明既是高中数学的重难点，也是将来学习高等数学的重要基础，不等式证明是一种技巧性都很强的题型，需要有较强的分析能力，严谨的逻辑推理能力. 由于不等式的多样性，故证明不等式，需要做到因题而异，应充分分析、判断一道不等式的条件特点，再选择适当的方法，才可以使问题迎刃而解.为此，在这里介绍几种常见方法及其适用范围.

本题的是用作差比较法思想，借助一个新构造的作差函数，并通过导数性质判断函数的单调性来证明构造函数的最大值是0，从而得出证明的结果，这种方法是用导数证明不等式最常用的方法.

综上所述，不等式证明作为高中数学的一个重、难点，同时也是历年高考中常见的题型之一，但在不同的条件下，不等式证明方法过程是有较大不同的，它需要我们具备严密的推理能力和较强的分析、解题能力，因此，在高中数学教学中，教师要特别注重引导学生锻炼分析和解决数学实际问题的能力，促使学生可以更好的掌握这一题型，从而全面提升学生的数学学习效果。 龙源期刊网

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构造数列证明不等式的几种思路

证明与自然数n有关的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法，但数学归纳法的证

明过程比较繁琐，而放缩法的技巧性很强，难度较大。如果抛开定势思维，根据命题的具

体结构与特点，构造数列来证明，可使证明过程思路清晰、可操作性强、简捷明快，收到

事半功倍的效果。本文谈谈运用构造法证明数列型不等式的几种思路。

证明：构造数列。

因为

所以数列为递增数列。因为

所以，当且仅当时等号成立。故原不等式成立。

二、作差法欲证，可转证数列是首项大于

例证明：令。则

所以数列

是递增数列。所以，故原不等式成立。

例证明：令，又且

，所以

在

上单调递减。所以，故原不等式成立。

三、作商法若，则欲证

，可转证数列是首项大于

例证明：设，则

。

即数列

是递增数列。所以，故原不等式成立。

例证明：设

，则。

。

所以数列

是递减数列，所以，故原不等式成立。

例证明：构造数列，则

。

所以数列

是递增数列，所以，故原不等式成立。

四、差分法

对于

“”

型不等式，令，若能

证明，则欲证明的不等式得证。这种思路朴素，可操作性强，对

于“和型”不等式，往往行之有效。

例证明：记数列的前当

时，。

又

。则数列

的每一项大于数列

的相应项，故大于数列

的前

五、商分法

对于

“”

型不等式，令，若能证

明，则欲证明的不等式得证。

例

证明：原不等式即。

记数列的前当时，

，

欲证

，只需证，即证，而这是明显

成立的。可见数列

的每一项均小于数列

的相应项，所以小于数列

的前

例证明：原不等式即。

记数列的前

当

因为

又

可见数列

的每一项均小于数列

的相应项，所以

小于数列的前

五、变换结论法

将结论适当变形，使不等式两边为“和”型或“积”型结构，然后依此利用“差分法”或“商

分法”构造数列，巧妙地解决原问题。

例 证明：要证，即证，

即证。

记数列的前下面只需证明 （当（当时，

。

综上，原不等式成立。

例

证明：要证

，只要证即可。

因为

构造数列。

又。

所以，当且仅当时取等号。

所以。

例

证明：从特殊值

要证即可。因为

。构造数列当时，（

当。故当时，

综上，（

1

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

2 （2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

初二数学不等式基本解法思路

不等式是数学中常见的一种方程形式，其解法与等式有所不同。在初二数学中，我们需要掌握不等式的基本解法思路，以便解决相关问题。

一、一元不等式的解法

1. 分情况讨论法：当不等式中存在绝对值、分式等复杂形式时，可以通过分情况讨论来解决问题。步骤如下：

- 首先，将不等式根据条件进行合理分组，得到多个可能的情况。

- 其次，针对每个情况，确定对应的条件，并解出相应的不等式。

- 最后，整合各个情况下的解集，得到最终的解集。

2. 提取公因式法：当不等式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式简化问题。步骤如下：

- 首先，观察不等式中的各项是否存在公因式。

- 其次，将公因式提取出来，使不等式变得更简单。

- 最后，解出简化后的不等式，并确定解集。

3. 线性不等式的解法：当不等式为一次方程时，我们可以使用线性不等式的解法来求解。步骤如下：

- 首先，将不等式转化为等式，得到一个一次方程。

- 其次，根据一次方程的解的性质，确定不等式的解集。 - 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。

二、二元不等式的解法

1. 图像法：当不等式中存在二元变量和图像的相关关系时，可以使用图像法解决问题。步骤如下：

- 首先，将不等式转化为图像，并观察图像的特点。

- 其次，根据图像的特点，确定不等式的解集。

- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。

2. 代入法：当不等式中存在二元变量时，可以使用代入法解决问题。步骤如下：

- 首先，先固定其中一个变量，将不等式化简为一元不等式。

- 其次，解出化简后的一元不等式，并得到相应的解集。

- 最后，根据不等式的要求，确定最终的解集。

三、综合运用不等式解题

在解决具体问题时，我们需要综合运用不等式的解法思路。具体步骤如下：

1. 首先，将问题中的条件和要求抽象成一个或多个不等式。