[方案]三角函数中的最大值与最小值

三角函数最值的求解策略

【高考地位】

三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

【方法点评】

方法一 化一法

使用情景：函数表达式形如 f (x) asin2 x bcos2 x csin xcos x d 类型

解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如

y

asin x bcosx c 形式；

第二步 利用辅助角公式asin x bcos x a 2 b2 sin(x ) 化为只含

有一个函数名的形式；

第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.

x4 xcos4 例1 已知函数

f

x在 x0 ，2 上的最 x，则 f

大值与最小值之差为 ．

【答案】3 3 s i n 2 2 s i n x

2x 6 6 , 76，即为换元思想，把2x 6 看作一个整体，利用 y sin x 的单调

性即可得出最值，这是解决 y asin x bsin x的常用做法．

【变式演练1】设当 x 时，函数 f (x) 2sin x cos x取得最大值，则

cos__________．

【变式演练2】已知函数 f (x) 4cosxsin(x ) 1(0) 的最小正周期是．

6

(1)求 f (x) 的单调递增区间；

3

(2)求 f (x) 在[ ， ]上的最大值和最小值． 【答案】 5

5 8 8

【答案】(1) 6 k,3 kk Z ； (2) 最大值2 、最小值 6 2 2

所以 f x在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .

三角函数的最大值与最小值

三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、天文、金融等领域。其中，最大值和最小值是三角函数研究中的重要概念之一，本文将介绍三角函数的最大值和最小值。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其定义如下：

$$\sin(x) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$

其中，$x$表示角度，$opposite$表示角度对边的长度，$hypotenuse$表示斜边的长度。

在一般情况下，正弦函数的值域为[-1,1]，即$\sin(x)\in[-1,1]$。因此，正弦函数的最小值为-1，最大值为1。

正切函数的定义域为除去$n\pi +\frac{\pi}{2}(n\in Z)$的所有实数，而对应的值域为实数集，即$\tan(x)\in R$。因此，正切函数没有最大值和最小值。

五、正割函数和余割函数的最大值和最小值

最后，介绍正割函数和余割函数的最大值和最小值。正割函数和余割函数分别定义如下：

综上所述，正弦函数和余弦函数的最大值和最小值分别为1和-1，而正切函数和余切函数没有最大值和最小值，正割函数和余割函数的最大值和最小值也是1和-1。这些概念在三角函数的研究中有着重要的应用。

三角函数的极值和最值问题

三角函数是数学中常见的一类函数，其在解决各种实际问题中起着重要的作用。本文将探讨三角函数的极值和最值问题，帮助我们更好地理解和应用这一概念。

一、极值问题的引入

在开始我们的讨论之前，我们首先来了解下什么是极值。在数学中，对于一个函数而言，当其在某个区间内取得最大值或最小值时，称该值为函数的极值。对于三角函数而言，我们主要关注的是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）在一定区间内的极值问题。

二、正弦函数的极值问题

正弦函数的图像是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，正弦函数的极大值为1，极小值为-1。当我们需要求解正弦函数的极值时，首先要找到其周期。

正弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]内，正弦函数呈现出一个完整的周期性。因此，在该区间内，我们可以找到无穷多个极大值和极小值，均为1和-1。

三、余弦函数的极值问题

余弦函数的图像也是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，余弦函数的极大值为1，极小值为-1。与正弦函数类似，我们需要先找到余弦函数的周期。 余弦函数的周期同样为2π，在这个区间内，余弦函数的极大值和极小值也为1和-1。因此，在[0, 2π]内，余弦函数也有无穷多个极大值和极小值。

四、正切函数的极值问题

正切函数的图像呈现出周期性，其周期为π，即在[0, π]、[π, 2π]、[2π, 3π]等区间内，正切函数的极值问题也呈现出周期性。

在每个π的区间内，正切函数的极值均为无穷大，其中极小值是负无穷，极大值是正无穷。所以，在正切函数的图像上，我们将无法找到具体的极值点。

五、总结与应用

通过以上的分析，我们可以得出以下结论：

1. 正弦函数和余弦函数在其周期内有无穷多个极值点，分别为1和-1。

2. 正切函数在其周期内没有具体的极值点。

在实际问题中，我们可以利用三角函数的极值和最值来解决一些优化问题。例如，在物理中，我们可以通过极值问题来求解质点的最大位移、速度或加速度等。在工程领域中，我们也可以利用三角函数的极值来求解最佳设计方案。

1三角函数

ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题

命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择

题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．

高频考法(1)ω取值与范围问题

(2)面积与周长的最值与范围问题

(3)长度的范围与最值问题

01ω取值与范围问题

1、f(x)=Asin(ωx+φ)在f(x)=Asin(ωx+φ)区间(a，b)内没有零点⇒b-a≤T

2

kπ≤aω+ϕ

kπ





⇒

b-a≤T

2

a≥kπ-ϕ

ω

b≤π+kπ-ϕ

ω











同理，f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内没有零点

⇒b-a≤T

2

kπ

kπ





⇒b-a

2

a>kπ-ϕ

ω

b

ω











2、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有3个零点

⇒T

kπ≤aω+ϕ

3π+kπ

⇒T

kπ-φ

ω≤a<(k+1)π-φ

ω

(k+3)π-φ

ω

ω











同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有2个零点

⇒T

2≤b-a<3T

2

kπ

2π+kπ≤bω+ϕ<3π+kπ





⇒T

2≤b-a<3T

2

kπ-φ

ω

ω

(k+2)π-φ

ω≤b<(k+3)π-φ

ω











3、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有n个零点

2⇒(n-1)T

2≤b-a<(n+1)T

2kπ-φ

ω≤a

ω

(k+n)π-φ

ω

ω







同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点

⇒(n-1)T

2≤b-a<(n+1)T

2kπ-φ

ω

ω

(k+n)π-φ

ω≤b<(k+n+1)π-φ

ω







4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+1

4T，则2n+1

4T=

(2n+1)π

2ω=b-a．

5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T

2.

1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π