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哈佛北大精英创立 1
专题4 函数的最大、最小值（教案）
前言：
一般地，设函数()yfx在0x处的函数值是0()fx，如果对于定义域内任意x，不等式0()()fxfx都成立，那么0()fx叫做函数()yfx的最小值，记作min0()yfx；如果对于定义域内任意x，不等式0()()fxfx都成立，那么0()fx叫做函数()yfx的最大值，记作max0()yfx。
一、专题知识
1. 基本公式
（1）二次函数2(0)yaxbxca
当0a时，当2bxa时，2min44acbya；
当0a时，当2bxa时，2max44acbya。
（2）若0,0ab，则2abab（当且仅当ab时，等号成立）
当ab为定值时，2max()2abab；
当ab为定值时，min()2abab。
2. 基本结论
一次函数12()(0)()fxkxbkxxx
当0k时，min1max2()(),()()fxfxfxfx；
当0k时，min2max1()(),()()fxfxfxfx。
二、例题分析
例题1 若0x，求函数21yxxx的最小值。
【解】将21yxxx配方得，
2221(1)11(1)1yxxxxxx
由于2(1)0x（当且仅当1x时，等号成立），
中小学个性化辅导 2 210xx（当且仅当1x时，等号成立）
所以当1x时，函数21yxxx的最小值为1
例题2 已知函数()1515fxxpxxp（其中15,015pxp），求函数()fx的最小值。
课 题： 3．8函数的最大值与最小值（一）
教学目的：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值
函数的最大值和最小值
3.8 函数的最大值和最小值（第1课时）
江西省临川第一中学游建龙
人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）
【教材分析】
本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用
本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质："如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值" ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．
高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.
【教学目标】
根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：
1．知识和技能目标
（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．
（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．
（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．
2．过程和方法目标
（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．
（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．
3．情感和价值目标
（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．
（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．
【教学重点、难点】
1．教学重点 基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：
二次函数最大值与最小值公式
二次函数最大值与最小值
二次函数，也称二次多项式，是一类在近几十年十分热门的函数，它的定义域是实数集，其表达式通常如下形式：
y=ax2+bx+c (a≠0)
又可以把这个函数写成如下形式：
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是二次函数的两个极值点，是它最大值或最小值取得条件。那么对这个函数，最大值和最小值的求法有如下数学表达式：
若a>0，函数在x1处取最小值ymin=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在x2处取最大值ymax=ax22-bx2-c。
若a<0，函数在x1处取最大值ymax=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在x2处取最小值ymin=ax22-bx2-c。
如果我们把上面的公式整理一下，就可以得到最大值与最小值的公式：
当a>0时，ymax=ax22-bx2-c ,ymin=ax12-bx1-c；
当a<0时，ymax=ax12-bx1-c ,ymin=ax22-bx2-c。
以上就是关于二次函数最大值与最小值的公式，它们可以通过这个公式计算出最大值或最小值的坐标点，也可以计算出函数的最大值或最小值的大小。在学习数学的过程中，计算这类函数最大最小值对于我们来说一定很有必要，常熟记此类公式，以便在需要的时候使用。
