北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案

1 北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案

(考试时间：120分钟 满分：120分)

第Ⅰ卷(选择题 共18分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( A )

A．对角线互相垂直 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．对角互补

2．下列命题中，错误的是( C )

A．平行四边形的对角线互相平分

B．菱形的对角线互相垂直平分

C．矩形的对角线相等且互相垂直平分

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O，C的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点B的坐标是( C )

A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)

第3题图 第4题图

4．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长是30 cm，则AB的长为( A )

A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm

5．若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两个邻角的度数比为( C )

A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1

6．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A )

A．1 B．2 C.2 D.3

第6题图 第7题图

第Ⅱ卷(非选择题 共102分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，AE交CD于F，则∠E＝__22.5°__.

8．矩形的两邻边长分别为3 cm和6 cm，则顺次连接各边中点，所得四边形的形状一定是 菱形 ，其面积是 9 cm2.

9．★如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是__4__.

2

第9题图 第10题图

10．如图所示，矩形中有两个相邻的正方形，面积分别是3和9，那么阴影部分的面积是__33－3__.

11．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝__7__，CD＝__5__.

第11题图 第12题图

12．★(徐州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝ 17 .

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13．(广州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.

∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.

∴△ABO是等边三角形，

∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，

即∠ABD＝60°.

14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE＝CF.

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴AC＝BD，则BO＝CO.

∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，

∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，

∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.

15．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.

3

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴BC＝DC，∠BCD＝90°，

∴∠BCE＝∠DCF＝90°.

在△BCE与△DCF中，BC＝DC，∠BCE＝∠DCF，CE＝CF，

∴△BCE≌△DCF.

16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED，求证：EF⊥BD.

证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴△ABC和△ADC都是直角三角形，

且有公共斜边AC.

又∵E是公共斜边AC的中点，

∴BE＝DE＝12AC.

又∵EF平分∠BED，∴EF⊥BD.

17．(广安中考)如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，

∴∠CBE＝∠CDF.∵CF⊥AD，CE⊥AB，

∴∠CFD＝∠CEB＝90°，

在△CEB和△CFD中，

∠CEB＝∠CFD，∠CBE＝∠CDF，CB＝CD，

4 ∴△CEB≌△CFD(AAS)，

∴DF＝BE.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18．(荆州中考)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.

(1)求证：△ACD≌△EDC；

(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．

(1)证明：∵△DCE是由△ABC平移而得到的，∴△DCE≌△ABC.

∵△ACD≌△CAB，∴△ACD≌△EDC；

(2)解：△BDE是等腰三角形．理由如下：

∵AC＝DE，AC＝DB，∴DE＝DB，

∴△BDE是等腰三角形．

19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G.

(1)求证：AE＝CF；

(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的度数．

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC.

∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.

∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.

在△AEB和△CFB中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，

∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.

(2)解：∠EGC＝80°.

20．(贺州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若CD＝3，BD＝25，求四边形ABCD的面积．

5

(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠CBD.

又∵AC⊥BD，AB＝AD，

∴BO＝DO(等腰三角形“三线合一”)．

在△AOD和△COB中，∠AOD＝∠COB，OB＝OD，∠ADO＝∠CBO.

∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝CO.

又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝12BD＝5.

在Rt△CDO中，OC＝CD2－OD2＝32－（5）2＝2，∴AC＝4.

∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12× 4× 25＝45.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．

(1)证明：连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.

由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.

又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO.

∴BE＝DF.又∵BE∥DF，

∴四边形BEDF是平行四边形．

(2)解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，

∴AC＝6，∴AO＝3，

∴在Rt△BAO中，BO＝5.

又∵四边形BEDF是矩形，

∴OE＝OB＝5，

∴点E在OA的延长线上，且AE＝2.

22．(杭州中考)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

6 (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

解：(1)关系：AG2＝GE2＋GF2.

理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，

∴点A，C关于对角线BD对称，

∵点G在BD上，∴GA＝GC，

∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，

∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，

∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，

在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，

∴AG2＝GF2＋GE2；

(2)作AM⊥BG于M，依题意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.

设GM＝x，则AM＝BM＝3x.

在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，

∴(3x)2＋(3x)2＝1，∴x＝66，

∴BG＝x＋3x＝66＋3× 66＝6＋326.

六、(本大题共12分)

23．(威海中考)如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.

(1)求证：AD＝AF；

(2)求证：BD＝EF；

(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.

∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，

∴∠ABF＝∠ACD.

∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.

在△ABF和△ACD中，

AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，

∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.

(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB＝∠DAC.

∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.