- 1 - 微分方程的齐次和非齐次
微分方程是数学中的一门重要学科，其中齐次方程和非齐次方程是非常基础的概念。所谓齐次方程，就是方程中没有常数项的微分方程，而非齐次方程则是常数项不为零的微分方程。
齐次方程具有很好的性质，比如它的解集合在一定条件下构成了一个向量空间。同时，它的求解方法也比较简单，可以通过变量分离、分离变量法等方式求解。
非齐次方程相对来说比较复杂，因为它的解不仅与自变量有关，还与常数项有关。在求解非齐次方程时，可以采用常数变易法、变量分离法、待定系数法等多种方法。
在实际应用中，微分方程的齐次和非齐次都有着广泛的应用。比如在物理中，很多现象都可以用微分方程来描述，如弹簧振动、自由落体等。而齐次方程和非齐次方程的求解方法也为解决这些问题提供了有效的工具。
常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法!
梁俊奇王庆东"商丘师范学院数学系#河南商丘#$%&’’’(
设二阶常系数非齐次线性微分方程)*+,)-+.)/0"1(对应的齐次方程的特征根为23#24#
0"1(连续5由韦达定理6,/7"23+24(#./2324从而)*+,)-+.)/0"1(可化为)*7"23+24()-+2324)/0"1(即")-723)(-724")-723)(/0"1(令)-723)/)3
则6)*+,)-+.)/0"1(8)-723)/)3)-3724)39:
;/0"1(即原方程可降阶为一阶线性微分方程5
解方程组得)/<231=)3<7231>1#)3/<241=0"1(<7241>1
所以#原二阶方程的通解为)/<231=<"24723(1?@=0"1(<7241>1A>1
由此得到6定理B若)*+,)-+.)/0"1(对应的齐次方程的特征根为23C24#则方程的通解为6
)/<231=<"24723(1?@=0"1(<7241>1A>1
当积分为可积时#可求得通解#但须进行二次积分5我们不妨利用该通解式#令积分常数均为
’#即得原方程的一个特解)’#然后根据非齐次方程的通解结构求出通解#这不仅推广了自由项的
形式#而且可避免待定系数法之繁琐5定理D若)*+,)-+.)/0"1(对应齐次方程特征根为23#24"3(23E24时#原方程特解
)’/324723@<241=<72410"1(>17<231=<72310"1(>1A"积分常数为’(
特别地#23E24且为共轭复数FGHI时
)’/17MNJH1=<7F10"1(JKLH1>1A"积分常数为’(
"4(23/24/2时#方程特解为积分常数取为’的)’
)’/<21@1=<7210"1(>17=1<7210"1(>1A
证明"3(由定理3#方程)*+,)-+.)/0"1(的通解)/<231=<"24723(1"=0"1(<7241>1(>1分部积
２０１１年５月 Ｍａｙ．２０１１ 华南师范大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＯＵＴＨ ＣＨＩＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ （ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥ ＥＤＩＴＩＯＮ） ２０１１年第２期 Ｎｏ．２，２０１１
文章编号：１０００—５４６３（２０１１）０２－００２０—０３
一类非齐次微分方程解的级与零点
蒋业阳，陈宗煊 （华南师范大学数学科学学院，广东广州５１０６３１）
摘要：在方程系数Ａ。的型起控制作用的条件下，研究了高阶非齐次线性微分方程 砷＋Ａ 一。（ｚ）ｆ“”＋…＋ 。（ ），＝ Ｆ（ｚ）解的增长性，得到了上述微分方程解的增长级和零点的一些精确估计． 关键词ｉ微分方程；型；超级；零点收敛指数 中图分类号：Ｏ１７４．５２ 文献标志码：Ａ
１ 引言与结果
本文使用值分布理论的标准记号，并用 （ ）和 ｒ（ ）分别表示亚纯函数ｆ（ｚ）的增长级和型，定 义 一 如下
ｌｉｒａ ： ．
如果 ｚ）是整函数，那么
∽： ，
ｒ（ ：ｌｉｍｌｏｇ Ｍ （ｒ，ｆ）一．
用 （ 表示亚纯函数 ）的超级，定义 。 如下
＝ ．
若 ｚ）是整函数，则还有
＝ 出 ． 用 ：（ 和 （，）分别表示，（ｚ）的零点（计及重数）
和不同零点（不计重数）的二级收敛指数，定义为
＝ ，
∽＝ 业 ． 关于高阶线性微分方程
’ ，‘ ＋Ａ 一１，‘ 一 ’十…＋Ａｏｆ＝ｏ， （１）
当方程的系数Ａｊ（ ＝０，１，…，ｋ一１）为整函数时，方
程（１）的每个解都是整函数．如果方程（１）的系数Ａ
收稿日期：２００９—０９—２９ 基金项目：国家自然科学基金项目（１０８７１０７６） ｝通讯作者，ｃｈｚｘ＠ｒｉｐ．ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ 的增长级起控制作用即满足ｏｒ（Ａ。）＞ｍ．ａｘ｛ｏｒ（Ａ ）， ＝１，…，ｋ一１｝，那么方程（１）的每个非零解 具有 无穷级，即 定理Ａ 假设Ａ０，Ａ 一，Ａ 足整函数，满足 条件ｍａｘ｛ｏ－（Ａ￣），Ｊ＝１，…，ｋ一１｝＜ｏｒ（Ａ０）＜ｏ。，习 么方程（１）的每个非零解厂满足 ：（ ＝ｏ－（Ａ。）． 当方程（１）的系数Ａ。的增长级不是唯一的最 大，但是Ａ。的型起控制作用时，仍有相同的结论： 定理Ｂ 假设Ａｏ，Ａ 一，Ａ㈧为有限级整函 数，Ａ。（ｚ）为超越整函数，满足条件：
２００７年第３１卷 第５期 中国石油大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｖ０１．３１ Ｎｏ．５ ０ｃｔ．２００７
文章编号：１６７３－５００５（２００７）０５－０１５１－０３
一类非齐次线性微分方程解的增长性
王赞春，张同对，吕巍然
（中国石油大学数学与计算科学学院，山东东营２５７０６１）
摘要：研究了一类非齐次微分方程 ＋ 一 ”＋…＋ａＪ～ｅ 一ａｏ）ｆ＝Ｆ（ｚ）解的增长性和不动点，所得结果推
广了杨连中、王瑁等的有关定理。 关键词：微分方程；整函数；增长级；超级 中图分类号：０ １７４．５ 文献标识码：Ａ
Ｇｒｏｗｔｈ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｎｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ＷＡＮＧ Ｚａｎ—ｃｈｕｎ，ＺＨＡＮＧ Ｔｏｎｇ－ｄｕｉ，ＬＵ Ｗｅｉ＇ｒａｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ， Ｄｏｎｇｆｉｎｇ ２５７０６１，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｒｏｗｔｈ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ／”＋口 一 一”＋…＋ａＪ一（ｅＱ“ 一口０），＝Ｆ（ｚ）ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｒｅ ｔｈｅ
ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ：ａｎｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｏｒ∽＝１ ｏｒ ｏｒ∽＝∞，ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｓｏｍｅ ｒｅｓＩｌｌｔｓ ｏｆ ＹＡＮＧ Ｌｉ－ ａｎｚｈｏｎｇ ａｎｄ ＷＡＮＧ Ｊｕｎ，ｅｔ ａ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｎｔｉｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｏｒｄｅｒ；ｈｙｐｅｒ ｏｒｄｅｒ
微分方程齐次和非齐次的区别
微分方程是数学中重要的分支，它解决了很多实际问题。微分方程被广泛应用于电子工程，物理学，化学等领域。微分方程分为齐次微分方程和非齐次微分方程这两种类型。齐次微分方程和非齐次微分方程主要不同在于它们的右端项（forcing）。
齐次微分方程
齐次微分方程是指如果方程中不存在右端项（forcing）或等于零。它们的形式可以表示为：
y’’(x) + p(x)y’(x) + q(x)y(x) = 0
这里的y是函数、p和q是x的函数、y„是y的二阶导数。
齐次微分方程中的“齐”意味着它们可以通过欧拉公式推导出一个特解。通过欧拉公式，我们可以用y=e^(mx)表示齐次微分方程的解，其中m是常数。齐次微分方程中的电路是线性的，因为如果在电路中添加更多的电阻和电源，那么齐次微分方程的形式将不会改变。
非齐次微分方程
非齐次微分方程是相反的：它们的右侧项存在或等于零。它们的形式可以表示为：
y’’(x) + p(x)y’(x) + q(x)y(x) = f(x) 这里的f是右侧项、x是独立变量。
右侧项f(x)是非齐次微分方程的核心区别。虽然这在数学上可能看起来很小，但在实际解决问题时通常很重要。在电路中，路径上的各种元素（比如，电源和电阻器）可以被认为是右侧项。
采用齐次微分方程的特解拓展原有的解(Y_homogenious)
为了解决非齐次微分方程，我们需要使用一种称为特解的方法，这个方法可以对给定的非齐次微分方程求解。特解是公式f(x)的一种解，它不是齐次微分方程（Y_homogenious )中的解。特解的形式取决于右侧项f(x)的类型。
对非齐次微分方程的解是特解与齐次微分方程的通解之和。这种方法称为叠加原理（superposition
principle)。因为非齐次微分方程的通解是特解与齐次微分方程解的和，所以我们必须首先解决齐次微分方程。
结论
我们在这篇文章中描述了微分方程的两种情况：齐次微分方程和非齐次微分方程。这两种微分方程的关键区别是右侧项是否存在。在电路中添加更多的电阻和电源，可以改变非齐次微分方程的形式。为了解决给定的非齐次微分方程，我们需要使用特解方法，特解的形式取决于右侧项f(x)的类型。因此，在解决微分方程时，准确理解齐次微分方程和非齐次微分方程的区别是非常重要的。
