非齐次线性微分方程的几种解法

摘要

我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，

目 录

摘要 ............................................................................................................................ 1 引言 ............................................................................................................................ 3

1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: ................................................................... 3

2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: ............................................................... 6

2.1常数变易法 ........................................................................................................................... 6

2.2待定系数法: ......................................................................................................................... 9

2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 ............................................................ 9

2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 ...................................................... 11

2.3拉普拉斯变换法 ................................................................................................................. 13

总结 .......................................................................................................................... 15

参考文选 .................................................................................................................. 16

致 谢 ...................................................................................................................... 17

引言

非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n阶线性齐次微分方程的一般理论:

()(1)11()()()()nnnnyaxyaxyaxyfx （1）

()(1)11()()()0nnnnyaxyaxyaxy （2）

定理1：设方程（2）有n个线性无关的解，这n个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过n个。

定理3：n阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n个解12,,,nyyy在其定义区间I上线性无关的充要条件是在I上存在点0x，使得它们的朗斯基行列式0()0Wx。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。下面我们研究几个例子。

例：方程2)(1220xyxyy的两个解是

121,ln121xxyxyx

 它的通解为

121ln121xxyCxCx

定理5：设12,,,nyyy是方程（2）的任意n个解。()Wx是它的朗斯基行列式，则对区间I上的任一0x有10()0()()xxptdtWxWxe（3）上述关系式称为刘维尔(Liouvlle)公式。

我们手上有了这个定理，以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特解。我们求了它的另一个解。

对于二阶齐次线性方程

()()0ypxyqxy

如果已知它的一个非零特解1y，依刘维尔公式（3），可用积分的方法求出与1y线性无关的另一个特解，从而可求出它的通解。

设y是已知二阶齐次方程一个解，根据公式（3）有

()11pxdsyyCeyy

或

()11pxdxyyyyCe

为了积分上面这个一阶线性方程，用211y乘上式两端，整理后可得

()211pxdxdyCedxyy

由此可得

()1211pxdxyCedxCyy

易见 ()1211pxdxyyedxy是已知方程的一个解，即 10,1CC

所对应的解。此外，由于

()110pxdxyyCeyy 所以，所求得的解1y是线性无罐解。从而，可得已知方程的通解

()1121211pxdxyCyCyey。 （4）

其中1C和C是任意常数。

例2:方程(1)0xyxyy的一个解是 1,yx 试求其通解。

解：容易看出，已知方程有特解

1,()1xyxpxx

根据公式（4）立刻可求得通解

()1121211pxdxyCyCyedyy

11221xdxxyCxCxedxx

11221dxdxxyCxCxedxx

ln(1)1221xxCxCxeedxx

122(1)xxCxCxedxx

12221xxeCxCxdxCxedxxx

1221xxeCxCxdxCxedxx

12211xxxeCxCxdxCxeedxxxx

1222xxxeeCxCxdxCeCxdxxx 12;xCxCe

 通解为

12xyCxCe

在这里我们不讨论三阶，四阶，n阶变系数线性非齐次微分方程。

根据定理3，我们的关键的要求试求线性非齐次微分方程的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了。

2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论:

定理6:n阶线性非齐次方程（1）的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。求对应齐次方程的通解的方法我们不能加强讨论。我们加强讨论的是它本身的一个特解。求特解的方法有下面的三种：

（1）常数变易法；

（2）待定系数法；

（3）拉普拉斯法;

下面我们介绍一下常数变易法。

2.1常数变易法

设12(),(),,()nxtxtxt为方程（2）的基本解组,

则方程（2）的通解为：

1122()()()()nnytCxtCxtCxt

现在设一组函数

12(),(),,()nCxCxCx，

使

1122()()()()()()()nnytCtxtCtxtCtxt

为（1）的一个特解。式中()iCt (1,2,,)in是待定系数。 ()(1,2,,)iCtin 满足以下代数方程组。

1122112222211221111122()()()()()()0()()()()()()0()()()()()()0()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtCtxtft

这个方程组的系数行列式是基本解组()(1,2,,)ixtin的朗斯基行列式，所以()(1,2,,iCtin由以上方程组唯一确定，通过求积分可得求()(1,2,,)iCtin的表达式，这种求解线性非齐次方程解的方法称为常数变易法。()()iiCxx , ()()iiCxxdx

例：求非齐次方程1cosyyx的通解。

解：知道对应齐次方程的基本解组

1cosyx，2sinyx

 对应齐次方程的通解为

12cossinycxcx

设方程的特解为

12()cos()sinycxxcxx

由关系式（5）12(),()CxCx满足方程组

1212()cos()sin01()sin()coscosCxxCxxCxxCxxx

解上述方程组，得