(完整版)函数的极值与最值练习题及答案

【巩固练习】

一、选择题

1．（2015 天津校级模拟）设函数2()lnfxxx，则（ ）

A.12x为()fx的极小值点 B. 2x为()fx的极大值点

C. 12x为()fx的极大值点 D.2x为()fx的极小值点

2．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则( )

A．a－2b＝0 B．2a－b＝0

C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0

3．函数y＝23x＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )

A．173 B．103 C．－4 D．643

4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )

A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点

B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点

C．x＝－1不是函数f(x)的极值点

D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点

5．（2015 金家庄区校级模拟）若函数32()132xafxxx 在区间1,43 上有极值点，则实数a的取值范围是（ ）

A.102,3 B. 102,3 C. 1017,34 D. 172,4

6．已知函数y=―x2―2x+3在区间[a，2]上的最大值为154，则a等于（ ）

A．32 B．12 C．12 D．12或32

7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )

A．－13 B．－15

C．10 D．15

二、填空题

8．函数y=x+2cosx在区间1[,1]2上的最大值是________ 。

9. 若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__ _。

10．f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时，tan x =

11．设函数3()31(R)fxaxxx，若对于任意x∈[－1，1]，都有()0fx成立，则实数a的值为________。 三、解答题

12．求下列函数的极值：

（1）49623xxxy；

（2）242xxy。

13．已知函数f（x）＝2 x 3－6 x2 ＋m在[－2，2]上有最大值3，试确定常数m，并求这个函数在闭区间上的最小值．

14．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1处的切线与x轴平行．

(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象与抛物线y＝32x2－15x＋3恰有三个不同交点，求b的取值范围．

15．(2014 北京)已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈[0，2π]

(1)求证：f(x)≤0；

(2)若bxxasin对2,0πx上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

【答案与解析】

1．【答案】D

【解析】'22212(),xfxxxx

当02x时，'()0fx；当2x时，'()0fx，

所以2x为()fx 的极小值点，故选：D。

2．【答案】D

【解析】 y′＝3ax2＋2bx，据题意，

0、13是方程3ax2＋2bx＝0的两根

∴－23ba＝13， ∴a＋2b＝0.

3. 【答案】A

【解析】 y′＝x2＋2x－3.

令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．

当x∈[0,1]时，y′<0.当x∈[1,2]时，y′>0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．

∴当x＝1时，ymin＝－173.

4．【答案】B

【解析】 x>－1时，f′(x)>0

X <－1时，f′(x)<0

∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．

5．

【答案】D

【解析】32()132xafxxx

'2()1,fxxax 210xax有两个解，则240;a

故22aa或;函数32()132xafxxx 在区间1,43 上有极值点可化为210xax在区间1,43 上有解，

① 当28a时，'(4)0f，即16410a，故17;4a 故1724a。

② 当8a时，''1(4)()03ff无解；

综上所述 ，1724a ，故选D。

6．【答案】C

【解析】'()22fxx。令'()0fx，得x=－1。 当a≤―1时，最大值为4，不合题意；

当―1＜a＜2时，()fx在[a，2]上是减函数，()fa最大，215234aa，12a，32a（舍）。

7. 【答案】A

【解析】 求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.

8． 【答案】36

【解析】 ∵'12sinyx，由'06yx

时当1,26x时，y＇＞0，当,16x时，y＇＜0。

∴当6x时，max36y

9． 【答案】a>2或a<-1

【解析】2()363(2),fxxaxa

∵f(x) 既有极大值又有极小值 , 2363(2)xaxa＝0有两个不同的解。

10．【答案】43

【解析】f′（x）=3cosx－4sinx=0 tanx=43，f(x)在tanx=43时取得最大值，即填43。

11．【答案】4

【解析】 若x=0，则不论a取何值，()0fx显然成立；

当x＞0，且x∈[－1，1]，即x∈（0，1]时，3()310fxaxx可化为2331axx，

设2331()gxxx，则43(12)'()xgxx。

所以，()gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减。

因此，max1()42gxg，从而a≥4； 当x＜0且x∈[－1，1]，即x∈[―1，0）时，

3()310fxaxx可化为2331axx，

()gx在区间[―1，0）上单调递增，因此min()(1)4gxg，从而a≤4，综上可知a=4。

12．【解析】

（1）0)1(fy极大值，4)3(fy极小值。

（2）提示：)1)(1(444'3xxxxxy。

令y′=0，得11x，02x，13x，当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

由上表可知：

1)1()1(ffy极大值，0)0(fy极小值。

13. 【解析】

f′(x)＝6 x（x －2）

则 x ＝0或x ＝2，又有区间端点x ＝－2

f（0）＝m f（－2）＝－40＋m，

f（2）＝－8＋m，

∴ f（0）＝m为最大值

∴ m ＝3

最小值为f（－2）＝－37．

14. 【解析】

(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，

由f′(－1)＝0，解得a＝－9.

则f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，

故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,3)．

(2)令g(x)＝f(x)－23(153)2xx＝x3－92x2＋6x＋b－3，

则原题意等价于g(x)＝0有三个不同的根．

∵g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，

∴g(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．

则g(x)的极小值为g(2)＝b－1<0，

且g(x)的极大值为g(1)＝b－12>0， 解得12

∴b的取值范围1(,1)2.

15．【解析】

(1)由f(x)＝xcosx－sinx得，f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，

此在区间2,0π上f′(x)＝－xsinx＜0，

所以f(x)在区间2,0π上单调递减，

从而f(x)≤f(0)＝0．

(2)当x＞0时，“axxsin”等价于“sinx－ax＞0”，“bxxsin”等价于“sinx－bx＜0”

令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c，

当c≤0时，g(x)＞0对x∈(0，2π)上恒成立，

当c≥1时，因为对任意x∈(0，2π)，g′(x)＝cosx－c＜0，

所以g(x)在区间[0，2π]上单调递减，

从而，g(x)＜g(0)＝0对任意x∈(0，2π)恒成立，

当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈(0，2π)使得g′(x0)＝cosx0－c＝0，

g(x)与g′(x)在区间(0，2π)上的情况如下：

x (0，x0) x0

0(,)2x

g′(x) ＋ －

g(x) ↑ ↓

因为g(x)在区间(0，x0)上是增函数，

所以g(x0)＞g(0)＝0进一步g(x)＞0对任意x∈(0，2π)恒成立，