新火线100天中考数学专题复习：图形操作问题(含答案解析)

几何图形中的动点问题(2013·某某)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，动点M 、N 从点C 同时出发，均以每秒1 cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A 、B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2 cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM 、PN ，设移动时间为t(单位：秒)．(1)当t 为何值时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似？(2)是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)根据勾股定理求得AB ＝5 cm ，分类讨论：△AMP ∽△ABC 和△APM ∽△ABC 两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值．(2)过点P 作PH ⊥BC 于点H ，由平行线分线段成比例求得用t 表示的PH 的值；然后根据“S ＝S △ABC －S △BPN ”列出S 与t 的关系式，再由二次函数最值的求法即可得到S 的最小值．【解答】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，∴根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm.以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时， AP AC ＝AM AB ，即5－2t 4＝4－t 5，解得t ＝32； ②当△APM ∽△ABC 时， AM AC ＝AP AB ，即4－t 4＝5－2t 5，解得t ＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t ＝32时，以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似． (2)存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．过点P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ∥AC ，∴PH AC ＝BP BA ，即PH 4＝2t 5. ∴PH ＝85t. ∴S ＝S △ABC －S △BPN＝12×3×4－12×(3－t)·85t ＝45(t －32)2＋215(0<t<2.5)． ∵45>0， ∴S 有最小值．当t ＝32时，S 最小值＝215. 综上所述：当t ＝32时，四边形APNC 的面积S 有最小值，最小值是215.某某中考所考的图形动点问题，均是双动点问题，解决此类点运动引起几何图形变化的问题可以从以下方面入手：①若设问为“当t 为何值时，某某结论是否成立”或设问为“是否存在某一时刻t ，使结论成立”时，一般是先假设结论成立，然后通过四边形的性质或相似三角形的性质或全等三角形的性质等知识列出关于t 的方程，方程有解且求出的t 值符合实际意义时，结论成立，否则结论不成立；②若涉及求最值问题，如面积最值，周长最值时，则需将所求最值用含变量的关系式表示出来，列出函数关系式，利用函数的图象性质来解决．1．(2015·某某)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD ＝3.(1)求MP 的值；(2)在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合，当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？(3)若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ ，求最小周长值．(计算结果保留根号)2．(2014·某某)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P，请你写出AE 与DF的关系，并说明理由；(2)如图2，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图4，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值．3．(2014·某某)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．4．(2015·某某)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝________cm，DC＝________cm；(2)点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动．连接MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．(参考数据：sin 75°＝6＋24，sin15°＝6－2 4)参考答案1．(1)由折叠的性质可知PH＝PD＝3，MH＝CD＝4，∠MHP＝90°，∴MP＝32＋42＝5.(2)作点M关于AB所在直线的对称点M′，连M′E与AB交于点F，此时△MEF的周长最小．AM′＝AM＝12－3－5＝4.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC.∴∠MPE＝∠CEP.又由折叠的性质可知CE＝ME，∠CEP＝∠MEP.∴∠MPE＝∠MEP.∴ME＝MP＝5.∴EC＝5.∴BE＝7.∵AM∥BC，∴AM′BE＝AFBF，即47＝AF4－AF.解得AF ＝1611. ∴当AF 等于1611时，△MEF 的周长最小． (3)在(2)的基础上作M′N 平行且等于GQ ，连接NE 交于AB 点Q ，连接M′G.此时四边形MEQG 的周长最小，最小周长为ME ＋GQ ＋NE.延长M′N 与CB 的延长线交于点L.EL ＝BE ＋BL ＝11，NL ＝2.∴NE＝112＋22＝5 5.∴ME ＋GQ ＋NE ＝5＋2＋55＝7＋5 5.∴最小周长为7＋5 5.2．(1)AE ＝DF ，AE ⊥DF.理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠ADC ＝∠C＝90°.∵DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF(SAS)．∴AE＝DF ，∠DAE ＝∠CDF.又∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE ＋∠ADF＝90°.∴AE ⊥DF.(2)是．(3)成立．理由：由(1)同理可证，AE ＝DF ，∠DAE ＝∠CDF.延长FD 交AE 于点G ，则∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠ADG ＋∠DAE＝90°，∴∠AGD ＝90°.∴AE ⊥DF.(4)由于点P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，如图所示．设AD 的中点为O ，连接OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小．在Rt △ODC 中，OC ＝CD 2＋OD 2＝22＋12＝ 5.∴CP ＝OC －OP ＝5－1.3．(1)由题意，得BP ＝5t cm ，QC ＝4t cm ，AB ＝BC 2＋AC 2＝10 cm.①当△BPQ∽△BAC 时，∴BP BA ＝BQ BC. ∴5t 10＝8－4t 8， ∴t ＝1；②当△BPQ∽△BCA 时，∴BP BC ＝BQ BA， ∴5t 8＝8－4t 10， ∴t ＝3241. ∴若△BPQ 与△ABC 相似，则t ＝1或t ＝3241. (2)过P 作PM⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM，且∠ACQ＝∠PMC＝90°.∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP.∴68－4t ＝4t 3t ，解得t ＝78.(3)证明：如图3，仍有PM⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∵∠ACB ＝90°，∴DF 为梯形PECQ 的中位线， ∴DF ＝PE ＋QC 2. ∵QC ＝4t ，PE ＝8－BM ＝8－4t ，∴DF ＝8－4t ＋4t 2＝4. ∵BC＝8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，∴RC ＝DF ＝4成立，∴D 在过R 的中位线上，∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．4．(1)2 6 2 2(2)过点N 作NE⊥AD 于E ，作NF⊥DC 延长线于F ，则NE ＝DF.∵∠ACD＝60°，∠ACB ＝45°，∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°.∵sin 15°＝FC NC ，NC ＝x ，sin 15°＝6－24， ∴FC ＝6－24x.∴NE ＝DF ＝6－24x ＋2 2. ∴点N 到AD 的距离为(6－24x ＋22)cm. (3)∵NC＝x ，sin 75°＝FN NC ，且sin 75°＝6＋24， ∴FN ＝(6＋24x)cm. ∵PD ＝CP ＝ 2 cm ，∴PF ＝(6－24x ＋2)cm. ∴y ＝12(6＋24x ＋26－x)(6－24x ＋22)－12(26－x)×2－12(6－24x ＋2)(6＋24x)．即y ＝2－68x 2＋7－3－224x ＋2 3. ∴当x ＝－7－3－2242×（2－6）8＝7－3－226－2时， y 有最大值为2－68x 2＋7－3－224x ＋2 3 ＝2－68×(7－3－226－2)2＋7－3－224×7－3－226－2＋2 3 ＝（7－3－22）28（6－2）＋2 3＝60＋46－143－2828（6－2）＋2 3 ＝66＋73－102－3042－46(cm)．。

三角形、四边形的证明与计算纵观某某近几年的中考，全等三角形的判定与性质单独考查得比较少，且考查的难度比较基础，但全等三角形的判定与性质常与四边形综合起来考查．常考的问题有证明三角形全等或者通过三角形全等去证明线段相等或者求角度问题、证明四边形是平行四边形、矩形、菱形等，解决这类题型不仅要熟练掌握四边形的有关知识，还要掌握不同知识之间的综合应用．类型1 全等三角形的判定与性质1．如图所示，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．(1)图中有哪几对全等三角形？请写出来；(2)试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．2．如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：tanA＝________，AC＝________(结果保留根号)；(2)请你在图中找出一点D(仅一个点即可)，连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．类型2 三角形、四边形的综合证明与计算(2014·某某)如图1，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，在CD 边上取点P 使CP ＝BM ，连接NP ，BP.(1)求证：四边形BMNP 是平行四边形；(2)如图2，线段MN 与CD 交于点Q ，连接AQ ，若△MCQ ∽△AMQ ，则BM 与MC 存在怎样的数量关系？请说明理由．【思路点拨】 (1)根据正方形的性质可得AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，然后利用“边角边”证明△ABM 和△BCP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP ，再求出AM ⊥BP ，从而得到MN ∥BP ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)根据同角的余角相等求出∠BAM ＝∠CMQ ，然后得出△ABM 和△MCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AB MC ＝AM MQ，再求出△AMQ ∽△ABM ，根据相似三角形对应边成比例可得AB BM ＝AM MQ ，从而得到AB MC ＝AB BM，即可得解． 【解答】 (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C.在△ABM 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BM ＝CP ，∴△ABM ≌△BCP(SAS)．∴AM ＝BP ，∠BAM ＝∠CBP.∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∴∠CBP ＋∠AMB ＝90°.∴AM ⊥BP.∵线段AM 绕M 顺时针旋转90°得到线段MN ，∴AM ⊥MN ，且AM ＝MN.∴MN ∥BP ，MN ＝BP.∴四边形BMNP 是平行四边形．(2)BM ＝MC.理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90°，∠AMB ＋∠CMQ ＝90°，∴∠BAM ＝∠CMQ.又∵∠ABC ＝∠C ＝90°，∴△ABM ∽△MCQ.∴AB MC ＝AM MQ. ∵△MCQ ∽△AMQ ，∴△AMQ ∽△ABM.∴AM MQ ＝AB BM . ∴AB MC ＝AB BM. ∴BM ＝MC.本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．(1)求出两个三角形全等是解题的关键；(2)根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM 是解题的关键．1．(2015·某某)如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AD 的两侧，且AE ＝DF ，∠A ＝∠D，AB ＝DC.(1)求证：四边形BFCE 是平行四边形；(2)若AD ＝10，DC ＝3，∠EBD ＝60°，则BE ＝________时，四边形BFCE 是菱形．2．(2015·某某)如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，DC 上，且ED⊥DB，FB ⊥BD.(1)求证：△AED≌△CFB；(2)若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF.3．(2015·某某)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．4．(2014·某某)如图1，E 是正方形ABCD 的边BC 上的一个点(E 与B 、C 两点不重合)，过点E 作射线EP⊥AE，在射线EP 上截取线段EF ，使得EF ＝AE ；过点F 作FG⊥BC 交BC 的延长线于点G.(1)求证：FG ＝BE ；(2)连接CF ，如图2，求证：CF 平分∠DCG；(3)当BE BC ＝34时，求sin ∠CFE 的值．类型3 动点问题中三角形与四边形的有关证明与计算1．已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别是OB ，OC 上的动点．(1)如果动点E，F满足BE＝CF(如图1)．①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形(不得添加辅助线)；②证明：AE⊥BF；(2)如果动点E，F满足BE＝OF(如图2)，问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．2．(2015·某某)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P 从点A出发以2 cm/s的速度沿A D C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．(1)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(2)从运动开始，当t 取何值时，△PQC 为直角三角形？参考答案类型1 1．(1)△ABC≌△BAD，△AOE ≌△BOE ，△AOC ≌△BOD. (2)OE⊥AB.证明：在△ABC 和△BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠BAC ＝∠ABD＝90°，AB ＝BA ，∴△ABC ≌△BAD(SAS)．∴∠DAB＝∠CBA.∴OA＝OB.又∵点E 是AB 的中点，∴OE ⊥AB.2.(1)122 5 (2)图中找出一点D ，连接DE 、DF ，△ABC ≌△EFD ，如图所示．证明：过D 作DM⊥EF，交EF 延长线于点M.在Rt △EMD 中，EM ＝4，MD ＝2，根据勾股定理，得ED ＝42＋22＝25，在Rt △FDM 中，FM ＝2，MD ＝2，根据勾股定理，得FD ＝22＋22＝22，同理，根据勾股定理得BC ＝2 2.在△ABC 和△EFD 中，⎩⎨⎧AB ＝EF ＝2，BC ＝FD ＝22，AC ＝ED ＝25，∴△ABC ≌△EFD(SSS)． 类型21．(1)证明：∵AB＝DC ，∴AB ＋BC ＝DC ＋BC ，即AC ＝DB.在△AEC 和△DFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DB ，∠A ＝∠D，AE ＝DF ，∴△AEC ≌△DFB(SAS)．∴EC＝BF ，∠ACE ＝∠DBF.∴EC∥BF.∴四边形BFCE 是平行四边形．(2)当四边形BFCE 是菱形时，BE ＝CE ，∵AD ＝10，DC ＝3，AB ＝CD ＝3，∴BC ＝10－3－3＝4. ∵∠E BD ＝60°，∴△EBC 为等边三角形．∴BE＝BC ＝4.∴当BE ＝4时，四边形BFCE 是菱形．2.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，∠A ＝∠C，AD ∥CB.∴∠ADB ＝∠CBD. ∵ED⊥DB，FB ⊥BD ，∴∠EDB ＝∠FBD＝90°.∴∠ADE ＝∠CBF.在△AED 和△CFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE＝∠CBF，AD ＝CB ，∠A ＝∠C，∴△AED ≌△CFB(ASA)．(2)过点D 作DH⊥AB，垂足为H ，在Rt △ADH 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2DH.在Rt △DEB 中，∠DEB ＝45°，∴EB ＝2DH.∴AD＝EB.∵∠EDB＝∠FBD＝90°，∴ED ∥BF.又∵△AED≌△CFB，∴ED ＝FB.∴四边形EBFD 为平行四边形．∴FD＝EB.∴DA＝DF.3.(1)解法一：∵△CDQ≌△CPQ ，∴CP ＝CD ＝5.在Rt △CBP 中，PB ＝CP 2－BC 2＝4，AP ＝5－4＝1.又∠CPQ＝90°，∴∠QPA ＋∠CPB＝90°.∵∠PQA ＋∠QPA＝90°，∴∠PQA ＝∠CPB.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△QAP ∽△PBC.∴AQ AP ＝PB BC .∴AQ ＝43. 解法二：∵△CDQ≌△CPQ，∴CP ＝CD ＝5.在Rt △CBP 中，PB ＝CP 2－BC 2＝4，故AP ＝5－4＝1.设AQ ＝x ，则PQ ＝QD ＝3－x.在Rt △QAP 中，QP 2＝QA 2＋AP 2.即(3－x)2＝x 2＋1，∴x ＝43，∴AQ ＝43. (2)解法一：由题意MD ，MP 分别是Rt △CDQ 与Rt △CPQ 共同斜边CQ 的中线，∴MD ＝MC ＝MP ＝MQ.∴∠DMQ＝2∠DCQ，∠PMQ ＝2∠PCQ.∴∠DMQ＋∠PMQ＝2(∠DCQ＋∠PCQ)．∴∠DCQ＋∠PCQ＝12(∠DMQ＋∠PMQ)＝45°. ∴∠PCB ＝90°－45°＝45°.∴PB ＝BC ＝3，∠APQ ＝45°.∴AQ ＝AP ＝5－3＝2.解法二：由题意MD ，MP 分别是Rt △CDQ 与Rt △CPQ 共同斜边CQ 的中线，∴MD ＝MC ＝MP ＝MQ.∴∠QDM＝∠DQM，∠MQP ＝∠MPQ.又∠DMQ＋∠PMQ＝90°， ∴∠QDM ＋∠DQM＋∠MQP＋∠MPQ＝360°－90°＝270°.∴∠DQM ＋∠MQP＝135°，∠AQP ＝180°－135°＝45°.又∠CPB＝180°－90°－45°＝45°，∴△QAP 与△PBC 均是等腰直角三角形．∴PB＝BC ＝3，AQ ＝AP ＝5－3＝2.4.(1)证明：∵EP⊥AE，∴∠AEB ＋∠GEF＝90°.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∴∠AEB ＋∠BAE＝90°.∴∠GEF ＝∠BAE.∵FG⊥BC，∴∠ABE ＝∠EGF＝90°.在△ABE 与△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠EGF，∠BAE ＝∠GEF，AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EGF.∴FG ＝BE.(2)证明：由(1)可得BC ＝AB ＝EG ，∴BC －EC ＝EG －EC ，即BE ＝CG.∵△ABE≌△EGF，∴FG ＝BE.∴FG＝CG.∵∠CGF＝90°，∴∠FCG ＝45°＝12∠DCG. ∴CF 平分∠DCG.(3)过点C 作CH⊥EF 于H ，则△EHC∽△EGF，∴HC GF ＝EC EF .∵BE BC ＝34，令BE ＝3a ，则BC ＝4a ，EC ＝a ，EG ＝4a ，FG ＝CG ＝3a ， ∴EF ＝5a ，CF ＝32a.∴HC 3a ＝a 5a ，HC ＝35a.∴sin ∠CFE ＝HC CF ＝210. 类型31．(1)①△ABE≌△BCF，△AOE ≌△BOF ，△ABF ≌△DAE.②证明：延长AE 交BF 于M.根据正方形的性质得AB ＝BC ，OB ＝OC ，∠ABE ＝∠BCF＝45°，在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF＝45°，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)．∴∠BAE＝∠CBF.∴∠AMF＝∠BAE＋∠ABM＝∠CBF＋∠ABM＝90°，即AE⊥BF.(2)点E 为BO 的中点．理由：延长AE 交BF 于M.∵∠BME＝∠AOE＝90°，∠BEM ＝∠AEO，∴△BEM ∽△AEO.∴EM EO ＝BM AO ，即AO ＝EO·BM EM.∵∠MBE ＝∠OBF，∠BME ＝∠BOF＝90°， ∴△BEM ∽△BFO.∴BM BO ＝EM FO ，即BO ＝BM·OF EM. ∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∴OE ＝OF.又∵BE＝OF ，∴BE ＝EO.∴当AE⊥BF 时，点E 为BO 的中点．2.(1)当PQ∥CD 时，四边形PDCQ 是平行四边形，此时PD ＝QC ，∴12－2t ＝t ，∴t ＝4 s ．∴当t ＝4 s 时，PQ ∥CD.(2)过点P 作PE⊥BC 于E ，过点D 作DF⊥BC 于F ，∴DF ＝PE ＝AB ＝8 cm.FC ＝BC －BF ＝BC －AD ＝18－12＝6(cm)．①当PQ⊥BC 时，则BE ＋CE ＝18，即2t ＋t ＝18，∴t ＝6；∴P 刚好运动到D 点，C 运动到F 点时，△PQC 为直角三角形．∴P 在CD 段运动时不可能出现PQ⊥BC.word 11 / 11 ②当QP⊥PC 时，∵DF ＝AB ＝8 cm ，CF ＝18－12＝6(cm)，∴CD ＝DF 2＋CF 2＝10 cm ，易知点P 在DC 上，此时有△CPQ∽△CFD. ∴CP CQ ＝CF CD ，即22－2t t ＝610.解得t ＝11013. ③当PC⊥BC 时，∵∠DCB<90°，∴此种情形不存在．∴当t ＝6 s 或11013s 时，△PQC 是直角三角形．。

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∵O 是 AC 的中点，
∴AO＝ 3.
1
3
在 Rt△AOD 中，∵∠ A＝ 30°，∴ OD＝ 2AO＝ 2 ，
∴AD＝
AO2
－
OD2＝
3 2.
(2)当 α＝90°时，四边形 EDBC 是菱形．理由如下： ∵α ＝∠ACB＝90°，∴ BC∥ED.
∵CE∥AB，∴四边形 EDBC 是平行四边形．
【解析】 ∵ DE 为△ABC 的中位线，∴ DE∥BC，∴∠ ADE＝50°.由折叠的 性质，得 ∠A1DE＝ ∠ ADE＝ 50° .∴∠ BDA1＝ 180°－ ∠ADE － ∠A1DE＝ 180°－ 50°－50°＝ 80°.
(第 7 题) 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示的方法 将△ BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 C′处，则折痕 BD 的长为 3 5． 【解析】 易得 AB＝10，BC′＝ 6，∴AC′＝ 4.设 CD＝x，则 C′D＝x，AD ＝ 8－ x， ∴x2＋ 42＝(8－x)2，解得 x＝3， ∴BD＝ 62＋ 32＝3 5.
C．3
D．4
(第 3 题解① ) 【解析】 ①把 △ADE 绕点 E 旋转 180°，即可构成邻边不等的矩形， 如解图 ①. 理由： ∵∠ B＝ 60°，∴ AC＝ 3BC，
3 ∴CD＝ 2 BC≠BC. ②把 △ADE 以 AD 为对称轴作轴对称变换， 再向下平移 DC 的长度， 即可构 成等腰梯形，如解图 ②.
3 AM 即15＝22.5，∴ AM＝4.5， ∴MN＝ 22.5－4.5＝18， 18÷3＝6，即这张正方形纸条是第 6 张． 二、填空题

图形的初步认识与三角形(B卷)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1.已知∠α＝32°，求∠α的补角为( )A.58°B.68°C.148°D.168°2.(滚动考查实数的有关性质)下面说法中，不正确的是( )A.绝对值最小的实数是0B.立方根最小的实数是0C.平方最小的实数是0D.算术平方根最小的实数是03.(滚动考查一元二次方程的解法)方程x2-3x=0的解为( )A.x=0B.x=3C.x1=0，x2=-3D.x1=0，x2=34.(2014·襄阳)如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于( )A.35°B.45°C.55°D.65°5.如图，在不添加任何辅助线的条件下，不能证明△ABD≌△ACD的是条件( )A.∠B=∠C，BD=DCB.∠ADB=∠ADC，BD=DCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.BD=DC，AB=AC6.如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4 cm，则△ABD的周长是( )A.22 cmB.20 cmC.18 cmD.15 cm7.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )8.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A.90B.100C.110D.121二、填空题(每小题4分，共24分)9.如图,△ABC中，∠A=90°,点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为 .10.如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE为5 m，小明的眼睛距地面的距离AB为1.5 m，那么这棵树高是 m(可用计算器，精确到0.01).11.如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 度.12.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，那么AE＝ cm.13.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 .14.(滚动考查一次函数性质)在直线y=12x+1上，且到坐标轴距离为2的点的坐标是 .三、解答题(共44分)15.(6分)(兼顾考查锐角三角函数值和实数的运算)计算：4cos45°π0+(-1)2.16.(6分)在正方形网格图1、图2中各画一个等腰三角形.要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、E、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等.17.(10分)如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数.18.(10分)(兼顾考查解直角三角形的应用和一元一次方程的应用)(2014·河南)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈ 1.7)19.(12分)感知：如图1，在菱形ABCD中，AB=BD，点E,F分别在边AB,AD上.若AE=DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如图2，在菱形ABCD中，AB=BD，点E,F分别在BA，AD的延长线上.若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由.拓展：如图3，在□ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E，F分别在OA，AD的延长线上.若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数.参考答案1.C2.B3.D4.A5.A6.A7.C8.C9.65° 10.4.39 11.360 12.3 13.214.(2,2)、(-2,0)、(-6,-2)15.原式=4×216.以下答案仅供参考：17.(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝AC. 在△ABE 和△CAD 中，∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ，AE ＝CD, ∴△ABE ≌△CAD.(2)∵△ABE ≌△CAD ，∴∠ABE ＝∠CAD. ∵∠BFD ＝∠ABE ＋∠BAD ，∴∠BFD ＝∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAC ＝60°.18.过点C 作CD ⊥AB,交BA 的延长线于点D.则AD 即为潜艇C 的下潜深度.根据题意得∠ACD=30°，∠BCD=68°. 设AD=x.则BD ＝BA 十AD=1 000+x.在Rt △ACD 中，CD=ADtan ACD ∠= 30x tan ︒在Rt △BCD 中，BD=CD ·tan68°.∴·tan68°, ∴-1≈ 1 0001.7 2.5⨯-1≈308,∴潜艇C 离开海平面的下潜深度约为308米.19.探究：△ADE 和△DBF 全等. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD. 又∵AB=BD ，∴AB=AD=BD, ∴△ABD 为等边三角形,∴∠DAB=∠ADB=60°,∴∠EAD=∠FDB=120°. ∵AE=DF ，∴△ADE ≌△DBF.拓展：∵点O 在AD 的垂直平分线上，∴OA=OD, ∴∠DAO=∠ADB=50°,∴∠EAD=∠FDB. ∵AE=DF ，AD=DB ，∴△ADE ≌△DBF,∴∠DEA=∠AFB=32°.又∵∠DAO=∠ADE+∠DEA,∴∠ADE=∠DAO-∠DEA,∴∠ADE=18°.。