14第十一讲--数的整除特征-(奥数班)

第6讲：能被11整除的数的特征（含答案）

这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：

能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1 判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：

（1）41873； （2）296738185。 小学数学四年级奥数讲与练 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11

=7÷11＝0……7，

所以41873除以11的余数是7。

（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

（17+11×2）-32＝7，

所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。

例3 求除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

第1讲 数的整除

一、 知识点

1. 整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。

2. 数的整除特征

（1） 一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。

（2） 一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。

（3） 一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。

（4） 一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5） 一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

（6） |

（7） 一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。

（8） 能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

（9） 能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。

3.数整除的性质

（1） 如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除

（2） 如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。

（3） 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。

（4） 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。

二、 典例剖析

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例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币

9□.2□元。已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元

练一练1.

老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗

第一讲数的整除（教师版）

奥数特训四年级下册教材9

1、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库（如图），共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有50吨货物，其余两个仓库是空的。现在想将所有的货物集中存放在一个仓库里。如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？

2、有89吨货物要甲地运往乙地。大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是14公升和9公升。问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？

3、某公司运输队每天有5辆汽车为7个工厂作循环运输任务。每个工厂需配备的装卸工如图所示。如果每个工厂固定的装卸工太多，会造成浪费，可让一部分装卸工跟车装卸。这样，有人跟车，有人固定。怎样合理安排才能使装卸工人数最少？

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奥数特训四年级下册教材9

4、某工地A有20辆卡车。要把60车渣土从A地运往B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示）。问如何调运最省油？

5、把16拆成几个互不相同的自然数，使这些自然数的乘积最大。

解：拆成的数不能有1，而2＋3＋4＋5＋6＞16，所以16至多拆成4个互不相同的自然数。这有两种拆法：16=2＋3＋5＋6=2＋3＋4＋7由于5某6＞4某7，所以拆成2＋3＋5＋62某3某5某6=180. 6、把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？解：239=17某7＋24某5

所以应截成17米的7根，24米的5根。

7、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。

□□□某□□□某□□□

解：要使乘积最大，这三个三位数也要最大，首位是9、8、7，十位是6、5、4，个位是3、2、1。又在和一定的情况下，两数差越小则积越大。所以这三个三位数是941、852、763.

8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度是每分钟行200米，5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟。而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后又立即返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米？解：200某5÷（250－200）=20（分钟）300某20=6000（米）答、：哥哥追上弟弟时狗跑了6000米。

【精品】

数的整数特征

1．末位系：2，5；4，25；8，125

能否被2和5整除是看末一位

能否被4和25整除是看末两位

能否被8和125整除是看末三位

2．和系：3，9

能否被3，9整除是看数字之和是否3，9的倍数

这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同

弃九法

3．差系：7，11，13

能否被7，11，13整除规律是把数从末三位断开，用末三位与末三位之前的数做差，看这个差是否为7，11，13的倍数

能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否为11的倍数

这个差除以11余几就代表这个数除以11余几

4．拆分系：

72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……

一、特征应用

在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

数的整除特征（上）

(★★)

(★★★) 两个四位数275A和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B。

【拓展】(★★★)

两个四位数275A和475B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B。

设六位数N＝1527xy，又N是4的倍数，且被11除余5，那么x＋y等于多少？

在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？

⑴(★★★)

已知222ababab能被91整除，那么ab是多少？

⑵(★★★★)

将三位数3ab连续重复地写下去，共写2005个3ab，所得的数2005333abababab个3正好是91的倍数，那么ab＝________。

(★★★)

(★★★)