§5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则
教学目的：通过讲授，使学生掌握多元复合函数及隐函数的求导法则
教学重点：多元复合函数的求导
教学难点：隐函数的求导
课堂安排：
复习 1.偏导数及高阶偏导数
2.全微分
一 复合函数的求导法则
1．定义 设函数),(vufz，而u、v均为x、y的函数，即),(yxuu，),(yxvv，则函数)],(),,([yxvyxufz叫做x、y的复合函数.其中u、v叫做中间变量，x、y叫做自变量.
2. 定理 如果函数),(yxuu，),(yxvv在点(,)xy处都具有对x及对y的偏导数，函数),(vufz在对应点(,)uv处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxvyxufz在点(,)xy处存在两个偏导数，且具有下列公式
xvvzxuuzxz
yvvzyuuzyz
多元复合函数的求导法则可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积之和.这一法则也称为锁链法则或链法则.
注：一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘.
例1 设22,,2sinyxveuvuzyx，求yzxz,
解 因为vuuz2cos；vuvz2cos2 yyvxxveyuexuyxyx2,2,,
所以
yeyxevuyvueyzxeyxevuxvuexzyxyxyxyxyxyx422cos2cos42cos422cos2cos42cos2222 3.半抽象复合函数的偏导数
- 1 - 隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。
1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…,
f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。
4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…+z(x1,x2,… - 2 -
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
三、显函数与隐函数
1、显函数
解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。显函数可以y=f(x)来表示。
2、隐函数
如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
3、隐函数与显函数的区别
1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。 2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。比如:y=2x+1。隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
- 1 - 隐函数求导公式
隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。
隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。
以下是基本隐函数求导公式：
设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：
(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk
由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。这就是隐函数求导的基本原理。
除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：
(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2
从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质， - 2 - 也可以表示函数在任意点上的变化率。
极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。例如：
设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)
lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3
