顺序主子式负数的个数

1.行列式的性质性质1性质2推论i 行列式行列式与它的转置行列式相等 D D T .互换行列式的两行（列），行列式变号.如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.a ii a i2 a i3 a ii a i2 a i3如ka2i ka22 ka23 k a2i a22 a23a3i a32 a33 a3i a32 a33性质3 行列式的某一行推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零.ka kb kc若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和a ii a i2 a i3 a ii a i2 a i3 a ii a i2 a i3如a2i a2i a22 a22 a23 a23 a2i a22 a23 a2i a22 a23a3i a32 a33 a3i a32 a33 a3i a32 a33性质4把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行性质5值不变.例）对应的元素上去，行列式的a ii a i2 a i3如a2i a22 a23 a3i a32 a33a2ia3i ka ii2.余子式与代数余子式a ii a i2 a i3a22a32 ka i2a23a33 ka i3在n阶行列式中，把元素a j所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a j的余子式, 记作M i i，A i(a ii a i2 a i3如a2ia22a23 a3i a32 a33 ,兀素a23的余子式为M 23i）i j M ij叫做元素a j的代数余子式.元素a23的代数余子式为A23 （ i）2 3M23 a ii a i2 a3i a32a ii a i2 a3i a323.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即4.行列式的计算an1 a n2 L a nnann a ii Kai,n 1ainaina21K a 2,n 1a2,n 1a2nM NNN Man1an1an2Kannn(n 1)(1)2ai n a 2,n i L a ni消元法：禾U 用行列式的性质, 降阶法：利用行列式的性质, （5） （6） 行列式的阶数求出行列式的值 . （7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行） 式，进而求出行列式的值.从而求出行列式的值将行列式化成三角行列式， 化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低，再提出公因Dai 1 Ai 1ai2 Aii 1,2,L ,n; j a iiai2 ai3 a21a22 a23 a 31 a 32a332 L ain A in或 D a ij A ija2j A 2j L anj Anj1,2L n定理2 行列式任一行（列） 的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1A j 1ai2Aj2L ain A jn 0,或 ai j A ij a2 j A2 jL anj Anj 0'ii 1,2,L , n;j1,2L n(1) 二阶行列式 (2) 三阶行列式 a iiai2ai3 a21a22 a23 a 31 a32a33对角行列式三角行列式a iiai2a22aii a 22a 33a iia21 M a22Mai1 a 22ai2a21ai2a 23a 31ai3a 2i a 322La iiai2 a22ai3a 22a 31aina2nM ai2a 2i a 33aii a 23a32n( m 1)2~1)311 a22L ann1 2L naii A iiai2 A 12ai3 Aiaa211. 1) 2) 常见矩阵 对角矩阵：主对角线以外的元素全为 单位矩阵： 主对角线上的元素全为 3) 上三角矩阵 :对角线以下的元素全为 4) :对角线以上的元素全为 5) 对称矩阵：设A 为n 阶方阵，若 A6) 反对称矩阵：设A 为n 阶方阵，若 7) 正交矩阵：设A 为n 阶方阵, 如果 2. 矩阵的加法、 (1)矩阵的加法 数乘、 乘法运算 矩阵0的方阵，称为对角矩阵•记作A •的对角矩阵，称为单位矩阵0的方阵•如0的方阵•如即a jaiia iia21M an1ajia12 a22a22Man2，则称 .记作E.a1na2nMannannA 为对称矩阵•A TA A A ，即aijE 或 A TA a ji ，则称A 为反对称矩阵•E ，则称A 为正交矩阵•注：① ② (2)数乘矩阵 只有同型矩阵才能进行加减运算; 矩阵相加减就是对应元素相加减 如 k a b c ka kb kcd e f kd ke kf 注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素 (3)矩阵的乘法：设 A (a ij )m s ,B 其中 c j a i1 b 1 ja i2b 2 j L a is bsj 注：①左矩阵 的列数等于右矩阵 B ②左矩阵 的第i 行与右矩阵B (b j )s nsa k bkj(ik 1 的行数;规定 AB C ( c ij )m n ,1,2 L ,m, j 1,2 ,L ,n.)的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积 C 的元素C ij • 的行数为乘积 C 的行数，右矩阵 B 的列数为乘积C 的列数• 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵(即一个数)，即③左矩阵bi1a iib iiai2b 21L ais bs1列矩阵乘行矩阵是 s 阶方阵， 即a11a11 b i1 a11b12 L a11b1s a 21 . . .bi s a 21bl1a 21 bl2La21b1s» b 12 LMMM Ma s1 as1bl1as1b12L ae s3.逆矩阵设n 阶方阵A 、B , 若 AB=E 或 BA=E ，则 A , 1 B 都可逆,b si , b 21 a 11 a12 L a 1s _ _M 且A 1B,B 1A.(1) 二阶方阵求逆, (2) 对角矩阵的逆 aianA s(4) a 2a ia 2，则 A1a 1a 2a 1 1分块对角阵的逆A 2a2A2a na nA sA 2 1ad beanA s 1b（两调一除法）aA s 1般矩阵求逆，初等行变换的方法:ERTA 14.方阵的行列式 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵 的行列式•记作A 或det （A ）.5.矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换:精选文库(1) 互换两行(列)；(2)数乘某行 6.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵, 00都是初等矩阵.7.矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵 A 的秩.记作R (A )或r ( A ).求矩阵的秩的方法：(1)定义法：找出 A 中最高阶的非零子式，它的阶数即为A 的秩.8. 重要公式及结论(1)矩阵运算的公式及结论R(O) 0, R(A mn ) min { m, n },R( A T) R(A),R(kA)0 R(A )n, R A B R A R B(列)；(3)某行(列)的倍数加到另一行(列)称为初等矩阵(2)初等行变换法： A ERT行阶梯形矩阵,(A )=R (行阶梯形矩阵)=非零行的行数.(AB)C A k1 A k2AB kB A,(A(BC), A k 1 k2A BA k 1(A B) C A (B C),(A B)C AC A (A k1 )k2 k 1k 2B, EA AE A, BC, A)k A 0 (A B) A B(AB)k A k , A)B A( B) E kA TA, (A B)TA TB T,A T,AB TB TA TA TA TA,AB AA A A A EA,AB矩阵乘法不满足交换律，即一般地，矩阵乘法不满足消去律，即一般地若B 2B?A 22ABB 2.(2) 逆矩阵的公式及定理 A 1A,-A 1A 1A,A 可逆(3)矩阵秩的公式及结论AIM 0 A |B BA,ABM AB; AB=AC ，无 :AB=O ，则无 1ABA nA n,B=C ；只有当 A=O 或 B=O.1A 1,A T(即A 与单位矩阵E 等价)A.A 可逆时,B=C.A 1R(A),k精选文库R( AB ) W R( A ), R( AB ) < R( B ). 特别地，当 A 可逆时，R(AB)=R(B);当B 可逆时，R(AB)=R(A).A ETB A~ B R A R B 即等价矩阵的秩相等 或初等变换不改变矩阵的秩9. 矩阵方程性质：合同矩阵的秩相等向量空间若％ = ^,则称向量a 与卩成比例. 零向量O 是任一向量组的线性组合. 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示.①齐次线性方程组k 1 1 k 2 2 L k m m 0有非零解.(1)设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为nx m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为X A1 * * * *B ；解法: ①求出A 1，再计算A1B ;(2)设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为mx n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为 X BA 1 ;解法: ①求出A 1，再计算BA 1；ECT10. 矩阵间的关系(1)等价矩阵：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 即存在可逆矩阵 P , Q ,使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等. B ，那么称矩阵 A 与B 等价.(2)相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ,使得P F AP B ，那么称A 与B 相似.性质：相似矩阵有相同的特征多项式, 相同的特征值，相同的行列式，相同的迹 (3)合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ,使得P TAP B ，那么称A 与B 合同.1. 线性组合(1) (2)(3)2. 线性相关与线性无关 (1) (2) (3) (4) (5)向量组2,K , m 线性相关的充分必要条件是定义1如果在向量组T 中有r 个向量a] , a ，r a满足条件:⑴向量组a 1 , a，戸线性无关,1, 2 L, r ,线性相关.那么称向量a] , a?,,a 是向量组T 的一个极大无关组.定义 定义 结论 结论 2 3 1 2向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩 .矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。

(完整版)正负数运算规定
引言
本文档旨在说明正负数运算的规定，以便读者正确地进行相关计算。

正负数是数学中重要的概念之一，理解和掌握其运算规则对于实际生活和研究中的问题解决起着关键作用。

本文将详细介绍正负数的四则运算规定，包括加、减、乘、除运算。

加法运算
1. 两个正数相加，结果为正数。

2. 两个负数相加，结果为负数。

3. 一个正数与一个负数相加，结果为两数绝对值之差的符号与绝对值较大的数的符号相同。

减法运算
1. 正数减去正数，结果为两数绝对值之差的符号与较大数的符号相同。

2. 负数减去负数，结果为两数绝对值之差的符号与绝对值较大的数的符号相同。

3. 正数减去负数，结果为两数绝对值之和的符号与较大数的符号相同。

乘法运算
1. 两个正数相乘，结果为正数。

2. 两个负数相乘，结果为正数。

3. 一个正数与一个负数相乘，结果为负数。

除法运算
1. 两个正数相除，结果为正数。

2. 两个负数相除，结果为正数。

3. 一个正数除以一个负数，结果为负数。

4. 一个负数除以一个正数，结果为负数。

结论
正负数运算规定的掌握对于正确解决数值计算问题具有重要意义。

通过本文档中的介绍，我们可以清楚地了解到正负数运算的规则，从而保证在实际计算中不出错。

在日常生活和研究中，我们经常会遇到涉及正负数的计算问题，理解并正确运用这些规定，将使我们的计算更准确、更高效。

希望本文档对读者能够提供帮助，并在正负数运算中起到指导作用。

数的正负数表示与计算正文：在数学中，数的正负数表示和计算是非常重要的概念。

正数和负数是表示数值大小和方向的工具，它们不仅在计算中起着重要的作用，也在现实生活中有着广泛的应用。

首先，我们来了解一下数的正负表示。

在数轴上，我们将0点作为原点，向右为正方向，向左为负方向。

数字1，2，3等等都是正数，而-1，-2，-3等等则是负数。

通过这种表示方式，我们可以清晰地看出数值的大小和方向。

正数和负数之间的计算也是必不可少的。

在计算中，正数和负数之间的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则。

下面我们分别来介绍一下这些规则。

首先是正数与正数的计算。

当两个正数相加时，我们只需要将它们的数值相加即可；当两个正数相减时，我们需要将被减数减去减数。

例如，4 + 5 = 9，8 - 3 = 5。

接下来是负数与负数的计算。

当两个负数相加时，它们的绝对值相加，并在结果前面加上负号；当两个负数相减时，我们需要将被减数减去减数，并在结果前面加上负号。

例如，-4 + (-5) = -9，-8 - (-3) = -5。

然后是正数与负数的计算。

当一个正数与一个负数相加时，我们需要将它们的绝对值相减，并使用数值较大的符号作为结果的符号；当一个正数与一个负数相减时，我们需要将它们的绝对值相加，并使用被减数的符号作为结果的符号。

例如，4 + (-5) = -1，8 - (-3) = 11。

最后是乘法和除法运算。

正数与正数、负数与负数、正数与负数相乘时，结果都是正数；正数除以正数、负数除以负数时，结果也是正数。

而正数与负数相除，结果则是负数。

例如，2 × 3 = 6，(-2) × (-3) = 6，2 × (-3) = -6，6 ÷ 2 = 3，(-6) ÷ (-2) = 3，6 ÷ (-2) = -3。

除了基本的加减乘除运算，正数和负数的计算还涉及到绝对值、比较和数轴等概念。

绝对值是一个数的非负值，表示这个数离0点的距离。

主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示 定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵. 例如：二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见，如果,A B 都是n 阶对称矩阵，且f A B ''=x x =x x ，则A B =.因此，若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ，并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n nf y y y λλλ=+++，称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此，我们的问题就转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.一般地，有以下定义：定义2 设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同. 因为若C 可逆，则C '也可逆，所以，由定义，若A 与B 合同，则A 与B 等价.从而，我们有（1）矩阵的合同关系具有反身性：A E AE '=；对称性：由B C AC '=即得11()A C BC --'=；和传递性：由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=； （2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵. 3。

正负数加减法则顺口溜
正负数加减法则顺口溜:正正相加，和为正。

负负相加，和为负。

正减负来，得为正。

负减正来，得为负。

其余没说，看大小。

谁大就往，谁边倒。

正负数的加减法则:同号两数相加，等于其绝对值相加;异号两数相加，等于其绝对值相减。

同号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。

零减正数得负数，零减负数得正数。

比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。

负数都比零小，则负数都比正数小。

零既不是正数，也不是负数。

负数中没有最小的数，也没有最大的数。

最大的负整数为：-1。

比0大的数叫正数(，0本身不算正数。

正数与负数表示意义相反的量。

正数即正实数，它包括正整数、正分数(含正小数)、正无理数。

而正整数只是正数中的一小部分。

正数都比零大，则正数都比负数大。

正数不包括0，0既不是正数也不是负数，大于0的才是正数。

正数中没有最大的数，也没有最小的数。

最小的正整数为:1。

正定矩阵与半正定矩阵定义与判别
1.正定矩阵和半正定矩阵
若所有特征值均⼤于零，则称为正定。

定义:A是n阶⽅阵，如果对任何⾮零向量x，都有>0,其中表⽰x的转置，就称A为正定矩阵。

性质:
正定矩阵的⾏列式恒为正；
实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同；
两个正定矩阵的和是正定矩阵；
正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种⽅法：
求出A的所有特征值。

若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

计算A的各阶顺序主⼦式。

若A的各阶顺序主⼦式均⼤于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主⼦式中，奇数阶主⼦式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

2.半正定矩阵
若所有特征值均不⼩于零，则称为半正定。

定义：设A是实对称矩阵。

如果对任意的实⾮零列向量x有≥0，就称A为半正定矩阵。

对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主⼦式⾮负。

顺序主⼦式⾮负并不能推出矩阵是半正定的。

性质:
半正定矩阵的⾏列式是⾮负的；
两个半正定矩阵的和是半正定的；
⾮负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

2023REPORTING (完整版)线性代数教案(正式打印版)•课程介绍与教学目标•行列式与矩阵•向量与向量空间•线性方程组与高斯消元法•特征值与特征向量•二次型与正定矩阵•线性变换与矩阵对角化•课程总结与复习指导目录CATALOGUE20232023REPORTINGPART01课程介绍与教学目标线性代数课程简介线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换及其性质。

它是现代数学、物理、工程等领域的基础课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力具有重要作用。

本课程将系统介绍线性代数的基本概念、理论和方法，包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等内容。

掌握线性代数的基本概念、理论和方法，理解其本质和思想。

能够运用所学知识解决实际问题，具备分析和解决问题的能力。

培养学生的抽象思维、逻辑推理和创新能力，提高学生的数学素养。

教学目标与要求教材及参考书目教材《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。

参考书目《线性代数及其应用》，David C.Lay著，机械工业出版社；《线性代数讲义》，Gilbert Strang著，清华大学出版社。

2023REPORTINGPART02行列式与矩阵•行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。

行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。

互换行列式的两行（列），行列式变号。

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，anj=bn+cn ，则此行列式等于两个行列式之和。

行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。

矩阵概念及运算矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。

第七讲二次型概念复习一.基本概念1.二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次型是x1,x2,…,x n的一个函数,一个齐二次多项式函数.例如3元的二次型的一般形式为f(x1,x2,x3)= a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3.实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,x n的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.标准二次型交叉项的系数都为0的二次型.规范二次型形如x12+…+x p2-x p+12…-x p+q2的二次型.(p+q n)2．二次型的矩阵二次型可以用矩阵乘积的形式表示，例如f(x1,x2,x3)= a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3.a11 a12 a13 x1=(x1,x2,x3) a12 a22 a23 x2a13 a23 a33 x3要求中间的矩阵是实对称矩阵，它是唯一的，称为二次型的矩阵.并把它的秩称为二次型的秩,如果二次型f(x1,x2,…,x n)的矩阵为A,并记 X=(x1,x2,…,x n)T, 则f(x1,x2,…,x n)= X T AX.标准二次型的矩阵为对角矩阵.规范二次型的矩阵为规范对角矩阵.E p 0 00 -E q 0 .0 0 03.可逆线性变量替换和实对称矩阵的合同关系对二次型f(x1,x2,…,x n)引进新的变量y1,y2,…,y n,并且把x1,x2,…,x n表示为它们的齐一次线性函数x1=c11y1+c12y2+…+c1n y n,x2=c21y1+c22y2+…+c2n y n,…………x n=c n1y1+c n2y2+…+c nn y n,代入f(x1,x2,…,x n)得到y1,y2,…,y n的二次型g(y1,y2,…,y n). 把上述过程称为对二次型f(x1,x2,…,x n)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c11 c12 (1)C= c21 c22 (2)………c n1 c n2… c nn是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:X=CY.其中Y=( y1,y2,…,y n)T.设f(x1,x2,…,x n)的矩阵为A,则g(y1,y2,…,y n)=f(x1,x2,…,x n)=X T AX=Y T C T ACY.其中C T AC是对称的：(C T AC) T=C T A T C= C T AC.于是C T AC就是g(y1,y2,…,y n)的矩阵。

数的正负排列在数学中，正负数是用来表示数的一种方式。

正数表示比零大的数，负数表示比零小的数。

而数的正负排列则是指将一组数按照从小到大或从大到小的顺序排列，其中正数在负数之前或之后。

数的正负排列的规则有两种：从小到大和从大到小。

在数学表达式中，我们通常使用符号 ">" 表示数值的大小关系，其中 A > B 表示 A比 B 大。

因此，当我们要将一组数按照从小到大排列时，我们需要将正数放在负数前面，即正数 > 负数；同样地，当我们要将一组数按照从大到小排列时，正数应该放在负数后面，即负数 > 正数。

通过数的正负排列，我们可以更清晰地看到数之间的大小关系，有助于进行进一步的计算和分析。

以下是一些数的正负排列的例子，帮助我们更深入地理解这个概念。

例一：考虑以下一组数：-6, 3, -2, 9, -1, 4。

按照从小到大的顺序排列这组数，我们得到：-6, -2, -1, 3, 4, 9。

按照从大到小的顺序排列这组数，我们得到：9, 4, 3, -1, -2, -6。

例二：考虑以下一组数：-1, 0, 2, -3, 5。

按照从小到大的顺序排列这组数，我们得到：-3, -1, 0, 2, 5。

按照从大到小的顺序排列这组数，我们得到：5, 2, 0, -1, -3。

通过以上例子，我们可以看出，无论是从小到大还是从大到小排列，正数都位于负数的前面或后面。

这种排列方式方便我们对数进行整体的比较和分析。

数的正负排列在数学中有着广泛的应用。

在代数中，数的正负排列与数轴上的位置相对应，有助于我们理解数轴上的整体结构。

在求解不等式、解直线方程等问题时，数的正负排列也能为我们提供重要的线索。

总结：数的正负排列是按照正数和负数的大小关系将一组数从小到大或从大到小排列的过程。

正数通常位于负数的前面或后面，通过排列可以更清晰地展现数之间的大小关系。

数的正负排列在数学中具有重要的应用价值，帮助我们理解数轴上的结构、解决代数问题以及求解不等式等。

顺序主子式与特征值的关系
顺序主子式与特征值的关系：顺序主子式和特征值都是矩阵的重要性质和特征。

顺序主子式是取
n阶方阵的部分元素化为行列式形式，方阵的第
k阶顺序主子式是由该方阵的前
k行和
k列元素组成。

通过计算方阵所有顺序主子式可以来判断一个实二次型是否正定或方阵是否为正定矩阵，也可以判断方阵是否可以进行唯一LU分解[1]。

而矩阵的特征值是指一个矩阵与它的特征向量相乘所得到的向量等于这个向量与一个标量（即特征值）相乘的情况. 矩阵的特征值有着重要的数学应用，例如在求解线性方程组、矩阵相似变换以及矩阵对角化等方面[2]。

在数学上，通过一些定理可知，一个
n阶实对称矩阵的
n个特征值均为实数。

同时，对于一个
n阶对称矩阵，其
k阶顺序主子式与它的
k个特征值（即使重根）有着密切的关系，可以通过顺序主子式的符号来判断矩阵的特征值情况。

例如，当
n阶对称矩阵的所有
k阶顺序主子式都是正数时，则该矩阵的
k个特征值均为正数。

因此，顺序主子式和特征值在矩阵的特性分析、求解以及应用上有着紧密的联系和重要的作用。

三阶正定矩阵例子嘿呀，咱今儿个就说说这三阶正定矩阵例子。

我跟你说啊，这事儿挺有意思。

就像咱平常过日子，有的东西你一眼看上去普普通通，但是仔细一瞅，嘿，里面门道多着呢，这三阶正定矩阵就是这么个玩意儿。

咱先说说啥是正定矩阵吧，简单点说，就是一个矩阵，它得满足一些条件，才叫正定矩阵。

那三阶正定矩阵呢，就是三阶的这种矩阵呗。

你可别小瞧这三阶，它里面的学问大了去了。

比如说有这么个三阶矩阵，里面的数吧，看着好像没啥特别的，但是你把它按照正定矩阵的那些条件去套一套，嘿，说不定它就是个正定矩阵呢。

就好像你看一个人，一开始觉得他普普通通，但是跟他一聊天，发现他肚子里有货，厉害着呢。

我给你举个例子哈，就比如说有个矩阵A，里面的元素分别是a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33。

那咋判断它是不是正定矩阵呢？咱得先看看它的顺序主子式。

啥叫顺序主子式呢？简单说就是从这个矩阵里按顺序挑出一些元素组成的行列式。

比如说一阶顺序主子式就是a11，二阶的呢，就是由a11、a12、a21、a22 这四个元素组成的行列式，三阶的顺序主子式就是这个矩阵本身的行列式。

如果这些顺序主子式都大于零，那这个矩阵就是正定矩阵啦。

咱就说有这么个具体的三阶矩阵，里面的数我就不说了，就假设它的一阶顺序主子式算出来是5，二阶的算出来是10，三阶的算出来是20。

咋样，这数看着就挺顺溜吧？这就满足了正定矩阵的条件呀，所以它就是个三阶正定矩阵。

这就好像咱在村里选干部，得看他有没有本事，能不能带领大家过上好日子。

这三阶正定矩阵也得看它有没有符合那些条件，才能被认定是“好矩阵”。

我就觉得这事儿挺神奇的，这些数字背后藏着这么多的道理和规律。

咱再说说这正定矩阵有啥用呢？哎呀，用处可多啦。

比如说在一些工程问题里，咱要分析一个结构的稳定性，就得用到正定矩阵。

就好像盖房子，你得保证房子的结构稳定，不能说风一吹就倒了吧？这正定矩阵就能帮咱分析出这个结构是不是稳定的。

对称负定矩阵的特点
一、对称负定矩阵的定义先唠唠
对称负定矩阵呢，就是一个矩阵，它首先得是对称的哦，就像照镜子一样，关于主对角线对称。

然后呢，它还是负定的。

啥叫负定呢？就是对于任意非零向量x，二次型x的转置乘以这个矩阵再乘以x，得到的结果总是小于零。

这就像是一个很“消极”的矩阵，总是把东西变得更小呢。

二、特征值的特点
它的特征值可都是负数哦。

这就好比这个矩阵自带一种“消极属性”，不管啥向量跟它作用，都被它往小里带。

你想啊，特征值是负数，那这个矩阵在对向量进行变换的时候，就像是给向量的每个维度都施加了一个缩小的力量。

三、行列式的性质
它的行列式的值呢，跟它的阶数有关系。

如果是奇数阶的对称负定矩阵，那行列式的值就是负数；如果是偶数阶的对称负定矩阵，那行列式的值就是正数。

这就像是一种奇偶性带来的小规律，还挺有趣的呢。

四、主子式的特点
它的主子式也很有特点。

所有的顺序主子式都是负数哦。

这就像是这个矩阵在每个小的“子方阵”里，也都保持着那种负定的“小脾气”。

五、与正定矩阵的对比
正定矩阵是让二次型总是大于零，而我们的对称负定矩阵呢，恰恰相反，总是让二次型小于零。

就好像它们是两个极端，一个是积极向上的，一个是消极向下的。

不过它们都在矩阵的世界里有着很重要的地位呢。

实二次型的顺序主子式与惯性指数王伟;张吉林;严志丹【摘要】在非零顺序主子式的最高阶数与实二次型秩相等的前提下,研究如何利用实二次型的顺序主子式序列来确定二次型所有可能的类型.给出Gundelfinger法则和Frobenius法则的简单证明.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2014(030)001【总页数】5页(P33-37)【关键词】实二次型;顺序主子式序列;负惯性指数【作者】王伟;张吉林;严志丹【作者单位】塔里木大学信息工程学院,新疆阿拉尔843300;塔里木大学信息工程学院,新疆阿拉尔843300;塔里木大学信息工程学院,新疆阿拉尔843300【正文语种】中文【中图分类】O151.21 引言一个n元实二次型总是可以通过一个非退化的线性变换化成标准形其中r=R(A)称为二次型的秩，系数为正的平方项个数称为f或A的正惯性指数，系数为负的平方项个数称为负惯性指数. 二次型的秩和负惯性指数唯一确定了二次型的类型.定义1 子式称为矩阵A=(aij)n×n的i阶顺序主子式. 为方便起见，补充规定0阶顺序主子式P0=1.设a0,a1,…,al是非零实数的序列，它的变号数v(a0,a1,…,al)定义为集合{aiai+1∶0≤i≤l-1}中的负数个数. 二次型的正(负)定判别法可以重新表述为：n元实二次型f=X′AX正(负)定当且仅当P0=1,P1,…,Pn全不为零且其变号数为0(n).恰当地定义含零序列的变号数，下面的定理推广了这一结果.定理1[1] 设n元实二次型f=X′AX秩为r. 如果A的r阶顺序主子式Pr≠0，那么f 的负惯性指数等于序列P0,P1,…,Pr的变号数v(P0,P1,…,Pr)，其中(i) 如果PiPi+2≠0且Pi+1=0，规定v(Pi,0,Pi+2)=1；(Gundelfinger法则)(ii) 如果PiPi+3≠0且Pi+1=Pi+2=0，当PiPi+3>0规定v(Pi,0,0,Pi+3)=2；当PiPi+3<0规定v(Pi,0,0,Pi+3)=1；(Frobenius法则)(iii) 如果PiPi+4≠0且Pi+1=Pi+2=Pi+3=0，当PiPi+4>0规定v(Pi,0,0,0,Pi+4)=2；当PiPi+4<0，v(Pi,0,0,0,Pi+4)不能确定；(iv) 如果存在k≥4满足PiPi+k+1≠0且Pi+1=Pi+2=…=Pi+k=0，那么v(Pi,0,…,0,Pi+k+1)不能确定.注当P0,P1,…,Pr任意相邻两项不全为零时，定理1的证明可见[2-4].例1 设秩为8的实对称矩阵A的0～8阶顺序主子式依次为 1，-2，0，0，0，-4，0，0，3. 根据定理1，知v(1,-2)=1,v(-2,0,0,0,-4)=2,v(-4,0,0,3)=1，故序列P0,P1,…,P8的变号数v=v(1,-2)+v(-2,0,0,0,-4)+v(-4,0,0,3)=4. 从而A的负惯性指数为4.本文给出定理1的简单证明，对于定理1中所指出的不能确定情形，给出了符合所给顺序主子式序列的二次型的所有可能类型.2 特殊的顺序主子式符号序列设n≥2. 用Σn表示满足1至n-1阶顺序主子式全为0的n阶可逆对称矩阵所组成的集合. 定义用q(A)表示A的负惯性指数.命题1 设n≥2，则<n且t为偶数};<n且t为奇数}.证当n=2时，由Σn的定义，易知注意到Σ2中每个矩阵的行列式都为负，故∅，这表明(1)是成立的.任取由于P1=0，知A既非正定，也非负定. 因此0<q(A)<n=2，即q(A)=1，这表明(2)是成立的. 以下假设n≥3.(i) 设类似地，由于P1=0，得0<q(A)<n.另一方面，由于A的全体特征值的积为|A|>0，故其负特征值的数目为偶数，从而有q(A)∈{t∶0<t<n且t为偶数}.这表明⊆{t∶0<t<n且t为偶数}.下证{t∶0<t<n且t为偶数}⊆任取偶数t满足0<t<n，令易见B的1至n-1阶顺序主子式全为零，且故另一方面，通过变量的重排，易见B合同于由于C的左上角二阶方阵负惯性指数为1，右下角n-2阶方阵负惯性指数等于对角线上值为负的个数(t-1)，故q(C)=1+(t-1)=t. 因B与C合同，故q(B)=q(C)=t. 由于已证得所以由t的任意性立得{t∶0<t<n且t为偶数}⊆可以类似地证明(ii).利用命题1，注意到n=1时的明显性，容易得到表1.表1 具有1至n-1阶零顺序主子式的n阶可逆实对称矩阵负惯性指数与行列式符号的关系n|A|的符号q(A)所有可能取值1+{0}1-{1}2-{1}3+{2}3-{1}4+{2}4-{1,3}>4+{2,4,6,…,n-1或n-2}>4-{1,3,5,…,n-1或n-2}例2 求的负惯性指数.解不难算出|A|=1>0,P1=P2=P3=0.查表1，可知q(A)=2(对应于定理1中变号数第3条规定的前半部分).3 一般的顺序主子式符号序列我们把主对角线上全是1的上三角矩阵称为单位上三角矩阵[5].引理1[5] 设A为实对称矩阵，T为单位上三角矩阵，而B=T′AT，则A与B对应的顺序主子式有相同的值.命题2 设实对称矩阵A的秩为r，其非零顺序主子式分别为Pi0=1,Pi1,Pi2,…,Pis，0=i0<i1<…<is=r，则存在单位上三角矩阵T，使得其中Bk(1≤k≤s)是ik-ik-1阶可逆矩阵，且当ik-ik-1≥2时Bk的1至ik-ik-1-1阶顺序主子式全为零.证对s用归纳法. 当s=0时，r=0，A为零矩阵，命题显然成立.假设命题对s-1是成立的. 令显然B1满足命题结论的要求.将A分块成由条件知B1=Pi1≠0. 令则T1为单位上三角矩阵. 注意到于是易知D1的秩R(D1)=r-R(B1)=r-i1.由引理1知的顺序主子式与A的顺序主子式对应相等，故D1的所有非零顺序主子式的阶数分别为i1-i1=0,i2-i1,…,is-i1=R(D1)，其对应的值分别为由归纳假设，知存在n-i1阶单位上三角矩阵T2，使得其中Bk(2≤k≤s)是可逆矩阵，阶数为(ik-i1)-(ik-1-i1)=ik-ik-1，且当ik-ik-1≥2时Bk的1至ik-ik-1-1阶顺序主子式全为零.令则T2显然是单位上三角矩阵，且4 结论由于准对角矩阵的负惯性指数等于每个对角块的负惯性指数之和，由命题1，2可得定理1. 实际上，利用表1的最后三行，对于定理1中“不能确定”的情形，可以给出所有可能的负惯性指数.例3 设非奇异的10阶对称矩阵A的顺序主子式P0,P1,…,P10的符号序列为+，-，0,0,0,0,-,-,0,0,+，求其可能的负惯性指数.解注意到A的非零主子式的阶数依次为0，1，6，7，10，由命题2知，存在单位上三角矩阵T，使得其中B1,B2,B3,B4分别为1，5，1，3阶矩阵，其对应行列式符号依次为-,+,+,-. 由命题1知B2的负惯性指数q(B2)可取2或4，q(B4)=1. 此外，注意到B1，B3为实数(一阶矩阵)，且B1<0，B3>0，知B1，B3的负惯性指数分别为1,0. 由于故A的负惯性指数的所有可能取值为4或6.[参考文献]【相关文献】[1] Browne E T. On the signature of a quadratic form[J]. Annals Math. 1928，30 (1/4):517-525.[2] Franklin P. A theorem of Frobenius on quadratic forms[J]. Bull. Amer. Math. Soc，1927,33(4): 447-452.[3] 王世芳，周开瑞. 实二次型的顺序主子式与符号差[J]. 四川师院学报(自然科学版)，1983(3):86-94.[4] 刘长安,刘效丽. 实二次型的符号差[J].数学通报,1992(11)：33-36.[5] 杨子胥. 高等代数习题解(修订版下册)[M].济南：山东科学技术出版社，2004：32.。

正定矩阵性质正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。

在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。

在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。

与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。

判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。

若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。

2、排序a的各阶主子式。

若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。

对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。

合同变换不改变矩阵的正定性线性代数中的合同关系、正定矩阵什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。

两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。

按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。

对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。

①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。

②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。

但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。

结果②就是“惯性定理”。

一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例：1221只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′0，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX 的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。

证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

特征值都在主对角线上运算你知道的吧。

行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。

当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。

所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

数学中的各种矩阵⼀、单位矩阵　单位矩阵的结构很简单： 1. 它是"正⽅形"（⾏数与列数相同） 2. 所有沿主对⾓线的元素都是1，⽽所有其他位置的元素都是0100010001⼆、可逆矩阵　设A是n阶矩阵，如果有n阶矩阵B，使得：AB=BA=E成⽴，则称A为可逆矩阵，且称B为A的逆矩阵　注意：若A是可逆矩阵，则其⾏列式|A|≠0，这是必要条件。

如下，AB=BA=E，故AB互为逆矩阵A=−214−3,B=−3/2−1/2−2−1三、海森矩阵（Hessian Matrix）四、正定矩阵　n×n的实对称矩阵A如果满⾜对所有⾮零向量xϵR n，对应的⼆次型Q(x)=x T Ax，若Q>0，就称A为正定矩阵。

若Q<0，就称A为负定矩阵。

若Q≥0，就称A为半正定矩阵。

若A既⾮半正定，也⾮半负定，则A为不定矩阵　对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。

矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数　根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种⽅法： 1) 求出A的所有特征值。

若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2) 计算A的各阶顺序主⼦式。

若A的各阶顺序主⼦式均⼤于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主⼦式中，奇数阶主⼦式为负，偶数阶为正，则A为负定的　那么什么是顺序主⼦式呢？　设实对称矩阵A=a11a12 (1)a21a22 (2)............a n1a n2a n3a nn，⽅阵A的⾏列式⽤|A|表⽰，各阶顺序主⼦式为A i，则有： ⼀阶顺序主⼦式为：A1=a11 ⼆阶顺序主⼦式为：A2=a11a12 a21a22 三阶顺序主⼦式为：A3=a11a12a13a21a22a23a31a32a33[][][][] [] []Processing math: 100%。