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数值分析上机题目1、 分别用不动点迭代与Newton 法求解方程250x x e -+=的正根与负根。
2、 Use each of the following methods to find a solution in [0.1,1] accurate to within 10^-4 for4326005502002010x x x x -+--=a. Bisection methodb. Newton’s methodc. Secant methodd. Method of False Positione. Muller’s method3、 应用Newton 法求f （x ）的零点，e=10^-6,这里f （x ）=x-sin （x ）。
再用求重根的两种方法求f （x ）的零点。
4、 应用Newton 法求f （x ）的零点，e=10^-6,f(x)=x-sin(x) 再用Steffensen’s method 加速其收敛。
5、 用Neville’s 迭代差值算法，对于函数21(),11125f x x x =-≤≤+进行lagrange插值。
取不同的等分数n=5,10，将区间[-1,1]n 等分，取等距节点。
把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。
6、 画狗的轮廓图7、 Use Romberg integration to compute the following approximations to⎰a 、Determine R1,1,R2,1,R3,1,R4,1and R5,1,and use these approximations to predict the value of the integral.b 、 Determine R2,2 ,R3,3 ,R4,4 ,and R5,5,and modify your prediction.c 、Determine R6,1 ,R6,2 ,R6,3 ,R6,4 ,R6,5 and R6,6,and modify your prediction.d 、 Determine R7,7 ,R8,8 ,R9,9 ,and R10,10,and make a final prediction.e 、Explain why this integral causes difficulty with Romberg integration and how it can be reformulated to more easily determine an accurate approximation.8、 分别用1）Euler method 2）Modified Euler Method 3）Runge-Kutta Order Four求解P264 ：7a 并计算其误差； Given the initial-value problem :=-1y y t '++05t ≤≤(0)1y =With exact solution-t()y t e t =+； A: Approximate y(5) with h=0.2 , h=0.1, h=0.05.9、 课本P279 Example 4:For the problem y’=y -t^2+1 , 0<=t<=2 , y(0)=0.5, Euler’s Method with h=0.025, theModified Euler Method with h=0.05,and the Runge-Kutta fourth-order method with h=0.1 are compared at the common mesh points of these methods 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 and 0.5 .Each of these techniques requires 20 functional evaluations to determine the values listed in Table 5.8 to approximate y(0.5). In this example , the fourth-order method is clearly superior. 10、 P 322 Exercise 5.91 Use the Runge-Kutta method for systems to approximate the solutions of the following systems of first-order differential equations, and compare the results to the actual solutions. A ：221122221232(21)4(24)t t u u u t e u u u t t e '=+-+'=+++- 01t ≤≤1(0)1u =2(0)1u =0.2h =actual solutions521()(1/3)(1/3)t t t u t e e e -=-+ 5222()(1/3)(2/3)t t t u t e e t e -=++11、 P 322 Exercise 5.91 Use the Runge-Kutta method for Systems Algorithm to approximate the solutions of the following higher-order differential equations, and compare the results to the actual solutions. A:2t y y y te t ''-+=-01t ≤≤(0)(0)0y y '==0.1h =actual solutions 3()(1/6)22t t ty t t e te e t =-+--end12、 P 368Exercise 6.2第一问:Use Gaussian elimination and three-digit chopping arithmetic to solve the following linear systems, and compare the approximations to the actual solution.E:1234123423412341.19 2.11100 1.1214.20.12212.2 3.4410099.9 2.1515.30.1113.1 4.16x x x x x x x x x x x x x x x +-+=-+-=-+=+--=Actual solution x1=0.17682530 x2=0.01269269 x3=-0.02065405 x4=-1.18260870第二问:Repeat Exercise 6 using Gaussian elimination with partial pivoting. 第三问:Repeat Exericise 5 using Gaussian elimination with scaled partial pivoting.13、 P411 7：Let A be the 10*10 tridiagonal matrix given by a(1,1)=2, a(i,i+1)=a(i,i-1)=-1,for each i=2,……9,anda(1,1)=a(10,10)=2,a(1,2)=a(10,9)=-1,let b be the ten-dimensional column vector given byb1=b10=1,and bi=0,for each i=2,3,……，9 Solve Ax=b,using the Crout factorization for tridiagonal systems.14、P 453 Exericse 7.3 15Use all the applicable methods in this section to solve the linear system Ax=b to within 10^(-5) in thel ∞ norm ,where the entries of A are2i, when j=i and i=1,2,……，80j=i+2 and i=1,2,……,780.5i, when j=i-2 and i=1,2,……, 80a (i,j) = 0.25i when j=i+4 and i=1,2,……,76j=1-4 and i=1,2,……,800, otherwiseAnd those of bi=π ,for each i=1,2, (80)。
数值分析上机实践题第三次上机题目(二分法)第一组:组长：李龙宇，组员：杜彦霖，胡朋，黄湘云，雷盛华，李伟元 用二分法求方程010423=-+x x , ]2,1[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第二组: 组长：王宇彬，组员：马泽川，权涛涛，师楠？？，路世伦，仲晓磊 用二分法求方程04442234=++--x x x x ,]0,2[-∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第三组: 组长： 薛原 ，组员：谢胜权，杨帆，王正奇，肖特，张锡云 用二分法求方程04442234=++--x x x x ,]2,0[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第四组: 组长：柴春晓 ，组员： 韩静兰，李金慧，刘从，马超群，孟凯悦 用二分法求方程04442234=++--x x x x ,]2,1[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第五组: 组长：龙纯鹏，组员：代喜，白鑫，鲍亚强，周邦安，张佳伟 用二分法求方程02=--x x ,]1,0[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第六组: 组长：何关瑶 ，组员：纪伟亮，侯佳意，李济言，李振华，马文磊 用二分法求方程06cos 2=-++-x e e x x ,]2,1[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第七组: 组长：杨钦 ，组员： 王凌宇，吴凯杰，薛小龙，袁权炜，师俊峰 用二分法求方程0232=-+-x x e x ,]1,0[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第八组: 组长：汪芳 ，组员：张学利，周幸茹，李雨珏，张飞用二分法求方程05.0cos 2=++x x π,]5.1,5.0[∈x 的近似根, 要求根精确到510- ,并求二分次数.第九组: 组长：刘永鸿 ，组员：黄尚政，李超，郭新磊，何奎奎用二分法求 15 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第十组: 组长：杨吉望 ，组员：龙力，任金雄，王亮，王文强，谢丁波 用二分法求方程 325 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第十一组: 组长： 张国强，组员： 赵奇，袁硕，郭凯旋，于沛生，鲍宏雷 用二分法求方程 ,05.0c o s 2=++x x π在]2,0[内的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第十二组: 组长：苏映雪 ，组员： 邓晓庆，钟桂平，崔楚轩，高鹏程 用二分法求方程 0797*******=-+--x x x x 的靠近x=2的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.备用题:第一组:用二分法求方程 016=--x x , ]2,1[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.第二组:用二分法求方程 0t a n =-x x ,]5.4,4[∈x 的近似根,要求根精确到 510- ,并求二分次数.补充知识MATLAB 中自带的求根函数:1. roots :求解多项式P(x)=0的根可以用此语句, 输入多项式P(x)的系数(按降幂排列), 输出为P(x)=0的全部根;例如:要求013178)(39=+-+=x x x x P 的根,可以用以下语句:>> fa =[8,0,0,0,0,0,17,0,-3,1]>> gen= roots(fa)运行后输出全部根.2. fsolve: 求解超越方程f(x)=0的根可以用此语句(也可以解多项式方程,但计算量较大), 输入多项式P(x)的系数(按降幂排列), 输出为P(x)=0的全部根调用格式: X = fsolve(F,X0)其中输入函数F(x)的M文件名和解X的初始值X0，X0可以是矩阵或向量。
2019-2020 第1学期数值分析上机实习题总目标：会算，要有优化意识。
（以下程序要求以附件1例题代码格式给出）1. 对给定的线性方程组Ax b =进行迭代求解。
（1）给出Jacobi 迭代的通用程序。
（2）给出Gauss-Seidel 迭代的通用程序。
调用条件：系数矩阵A ，右端项b ，初值0x ，精度要求ε。
输出结果：方程组的近似解。
给定线性方程组211122241125x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，和122711122215x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取初值0x 为0， 分别利用Jacobi 迭代和G-S 迭代进行求解，观察并解释其中的数学现象。
2. 利用紧凑格式（即直接分解法或逐框运算法）对给定的矩阵A 进行Doolittle 分解，并用其求线性方程组的解。
调用条件：矩阵A 。
输出结果：单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 。
给定矩阵1112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用以下算法：1）将A 作Doolittle 分解11A LU =，2）令211A U L =，并对2A 作Doolittle 分解222A L U =，3）重复2）的过程令11n n n A U L --=，并对n A 作Doolittle 分解n n n A L U =，2,3,4,n =， 观察n L ，n U ，n A 的变化趋势，思考其中的数学现象。
3. 给定函数21(),12511f x x x -≤+≤=，取164,8,n =，用等距节点21,i i n x =-+ 0,1,,1i n =+对原函数进行多项式插值和五次多项式拟合，试画出插值和拟合曲线，并给出数学解释。
4. 给出迭代法求非线性方程()0f x =的根的程序。
调用条件：迭代函数()x ϕ，初值0x输出结果：根的近似值k x 和迭代次数k给定方程32()10f x x x =--=，用迭代格式1k x +=0 1.5x =附近的根，要使计算结果具有四位有效数字，利用估计式*1||1||k k k L x x x x L -≤---，或估计式*10||1||kk L x x x x L-≤--来判断需要的迭代次数，分别需要迭代多少次？两者是否有冲突？5. 利用数值求积算法计算()ba f x dx ⎰。
实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。
数值分析论文数值积分 一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法，计算I = dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈II =dx x x ⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I fI = dx xe x⎰+1024 I =()dx x x ⎰++1211ln 二、要求编制数值积分算法的程序；分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； ﹡给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长﹡。
三、目的和意义深刻认识数值积分法的意义； 明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题引言一、数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法。
如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。
依据人们熟悉的微积分基本原理，对于积分I=⎰a b f(x)dx,只要找到被积函数f(x)和原函数F(x),便有下列牛顿-莱布尼茨公式：I=⎰a b f(x)dx=F(b)-F(a).但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如x xsin，2xe-等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。
另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。
二、数值积分代数精度数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确成立，就提出了所谓代数精度的概念。
如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对m+1次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。
三、复合求积公式为了提高精度，通常可以把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间用低阶求积公式，即复化求积法，比如复化梯形公式与复化辛普森公式。
数值分析上机题(matlab版)(东南大学)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数值分析上机报告第一章一、题目精确值为)11123(21+--N N 。
1) 编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
2) 编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？二、通用程序clearN=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0);for a=2:N;Sn1=Sn1+1/(a^2-1); endSn2=single(0);for a=2:N;Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); endfprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2);disp('____________________________________________________')三、求解结果Please Input an N (N>1):10^2The value of Sn using differentalgorithms (N=100)____________________________________________________Accurate Calculation0.740049Caculate from large to small0.740049Caculate from small to large0.740050__________________________________四、结果分析有效位数n100 10000 1000000顺序从大到小 6 3 3从小到大 5 6 6可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。
《数值分析》上机作业（第一二三章）学院：电气工程学院班级：电气13级硕士2班教师：石佩虎老师姓名：**学号： ******第一章实验1 舍入误差与有效数设2211NN j S j==-∑，其精确值为1311()221N N --+。
(1) 编制按从大到小的顺序222111 (21311)N S N =+++---，计算N S 的通用程序； (2) 编制按从小到大的顺序222111...1(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序； (3) 按两种顺序分别计算210S 、410S 、610S ，并指出有效位数（编制程序时用单精度）； (4) 通过本上机题你明白了什么？解答如下：(1). 按从大到小的顺序计算N S 的通用程序如下所示： n=input('Please Input an N (N>1):'); y=0;accurate=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1)); %精确值 for i=2:1:n %从大到小的顺序 x=1/(i^2-1);x=single(x); y=y+x; enderror= accurate-y; format long;disp('____________________________________________________'); disp('The value of Sn from large to small is:'); disp(y);disp('The value of error is:'); disp(error);(2) 编制按从小到大的顺序计算N S 的通用程序如下所示： n=input('Please Input an N (N>1):'); y=0;accurate=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1)); for i=n:-1:2 x=1/(i^2-1);x=single(x); y=y+x;enderror= accurate-y; format long;disp('____________________________________________________'); disp('The value of Sn from large to small is:'); disp(y);disp('The value of error is:'); disp(error);(3) 计算结果：按从大到小的顺序计算得：(4)总结：当我们采用不同的计算顺序，对于同一个计算式，会得出不同的结果。
数值分析上机实习题第2章插值法1. 已知函数在下列各点的值为试⽤四次⽜顿插值多项式）（x p 4及三次样条韩式)(S x (⾃然边界条件)对数据进⾏插值。
⽤图给出(){}10,11,1,0,08.02.0,,x i =+=i x y i i ，）（x p 4及)(x S Python 代码import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom matplotlib.font_manager import FontPropertiesfont_set = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc",size=12) #求⽜顿n 次均差 def qiujuncha(x,f,n): for i in range(1,n): for j in range(4,i-1,-1):f[j]= (f[j] - f[j-1])/(x[j]-x[j-i]) #根据⽜顿多项式求值 def niudun(x,f,x1): sum = f[0]; tmp = 1;for i in range(1,5): tmp *= (x1-x[i-1]) sum = sum + f[i]*tmp return sum#⽜顿插值画图 def drawPic(x,f):x1 = np.linspace(0.2, 1, 100) plt.plot(x1, niudun(x,f,x1))plt.title(u"⽜顿四次插值",fontproperties=font_set) plt.xlabel(u"x 轴",fontproperties=font_set) plt.ylabel(u"y 轴", fontproperties=font_set) plt.show() def qiu_h(x,h): n = len(x) -1 for i in range(n): print(i)h[i] = x[i+1]-x[i]#⾃然边界条件下的三次样条插值求Mdef qiu_m(h,f,o,u,d):n = len(h)o[0] = 0u[n] = 0d[n] = d[0] = 0a = []for i in range(1,n):u[i] = h[i-1]/(h[i-1]+h[i])for i in range(1,n):o[i] = h[i]/(h[i-1]+h[i])for i in range(1,n-1):d[i] = 6*(f[i+1]-f[i])/(h[i-1]+h[i])t = [0 for i in range(5)]t[0] =2t[1] = o[0]a.append(t)for i in range(1,n):t = [0 for i in range(5)]t[i - 1] = u [i + 1]t[i] = 2t[i + 1] = o [i + 1]a.append(t)t = [0 for i in range(5)]t[n - 1] = u[n]t[n] = 2a.append(t)tmp = np.linalg.solve(np.array(a),np.array(d))m = []for i in range(5):m.append(tmp[i])return m#根据三次条插值函数求值def yangtiao(x1,m,x,y,h,j):returnm[j]*(x[j+1]-x1)**3/(6*h[j])+m[j+1]*(x1-x[j])**3/(6*h[j])+(y[j]-m[j]*h[j]**2/6)*(x[j+1]-x1)/h[j] +(y[j+1]-m[j+1]*h[j]**2/6)*(x1-x[j])/h[j] def main():x = [0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0]y = [0.98, 0.92, 0.81, 0.64, 0.38]f = y[:]f1 = y[:]h = [0.2,0.2,0.2,0.2]u = [0 for n in range(5)]d = [0 for n in range(5)]o = [0 for n in range(5)] qiujuncha(x,f,4) qiujuncha(x,f1,2)m = qiu_m(h,f1,o,u,d) x1 = np.linspace(0.2, 0.4, 10)p1= plt.plot(x1, yangtiao(x1,m,x,y,h,0),color='red') x1 = np.linspace(0.4, 0.6, 10)plt.plot(x1, yangtiao(x1, m, x, y, h, 1),color='red') x1 = np.linspace(0.6, 0.8, 10)plt.plot(x1, yangtiao(x1, m, x, y, h, 2),color='red') x1 = np.linspace(0.8, 1.0, 10)plt.plot(x1, yangtiao(x1, m, x, y, h, 3),color='red') x1 = np.linspace(0.2, 1.0, 40)p2 = plt.plot(x1,niudun(x,f,x1),color='green') plt.xlabel(u"x 轴", fontproperties=font_set) plt.ylabel(u"y 轴",fontproperties=font_set) plt.title("三次样条插值和⽜顿插值")plt.legend(labels=[u'三次样条插值',u'⽜顿插值'],prop=font_set,loc="best") plt.show() main()实验结果运⾏结果可得插值函数图（如图1-1），4次⽜顿插值函数）（x p 4和三次样条插值函数)(x S 如下：)6.0(*)4.0(*)2.0(625.0)4.0(*)2.0(*3.098.0)(4-------=x x x x x x x P 98.0)8.0(*)6.0(*)4.0(*)2.0(*20833.0+-----x x x x]4.0,2.0[),2.0(467.4)4.0(9.4)2.0(167.1)(S 3∈-+-+-=x x x x x]6.0,4.0[),4.0(113.4)6.0(6467.4)4.0(575.1)6.0(167.1)(S 33∈-+-+----=x x x x x x ]8.0,6.0[),6.0(2.3)8.0(113.4)6.0(575.1)(S 3∈-+-+--=x x x x x]0.1,8.0[),8.0(9.1)0.1(2.3)(S ∈-+-=x x x x图1-1三次样条插值和⽜顿插值图2.在区间[-1,1]上分别取n = 10,20⽤两组等距节点对龙格函数做多项式插值三次样条插值，对每个n值画出插值函数及图形。
数值分析上机题目3实验一1．根据Matlab 语言特点，描述Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。
2．编写Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法的M 文件。
3．给定2020⨯∈R A 为五对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------321412132141412132141412132141412132141213O O O O (1)选取不同的初始向量)0(x 及右端面项向量b ，给定迭代误差要求，分别用编写的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。
(2)用编写的SOR 迭代法程序， 对于(1)所选取的初始向量)0(x 及右端面项向量b 进行求解，松驰系数ω取1<ω<2的不同值，在5)1()(10-+≤-k k x x 时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。
实验11、 根据MATLAB 语言特点，描述Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。
2、 编写Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法的M 文件。
Jacobi 迭代法function [x1,k]=GS_2(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0; while norm(x1-x0,1)>10^(-7)&k<100 k=k+1;x0=x1;x1=D\((L+U)*x0+b);endk=kx=x1Gauss-Seidel迭代法function [x1,k]=GS_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0; while norm(x1-x0,1)>10^(-7)&k<100 k=k+1;x0=x1;x1=(D-L)\U*x0-D\b;endk=kx=x1SOR迭代法function [x1,k]=SOR_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;w=;while norm(x1-x0,1)>10^(-7)&k<100k=k+1;x0=x1;x1=(D-w*U)\(((1-w)*D+w*L)*x0+w*b);endk=kx=x13、采用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法求解五对角矩阵clear,clcA=diag(3*ones(20,1))+diag(*ones(19,1),-1)+diag(*ones(19,1),1)+diag(*ones(18,1),-2)+diag(*ones(18,1 ),2);b=sum(A')';[x1,k1]=Jacob_h(A,b)[x2,k2]=GS_h(A,b)运行结果：两种方法都收敛，k1=27,k2=13。
说明Gauss-Seidel迭代速度比Jacobi迭代速率快4、采用SOR迭代法程序对五对角矩阵进行求解clear,clcA=diag(3*ones(20,1))+diag(*ones(19,1),-1)+diag(*ones(19,1),1)+diag(*ones(18,1),-2)+diag(*ones(18,1 ),2);b=sum(A')';[x3,k3]=SOR_h(A,b)运行结果当w=时，k3=53，当w=时，k3=19，当w=时，k3=14，当w=时，k3=33。
该结果说明，当w选取合适时，可以大大加快运算速率。
实验二题目： 多项式最小二乘法摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过实验的观察和测量给出离散的一些点，再来求出具体的函数解析式。
又因为测量误差的存在，实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。
最小二乘法是求解这一问题的很好的方法，本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。
数学原理：对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为∑==mj j j x a x y 0)()(ϕ特别的，取)(x j ϕ为多项式j j x x =)(ϕ (j=0, 1,…，m )则根据最小二乘法原理，可以构造泛函∑∑==-=ni mj i j j i m x a f a a a H 110))((),,,(ϕΛ令0=∂∂ka H(k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕM M ΛM M M ΛΛ 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10Λ，因此可得到数据的最小二乘解∑=≈mj j j x a x f 0)()(ϕ程序设计：编写求解多项式拟合的Matlab 函数子程序 实验要求：用最小二乘法处理下面的实验数据.并作出)(x f 的近似分布图。
分别采用一次，二次、五次和偶数次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式，并分别作出它们的曲线图。
实验2 clc clearn=input('请输入多项式拟合次数：'); syms t for i=1:n f(i)=t^(i); endx=[3 4 5 6 7 8 9]'; y=[ ]'; m=length(x); for i=1:m for j=1:n hs=inline(f(j),'t'); A(i,j)=hs(x(i));endendh=ones(m,1);A=[h A];A1=A'*A;y1=A'*y;x1=A1\y1;f=0;for i=1:n+1f=f+x1(i)*t^(i-1);endplot(x,y,'*');hold onx1=flipud(x1);x2=linspace(min(x),max(x)); y2=polyval(x1,x2);tt=poly2str(x1,'x')text(5,7,0, tt)plot(x2,y2)实验三实验名称：非线性方程组数值求解的Newton 类方法试验。
实验目的：用Newton 类方法求解线性方程组 F(x)=0，理解其解的复杂性、初始点选择策略、减少算法工作量的方法等。
实验内容与要求：分别用Newton 法用Broyden 秩1校正法求解下面非线性方程组121232212333cos()0.5081(0.1)sin 1.060120(103)03x x x x x x x x e x π-⎧--=⎪⎪-+++=⎨⎪⎪++-=⎩（1） 写出MATLAB 源代码； （2） 给出迭代五次以上的结果；（3） 尝试不同的初值，如可取(0.1,0.1,0.1)-）；（4）计算两种方法的用时。
实验31、2、采用Newton法·¨clear,clcx0=[0,0,0]';y0=f(x0);yy0=df(x0);x1=x0-yy0\y0;k=1;format longwhile norm(x1-x0,1)>10^(-5) & k<100 k=k+1;x0=x1;y0=f(x0);yy0=df(x0);x1=x0-yy0\y0;endx=x1k=k运行结果：x=45Broyden 秩1法clear,clcx0=[0,0,0]';y0=f(x0);A0=df(x0);x1=x0-A0\y0;y1=f(x1);k=1;format longwhile norm(x1-x0,1)>10^(-2) & k<100000 k=k+1;g=y1-y0;y=x1-x0;A1=A0+(g-A0*y)/(y'*y)*y';x0=x1;x1=x0-A1\y1;A0=A1;y0=f(x0);y1=f(x1);endx=x1k=k运行结果，x =k =53.尝试不同初值。
x0=[,,]采用Newton法·¨x =k =68 Broyden 秩1法x =k =7该结果说明，采用不同的初值，对结果没有影响。
4、计算两种方法的用时采用Newton法·¨t 1=Broyden 秩1法t2 =采用Broyden 秩1法运算比较快。
