数值分析上机题参考答案

2019-2020 第1学期数值分析上机实习题总目标：会算，要有优化意识。

（以下程序要求以附件1例题代码格式给出）1. 对给定的线性方程组Ax b =进行迭代求解。

（1）给出Jacobi 迭代的通用程序。

（2）给出Gauss-Seidel 迭代的通用程序。

调用条件：系数矩阵A ，右端项b ，初值0x ，精度要求ε。

输出结果：方程组的近似解。

给定线性方程组211122241125x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，和122711122215x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取初值0x 为0， 分别利用Jacobi 迭代和G-S 迭代进行求解，观察并解释其中的数学现象。

2. 利用紧凑格式（即直接分解法或逐框运算法）对给定的矩阵A 进行Doolittle 分解，并用其求线性方程组的解。

调用条件：矩阵A 。

输出结果：单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 。

给定矩阵1112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用以下算法：1）将A 作Doolittle 分解11A LU =，2）令211A U L =，并对2A 作Doolittle 分解222A L U =，3）重复2）的过程令11n n n A U L --=，并对n A 作Doolittle 分解n n n A L U =，2,3,4,n =， 观察n L ，n U ，n A 的变化趋势，思考其中的数学现象。

3. 给定函数21(),12511f x x x -≤+≤=，取164,8,n =，用等距节点21,i i n x =-+ 0,1,,1i n =+对原函数进行多项式插值和五次多项式拟合，试画出插值和拟合曲线，并给出数学解释。

4. 给出迭代法求非线性方程()0f x =的根的程序。

调用条件：迭代函数()x ϕ，初值0x输出结果：根的近似值k x 和迭代次数k给定方程32()10f x x x =--=，用迭代格式1k x +=0 1.5x =附近的根，要使计算结果具有四位有效数字，利用估计式*1||1||k k k L x x x x L -≤---，或估计式*10||1||kk L x x x x L-≤--来判断需要的迭代次数，分别需要迭代多少次？两者是否有冲突？5. 利用数值求积算法计算()ba f x dx ⎰。

方詡文金兴:爭［数值分析］2017-2018第二学期上机实习题1：编程计算亍丄，其中C= 4. 4942x10307,给出并观察计算结心C"果，若有问题，分析之。

解:mat lab 编程如下:E) funct ion diy i ti formatlong g;n 二input C 输入ii 值= c= 4.4942E307; sum 二0; s 二 0;E3 for i = l:n s = l/ (c*i);>> diyiti 输入n 值:10 104.6356e-308 >> diyiti输入ri 值:1001004.6356e-308 >> diyiti 输入n 值:1000 10004.6356e-308 >> diyiti揄入n 值* 1000001000004・ 6356e-308 >> diyiti输入n 值；1000000001000000004.6356e-308图二：运行结果Mat lab 中，forma t long g 对双精度，显示15位定点或浮点格式，由上图 可知，当输入较小的n 值5分别取10, 100, 1000, 100000, 100000000）的时候, 结果后面的指数中总是含有e-308,这和题目中的C 值很相似，我认为是由于分 母中的C 值相对于n 值过大，出现了 “大数吃小数”的现彖，这是不符合算法原 则的。

2：利用牛顿法求方程-1^ = 2于区间241的根，考虑不同初值下牛顿法的收敛情况。

解：牛顿法公式为:利用mat lab 编程function di2ti21 3i=l ；2 2.85208156699784 xO 二input （'输入初值x0：‘ ）;A 二[i x0];3 2.55030468822809 t=x0+ (x0-log (xO) -2) /(1-1/xO) ; %迭代函数4 1.91547247100476 三 while (abs (t _x0)>0.01)i=i+l; 5 0.37867158538991 xO 二 t; 6 0.774964959780275 A = [A;i xO];t =x0+(x0-log(xO)-2)/(1-1/xO): 7 4.11574081641933 cnd| 8 5.04162436446126 disp (A);96.81782826645596当输入初值二3的时候并不能收敛。

源程序如下：function[x_jac,x_gauss,x_sor,A,b]=diedai(n,w,e,N,Ain,bin) if nargin<3e=1e-5;N=1000;endif nargin<4N=1000;endif nargin<2error('²ÎÊý²»¹»');endA=hilb(n);b=A*ones(n,1);if nargin>4if nargin==5error('ÇëÊäÈëb');elseA=Ain;b=bin;endend%%Ñſ˱ȵü´údiedai_n=0;x=zeros(n,2);while max(abs(b-A*x(:,2)))>ediedai_n=diedai_n+1;if diedai_n>Ndisp('Ñſ˱ȵü´úδ´ïµ½¾«¶È');break;endx(:,1)=x(:,2);for i=1:nif i>1x(i,2)=(b(i)-A(i,1:(i-1))*x(1:(i-1),1)-A(i,(i+1):n)*x((i+ 1):n,1))/A(i,i);elsex(i,2)=(b(i)-A(i,(i+1):n)*x((i+1):n,1))/A(i,i);endendendx_jac.x=x(:,2);x_jac.n=diedai_n-1;x_jac.error=max(abs(b-A*x(:,2)));%%¸ß˹µü´údiedai_n=0;x=zeros(n,2);while max(abs(b-A*x(:,2)))>ex(:,1)=x(:,2);diedai_n=diedai_n+1;if diedai_n>Ndisp('¸ß˹¡ªÈüµÂ¶ûµü´úδ´ïµ½¾«¶È');break;endfor i=1:nif i>1x(i,2)=(b(i)-A(i,1:(i-1))*x(1:(i-1),2)-A(i,(i+1):n)*x((i+ 1):n,1))/A(i,i);elsex(i,2)=(b(i)-A(i,(i+1):n)*x((i+1):n,1))/A(i,i); endendendx_gauss.x=x(:,2);x_gauss.n=diedai_n-1;x_gauss.error=max(abs(b-A*x(:,2)));%%SORµü´údiedai_n=0;x=zeros(n,2);while max(abs(b-A*x(:,2)))>ex(:,1)=x(:,2);diedai_n=diedai_n+1;if diedai_n>Ndisp('SORµü´úδ´ïµ½¾«¶È');break;endfor i=1:nif i>1x(i,2)=x(i,1)+w*(b(i)-A(i,1:(i-1))*x(1:(i-1),2)-A(i,i:n)* x(i:n,1))/A(i,i);elsex(i,2)=x(i,1)+w*(b(i)-A(i,i:n)*x(i:n,1))/A(i,i);endendendx_sor.x=x(:,2);x_sor.n=diedai_n-1;x_sor.error=max(abs(b-A*x(:,2)));end运行结果：由于SOR的松弛因子取1时与高斯-赛德尔迭代相同，故在矩阵n取8,10时省去了SOR迭代松弛因子取1的步骤。

数值分析论文数值积分 一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法，计算I = dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈II =dx x x ⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I fI = dx xe x⎰+1024 I =()dx x x ⎰++1211ln 二、要求编制数值积分算法的程序；分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； ﹡给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长﹡。

三、目的和意义深刻认识数值积分法的意义； 明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题引言一、数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法。

如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系。

依据人们熟悉的微积分基本原理，对于积分I=⎰a b f(x)dx,只要找到被积函数f(x)和原函数F(x),便有下列牛顿-莱布尼茨公式：I=⎰a b f(x)dx=F(b)-F(a).但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如x xsin，2xe-等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。

另外，当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题。

二、数值积分代数精度数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确成立，就提出了所谓代数精度的概念。

如果某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但对m+1次多项式就不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

三、复合求积公式为了提高精度，通常可以把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间用低阶求积公式，即复化求积法，比如复化梯形公式与复化辛普森公式。

数值分析上机题第一章17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-=Nj N j S 2211，其精确值为）111-23（21+-N N 。

（1）编制按从大到小的顺序1-1···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用程序；（2）编制按从小到大的顺序121···1)1(111222-++--+-=N N S N ，计算NS 的通用程序；（3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？解： 程序：（1）从大到小的顺序计算1-1···1-311-21222N S N +++=：function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1format long ; sn1=single(0); for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1); end end（2）从小到大计算121···1)1(111222-++--+-=N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1); end end（3）总的编程程序为： function p203()clear allformat long;n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为snfprintf('精确值为%f\n',sn);sn1=fromlarge(n);fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1);sn2=fromsmall(n);fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2);function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long;sn1=single(0);for m=2:1:nsn1=sn1+1/(m^2-1);endendfunction sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long;sn2=single(0);for m=n:-1:2sn2=sn2+1/(m^2-1);endendend运行结果：从而可以得到N值真值顺序值有效位数2 100.740050 从大到小0.740049 5从小到大0.740050 64 100.749900 从大到小0.749852 3从小到大0.749900 66 100.749999 从大到小0.749852 3从小到大0.749999 6（4）感想：通过本上机题，我明白了，从小到大计算数值的精确位数比较高而且与真值较为接近，而从大到小计算数值的精确位数比较低。

数值分析韩旭里答案【篇一：数值分析上机题目】>1631110xxxx 材料科学与工程学院一．第2章插值法l2.7 给定数据表2-15.用newton插值公式计算3次插值多项式n3(x).表2-15x f(x)1 1.251.52.500 1.002 5.50a. matlab代码如下，two.m,%第二章，p45,练习题2第七题 clear(); x=[1,1.5,0,2];y(:,1)=[1.25,2.50,1.00,5.50];%已知点集合x和y syms t w; w(1)=1; %计算基函数序列w和差商表y，以及函数序列的权数diag(y),计算的牛顿三次多项式表述为t的函数 for j=2:length(x) fori=j:length(x)y(i,j)=(y(i,j-1)-y(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1)); i=i+1; endw(j)=prod(t-x(1:j-1)); j=j+1; enddisp(三次牛顿插值多项式为); disp(collect(w*diag(y)));plot(x,y(:,1),*); hold on;fplot(collect(w*diag(y)),[-0.5,2.5]);legend({已知点集,三次牛顿插值多项式函数},location,northwest,fontsize,14); xlabel(x,fontsize,16);ylabel(y,fontsize,16); hold off;b. 计算结果如下：二．第3章函数逼近与数据拟合a. matlab代码，three.m，%第三章函数逼近与数据拟合，p68练习题，第2题 clear(); syms x;%所使用的非线性基函数序列，用符号表示 y=abs(x);%被逼近函数f=[1,x^2,x^4];%求解法方程的系数矩阵a*gn=b，其中a和b均为行向量gn=ones(length(f),length(f)); for i=1:length(f) for j=1:length(f) gn(i,j)=int(f(i)*f(j),-1,1);j=j+1; endb(i)=int(f(i)*y,-1,1); i=i+1; enda=b/gn;%最佳平方逼近的系数行向量 disp(逼近函数表达式);disp(vpa(f*a));disp(最佳函数逼近得平方误差); disp(vpa(int(y^2,-1,1)-a*b));fplot(y,[-1,1]); hold on; fplot(a*f,[-1,1]);legend({被逼近函数,逼近函数},location,north,orientation,horizontal,fontsize,16,fontweight,b old);xlabel(x,fontsize,20,fontweight,bold);ylabel(y,fontsize,20,fontweight,bold); hold off;b. 运行结果如下：三.第4章数值积分与数值微分例4.9用romberg求积法计算定积分 01sin?(??)??a. matlab代码，four.m%romberg求积公式，外推原理 clear(); clear(); format long; a=0; b=1;t(1,1)=(b-a)/2*(f(a)+f(b));t(2,1)=1/2*t(1,1)+(b-a)/2*f((a+b)/2); t(1,2)=(4*t(2,1)-t(1,1))/(4-1);col=2;while abs(t(1,col)-t(1,col-1))0.5*10^-6%t(1,col)对应的计算的是多少步的值,col→coln关系col=col+1;%此时求得是第n+1次均分后的结果，使用的是第n次的结果，注意在矩阵 %计算的第n斜列是第n-1次均分的结果 for j=1:colif j==1h=(b-a)/2^(col-2);%使用n+1之前的第n次结果【篇二：数值分析a教学】>一、课程基本信息二、课程目的和任务“数值分析”是理工科院校计算数学、力学、物理、计算机软件等专业的学生必须掌握的一门重要的基础课程。

第一二章习题提示第一章误差1.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差是多少？答案：V =43πR 3，εr (V )=ε(V )V =4πR 2ε(R )43πR 3=3εr (R )。

球体积要使相对误差限为1%，R 时允许的相对误差是1300=0.003333。

2.考虑正弦函数sin x 的求值，特别是数据传递误差，即自变量x 发生扰动h 时函数值的误差。

(1)估计sin x 的绝对误差。

(2)估计sin x 的相对误差。

(3)估计这个问题的条件数。

(4)自变量x 为何值时，这个问题高度敏感？答案：(1)cos xh 。

(2)cot xh 。

(3)相对条件数x cot x 。

(4)x =kπ，k =0时，这个问题高度敏感。

注：误差估计与近似值取法有关，要舍去高阶无穷小。

如：sin (x +h )≈sin x +cos xh ，则误差为−12sin xh 2等。

3.设Y 0=28，按递推公式Y n =Y n −1−1100√783，(n =1,2,...)计算到Y 100。

若取√783≈27.982(保留5位有效数字)，试问计算Y 100将有多大误差。

答案：Y 100=Y 0−√783，ε(Y 100)=ε(27.982)(假设Y 0无误差)。

Y 100的误差限为12×10−3。

4.正方形的边长大约为100cm ，问测量时允许多大的误差才能使其面积误差不超过1cm 2。

答案：测量边长的误差应不超过0￿005cm 。

上机题1.编程观察无穷级数∞∑n =11n的求和计算。

(1)采用IEEE 单精度浮点数，观察当n 为何值时求和结果不再变化，将它与理论分析的结论进行比较(注：在MATLAB 中可用single 命令将变量转成单精度浮点数)。

(2)用IEEE 双精度浮点数计算(1)中前n 项的和，评估IEEE 单精度浮点数计算结果的误差。

答案：format longs =single(0);u =single(1);t =0;k =1;while u ~=su =s;s =s +1/k;t =t +1/k;k =k+1;endk -1s -t这里单精度浮点数的和为s =15.404，双精度浮点数的和为t =15.133。

一、 问答题1、什么是近似值x * 有效数字？若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

它可表示为X=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1),其中a i (i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，a 1≠0,m 为整数，且︱x －x *︱≠21×10m-n+12、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行 数值运算算法设计过程中主要注意什么？ （1）简化计算过程，减少运算次数； （2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值； （4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。

3、写出“n 阶阵A 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）(1)|A|不为零(2)n 阶矩阵A 的列或行向量组线性无关 (3)矩阵A 为满秩矩阵(4)n 阶矩阵A 与n 阶可逆矩阵B 等价4、迭代法的基本思想是什么？就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。

其基本思想为：先任取一组近似解初值X 0，然后按照某种迭代原则，由X 0计算新的近似解X 1，以此类推，可计算出X 2,X 3，…X K ，。

,如果｛X ｝收敛，则取为原方程组的解。

5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关 （2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-Ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。

6、Lagrange 插值的前提条件是什么？并写出二次Lagrange 插值的基函数。

前提条件是：⎩⎨⎧≠==i j i j x j，，（01)l i .2,1,0,n j i ， = 二次Lagrange 插值的基函数：()))(())((2010210x x x x x x x x x l ----=()))(())((2101201x x x x x x x x x l ----= ()))(())((1202102x x x x x x x x x l ----=7、什么是数值积分的代数精度？如果某一个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）。