2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题 word版

嘉定区第一中学2021-2021高二上学期第一阶段考试数学试卷〔期中〕考试时间: 120分钟总分值: 150分一､填空题(本大题共有12题,总分值54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.2213lim x n n →∞+=____. 2.(1,),(2,3),a k b ==假设a b 与平行，那么k=_____.3.方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____.4.在等差数列{}n a 中,己知那么该数列前11项和11S = ___. 5.假设1312,2433A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，B 那么2A-B=___. 6.11111()1,234212f n n n=++++++-那么f(n+1)-f(n)= ___. 7.△ABC 是边长为1的等边三角形, p 为边BC 上一点,满足2,PC BP =那么BA AP ⋅=___.8.数列n a 的前n 项和为2*,4,.n n S S n n N =+∈且那么n a =___.9.设无穷等比数列n a 的公比是q ，假设1a =34lim(),n x a a a →∞+++那么q =___.10.点12(1,1),(7,4),P P ==点P 分向量12PP 的比是1,2那么向量1PP 在向量方向上的投影为____.11.在△ABC 中, , CB a CA b == , ∠ACB=120°.假设点D 为△ABC 所在平面内一点,且满足条件:①(1)(),(),CD CB CA R CD bCB CA λλλ=+-∈+②那么||CD =____.(用a, b 表示)12. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 假设存在实数A,使得对任意的*1,n N ∈都有||n S A <,那么称数列{}n a 为“T 数列〞,那么以下{}n a 为“T 数列〞的是_______.①{}n a 是等差数列,且10,a >公差d<0;②假设{}n a 是等比数列, 且公比q 满足|q|<1;③假设2(1)2n nn a n n +=+； ④假设120,(1)0n n n a a a +=+-=. 二､选择题(本大题共有4题,每题5分,总分值20分)13.a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭为单位矩阵,那么向量(,)m a b =的模为()A.0B.1C.2D 14. ,a b 为两个非零向量,命题甲: ||||||a b a b -=+,命题乙:向量a 和b 共线,那么甲是乙的()A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件15.标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法〞是我国独创的视力记录方式,标准对数远视力表各行为正方形“E 〞形视标,且从视力5.2的视标所在行开始往上,每一行“E 〞的边长都是下方一行“E 〞边长的1010倍,假设视力4.1的视标边长为a,那么视力4.9的视标边长为()16.在△ABC 中, H 是边AB 上一定点,满足AB= 4HB,且对于边AB 上任一点P ,恒有 PB PC HB HC ⋅≥⋅,那么()A ∠ABC= 90°B.∠BAC= 90°C.AB= ACD.AC= BC三､解答题(本大题共有5题,总分值76分)解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(此题14分,第1小题6分,第2小题8分)A(2,1), B=(3,2), D=(-1,4)(1)假设四边形A BCD 是矩形,试确定点C 的坐标;(2)O 为坐标原点,求.OA OB OC ⋅-18.(此题14分,第1小题6分,第2小题8分)向量x ,y 满||1x =,||2y =,且()()225x x y f v --=.(1)求x 与y 的夹角θ；(2)假设()x my y -⊥,求实数m 的值. 19.(此题14分,第1小题6分,第2小题8分)根据预测,疫情期间,某医院第n 〔n ∈N*〕天口罩供给量和消耗量分别为n a 和n b (单位:个),其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩,5n b n =+,第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供给量与消耗量的差. (1)求该医院第4天末的口罩保有量;(2)该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S p -+=-(单位:个). 设在某天末,口罩保有量到达最大,问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量?20.(此题16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)在直角坐标平面xOy 上的一列点()111,A α ,22(1,)A a ,,,()1,n n A a ,,,,简记为n {}A .假设由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +>,1,2,...n =,其()0,1j =,那么称{}n A 为“M 点列〞(1)判断()11,1A ,()22,1A ,()33,1A ,,,(),1n A n ,…是否为“M 点列〞,并说明理由;(2)判断()11,1A ,212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,313,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,1,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,是否为“M 点列〞,请说明理由,并求出此时列{}n b 的前n 项和n T . (3)假设n A 为“M 点列〞,且点2A 在A 1的右上方,任取其中连续三点k A ,k l A +,24k +,判断12k k k A A A ++的形状(锐角三角形､直角三角形､钝角三角形),并予以证明.21.(此题18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)数列{}n a 中,11a =,2a d =,()12n n n a k a a ++=+对任意n N *∈都成立,数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)假设{}n a 是等差数列,求k 的值;(2)假设1a =,12k =-,求n S ;(3)是否存在实数k,使数列{}n a 是公比个为1的等比数列,且任意相邻三项m a ,1m x +,2m a +按某顺序排列后成等差数列?假设存在,求出所有k 的值;假设不存在,请说明理由.。

2021年高二上学期12月月考试题 数学（文） 含答案一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1.已知，则的虚部是 .2.已知，则的最小值是3.已知，则4.已知双曲线:的焦距是10，点P （3,4）在的渐近线上，则双曲线的标准方程是5.在直角坐标系中，不等式组表示平面区域面积是4，则常数的值_______．6.函数的图象在点处的切线方程是 .7.已知,，则的最大值是8.数列的前项和为，且，利用归纳推理，猜想的通项公式为9.已知在上是增函数，则的取值范围是 .10.设等差数列的前项和为，则，，成等差数列；类比以上结论有：设等比数列的前项积．为，则， ，成等比数列．11.函数在上有极值，则的取值范围是12.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率取值范围是13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为左右顶点，焦距为2，左准线与轴的交点为，∶= 6∶1．若点在直线上运动，且离心率，则的最大值为 ．14.已知函数 ，20154321)(2015432x x x x x x g --+-+-= 设，且函数的零点均在区间（，，Z ）内，圆的面积的最小值是_______.二、解答题（本大题共6小题，计90分.）15. （本题满分14分）已知在区间[0,1]上是减函数,在区间上是增函数,又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在区间恒成立,求的取值范围.16. （本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，B点在直线上，点满足，，设(1)求满足的关系式；(2)斜率为1的直线过原点，的图像为曲线C，求被曲线C截得的弦长.17. （本题满分14分）给定正数，且，设，．（１）比较的大小；（２）由（１）猜想数列的单调性，并给出证明．18. （本题满分16分）在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克，）满足：当时，，；当时，．已知当销售价格为元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为元/千克时，每日可售出150千克．（1）求的值，并确定关于的函数解析式；（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大（精确到0.1元/千克）．19. （本题满分16分）如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆的上顶点为圆心作圆，设圆与椭圆交于点与点。

2021 2021学年高二上学期12月份月考数学试卷(理科) Word版含解析2021-2021学年高二上学期12月份月考数学试卷(理科)word版含解析2022-2022学年高二第一学期12月月度试卷数学（理科）一、选择题：该题包括8个子题，每个子题得5分，共40分。

每个子问题只有一个选项符合问题的含义。

1.如果副总裁∨ q是一个错误的命题，那么（）a.P∧ q是一个错误的命题，B.P∨ q是一个假命题，C.P是一个假命题，d.vq是一个假命题2．椭圆x2+25y2=100上的一点m到椭圆的一个焦点的距离等于5，那么m到另一个焦点的距离等于（）a．5b．10c．15d．203.抛物线y2=4ax（a<0）的焦坐标为（）a.（a，0）B.（a，0）C.（0，a）d.（0，a）4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）a、 b.c.1d.25．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若m∥n，n?α，则m∥α；②如果我⊥ n、m⊥ α、 n？α、然后n‖α③ 如果α⊥ β、m⊥ α、n⊥ β、然后我⊥ N④若m、n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α．其中正确的命题有（）答。

①②b。

②③c。

③④d。

②④6．“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的（）a．充分而不必要条件b．必要而不充分条件c．充分必要条件d．既不充分也不必要条件7.将点P设为双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，f1，f2分别是双曲线的左右对焦，且| Pf1 |=2 | PF2 |，则双曲线的偏心率为（）b．c。

d．8.已知立方体abcda1b1c1d1、点e、点F和点G分别是线段B1B、AB和A1C上的移动点。

观察直线CE和d1f、CE和d1g。

得出以下结论：①对于任意给定的点e，存在点f，使得d1f⊥ce；②对于任意给定的点f，存在点e，使得ce⊥d1f；③对于任意给定的点e，存在点g，使得d1g⊥ce；④对于任意给定的点g，存在点e，使得ce⊥d1g．正确结论的数量为（）a．1个b．2个c．3个d．4个二、填空：该问题包括6个子问题，每个子问题6分，共36分9．如图是古希腊数学家阿基米德墓碑上的图案，圆柱内有一个内切球，球的直径恰好等于圆柱的高，此时球与圆柱的体积之比为．10.双曲线=1。

2020-2021学年高二数学12月月考试题 (I)本试卷由卷I 和卷II 两部分组成，卷I 为《必修2》的模块考，满分100分，卷II 为《选修2—1》内容，满分50分，总分150分。

卷I （共100分）一. 选择题 ：本大题共10小题 ，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的。

1．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ ）A.2x+y －1=0B.2x+y －5=0C.x+2y －5=0D.x －2y+7=02. 已知直线l 的方程为043=++y x ，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )．A ．(2，2) B(1，1) C ．(－2，－2) D ．(－1，－1) 4．若一圆的标准方程为3)5()1(22=++-y x ，则此圆的的圆心和半径分别为 （ ） A 、)5,1(-,3 B 、)5,1(-, 3 C 、 )5,1(-,3 D 、 )5,1(-,35．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则m 的值为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 46．以两点)1,3(--A 和)5,5(B 为直径端点的圆的方程是（ ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y x C 、25)2()1(22=+++y x D 、25)2()1(22=-+-y x 7.已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm 3B.13 cm 3C.16 cm 3D.112cm 38.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A．202π B．252πC．50π D．200π9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为（）A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）。

2020-2021学年高二（上）月考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 过点P(−2, m)和Q(m, 4)的直线的斜率等于1，则m 的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42. 向量a →=(2, 1, x)，b →=(2, y, −1)，若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为( ) A.−1 B.1C.4D.−43. 在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7=a 8+5，则S 11的值是（ ） A.55 B.11C.50D.604. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为ℎ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ5. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于（ ） A.n B.n +1 C.2n −1 D.2n +16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1C.x 23−y 2=1D.x 2−y 23=17. 点P是直线x+y−3＝0上的动点，由点P向圆O:x2+y2＝4作切线，则切线长的最小值为（）A.2√2B.32√2 C.√22D.128. 已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.e12+e22＝2B.e12+e22＝4C.1e12+1e22=2 D.1e12+1e22=4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 下列说法正确的是（）A.过点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1B.点(0, 2)关于直线y＝x+1的对称点是(1, 1)C.直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D.经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2＝010. 在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A.q＝1B.数列{S n+2}是等比数列C.S8＝510D.数列{lg a n}是公差为2的等差数列11. 如图，设E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）A.三棱锥D1−B1EF的体积为定值B.异面直线D1B1与EF所成的角为60∘C.D1B1⊥平面B1EFD.直线D1B1与平面B1EF所成的角为30∘12. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1, 0)和F2(1, 0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A.曲线C过坐标原点B.曲线C关于坐标原点对称C.曲线C关于坐标轴对称a2D.若点在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 在等差数列{a n}中，a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则数列{a n}的前9项之和S9等于________．14. 已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+16＝0为d2，则d1+d2的最小值为________．15. 数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为________．16. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x−y+10＝0上．若动圆C过点(−5, 0)，求圆C的方程________，使得动圆C中满足与圆O:x2+y2＝r2相外切的圆有且仅有一个．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:x−y+a＝0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1 // l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)上的点M(1, m)到其焦点F的距离为2．（1）求C的方程；并求其焦点坐标；（2）过点(2, 0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．19. 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2，a3=2a2+16．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=loga n，求数列{b n}的前n项和．220. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14．（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB // CD ，AB ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1．（1）证明：EC // 平面PAD ；（2）求二面角E −AC −P 的正弦值．22. 已知O 为坐标原点，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过F 1，F 2的圆与直线x =−√2相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点；(ⅰ)若直线l 的斜率等于1，求△OMN 面积的最大值；(ⅱ)若OM →⋅ON →=−1，点D 在l 上，OD ⊥l ．证明：存在定点W ，使得|DW|为定值．参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.【答案】 A【解析】利用直线的斜率公式求解． 2. 【答案】 D 【解析】根据|a →|=√5求出x 的值，再根据a →⊥b →得出a →⋅b →=0，列方程求出y 的值，即可计算x +y 的值． 3.【答案】 A【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出． 4. 【答案】 A【解析】本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(a2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ． 5.【答案】 B【解析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式． 6.【答案】 D【解析】 此题暂无解析 7.【答案】 C【解析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线x +y −3＝0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．8.【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.【答案】B,C【解析】分类求出点(x1, y1)，(x2, y2)两点的直线方程判断A；由对称性判断B；求出直线x−y−2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积判断C；求出经过点(1, 1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程判断D．10.【答案】B,C【解析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．11.【答案】A,B,D【解析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1−B1EF的体积为定值，可判断选项A；求得异面直线D1B1与EF所成的角为45∘可判断B；判断D1B1与平面B1EF不垂直可判断C；直线D1B1与平面B1EF所成的角是为30∘可判断D．12.【答案】B,C,D【解析】设动点坐标为(x, y)，根据题意可得曲线C的方程为[(x+1)2+y2]•[(x−1)2+y2]＝a4，对各个选项逐一验证，即可得出结论．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【答案】99【解析】由等差数列的性质可求得a4，＝13，a6＝9，从而有a4+a6＝22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．14.【答案】4【解析】利用抛物线的定义，将d 1+d 2的最小值转化为焦点到直线4x −3y +16＝0的距离即可求得． 15. 【答案】a n ={2(n =1)2n −1(n ≥2)【解析】a 1＝S 1＝1+1＝2，a n ＝S n −S n−1＝(n 2+1)−[(n −1)2+1]＝2n −1．当n ＝1时，2n −1＝1≠a 1，由此能求出数列{a n }的通项公式． 16. 【答案】(x +10)2+y 2＝25或(x +5)2+(y −5)2＝25，存在正实数r ＝5√2−5 【解析】由已知先设原的标准方程，再由已知条件建立方程组即可求出圆的圆心，进而可以求解；然后再求出圆O 的圆心到直线l 的距离，利用直线与圆外切的圆只有一个可求出此时圆O 的半径，进而可以求解．三、解答：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】∵ 直线l 1:ax +2y +1＝0，直线l 2:x −y +a ＝0， 当直线l 1⊥l 2时，a ×1+2×(−1)＝0， 解得a ＝2，∴ l 1:2x +2y +1＝0，直线l 2:x −y +2＝0， 联立解得{x =−54y =34∴ a 的值为2，垂足P 的坐标为(−54, 34)； 当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a ＝−2，∴ l 1:−2x +2y +1＝0，直线l 2:−2x +2y +4＝0， 由平行线间的距离公式可得d =√(−2)2+22=3√24∴ a 的值为−2，直线l 1与l 2的距离为3√24【解析】（1）由垂直可得a ×1+2×(−1)＝0，解得a 值可得直线的方程，联立方程可解交点坐标；（2）当直线l 1 // l 2时，a1=2−1≠1a ，解得a 值可得直线的方程，由平行线间的距离公式可得答案． 18. 【答案】由抛物线的方程可得其准线方程为x =−p2，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以1−(−p2)＝2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ，焦点F(1, 0)．由题意可得直线l 的方程为：y ＝x −2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{y 2=4x y =x −2，整理可得：x 2−8x +4＝0，x 1+x 2＝8，x 1x 2＝4， 所以弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+1⋅√82−4×4=4√6， 所以弦AB 的长为4√6．【解析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，起床p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；（2）由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB 的值． 19.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，由a 1=2，a 3=2a 2+16，得2q 2=4q +16， 即q 2−2q −8=0，解得q =−2（舍）或q =4． ∴ a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1； (2)b n =log 2a n =log 222n−1=2n −1，∵ b 1=1，b n+1−b n =2(n +1)−1−2n +1=2， ∴ 数列{b n }是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列{b n }的前n 项和T n =n ×1+n(n−1)×22=n 2．【解析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n }的通项公式代入b n ＝log 2a n ，得到b n ，说明数列{b n }是等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解． 20. 【答案】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1−15)万元，第n 年投入为800×(1−15)n−1万元．所以，n 年内的总投入为a n ＝800+800×(1−15)+...+800×(1−15)n−1=∑ n k=1800×(1−15)k−1＝4000×[1−(45)n ]；第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元， 第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元． 所以，n 年内的旅游业总收入为b n ＝400+400×(1+14)+...+400×(1+14)n−1=∑ n k=1400×(54)k−1＝1600×[(54)n −1]．设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n −a n >0，即1600×[(54)n −1]−4000×[1−(45)n ]>0． 化简得5×(45)n +2×(54)n −7>0， 设x ＝(45)n ，代入上式得5x 2−7x +2>0，解此不等式，得x <25，x >1（舍去）．即(45)n <25，由此得n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．【解析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+14)万元，归纳出第n 年旅游业收入为400×(1+14)n−1万元．从而得出n 年内的旅游业总收入b n ． （2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n −a n >0，解得n 的取值范围即可． 21.【答案】证明：如图，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ∵ BE ＝PE ，PF ＝AF ，∴ EF ∥=12AB ，∵ 直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1， ∴ CD ∥=12AB ，∴ CD ∥=EF ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，∴ EC // FD ，∵ DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴ EC // 平面PAD ．如图，∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ AP 、AB 、AD 两两垂直， 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系 A(0, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，B(2, 0, 0)，E(1, 0, 12)， AP →=(0, 0, 1)，AC →=(1, 1, 0)，AC →=(1, 1, 0)，AE →=(1, 0, 12)， 设平面APC 的法向量m →=(x, y, z)，则{m →⋅AP →=z =0m →⋅AC →=x +y =0，取x ＝1，得m →=(1, −1, 0)， 设平面EAC 的法向量n →=(a, b, c)，则{n →⋅AC →=a +b =0n →⋅AE →=a +12c =0 ，取a ＝1，得n →=(1, −1, −2)， 设二面角E −AC −P 的平面角为θ， 则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√2×√6=√33， sin θ=√1−(√33)2=√63． ∴ 二面角E −AC −P 的正弦值为√63．【解析】（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，推导出四边形EFDC 是平行四边形，从而EC // FD ，由此能证明EC // 平面PAD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −P 的正弦值． 22.【答案】由题意知：F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，由椭圆定义知，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2，设椭圆的半焦距为c ，所以b 2+c 2＝a 2，所以a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1． (ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t试卷第11页，总11页 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2＝0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2t 2，又因为k ＝1，得|AB|=√2|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3−t 23， 点O 到直线l 的距离d =√1+k 2=√2， 所以S △AOB =12⋅√24√3−t 23=√23×√t 2(3−t 2)≤√23×(t 2+3−t 22)=√22， 等号当仅当t 2＝3−t 2时取，即当t =±√62时，△OMN 的面积取最大值为√22．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，由(ⅰ)知：x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2t 2−21+2k 2，所以y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=t 2−2k 21+2k 2， 所以OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=3t 2−2−2k 21+2k 2=−1， 解得t 2=13，t =±√33，直线y ＝kx ±√33过定点Z(0, √33)或(0,−√33) 所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W(0, √36)或(0, −√36)，半径等于√36， 所以存在定点W(0, √36)或(0, −√36)，使得|DW|为定值． 【解析】（1）利用椭圆的焦距求出c ，利用椭圆的定义求解a ，推出b ，即可得到椭圆方程．(2)(ⅰ)设直线l 的方程为：y ＝kx +t 将y ＝kx +t ，代入x 22+y 2=1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，利用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用基本不等式推出结果．(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，求出向量的数量积，推出直线系方程得到定点，然后推出结果．。

2021年高二上学期12月月考数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）。

1．抛物线焦点坐标是（ ） R3534A ．(，0)B ．(，0)C ． (0, )D ．(0, ) 2.等于，则三角形面积中，已知A S c b ABC 23,3,2===∆（ ）A. B. C. D.3. 以下说法错误的是A ．命题“若x 2-3x +2=0，则x =1”的逆否命题是“若x ≠ 1，则x 2-3x +2 ≠ 0”B ．“x = 1”是“x 2-3x +2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题D ．若命题p ：，使得+x 0+1<0，则﹁p ：，都有x 2+x +1 ≥ 04.等差数列中，等于，则项和其前n S n a a a n 100,14,1531==+=（ ）A. 9B. 10C. 11D. 125.等比数列中，，，则等于（ )A. B. C. D.6.已知（ ）A. B. C. D.7．双曲线-=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．8．抛物线到直线距离最近的点的坐标是 ( )A ．B ．(1，1)C ．D ．(2，4)9.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．B ．C ．3D ．510.直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。

11.在数列中，=____________.12. “”是“”的 条件.13. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面宽度是________米.14.点满足约束条件22410y x y x y x ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩，目标函数的最小值是 。

2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．己知平面向量()1,1a =，()1,1b =-，则向量1322a b -=__________．【答案】1,2【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为()1,1a =，()1,1b =-所以()()()13131,11,11,22222a b -=--=-故答案为：1,2.2．已知数列{}n a 为等差数列，69a =，1d =，则1a =__________． 【答案】4【分析】代入等差数列的通项公式求解即可.【详解】由等差数列的通项公式知161559a d a a =+=+=，解得14a =. 故答案为：4.3．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α，则sin 2α=__________．【答案】45-【分析】根据同角三角函数的关系可得cos α=，再根据正弦的二倍角公式求解即可.【详解】因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin αcos α=，所以4sin 22sin cos 5ααα==-．故答案为：45-4．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为________【答案】(4,3,2)-【详解】 如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为1DB 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C , 所以1(4,3,2)AC =-.5．已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为______． 【答案】30°【解析】将||||b a b =-平方展开，结合||||a b =，整理可得21||2a b a ⋅=，可求||3||a b a =+， 利用向量夹角公式，即可求解.【详解】解：设a 与a b +的夹角为θ，由||||a b =，得22||||a b =． 又2222||||||2||b a b a a b b =-=-⋅+， ∴21||2a b a ⋅=．∴2222||||2||3||a b a a b b a +⋅=++=， ∴||3||a b a =+，∴221||||()32cos 2||||||3||a a a ab a a b a a θ+⋅===⨯++⨯． ∵0180θ︒︒，∴30θ︒=． 故答案为:30°.【点睛】本题考查向量的模与向量数量积关系，考查向量的夹角，属于基中档题.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3AB BC AA ==1AD 与1DB 所成角的余弦值为__________. 【答案】55【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值.【详解】解答：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3AB BC AA ===，1(1,0,0),(0,0,3),(0,0,0)A D D ∴，1(1,1,3)B ， 11(1,0,3),(1,1,3)AD DB ∴=-=设异面直线1AD 与1DB 所成角为θ， 则1111||25cos 5||||25AD DB AD DB θ⋅===⋅，∴异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为55. 故答案为：55. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题. 7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.33.8．已知正六边形ABCDEF 的各顶点均在平面α的同侧，点A ，C ，F 到面α的距离分别为9，10，20，则点D 到平面α的距离为__________． 【答案】21【分析】根据空间位置关系求得点D 到平面α的距离. 【详解】设AD CF O =，则OA OC OD OF ===，点A 和点D 到平面α的距离之和与点C 和点F 到平面α的距离之和相等， 则点D 到平面α的距离为1020921+-=． 故答案为：219．已知()()πsin 0,R 4f x x ωωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则ω的取值范围是__________．【答案】15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由题意利用正弦函数的单调性可得，列不等式组求ω的取值范围.【详解】因为π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππππ2444x ωωω+≤+≤+，由题意得ππππ3π,π2π,2π,Z 24422k k k ωω⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以πππ2π242,Z π3ππ2π42k k k ωω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，可得142,Z 524k k k ωω⎧≥+⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩． 由0ω>，当0k =，解得1524ω≤≤. 所以ω的取值范围是15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，13n n a S +=（n 为正整数），则6S =__________． 【答案】1024【分析】根据递推关系求出n a ，进而求得6S .【详解】己知数列满足11a =，13n n a S +=，2133a S ==，所以()()113323n n n n n a a a S a n +-⎛⎫=+=+≥ ⎪⎝⎭，所以()142n n a a n +=≥，所以21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩， 故()563141102414S ⨯-=+=-．故答案为：102411．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥，则二面角AB αβ--的大小是_________． 【答案】90【详解】点P 在α内，β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥， 所以PQ 与平面β所成的角为45︒，过P 做PQ β⊥于Q ，连OQ ，则45POQ ∠=︒， 过Q 做QM AB ⊥于M ，连PM ， 因为PQ β⊥，所以PQ AB ⊥， 又,QM AB QMPQ Q ⊥=，所以AB ⊥平面PMQ ，所以PM AB ⊥， 即90PMO ∠=︒，45POM POB POQ ∠=∠=∠=︒， ,Rt PMO Rt PQO PM PQ ≅∴=△△，所以,PM PQ 重合，所以PM β⊥，,PM ααβ⊂∴⊥，即二面角AB αβ--的大小是90︒. 故答案为：90︒.12．如图所示，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱1DD 上，12DE ED =，F 是侧面11CDD C上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度为__________．【答案】2【分析】设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =，根据面面平行的判定定理，可得平面1//A BGE 平面1B HI ，结合已知中1//B F 平面1A BE ，可得F 落在线段HI 上，则答案可求.【详解】解：设H 在棱1CC 上，且12CH HC =，I 在棱11C D 上，且112D I IC =，G 在棱CD 上，且2DG GC =连接1B I ，1B H ，IH ，1CD ，EG ，BG ，则11////A B CD GE ， 所以1A ，B ，E ，G 四点共面，由11//B H A E ，1A E ⊄平面1B HI ，1B H ⊂平面1B HI ，所以1//A E 平面1B HI ， 同理1//A B 平面1B HI ，又111A BA E A =，11,AB A E ⊂平面1A BGE ，所以平面1//A BGE 平面1B HI ，又因为1//B F 平面1A BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以113223HI CD ===，即F 在侧面11CDD C 2 2.二、单选题13．下列向量组中，能作为基底的是（ ） A ．12(0,0),(1,2)e e ==- B ．12(1,2),(5,7)e e =-= C ．12(3,5),(6,10)e e == D ．1213(2,3),(,)24e e =-=-【答案】B【分析】能作基底的两个向量不共线，判断各选项中的两个向量是否共线即可得解. 【详解】对于A ，因10e =，则有12//e e ，1e 与2e 不能作为基底；对于B ，因12(1,2),(5,7)e e =-=，17250-⋅-⋅≠，则有1e 与2e 不共线，1e 与2e 可作基底； 对于C ，因12(3,5),(6,10)e e ==，则有212e e =，1e 与2e 不能作为基底； 对于D ，因1213(2,3),(,)24e e =-=-，则有124e e =，1e 与2e 不能作为基底. 故选：B14．平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线////a a ααβ，， B ．存在一条直线//a a a αβ⊂，，C ．存在两条平行直线////a b a b a b αββα⊂⊂，，，，，D ．存在两条异面直线////a b a b a b αββα⊂⊂，，，，， 【答案】D【分析】由面面平行的判定定理对选项逐一判定【详解】对于A ，B ，C ，当平面α，β相交时，条件仍然成立，故A ，B ，C 错误， 对于D ，存在两条异面直线////a b a b a b αββα⊂⊂，，，，，， 平移后可得，存在两条相交直线////a b a b a b ββαα'''⊂⊂，，，，，， 由面面平行的判定定理可知，平面//α平面β，故D 正确， 故选：D15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为. A ．24里 B ．12里C ．6里.D ．3里【答案】C【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．三、多选题16．已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<，若对于任意x ∈R ，都有()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数可以为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】ABCD【分析】从()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到()8282k k k ω-<<+∈Z ，利用换元t x ωϕ=+得到()00,t t ∈，根据题设所给范围得到()03π7π3π3π44k t k k -<<+∈Z ，根据Z k ∈分别取值讨论即可求解. 【详解】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()ππ2π42k k ωϕ+=+∈Z ，因为0πϕ<<，所以()8282k k k ω-<<+∈Z ， 设t x ωϕ=+，则由题可知0t >，设()00,t t ∈， 因为0ω>，所以3π8x =对应0t ， 又因为()8282k k k ω-<<+∈Z ， 所以()3π3π3π3π3π484k k k ω-<<+∈Z ，且0πϕ<<， 所以()3π3π7π3π3π484k k k ωϕ-<+<+∈Z ， 故()03π7π3π3π44k t k k -<<+∈Z ，（i ）当0k =时，03π7π44t -<<，则()()sin f x x ωϕ=+最多有一个零点， （ii ）当1k =时，09π19π44t <<，因为9π19π2π5π44<<<， 则()()sin f x x ωϕ=+最少有2个零点，最多有4个零点， （iii ）当2k =时，021π31π44t <<，因为21π31π5π8π44<<<， 则()()sin f x x ωϕ=+最少有5个零点，最多有7个零点， 因此()f x 的零点个数可能为：4,5,6,7. 故选:ABCD.【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象性质，解答的关键在于确定t x ωϕ=+()00,t ∈中0t 的范围，从而确定函数零点最少个数和最多个数。

2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（ ） A ．00a b a ⋅=⇔=或0b = B ．()()a b c b c a ⋅=⋅ C ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ D ．a c a b b c =⇔⋅=⋅【答案】C【分析】由向量的数量积运算，逐一判断即可得出结果. 【详解】A.当a b ⊥时，可得=0a b ，故A 不正确；B. ()a b c 是与c 方向相同的向量，()b c a 是与a 方向相同的向量，故B 不正确；C. ()a b c a b a c +=+向量数量积的分配律，故C 正确；D. =cos ,a b a b a b ，当a 与b 的夹角、b 与c 的夹角不同时不成立，故D 不正确. 故选：C2．已知e ，f 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅=，21n f a n ⋅=+，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是． A ．单调递增数列且1lim 2n n b →∞=B ．单调递减数列且1lim 2n n b →∞=C ．单调递增数列且lim 2n n b →∞= D ．单调递减数列且lim 2n n b →∞= 【答案】A【分析】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n a x y =，设向量f 与n a 夹角为n θ,则可求n x ，n y ，则可得到tan 21n n n n y n b x n θ===+，从而得到答案. 【详解】设()1,0f =，()0,1e =，(),n n n OP a x y ==，设向量f 与n a 夹角为n θ. 则tan n n b θ=，(),n n P x y 由n e a n ⋅=，可得n y n =， 由21n f a n ⋅=+，可得21n x n =+所以tan 21n n nn y n b x n θ===+ 所以()()()+111021*******n n n n b b n n n n +-=-=>+++++所以数列{}n b 是单调递增数列，又1lim lim 122n n n n b n →∞→∞=+=.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.3．已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【分析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c 代入椭圆方程得221122221212x y mmx y mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减整理得到1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，再根据AB 的中点坐标为（1，-1），有122x x +=，122y y +=-代入上式，利用概率公式求解.【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mmx y m m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=，∴1212121202x x yy y y m x x m +-++⋅=-， 即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-， 所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-， 解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及点差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①a 1+c 1=a 2+c 2；②a 1-c 1=a 2-c 2；③c 1a 2＞a 1c 1；④31c c ＜22c a ． 其中正确式子的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【详解】由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选B ．二、填空题5．等差数列{}n a 中，25a =，633a =，则35a a +=________ 【答案】38【分析】直接根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 中，25a =，633a =，所以352638a a a a +=+=， 故答案为：38.6．若双曲线的一个顶点坐标为()3,0,焦距为10,则它的标准方程为________.【答案】221916x y -=【分析】根据顶点坐标求得a ,根据焦距求得c ,进而根据2b =22c a -求得b ,进而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知a =3,c =5∴ 4b ==根据顶点坐标可知焦点在x 轴,∴ 双曲线的方程为221916x y -=.故答案为：221916x y -=【点睛】本题考查了由,,a b c 求双曲线的标准方程，需熟记222c a b =+，属于基础题. 7．若a 与b 的夹角为6π，2a =，3b =，则a b -=________.【答案】1【分析】利用平面向量数量积的运算性质求得2a b -，进而可求得a b -的值.【详解】由平面向量数量积的定义可得cos233a b a b π⋅=⋅==， ()22222222331a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯+=，因此，1a b -=.故答案为：1.8．已知(1,2)A ，()2,3B 以及点(2,5)C -，则ABC 的面积为______．【答案】3【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】22(21)(32)AB=-+-=,||BC ===||AC ===222||||AC AB BC ∴+=,1=2S ∴⨯，故答案为：39．若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.10．(1,0)M ，(1,0)N -，直线2x y b +=与线段MN 相交，则实数b 的取值范围是______．【答案】[]22-,【分析】分别求出当直线2x y b +=过点M 和点N 时b 的值，从而得出b 的范围. 【详解】当直线2x y b +=过点(1,0)M 时，2b =；当直线2x y b +=过点(1,0)N -时，2b =-；如图所示，若直线2x y b +=与线段MN 相交时，只需2x y b +=的截距在过点N 和点M 的两条直线的截距之间即可，故实数b 的取值范围为：[]22-,.故答案为：[]22-,. 11．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________. 【答案】3【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解.【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>， 所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上）， 该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠， 当0x =时，23y =±， 所以ABC 面积的最大值max 1423432S =⨯⨯=故答案为：43【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.12．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于________. 【答案】43．【详解】试题分析：显然两切线1l ，2l 斜率都存在．设圆222x y +=过()1,3的切线方程为()31y k x -=-，则圆心()0,0到直线30kx y k -+-=的距离等于半径，=127, 1.k k =-=由夹角公式得1l 与2l 的夹角的正切值：12124tan 13k k k k θ-==+．【解析】1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．13．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(0,)A m ，()(0,)0B m m ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 取值范围是______． 【答案】[4,6]【分析】先求出圆C 的圆心C （3,4），半径r =1，分析出点P 在以AB 为直径的圆上，此圆的半径为12AB m =，要使圆C 上存在点P ，只需两圆有公共点，只需151m m -≤≤+，即可求出m.【详解】圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心C （3,4），半径r =1. ∵圆心C 到原点O 的距离为5，∴圆C 上的点到原点O 的距离的最大值为6，最小值为4， 再由90APB ∠=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，此圆的半径为12AB m =， 当两圆外切时，15m +=，解得m =4；当两圆内切时，15m -=，解得m =6； 要使圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，只需两圆有公共点，所以46m ≤≤. 故m 取值范围是[4,6]. 故答案为：[4,6]【点睛】圆C 1和圆C 2 的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，圆与圆的位置关系由5种： （1）相离d R r ⇔>+；（2）相外切d R r ⇔=+；（3）相交||R r d R r ⇔-<<+；（4）相内切||d R r ⇔=-；（5）相内含||d R r ⇔<-.14．P 为椭圆2211615x y +=上任意点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅最大值为______． 【答案】21【分析】设点(),P x y ，则22151516y x =-且44x -≤≤，计算得出()2116416P x E PF =-⋅-，利用二次函数的基本性质可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】圆()22:14N x y -+=的圆心为()1,0N ，半径长为2， 设点(),P x y ，则22151516y x =-且44x -≤≤， PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，所以，()()()222214P PN NE PN NE P PN NE x y E F =+⋅-=-=--⋅+()2222151121154212164161616x x x x x x =-++--=-+=--， 所以，当4x =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()()2max 148122116PE PF =⨯-+=⋅+. 故答案为：21.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．15．已知实数x ，y 满足()2269x y +-=的取值范围是______.【答案】[]1,2【分析】设(),P x y 为圆()2269x y +-=上任意一点，构造直线0x +=，分别求得点P 到直线的距离PM ，P 到原点的距离PO ，将问题转化为==∠22sin PMPOM PO求解.【详解】如图所示：设(),P x y 为圆()2269x y +-=上任意一点，点P 到直线30x +=的距离为3x yPM +=， 点P 到原点的距离为22PO x y =+223x y x y ++==∠22sin PMPOM PO，当圆()2269x y+-=与直线y kx =相切时，=+2631k，解得3k =所以POM ∠最小值为30，最大值为90，所以≤∠≤1sin 12POM ，即≤∠≤12sin 2POM ， 223x y x y++的取值范围是[]1,2，故答案为：[]1,2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.16．设*k ∈N ，已知平面向量1212,,,,,k a a b b b ，两两不同，121a a -=，且对任意的1i =，2以及1,2,,j k =，都有|{1,2,3}i j a b -∈∣，则k 的最大值为_______． 【答案】10【分析】设1(0,0)a =，2(0,1)a =，(,)j b x y =，根据题意列方程，根据圆圆交点，利用数形结合求出k 的最大值．【详解】解：设1(0,0)a =，2(0,1)a =，(,)j b x y =，对任意的1i =，2及1j =，2，⋯，k ，||{1i j a b -∈，2，3}， 所以221x y +=或222x y +=或223x y +=，22(1)1x y +-=或22(1)2x y +-=或22(1)3x y +-=，画出方程表示的6个圆，如图所示：所以k 的最大值为这6个圆的交点个数总和，共有10个． 故答案为：10．【点睛】本题考查了向量的性质与应用问题，也考查了圆的方程与转化思想，解答的关键是数形结合转化求解．三、解答题17．已知向量(1,2)a =，(),1b x =．（1）2u a b =+，2v a b =-，且//u v ，求x ； （2）若a ，b 的夹角为锐角，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）12；（2）112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）利用向量的加法法则计算出u 和v ，然后运用向量间的平行关系求解出x ； （2）若a ，b 的夹角为锐角时，则0a b ⋅>，且,a b 不共线，利用向量的数量积坐标运算法则求解即可；【详解】解：（1）()()()21,22,121,4u a b x x =+=+=+，()()()22,4,12,3v a b x x =-=-=-；当//u v 时，()()32142x x +=-，解得：12x =. （2）若a ，b 的夹角为锐角，则20a b x ⋅=+>，得2x >-，又,a b 不共线，所以12x ≠， 所以x 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：112,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】易错点点睛：两个向量夹角为锐角时，不仅注意数量积大于零，还要去掉共线时的值.方法点睛：设向量11,ax y ，22,bx y ，则当//a b 时，1221x y x y =，当1212a b x x y y ⋅=+.18．,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=.（1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）3.【分析】（1）转化条件为方程组解的个数，按照系数行列式0D ≠、0D =分类，即可得解；（2）求出直线所过定点即可得解.【详解】（1）由题意，列方程组(1)28(21)44m x my mn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩，因为12444+22(2)214m m D mn n mn m m n n n-==--=--，①当0D ≠即2m n ≠时，12,l l 相交； ②当0D =即2m n =时，(21)416(21)44n x ny nn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩，（i ）当20m n ==时，12,l l 重合； （ii ）20m n =≠时，12l l //； （2）当12l l //时，20m n =≠，此时1:(21)4160l n x ny n -+-=恒过点()0,4A ，2:(21)440l n x ny n -+-=恒过点()0,1B ，所以当12,l l 与线段AB 垂直时，12,l l 这两条平行线的距离最大，最大值为3AB =. 19．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸.（1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程； （2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【分析】（1）建立直角坐标系后，由椭圆的定义即可得解； （2）联立方程组，由韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知+==4PF PO AO 且=2FO ， 所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆， 因为22,24c a ==，所以1,2c a ==，2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）如图，不妨令过()1,0F -的直线交椭圆于C ，D 且倾斜角45︒， 所以直线:1CD y x =+，设()()1122,,,C x y D x y ，联立2234121x y y x ⎧+=⎨=+⎩，消元得27880x x +-=，0∆>，所以121288,77x x x x +=-=-，所以247CD ===. 20．已知数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，记n S 为其前n 项和 （1）若2a ，3a ，6a 依次成等比数列，求其公比q ；（2）若11a =，()*,n n S OP n n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，求证：点n P 都在同一条直线上；（3）若11a =，12d =，()*2,n n n a S OQ n n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，是否存在一个半径最小的圆，使得对任意*n ∈N ，点n Q 都在这个圆内或圆周上，如果存在，写出这个圆的方程；如果不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）存在，222x y +=. 【分析】（1）根据2a ，3a ，6a 依次成等比数列解方程即可求出q ； （2）利用向量的运算可知量m n P P 与(2,)b d =共线即可求证； （3）计算2n OQ ，根据二次函数可得22n OQ ≤，可知存在半径最小的圆222x y +=满足题意.【详解】（1）因为2a ，3a ，6a 依次成等比数列，所以2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++， 因为0d ≠，所以12d a =-， 所以323a q a ==． （2）因为,,,n m n m m n n m S S S S P P OP OP n m n m n m n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而11(1)(1)222n m S S n d m d n ma a d n m ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 ,(2,)222m n n m n m n m P P n m d d b ---⎛⎫=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 所以向量m n P P 与(2,)b d =共线， 所以点n P 都在同一条直线上． （3）因为11a =，12d =所以1111(1)222n a n n =+-⋅=+，2344n n S n =+所以()222222242411(1)3216n n nn n n a S OQ n n n n ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+=+24324251413113141317151616161313n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1n ≥，所以101n<≤， 所以2131712161313n ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1n =时取等号，所以22nOQ ≤，即2n OQ ≤，所以存在半径最小的圆222x y +=满足题意．【点睛】关键点点睛：利用向量的运算结合数列的性质及运算，证明点n P 都在同一条直线上，根据向量的模的运算确定是否存在符合条件的圆，属于较难题目.21．已知椭圆Γ：2222x y 1(a b 0)a b+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，直线l ：y kx m =+与椭圆Γ交于A ，B 两点．()1求椭圆Γ的方程；()2若A 为椭圆的上项点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，6ON OM =，求k 的值． ()3若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当45λ56≤≤时，求OAB 的面积S的范围．【答案】（1）22x y 12+=； （2）12±； （3）5⎣⎦. 【分析】()1先根据已知条件可求出a 、c 的值，结合a 、b 、c 的值可得出b 的值，进而可求出椭圆Γ的标准方程；()2先得出直线l 的方程为y kx 1=+，将直线l 的方程代入椭圆方程可求出点B 的坐标，利用中点坐标公式可得出点M 的坐标，根据已知条件可得出点N 的坐标，再将点N 的坐标代入椭圆的方程，即可求出k 的值；()3利用原点O 到直线l 的距离可得出22m k 1=+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入λ，结合λ的取值范围可得出2k 的取值范围，并求出线段AB 的长度的表达式，可求出AB 的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S 的取值范围．【详解】()1由题意可知，2a =a =因为右顶点到左焦点的距离为a c 1+=，所以，c 1=，则b 1==，因此，椭圆Γ的方程为22x y 12+=；()2当点A 为椭圆的上顶点时，点A 的坐标为()0,1，则m 1=，直线l 的方程为y kx 1=+，将直线l 的方程代入椭圆的方程并化简得()222k 1x 4kx 0++=，解得1x 01y 1=⎧=⎨⎩，22224k x 2k 112k 2k 1y ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以点B 的坐标为2224k 12k ,2k 112k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，由于点M 为线段AB 的中点，则点M 的坐标为222k 1,2k 12k 1⎛⎫-⎪++⎝⎭， 由于6ON OM =，所以，点N的坐标为22k 1⎛ +⎝⎭， 将点N的坐标代入椭圆的方程得()222(2k 1[]1222k 1++=+，化简得()23122k 1=+，解得1k 2=±；()3由于点O 到直线l 的距离为11=，所以，22m k 1=+．设点()11A x ,y 、()22B x ,y ，将直线l 的方程代入椭圆方程并化简得()2222k1x 4kmx 2m 20+++-=，由韦达定理可得1224km x x 2k 1+=-+，21222m 2x x 2k 1-=+， ()()12121212OA OB λx x y y x x kx m kx m ⋅==+=+++()()()()2222222121222k 12m 24k mk 1x x km x x mm 2k 12k 1+-=++++=-+++()222222223k 12k 23m 2k 2k 12k 12k 12k 1+----+===+++， 由于45λ56≤≤，即224k 1552k 16+≤≤+，解得211k 43≤≤， 线段AB的长为12AB x x =-=====⎣⎦，所以，11S AB 1AB 22=⋅=∈⎣⎦．．因此，OAB的面积S的取值范围是5⎣⎦【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．。

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知为等差数列，若，，则________.{}n b 32b =-1012b =8b =【答案】8【分析】首先根据题意得到，根据求解即可.1032103b b d -==-8102b b d =-【详解】因为为等差数列，设公差为，{}n b d 则.()10312221037b b d ---===-.81021248b b d =-=-=故答案为：82．直线m 和平面所成角为，则直线m 和平面内任意直线所成角的取值范围是_____α6πα【答案】,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据直线与平面所成角的定义得到所成角的最小值为，由三垂线定理可得当该平面内的6π直线与已知直线在平面内的射影垂直时，所成角为，达到最大值．由此即可得到本题答案．2π【详解】直线为，平面为，为内的任意一条直线．m αl α根据直线与平面所成角的定义，可得与平面所成的角是与平面内所有直线所成角中最小的角，m αm α直线与平面内的直线所成角的最小值为，∴m α6π当平面内的直线与直线在平面内的射影垂直时，，与也垂直，αl m n l m 此时，所成的角，达到所成角中的最大值．l m 2π因此，此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.【答案】46【分析】由等差数列的通项公式求解即可【详解】d ＝－1－1＝－2，设an ＝－89，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1－2(n －1)，解得n ＝46.故答案为：464．若四点共面，则实数的值为__________．()()()()0,2,0,1,1,0,1,2,3,3,2,A B C D m m -m 【答案】7-【分析】由题意，向量,,共面，所以存在实数，使得，根据向量的AB AC AD,x y AD xAB y AC =+ 坐标运算列出方程组即可求解.【详解】解：因为四点共面，()()()()0,2,0,1,1,0,1,2,3,3,2,A B C D m m -所以向量,,共面，()1,3,0AB =- ()1,0,3AC =()3,22,AD m m =- 所以存在实数，使得,即，,x y AD xAB y AC =+()()()3,22,1,3,01,0,3m m x y -=-+所以，解得，33223x y x m y m +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩7m =-故答案为：.7-5．在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________.(,1,1)A t t -(0,,3)B t AB【分析】根据空间向量的坐标表示，以及向量模的计算公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，(,1,1)A t t -(0,,3)B t (,1,2)AB t tt =--+，==所以当时，取得最小值.13t =-AB.6．已知等差数列{an }中，a 1＋a 3＋a 8＝，那么cos(a 3＋a 5)＝________.54π【答案】【分析】在等差数列{an }中，设公差为d ，由已知得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝，继而有54πa 1＋3d ＝a 4＝，从而a 3＋a 5＝2a 4，代入可求得答案.512π【详解】解：在等差数列{an }中，设公差为d ，由a 1＋a 3＋a 8＝，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝54π，54π∴3a 1＋9d ＝，即a 1＋3d ＝a 4＝，∴a 3＋a 5＝2a 4＝，54π512π56π则cos(a 3＋a 5)＝cos 56π7．如图已知A 是所在平面外一点，，E ､F 分别是的中点，若异面直线BCD △AD BC =AB CD 、与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________.AD BC 3πAD EF【答案】或3π6π【分析】取的中点，连接，则或，分别分析这两种情况下AC G ,EG GF 3EGF π∠=23EGF π∠=的大小即为与所成角.GFE ∠AD EF 【详解】解：如图所示：取的中点，连接，则， ，AC G ,EG GF //EG BC //GF AD所以为异面直线与所成角或其补角.因为，所以，EGF ∠AD BC AD BC =EG GF =当时，为等边三角形，，3EGF π∠=EGF △3GFE π∠=即与所成角的大小为；AD EF 3π当时，，为等腰三角形，，23EGF π∠=EG GF =EGF △6GFE π∠=即与所成角的大小为.ADEF 6π故答案为：或.3π6π8．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为_______.60︒【答案】12【分析】作出示意图，北纬纬线长和赤道长是两个圆的周长，其比等于半径比.60︒【详解】如图所示，赤道圆半径为，北纬圆半径为.R OA =60︒11r O A =由，可得.160AOA ∠=︒1111sin 302O A r OA R ︒===所以北纬纬线长和赤道长的比值为.60︒2π12π2r r R R ==【点睛】本题考查球体的结构特征，解答本题需要理解地理中纬线的概念.9．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑biēnào 是指四个面都是直角三角形的四面体．如()图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折△，ABC AD BC 3AB =4AC =ABD ∆AD AB D '使得四面体为一个鳖臑，则四面体的体积为__．AB CD 'AB CD '【分析】依题意先过作，再证明平面，再求得的值，最后根据锥体的B 'B O DC '⊥B O ¢^ADC B O '体积公式求解即可．【详解】由题意，，即．BD CD <B D CD '<要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，ADB C '需要平面，此时，，，为直角，B C '⊥ADB 'ADB '∠ADC ∠DB C '∠AB C ∠'由平面，平面，则平面平面，AD ⊥DB C 'AD ⊂ADC DB C '⊥ADC 在平面内，过作，得平面，DB C 'B 'B O DC '⊥B O ¢^ADC 在原直角三角形中，由，，得，，．ABC 3AB =4AC =125AD =95BD =165CD =则，，所以，95B D '=165DC =B C '==所以B D BC B O DC ''⋅'==13AB CD ADC V S B O '=⋅='10．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题：（1）若，，则//a αb αβ= //a b（2）若a ，b 在平面α内，且，，则c a ⊥c b ⊥c α⊥（3）若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且，则c 必与a 或b 相交⋂=c αβ（4）若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与a ，b ，c 都相交其中正确的命题是________．（请写上正确命题的序号）【答案】（3）（4）【分析】简单的反例可以否定（1）（2），利用反证法，借助平行公理可以确认（3），通过较为复杂的构造与证明，可以确认（4）【详解】（1）在保持与平面平行的条件下可以在一个与平行的平面内任意旋转，故a 与定直a αα线b 所成的角是任意的，故（1）错误；（2）当平行时，不能保证直线垂直于平面，直线甚至可以在平面内，故（2）错误；,a b c αc α（3）假若c 既不与a 相交，也不与b 相交，由于a ,c 都在α内，故a ,c 平行，同理b ,c 平行，根据平行公理得到a ,b 平行，与已知a ,b 为异面直线矛盾，故（3）正确；（4）如图所示，a ，b ，c 是异面直线，上下两个平面α，β是分别通过a ,c 中的一条而与另一条平行的平面，直线b 与这两个平面都相交，交点A ,B 都不在直线a ,c 上.在直线b 上任取一点不同于A ,B 的点P ，由于a ,b 异面，∴P ∉a ，则直线a 与点P 确定一个平面，可知这平面与直线c 相交，设交点为Q ,连接PQ 的直线与直线a 必然相交（否则，这条线必在平面β内)，由于P 点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与a ,b ,c 都相交，故（4）正确.【点睛】本题考查线面的平行相交，异面直线等关系，关键难点在于（4）的构造性证明.11．如图所示，在棱长为2的正方体中，E 为棱的中点，点P ，Q 分别为面1111ABCD A B C D -1CC 和线段上的动点，则周长的最小值为__.1111D C B A 1B C PEQ【分析】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在上，在平面上，设E 关于的对称11B C 11B C CB 1B C 点为N ，关于的对称点为M ，求出MN ，即可得出结论.11B C 【详解】由题意，△PEQ 周长取得最小值时，P 在上，11B C 在平面上，设E 关于的对称点为N ，关于的对称点为M ，连接，交于点，11B C CB 1B C 11B C MN 11B C P 交于点，则即为周长的最小值，1B C Q MN PEQ则，3,1MC CN ==由勾股定理得：.MN ==.12．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面1111ABCD A B C D -,E F 1,BC CC P 内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.11BB C C 1//A P AEF①线段1A P ②11A P B D ⊥③与一定异面1A P DE④三棱锥的体积为定值11B A PC -【答案】①④【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在1A AEF 1A MN 11BB C C P 线段上.MN选项①中线段的最大值可直接得到为②通过建系求向量数量积来说明与平1A P 1A M 1B D 面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过1A MN 11A P B D ⊥证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.//MN 11A BC 11P A BC -11B A PC -【详解】如图，延长至，使得，则有1CC 1E 11C E CE =11//A E AE取的中点，连接，则有，11B C M 1A M 1//A M AF 连接并延长交于点，则点为的中点.1E M 1BB N N 1BB 因为，平面，平面11//A E AE 11A E ⊄AEF AE ⊂AEF所以平面.11//A E AEF 同理可得平面.1//A M AEF 又，在平面内，且相交于点，11A E 1A M 11A E N 1A 所以平面平面.11//A E N AEF 故点在线段上.P MN由图知，，故选项①正确；11A P A M ≤=以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.D DA x DC 1DD则，，，，.()0,0,0D ()11,1,1B ()11,0,1A 1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭11,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，.()11,1,1DB =11,1,02A M ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 110,1,2A N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为，所以与不垂直，11111022DB A M ⋅=-++=1DB 1A M 而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；P MN 11A P B D ⊥如图，连接，，，则有，且，DE 1DA ME 1//ME A D 112ME A D =故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；1A DEM 1A M DE因为点，分别为，的中点，所以.M N 11B C 1BB 1//MN BC 又平面，平面，所以平面.MN ⊄11A BC 1BC ⊂11A BC //MN 11A BC 故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，MN 11A BC P MN 所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.11P A BC -11B A PC -故答案为：①④.【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：(1) 先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.(2) 判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.二、单选题13．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列可以表示空间任何向量的一组向量是a b c （ ）A ．B ．,,a b a a b +-,,a b c a b +-C ．D ．,,a b b a b+- ,2,a b a b a b+-- 【答案】B【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可．【详解】对于A ，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量()()11=+22a a b a b +- ,,a b a a b +-一个基底，故A 错误；对于B ，显然不是共面向量，即其可以作为空间向量一个基底，故B 正确；,,a b c a b +-对于C ，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，()()11=22b a b a b +-- ,,a b b a b +-故C 错误；对于D ，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量()()13222a b a b a b -=++-,2,a b a b a b +--一个基底，故D 错误．即A ，C ，D 选项都是共面向量，因此不能作为空间向量一个基底．故选：B ．14．现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是（ ）A ．这个多面体有8个面和12条棱B ．这个多面体有6对棱互相平行C ．这个多面体有4对面互相垂直D 的球面上【答案】C【分析】通过数数可以判断A ；通过线线平行的证明可以判断B ；算出面面之间的夹角即可判断C ；根据O 到八个顶点的距离即可判断D.【详解】由题意，多面体是一个八面体，且棱长均为2，如图1，通过数数可知A 正确；因为，由勾股定理易得2AB AC AD AE EF BF CF DF ========，所以与全等，则，由于OE OD OB OC OA OF ======AOD △BOF ADB FBD ∠=∠，所以四点共面，于是.BD AF O ⋂=,,,B F A D //BF AD 同理可得：，故该八面体有6对平行棱，故B 正确；//,//,//,//,//AB DF CF AE AC EF BE CD BC DE 对C ，如图2，根据该八面体的对称性，只考虑面ABC 与其它面的情况，分别取AC ,BC ,DE 的中点M ,N ,P ，过点A 作BC 的平行线l ，容易判断l 为面与面的交线.ABC ADE 易知均垂直于AC ，则是二面角的一个平面角，易知BM DM ,BMD ∠B AC D --，所以，即面与面不垂直，BM DM BD ===1cos 3BMD ∠==-ABC ACD 根据对称性，面与面不垂直.ABC ABE 易知均垂直于l ，则是二面角的一个平面角，易知，,AN AP NAP ∠N l P --2AN AP NP ===所以，即面与面不垂直.1cos 3NAP ∠==ABC AED 而由B 中推理可知，所以面面，同理面//,//,,AB DF CF AE AB AE A DF CF F ⋂=⋂=//ABE FCD 面，面面，面面，则面与该八面体其它各面均不垂直.//AED FCB //ABE FDC //ACD FEB ABC 根据对称性可知，该八面体不存在两个面互相垂直，故C 错误；对D ，因为O 的球面上，所以D 正确.故选：C.15．已知a ､b 为异面直线，则下列命题正确的是（ ）A ．过直线a ､b 外一点P 一定可以作一条与a ､b 都平行的直线B ．过直线a ､b 外一点P 一定可以作一个与a ､b 都平行的平面C ．过直线a 一定可以作一个与直线b 平行的平面D ．过直线a 一定可以作一个与直线b 垂直的平面【答案】C【分析】A 、用反证法说明a ，b 为异面直线时，过a ，b 外一点P 引条直线l 与a 、b 不能都平行；B 、当a ，b 为异面直线时，过两直线外一点P 作平面，该平面可能与a ，b 都平行，这样的平面也可能不存在；C 、当a ，b 为异面直线时，过a 作与b 平行的平面有且只有一个；D 、当a ，b 为异面直线时，过a 作一个平面可能与b 垂直也可能与b 不垂直.【详解】对于A ：当a ，b 为异面直线，假设过a ，b 外一点P 引一条直线l 与a ，b 都平行，即l ∥a ， l ∥b ，则a ∥b ，这与a 、b 是异面直线相矛盾，∴假设不成立.故A 错误；对于B ：a ，b 为异面直线，∴a ，b 不平行.∴过P 作a 的平行线有且只有一条，设为c ，过P 作b 的平行线有且只有一条设为d ，则a 、b 的平行线只能组成一个平面，设为平面A .①如果c 恰好和b 相交或者d 与a 相交，即当a 或者b 正好在A 平面内时，过P 且与a 、b 都平行的平面不存在；②如果c 不与b 相交或者d 不与a 相交，过P 且与a 、b 都平行的平面有且只有一个.故B 错误；对于C ：∵a 、b 为异面直线，∴a 、b 不平行，在a 上任取一点P ，过点P 作直线c ∥b ，c 是唯一的.又a ∩c =P ，∴由a 、c 确定的平面α也是唯一的，∴b ∥α，∴.C 正确.对于D ：∵a 、b 为异面直线，但a 与b 不一定垂直，过a 作一个平面可能与b 垂直，也可能与b 平行，故D 错误.故选：C.16．已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线1111ABCD A B C D -P Q R 1B B AB 1A C 与，与给出下列结论：CP 1D Q CP 1D R①对于任意给定的点，存在点，使得；Q P 1CP D Q ⊥②对于任意给定的点，存在点，使得；P Q 1⊥D Q CP ③对于任意给定的点，存在点，使得；R P 1CP D R ⊥④对于任意给定的点，存在点，使得．P R 1D R CP ⊥其中正确的结论是（ ）A ．①B ．②③C ．①④D ．②④【答案】A【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论．【详解】①当点与重合时，，，且，所以平面，P 1B CP AB ⊥1CP AD ⊥1AB AD A = ⊥CP 1ABD 因为对于任意给定的点，都有平面，Q 1D Q ⊂1ABD 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确；Q P 1CP D Q ⊥②只有平面，即平面时，1D Q ⊥11BCC B 1D Q ⊥11ADD A才能满足对于任意给定的点，存在点，使得，P Q 1⊥D Q CP 因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误；1D 11DD A A 11D C 11D C AB ∥③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误；R 1A 1B B P 1CP D R ⊥④只有当平面时，④才正确，⊥CP 11ACD 所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误．P R 1D R CP ⊥故选：A ．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为线面垂直．三、解答题17．已知空间三点，，(0,2,3)A (2,1,6)B -(1,1,5)C -（1）求以为边的平行四边形的面积;,AB AC（2）若向量分别与垂直，且|的坐标.a ,AB AC a a【答案】（1）2）或()1,1,1a =()1,1,1---【详解】(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=,||=,cos ∠BAC==,∴∠BAC =60°,∴S=||·||sin ∠BAC =7.(2)设向量=(x,y,z ),则由·=0, ·=0,| |=,得a aa a ∴或∴=(1,1,1)或(-1,-1,-1).a【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.18．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．(1)这种“浮球”的体积是多少（结果精确到）？30.1cm (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100g ，共需胶多少？【答案】(1)3169.6cm (2)1200gπ【分析】（1）根据球的体积公式及圆柱的体积公式即可求解；（2）根据球的表面积公式及圆柱的侧面积公式，求出1个“浮球”的表面积，进而可得2500个“浮球”的表面积的和，从而即可求解.【详解】（1）解：∵球的直径是6cm ，可得半径R =3cm ，∴两个半球的体积之和，而，33442736cm 33V R πππ==⋅=球239218cm V R h πππ=⋅=⨯⨯=圆柱∴该“浮球”的体积；3361854169.6cm V V Vπππ=+=+=≈球圆柱（2）解：根据题意，上下两个半球的表面积为，而“浮球”的圆柱筒24S R π=球表24936cm ππ=⨯⨯=侧面积，2223212cm S Rh πππ==⨯⨯⨯=圆柱侧∴1个“浮球”的表面积，244361248m 1010S πππ+==∴2500个“浮球”的表面积的和为，448250010π⨯=212m π∵每平方米需要涂胶100g ，∴总共需要胶的质量为．100121200g ππ⨯=19．如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为在圆柱内，且与12O O ABCD O 12O O圆柱的上、下底面均相切.12O O(1)求球的表面积；O (2)若为圆柱下底面圆弧的中点，求平面截球所得截面的周长.P CD PAB O 【答案】(1)8π【分析】（1）求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果；O （2）计算出球心到平面的距离，可求得截面圆的半径，利用圆的周长公式可求得结果.O PAB【详解】（1）解：由题意可知，球的直径为O 2R =R =因此，球的表面积为.O 248S R ππ==（2）解：连接、、、，1O P 1O A 1O B 2O P 为弧的中点，则，P CD 1O P ⊥CD 因为平面，平面，则，12O O ⊥PCD 1O P ⊂PCD 112O P O O ⊥，故平面，121O O CD O = 1O P ⊥ABCD ，则1142O AB S =⨯=△1143P O AB V -==，，则，1O P CD ⊥ //AB CD 1O P AB ⊥因为与圆柱的上底面垂直，而为上底面圆的一条直径，则，12O O AB 12O O AB ⊥，平面，1121O P O O O = AB ∴⊥12PO O 平面，则，2O P ⊂ 12PO O 2O P AB ⊥因为2PO ==21122PAB S O P AB =⨯⨯==△设点到平面的距离为，由得1O PAB h 11O PAB P O ABV V --=13P O AB PABV h S -===△因为为的中点，所以，点到平面的距离，O 12O O O PAB 2h d ==所以，平面截球所得截面圆的周长为.PAB O 2π=20．设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的{}n a n S {}n a n 1575S =n T n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n *()n N ∈（1）求；n S（2）求，及的最小值．n T n T 【答案】（1）（2）,．252n n nS -=294n n -5-【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出；n （2）由于，利用等差数列的通项公式及其前项和公式可得，再利用二次函数的单调52n S n n-=n n T 性即可得出．【详解】解：（1）为等差数列，首项为，公差设为，{}n a 1a d 则依题意有，111()(4)1151415752a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得，121a d =-⎧⎨=⎩．∴21(1)(1)52222n n n n n n nS a n d n ---=+=-+=（2），． 252n n n S -=∴52n S n n -=设，则，52n n S n b n -==1(1)551222n n n n b b ++---=-=数列是公差为的等差数列，首项为，∴{}n b 1211121S b a ===-为数列的前项和，n T n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ．∴2(1)192224n n n n nT n --=-+= 又图象开口向上，对称轴为，且，294x xy -=92x =*n ∈N 或时，．4n ∴=5n =2494()54n minT -⨯==-【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元1,a d n 的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出51,,,,n n a d a S n n 方程组，即可求得数列的通项公式.等差数列前项和的最大值问题，往往借助二次函数配方法来解n 决.21．如图，在三棱柱中，平面分别为的中点，111ABC A B C -1CC ⊥,,,,ABC D E F G1111,,,AA AC AC BB 12AB BC AC AA ====（1）求证：平面；AC ⊥BEF （2）求二面角的正弦值；1B CD C --（3）求直线与平面所成角的正弦值.FG BCD【答案】（1）证明见解析；（23.【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得AC BE ⊥1AC CC ⊥，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；1//EF CC EF AC ⊥（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据BCD 向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果；（3）利用直线的方向向量和平面的法向量计算即可.【详解】（1）证明：在三棱锥中，平面ABC ，111ABC A B C -1CC ⊥四边形为矩形.∴11A ACC 又E ，F 分别为的中点，，AC EF ∴⊥，,AB BC AC BE =∴⊥ 又，BE EF E = 平面BEF ；AC ∴⊥（2）解：由（1）知，1,,//AC EF AC BE EF CC ⊥⊥又平面ABC ，∴平面ABC ，1CC ⊥EF ⊥平面ABC ，.BE ⊂ EF BE ⊥如图建立空间直角坐称系.E xyz -由题意得，()()()()()0,2,0,1,0,0,1,0,1,0,0,2,0,2,1B C D F G -.()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴==设平面的法向量，BCD (),,n a b c =,020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，则，2a =1,4b c =-=-平面BCD 的法向量，∴(2,1,4)n =-- 又平面CDC 的法向量为，(0,2,0)EB =cos ,[n EB n EB n ED ⋅∴==⋅∣设二面角的大小为,1B CD C --θ则,sin sin ,n EB θ==所以二面角B CDC --（3）解：由（2）知平面的法向量，BCD ()2,1,4n =--又,()0,2,1FG =-设直线与平面所成的角为,FG BCD θ则，sin cos ,n FG θ==所以直线FG与平面BCD【点睛】本题主要考查利用空间向量研究二面角和线面角问题，涉及线面垂直的证明，关键是根据已知条件，利用线面垂直的判定和性质得到互相垂直的三条直线，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.。

高二数学试卷一､填空题1. 2213lim n n n→∞+=______ ． 【答案】3 【解析】 【分析】根据极限的运算法则，即可求解.【详解】由22221311lim lim 3lim 33n n n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：3.2. 已知()1,a k =，()2,3b =，若a 与b 平行，则k =________. 【答案】32【解析】【分析】直接利用向量平行公式计算得到答案.【详解】()1,a k =，()2,3b =，a 与b 平行，则3322k k =∴= 故答案为：32【点睛】本题考查了向量的平行，属于简单题.3. 方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为______． 【答案】211310⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】 【分析】利用增广矩阵的定义即可求解.【详解】方程组的增广矩阵为其系数以及常数项构成的矩阵，故方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为211310⎛⎫⎪-⎝⎭，故答案为：211310⎛⎫⎪-⎝⎭4. 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =______． 【答案】88. 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】因为{}n a 是等差数列， 所以()()111481*********88222a a a a S ++⨯====，故答案为：88. 5. 若1324A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1233B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则2A B -=______． 【答案】34111⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由矩阵的性质进行计算即可.【详解】13263424412122233381311A B ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎪--⎝⎭⎝⎭⎭故答案为：34111⎛⎫⎪⎝⎭6. 已知()111111234212f n n n=++++++-，则()()1f n f n +-=______． 【答案】112122n n +++ 【解析】 【分析】由题意得出()1f n +，再由()()1f n f n +-得出答案.【详解】()1111111112342122122f n n n n n +=++++++++-++ ()()1121122n n n n f f +=+∴++- 故答案为：112122n n +++ 7. 已知ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足2PC BP =，则BA AP ⋅=______． 【答案】56- 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算以及数量积的定义即可求解.【详解】因为2PC BP =，所以13BP BC =， ()2213BA AP BA BP BA BA BP BA BA BC BA ⋅=⋅-=⋅-=⋅-221115cos601113326BA BC BA =⨯-=⨯⨯⨯-=-， 故答案为：56-8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，则n a =______．【答案】5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N【解析】 【分析】根据数列的前n 项和，由11,2n n n S S n a S --≥⎧=⎨⎩，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n =+，n *∈N ，当2n ≥时，()22141421n n n a S S n n n -=-=+---=-；又211145a S ==+=不满足上式，所以5,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，n *∈N .故答案为：5,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩，n *∈N9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q =___________．【解析】【分析】无穷等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，不合题意；要使()34lim n n a a a →∞+++存在，必须(1,0)(0,1)q ∈-⋃，求出极限，解方程即可．【详解】由题：无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，341(2)n a a a n a +++=-，不满足()134lim n n a a a a →∞=+++；所以1q ≠，2334(1)1n n a a a a q q-+++=--， 极限()34lim n n a a a →∞+++存在，即(1,0)(0,1)q ∈-⋃，()23334(1)lim lim 11n n n n a q a a a a q q -→∞→∞⎛⎫-+++== ⎪--⎝⎭， 即2111a q a q=-，化简得：210q q +-=，解得：12q -=，(1,0)(0,1)q ∈-⋃所以12q -=．【点睛】此题考查等比数列之和极限的应用，根据对数列极限讨论，求出基本量的关系． 10. 已知点()11,1P ，()27,4P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为______．【答案】2【解析】 【分析】根据点P 分向量12PP 的比是12，11213PP PP =，求出向量1PP的坐标，利用投影的计算公式即可求解. 【详解】因为点P 分向量12PP 的比是12，即()()112116,32,133PP PP ===， 因为()1,1a =-()121111PP a ⋅=⨯-+⨯=-，所以向量1PP 在向量()1,1a =-方向上的投影为122PP a a ⋅==，11. 在ABC ∆中,,120CB a CA b ACB ==∠=，，若点D 为ABC ∆所在平面内一点,且满足条件:①()()1CD CB CA R λλλ=+-∈；②()CD bCB aCA +，则CD =________(用a b 、表示).【答案】aba b+ 【解析】【分析】由①②可知,CD 为ACB ∠的角平分线，利用,,ABC BCD ACD ∆∆∆的面积关系，即可求出CD . 【详解】()()1CD CB CA R λλλ=+-∈，(),CD CA CB CA AD AB λλ∴-=-∴=,AD AB ∴共线，且有一公共点，,,A B D ∴三点共线，即D 在AB 边上.由()CB CA bCB aCA ab a b+=+=()||||CB CA ab CB CA +||||CB CACB CA +向量在ACB ∠的角平分线上， ()CD bCB aCA +∥，所以CD 为ACB ∠的角平分线.060ACD BCD ∴∠=∠=00,11sin120||sin 60(),22ABC ACD BCD S S S a b CD a b ∆∆∆=+∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+ abCD a b ∴=+. 故答案为:aba b+ 【点睛】本题考查平面向量的几何意义,考查模长,三角形的面积,常用向量所表示的几何意义熟练掌握是解题的关键,属于中档题.12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”，则以下{}n a 为“T 数列”的是______． ①{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <； ②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=． 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①②③④中的数列，分别求前n 项和n S ，判断是否存在实数A ，使得对任意的n *∈N ，都有n S A <，即可判断该数列是否为“T 数列”，即可得正确答案.【详解】对于①：{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，由等差数列的前n 项和公式可得：()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当n 无限大时，n S 也无限大，所以数列{}n a 不是 “T 数列”，故①不正确；对于②：若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <；所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-<+<------，满足“T 数列”的定义，故②正确； 对于③：()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()()122311111111111122222322122122n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅所以数列()212n nn a n n +=+是“T 数列”，故③正确；对于④：在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=， 当n 是奇数时，20n n a a +-=，数列{}n a 中的奇数项构成常数列，且各项都是1，当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶数和为0，当n →+∞时，n S →+∞，所以{}n a 不是“T 数列”， 综上所述为“T 数列”的是：②③， 故答案为：②③【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.二､选择题13. 已知a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭为单位矩阵，则向量()m a b =,的模为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D.【答案】B 【解析】 【分析】根据n 阶单位矩阵的定义，可知1,0a d b c ====，即()1,0m =，即可求得结果【详解】根据单位矩阵的定义，主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n 阶矩阵称为n 阶单位矩阵， 可知1,0a d b c ====，则()(),1,0m a b == 所以()1,01m == 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查单位矩阵及求向量的模，解题的关键是熟悉单位矩阵的定义，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.14. 已知a ，b 为两个非零向量，命题甲：a b a b -=+，命题乙：向量a 和b 共线，则甲是乙的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】若()22cos ,//1a b a b a a ba b ba b-=+⇒-=+⇒=-⇒，即甲可以推出乙，故充分性成立；但,a b 同向共线时，a b a b -<+；,a b 反向共线时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立. 【详解】若a b a b-=+，则()22a b a b-=+，整理得2222+c 2,2os a a b a b a b a b b +-=+，即c 22os ,a b a b a b -=，即cos ,1=-a b ，则//a b ，即甲可以推出乙，故充分性成立；若//a b ，当,a b 同向时，a b a b -<+；当,a b 反向时，a b a b -=+，即乙推不出甲，故必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查充分必要性条件的判断，向量数量积与向量共线，向量模长的运算，解题的关键是熟悉向量积公式cos ,a b a b a b ⋅=，及向量模长公式2a a =的运用，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.15. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（ ）A. 91010a - B. 4510a -C. 4510aD. 91010a【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100nn n n a a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.16. 在ABC 中，H 是边AB 上一定点，满足4AB HB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB PC HB HC ⋅≥⋅，则（ ）． A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AB AC =D. AC BC =【答案】D 【解析】 【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，由题意写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，由PB PC HB HC ⋅≥⋅结合向量的数量的坐标表示可得关于x 的一元二次不等式，结合二次不等式的性质即可求出a 得值，进而可得正确答案.详解】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 设4AB =，(),C a b ，(),0Px ，则1BH =，()2,0A -，()2,0B ，()1,0H ，所以()1,0HB =，()2,0PB x =-，(),PC a x b =-，()1,HC a b =-，()()2PB PC x a x ⋅=--，1HB HC a ⋅=-，因为PB PC HB HC ⋅≥⋅对于边AB 上任一点P 都成立，所以()()21x a x a --≥-在[]22-,上恒成立， 即()2210x a x a -+++≥在[]22-,上恒成立即()()[]110,2,2x x a x ---≥∀∈- 若12x <≤，则10x a --≥恒成立，故1a x ≤-恒成立，故0a ≤， 若21x ，则10x a --≤恒成立，故1a x ≥-恒成立，故0a ≥，故0a =即点C 在AB 的垂直平分线上，所以AC BC =， 故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键想到建立直角坐标系将PB PC HB HC ⋅≥⋅转化为坐标，设，设4AB =，(),C a b ，(),0P x ，写出各点坐标即可写出HB ，HC ，PB ，PC 的坐标，可得()()21x a x a --≥-恒成立，利用二次函数的性质求出0a =，可得点C 在AB 的垂直平分线上即AC BC =三､解答题：解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 已知()2,1A ，()3,2B =，()1,4D =-． （1）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标；（2）已知O 为坐标原点，在（1）的情况下，求OA OB OC OD ⋅-⋅． 【答案】（1）()0,5；（2）12-. 【解析】 【分析】（1）设(),C x y ，利用四边形ABCD 是矩形，可得AD BC =，转化为坐标相等即可求解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）设(),C x y ，因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD BC =，()3,3AD =-，()3,2BC x y =--,所以3323x y -=-⎧⎨-=⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩ ，所以点C 的坐标()0,5，（2）因为()2,1OA =，()3,2OB =，()0,5OC =，()1,4OD =-， 所以()231204512OA OB OC OD ⋅-⋅=⨯+⨯-+⨯=-， 所以12OA OB OC OD ⋅-⋅=-.18. 已知向量x 、y 满足：1x =，2y =，且(2)?(2)5x y x y --=． （1）求x 与y 的夹角θ；（2）若()x my y -⊥，求实数m 的值． 【答案】(1) 3πθ= (2) 14m =【解析】【分析】（1）由(2)(2)5x y x y -⋅-=展开，可解出1x y ⋅=，根据向量夹角公式1cos 2x yx yθ==⋅，即可求出夹角θ的大小；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m 的值． 【详解】（1）∵(2)(2)5x y x y --=∴2225251x x y y x y -⋅+=⇒⋅= ∵1cos 2x y x yθ⋅==⋅ ∴3πθ=．（2）∵()x m y y -⊥∴()0x m y y -⋅=，即20x y m y ⋅-= ∴11404m m -=⇒=． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．19. 根据预测，疫情期间，某医院第()N n n *∈天口罩供应量和消耗量分别为n a 和n b （单位：个），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供应量与消耗量的差．（1）求该医院第4天末的口罩保有量；（2）已知该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S n =--+（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？ 【答案】（1）935；（2）第42天末，口罩保有量达到最大超过了. 【解析】 【分析】（1）分别将1,2,3,4n =代入n a 和n b 算出前4个天的口罩供应量和消耗量，差值即为保有量；（2）当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，根据n a 和n b 列出不等式，求出n 的最大值，计算出最大保有量和最大容纳量比较即可得出结论.【详解】（1）第4天末的口罩保有量是前4天口罩供应量和消耗量之差， 将1,2,3,4n =代入n a 和n b 得第4天末的口罩保有量为：()()()()1234123420954204306789935a a a a b b b b +++-+++=+++-+++=，所以该医院第4天末的口罩保有量为935； （2）当n n a b >时，保有量始终增加.即104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤， 即第42天末的时候，保有量达到最大， 此时()()1234212342a a a a b b b b ++++-++++()()420503864742965878222+⨯+⨯=+-=，而容纳量为()2424424688008736S =--+=， 而87828736>，所以保有量超过了容纳量.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂题意当供应量大于消耗量时，口罩保有量增加，前4个天的口罩供应量和消耗量差值即为保有量；第二问当n n a b >时，保有量始终增加，由104705n n -+≥+，n 为正整数，解得42n ≤，即第42天末的时候，保有量达到最大，计算出前42天保有量和第42天末的口罩容纳量比较即可.20. 在直角坐标平面xOy 上的一列点()111,A a ，()222,A a ，…，(),nnA n a ，…，简记为{}nA ．若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +>，1n =，2，…，其()0,1j =，则称{}n A 为“M 点列”．（1）判断()11,1A ，()22,1A ，()33,1A ，…，(),1n A n ，是否为“M 点列”，并说明理由； （2）判断()11,1A ，212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，313,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭…是否为“M 点列”，请说明理由，并求出此时列{}n b 的前n 项和n T ．（3）若n A 为“M 点列”，且点2A 在1A 的右上方，任取其中连续三点k A ，k 1A +，2k A +，判断12k k k A A A ++的形状（锐角三角形､直角三角形､钝角三角形），并予以证明． 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析；1n nT n =-+；（3）钝角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据“M 点列”的定义，结合题中条件，即可得出结果； （2）根据题中条件，得出()11n n n b -+=，结合“M 点列”的定义，即可判断出结果；再利用裂项相消法，即可求出数列的和；（3）先由题意，得到1k k A A +与12k k A A ++的坐标，表示出向量数量积，利用“M 点列”的性质，判断1120k k k k A A A A +++⋅<，即可判断三角形的形状.【详解】（1）根据题意得1n a =，()11,0n n A A +=，∴110010n n n b A A j +=⋅=⨯+⨯=不满足1n n b b +>，故{}n A 不是“M 点列”． （2）根据题意得1n a n =，1111,1n n A A n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()111111n n n b A A j n n n n +-=⋅=-=++，显然有1n n b b +>， ∴{}n A 是M 点列．则12311111111 (1123243)111n n nT b b b b n n n n =++++=-+-+-++-=-=-+++． （3）因为n A 为“M 点列”，所以(),k k A k a ，()111,k k A k a +++，()222,k k A k a +++ 所以()111,k k k k A A a a ++=--，()12211,k k k k A A a a ++++=-， 则()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--， ∵点2A 在点1A 的右上方，∴1210b a a =->， ∵{}n A 为M 点列，∴10n b b ≥>，∴()()21110k k k k k k a a a a b b ++++--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<， 即11212112cos 0k k k k k k k k k k k A A A A A A A A A A A ++++++++⋅∠=<，又12k k k A A A ++∠为12k k k A A A ++的内角，∴12k k k A A A ++∠为钝角，∴12k k k A A A ++为钝角三角形． 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对“M 点列”的理解，要判断一个点列为“M 点列”，必须满足1n n n b A A j +=⋅为增数列；求解“M 点列”中构成的三角形形状时，则需要结合“M 点列”的性质，结合向量数量积求解即可.21. 已知数列{}n a 中，已知11a =，2a a =，()12n n n a k a a ++=+对任意n *∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值； （2）若1a =，12k =-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12k =；（2）()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ；（3）存在，25k =-．【解析】 【分析】（1）由{}n a 是等差数列，可得121n n n n a a a a +++-=-得到121()2n n n a a a ++=+，即可求解； （2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，进而得到321n n n n a a a a ++++=+，分n 是偶数和n 是奇数，分类讨论，即可求解；（3）由{}n a 是等比数列，得到1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，分1m a ，m a 和2m a 分别为等差中项，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 是等差数列，则对任意n *∈N ， 可得121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，即121()2n n n a a a ++=+，故12k =．（2）由12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+， 即122n n n a a a ++=--，()211n n n n a a a a ++++=-+， 故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． 当n 是偶数时，()12341122n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=； 当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++()()()123451n n a a a a a a a -=+++++++，()11222n n -=+⨯-=- 综上可得，()2,21,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ． （3）若{}n a 是等比数列，则公比21a q a a ==， 由题意1a ≠，故1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=．①若1m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，221a a =+，解得1a =（舍去）； ②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+， 即112m m m a a a -+=+，22a a =+，因为1a ≠，解得2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++．③若2m a 为等差中项，则212m m m a a a ++=+， 即112m m m a a a +-=+，221a a =+， 因为1a ≠，解得12a =-，2215a k a ==-+， 综上，存在实数k 满足题意，25k =-． 【点睛】解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.。