相似三角形与相似多边形

第八讲 相似多边形与相似三角形一、新知探索与考点剖析考点一：相似多边形例1．下面各组中的两个图形，形状相同的图形是（ ）例2．（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似； ②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似； ④所有的三角形都相似； ⑤所有的等腰直角三角形都相似； ⑥所有的正五边形都相似．其中正确的命题有______________________．（2）已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似,相似比为4:3，①若∠A ′=65°,则∠A=___________； ②A ′B ′=6 cm,则 AB=___________；③若四边形ABCD 周长为64cm,则四边形A ′D ′、B ′C ′的周长为______________．例3．E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，（1） 求长方形ABCD 长AD 与宽CD 的比； （2） 当AB=1时，求矩形ABCD 的面积. ◎变式提升训练◎1. 如图，已知四边形ABCD ∽A ’B ’C ’D ’, 则x= ，y= ， = ．考点二：相似三角形例4. 如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.◎变式提升训练◎1． 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.当ΔAPB ∽ΔACP 时，则∠APB=_________.2.如图，已知点D 在AC 上，且△ABD ∽△ACB ，AB=2，AD=1，求CD 的长.3.如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，A B ED E F △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．C第1题第2题第3题二、易错点、考点强化提升例6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 为AB 上一点，MN ∥BC 交CD 于N.若AD=2，BC=8，M 点在何处时，MN 所分梯形AMND 与梯形MBCN 相似？◎变式提升训练◎如图，在△ABC 中，已知∠ACB=900，过C 作1CD AB ⊥于1D ，过点1D 作12D D BC ⊥于2D 过2D 作23D D AB ⊥于3D ，这样继续下去.（1）判断图中的这些三角形的形状都相同吗？（2）若∠B=30°，AC=1，求线段1n n D D +(n 为正整数)的长度.◎素质能力测试◎一、选择题：1．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，EF ∥AD 交AB 、CD 于E 、F ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则EF 等于（ ）．A ．abB ．2b a +C ．222b a + D ．不能确定2. 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m, BD 长0.55m,且△ADE ∽△ABC,则梯子的长AB=( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m3. 如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD, 只要CD 等于( )A.c b 2B.a b 2C.c abD.ca 213A DC M N B4. 一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种二、填空题1．两个相似多边形的相似比是81，则这两个多边形的对应对角线的比是________．2．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3， 则BD ∶A ′C ′=____________．三、解答题1．在一矩形ABCD 的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？请说明理由.2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，并且EF 将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD 、EBCF 相似，若AD=4，BC=9，求AE ∶EB ．——相似多边形与相似三角形 姓名：______一、选择题：1．下列图形中一定相似的是（ ）A ．有一个角相等的两个平行四边形B ．有一个角相等的两个等腰梯形C ．有一个角相等的两个菱形D ．有一组邻边对应成比例的两平行四边形 2．下列结论不正确的是（ ）． A ．所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似3．五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米 和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是（ ）． A ．5∶4 B．4∶5 C ．5∶25 D ．25∶54．若△ABC ∽△DEF,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是（ ）． A ．3AB=4DE B ．4AC=3DEC ．3∠A=4∠D D ．4（AB+BC+AC ）=3（DE+EF+DF ）5．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为_____米．二、解答题1．已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．2.已知ABC A B C '''△∽△,△ABC 2，A B C '''△的两边长分别为1A B C '''△的第三边长.3. 如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF ．若△ABC 的边长为a ． （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积．（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？。

引入简单的概念相似多边形和相似三角形相似多边形和相似三角形是几何学中的常见概念，它们在解决实际问题和计算几何中起到了重要的作用。

本文将对相似多边形和相似三角形的概念及相关性质进行介绍，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。

一、相似多边形的概念及性质相似多边形是指具有相同形状但大小可以不同的多边形。

它们的对应角相等，对应边成比例。

具体来说，如果两个多边形的对应角相等且对应边成比例，则它们是相似多边形。

相似多边形有以下性质：1. 相似多边形的对应边比值相等，即边长比例相等。

2. 相似多边形的对应角度相等。

3. 相似多边形的各对应边和角度之间成等比例关系。

我们可以利用相似多边形的性质进行求解。

例如，在计算尺寸不方便测量的物体的长度时，可以利用相似三角形或相似多边形的性质，通过测量一些已知尺寸，结合比例关系来求解未知尺寸。

二、相似三角形的概念及性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

它们的对应角相等，对应边成比例。

与相似多边形类似，如果两个三角形的三个内角相等且对应边成比例，则它们是相似三角形。

相似三角形有以下性质：1. 相似三角形的对应边比值相等，即边长比例相等。

2. 相似三角形的对应角度相等。

3. 相似三角形的各对应边和角度之间成等比例关系。

相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在地图上测量两地的实际距离时，可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和测量的比例尺来求解实际距离。

三、相似多边形和相似三角形的重要性相似多边形和相似三角形在数学中具有重要的地位和作用。

它们不仅帮助我们理解几何形状之间的关系，还为解决实际问题提供了有效的工具。

在数学中，相似多边形和相似三角形是解决几何证明问题的基础。

通过运用它们的性质和定理，我们可以更简洁地证明一些几何定理，从而推动几何学的发展。

在实际应用方面，相似多边形和相似三角形在建筑、地理测量、工程设计、图像处理等领域有着广泛的应用。

九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。

2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。

3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。

4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。

5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。

6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。

7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。

8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。

9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。

10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。

以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。

九年级相似知识点归纳一、数学方面的相似知识点归纳1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例。

利用这些性质，我们可以求解各种与相似三角形相关的问题。

2. 相似比与比例相似比是指相似图形（包括三角形和多边形）的对应边的比值。

比例是指两个数之间的相对关系。

在解题中，我们需要用到相似比和比例来确定图形的相似性质以及求解未知数。

3. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但不同大小的多边形。

相似多边形的性质与相似三角形类似，对应角相等，对应边成比例。

我们可以利用相似多边形的性质来求解各类相关问题。

二、科学方面的相似知识点归纳1. 生物相似性在生物学中，相似性是指不同物种之间在形态特征、生理功能等方面存在相似之处。

相似性可以用来推断物种之间的亲缘关系，进行分类和进化研究。

2. 物理相似性在物理学中，相似性是指两个事物在某些性质上的相似程度。

物理相似性的研究可以帮助我们更好地理解和预测不同物体或系统的行为，比如利用相似性原理可以在实验室中进行模型实验，进而推广到真实情况。

3. 化学相似性在化学领域，相似性是指化合物或元素之间具有相似的化学性质或结构特征。

化学相似性可以用来预测物质的性质、反应行为，以及设计新的化合物或材料。

三、语文方面的相似知识点归纳1. 同义词与近义词同义词是指意思相同或相近的词语，而近义词指意思相近但不完全相同的词语。

在写作中，我们可以利用同义词和近义词来丰富文章的表达方式，避免重复使用相同的词汇。

2. 反义词与对义词反义词是指意思相反的词语，而对义词指相对应关系的词语。

在阅读理解和写作中，我们需要对反义词和对义词进行准确理解，以便正确地领会作者的意图和准确表达自己的思想。

3. 成语与俗语成语是特定社会和历史背景下形成的固定词组，具有特定的意义。

俗语是反映民间传统和智慧的短小词句。

在语文学习中，我们需要理解和运用成语和俗语，以提升语言表达的准确性和韵律感。

初中数学——（56）相似三角形一、相似三角形的概念（一）相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形1、相似用符号“∽”表示，读作“相似于”2、相似三角形对应边的比叫做相似比3、相似三角形对应角相等，对应边成比例（二）两个三角形相似时，顶点字母要对应，即：△ABC ∽△C B A ''' （三）两个三角形形状一样，但大小不一定一样（四）全等三角形是相似比为1的相似三角形，二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例二、相似三角形的性质（一）相似三角形对应角相等，对应边成比例（二）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比（三）相似三角形周长的比等于相似比 （四）相似三角形面积的比等于相似比的平方三、相似三角形的判定（一）两角对应相等，两三角形相似（二）三边对应成比例，两三角形相似（三）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（四）直角三角形斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似四、相似多边形（一）相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比（二）相似多边形中对应三角形相似，相似比为相似多边形的相似比（三）相似多边形面积比等于相似比的平方（四）相似多边形的判定不可以套用相似三角形的判定五、位似图形（一）定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形1、这个点O叫做位似中心2、这时的相似比又称为位似比（二）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（三）位似图形的对应边互相平行或共线（四）画位似图形的一般步骤：1、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）2、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长3、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置4、顺次连结上述得到的关键点，即可得到图形外位似内位似六、练习题（一）已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP（二）已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC（三）如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC 中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.（四）△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若AD:AB=2:3，求ND:BD（五）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．（六）已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E 点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积（七）如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上1、当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；2、当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；。

专题37：相似三角形与相似多边形一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1、相似三角形的性质和判定（1）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．相似比=对应边的比=对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长比相似三角形面积的比等于相似比的平方．（1）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似->射影定理注意：．在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．2.相似多边及位似图形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．(2)相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．（二）：【课前练习】1.下列说法正确的是（）A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（）A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置3.如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：54.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于( )A.175° B．180° C．210 ° D．225°5.如图，Rt△ABC中，有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ．二：【经典考题剖析】5.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（）A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm（第8题）A BC DE 三：【课后训练】6. （2011浙江省）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A . 2：5B .14:25C .16:25D . 4:217.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC= 6 ，AD=2，那么当AB 的长 等于 时，使得两个直角三角形相似．8. （2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33 （C ）34 （D ）369. （2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是 A.ED EA =DF AB B.DE BC =EF FB C. BC DE =BF BE D.BF BE =BC AE10（2010湖南衡阳）如图，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x=mm ．11（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.四：【课后小结】。

相似多边形、相似三角形判定一、相似多边形1．相似多边形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．四、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证A B C D E F △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．五、相似证明中的基本模型六、.黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCABAC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中618.0215≈-=AB ACA BC【例1】 三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之各是 （ ） A ．15cm B ． 18cm C ． 21cm D ． 24cm【巩固】ABC △的三边长分别为2、10、3，'''A B C △的两边长分别为1和5，若ABC △与'''A B C △相似，则'''A B C △的第三条边长 ．【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为 多少？【例2】 已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM=AB ∶AMB.AM=215-ABC.BM=215-ABD.AM ≈0.618AB【例3】 著名的斐波那契数列指的是数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．该数列有很多性质，“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比=0.6180339887…”是其中的一个性质．请经过探究，猜测该数列中的第2010项与2011项的比值与黄金分割比的大小关系为（ ）A 、大于B 、等于C 、小于D 、无法确定【例4】 如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.角角角判定法【例5】如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．【巩固】如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．【例6】在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求FNNE的值．【巩固】已知，如图：CE 是Rt △ABC 的斜边上的高，在CE 的延长线上任取一点P ，连结AP 自B,作BG ⊥AP 于G 交CP 于D ，求证：2CE DE PE =∙【例7】 如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证：△ADE ∽△BEF ．（2）若AE ：EB=1：2，求DE ：EF 的比值．【巩固】如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，求证：AB 2=AE•BF．【例8】如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于点E、F，则AF：AD=BE：BD吗？说明理由边角边判定法【例9】已知△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°那么，△DCF∽△BEF? 为什么？【巩固】如图,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时求∠APB的度数。

几何图形的相似几何图形的相似性是几何学中的一个重要概念。

当两个图形的形状相似，但大小不同的时候，我们可以说它们是相似的。

在这篇文章中，我们将探讨几何图形的相似性及其在实际生活中的应用。

一、相似三角形相似三角形是几何学中最常见的一种相似图形。

当两个三角形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。

相似三角形的比例关系可以用以下公式表示：AB/DE = AC/DF = BC/EF = k其中，k为两个相似三角形的比例因子。

相似三角形的应用非常广泛。

例如在地图制图中，由于地球是一个近似于球体的物体，所以地图上的距离和角度会出现变形。

为了保持地理位置的准确性，我们需要用到相似三角形的原理来进行地图的缩放和校正。

二、相似多边形除了三角形，其他多边形也可以是相似的。

当两个多边形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。

相似多边形的比例关系同样可以用上述相似三角形的公式表示。

相似多边形的相似性可以应用在很多实际问题中。

例如在建筑设计中，我们需要按照比例缩放建筑的模型以便于展示和评估。

相似多边形的原理可以帮助我们准确地进行缩放，并保持建筑的整体比例和形状。

三、相似图形的比例在相似图形中，对应边的比例是一个非常重要的概念。

对于相似三角形或多边形，我们可以通过对应边的比例来求解未知边的长度。

例如，在一个相似三角形中，如果我们知道两个对应边的比例和其中一个对应边的长度，我们就可以通过比例关系来计算其他对应边的长度。

这个原理在测量和定位中有很多应用，例如测量不可达区域的长度、计算山脉的高度等等。

四、相似图形的面积比除了边长的比例，相似图形的面积比也是一个重要的概念。

当两个图形相似的时候，它们的面积比等于边长比的平方。

例如，在一个相似三角形中，如果两个三角形的边长比为k，那么它们的面积比就为k²。

这个原理可以应用在计算面积缩放、制作模型等方面。

总结几何图形的相似性是几何学中的重要概念，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。