人教版九年级下册 第20题 相似三角形和锐角三角函数 专题练习(无答案)

BCA图 1图 2九年级数学阶段性（相似三角形、锐角三角函数）测试卷一、选择题1、如图1，在Rt ABC △中，ACB ∠=90o ，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．3sin 2A =B ．1tan 2A =C ．3cos 2B =D ．tan 3B = 2、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） 3、计算：︒⋅︒+︒60sin 60tan 45cos 2的值为( )A ． 1B ．2C ． 2D ． 34、如图2，把两块相同的含︒30角的三角尺按如图所示放置，若=AD 66，•则三角尺的斜边的长为( ) A ．6 B ．36 C ． 10 D ． 125、如图4，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则 AODO等于（ ）A ．2 53 B ．13 C ．23 D ．126、如右图，D 是△ABC （三边互不相等）的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在△ABC 的边上，并且点D 、E 和△ABC 的一个顶点组成的小三角形与ABC 相似，则这样的画法有（ ）A ．5种 B ．4种 C ．3种 D ．2种 7、如上图、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A ．第4张 B ．第5张 C ．第6张 D ．第7张 二、填空题： 1、当锐角α 时，102cos 3α-有意义。

D ．C ．B ．ABCA ．ABFC DEO 图 42、关于x 的方程060cos 30cos 2=︒+︒⋅-x x 的实数根情况 。

3、如图5，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自 己的影长和楼房的影长分别是5.0米和15米，已知小华的身高为6.1米，那么他所住楼房的高度为 米。

九年级下册数学（人教版）相似三角形练习题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共33小题,每小题分,共0分)1.“相似的图形”是()A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形2.下列图形中一定相似的是()A．所有矩形B．所有等腰三角形C．所有等边三角形D．所有菱形3.下列两个图形一定相似的是()A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形4.用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是()A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍5.如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么x∶y等于()A ．B ．C ．D ．6.已知＝＝＝，则a＋c＋e＝6，则b＋d＋f等于()A． 12 B． 9 C． 6 D． 47.在比例尺是1∶500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是()A． 20平方米B． 500平方米C． 5 000平方米D． 500 000平方米8.两个多边形相似的条件是()A．对应角相等B．对应边成比例C．对应角相等或对应边成比例D．对应角相等且对应边成比例9.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为()A． 18 B． 12C． 24 D． 3010.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE＝1，AB＝4，则AD等于()A． 2 B． 2.4C． 2.5 D． 311.如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是()A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝12.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝2，DO＝4，BO＝3，则BC的长为()A． 6 B． 9C． 12 D． 1513.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E ，如果＝，那么等于()A ．B ．C ．D ．14.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A ．B ．C ．D ．15.若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()A． 3∶2 B． 3∶5C． 9∶4 D． 4∶916.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是()A． 1∶2 B． 1∶4C． 1∶8 D． 1∶1617.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A． (1，) B． (，)C． (，2) D． (，2)18.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则它们的周长比为()A． 1∶4 B． 1∶2C． 2∶1 D． 1∶19.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的()A． 9倍B． 3倍C． 81倍D． 18倍20.△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为()A． 1∶B ．∶1C． 9∶1 D． 1∶921.已知△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4.若BC＝1，则EF的长为()A． 1 B． 2C． 3 D． 422.两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是()A． 52 B． 54C． 56 D． 5823.两相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的面积之差为32 cm2，那么小三角形的面积为()A． 10 cm2 B． 14 cm2C． 16 cm2 D． 18 cm224.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是()A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝25.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺26.如图：边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为()A． 60B． 64C． 68D． 7227.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费()A． 540元B． 1 080元C． 1 620元D． 1 800元28.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于()A． 10 m B． 12 m C． 12.4 m D． 12.32 m29.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为()A． 3米B． 4米C． 4.5米D． 6米30.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO ＝CD，若B(1,0)，则点C的坐标为()A． (1，－2) B． (－2,1)C． (，) D． (1，－1)31.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,4)、B(6,0)，以原点O 为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，则点C的坐标为()A． (3,3) B． (3,2)C． (2,3) D． (2,2)32.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是()A． 1 B． 2C． 3 D． 433.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB为()A． 2∶3 B． 3∶2C． 4∶5D． 4∶9分卷II二、填空题(共15小题,每小题分,共0分)34.在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是__________ km.35.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形ABCD 相似，AB＝4，则AD的长度为__________．36.一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________，__________时，这两个三角形相似．37.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C 同时出发，设运动时间为t s，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．38.在△ABC在，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．39.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是________．40.已知Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4，若Rt△ABC的最长边长为12 cm，则Rt△A1B1C1最长边的中线长为__________ cm.41.已知△ABC∽△DEF，且S △ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.42.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为__________，面积为__________．43.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．44.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．45.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__________．46.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.47.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为____________米．48.如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔__________米．三、解答题(共16小题,每小题分,共0分)49.已知：a∶b＝3∶2，b∶c＝∶0.3，求a∶b∶c.50.已知：＝＝，x－y＋z＝6，求：代数式3x－2y＋z的值．51.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；(1)求AB、BC的长；(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．52.如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，＝，连接FC，若＝，求的值．53.如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.54.如图所示，不共面的三条直线交于O点，在O点的同侧上分别取点A和A′，B和B′，C和C′，使得＝＝，求证：△ABC∽△A′B′C′.55.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？56.已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB.57.如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.58.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.59.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.(1)求△A′B′C′斜边A′B′的长；(2)求△A′B′C′斜边A′B′上的高．60.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图1，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：＝k.61.如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2.(1)DE与AB的长度之比是多少？(2)已知直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．62.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．63.已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB＝90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，求：(1)线段AB的长；(2)的值．64.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.答案解析1.【答案】A【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A.2.【答案】C【解析】A.所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B．所有等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C．所有等边三角形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；D．所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误．故选C.3.【答案】D【解析】A.两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C．两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；D．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．故选D.4.【答案】A【解析】∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，则A错误，符合题意．故选A.5.【答案】D【解析】∵x∶(x＋y)＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，2x＝3y，∴x∶y＝3∶2＝，故选D.6.【答案】B【解析】由＝＝＝，得a＝b，c＝d，e＝f，则b＋d＋f＝6，即(b＋d＋f)＝6，∴b＋d＋f＝6×＝9，故选B.7.【答案】B【解析】∵比例尺是1∶500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，∴实际长为5÷＝2 500厘米＝25米，宽为4÷＝2 000厘米＝20米，∴实际面积为25×20＝500平方米，故选B.8.【答案】D【解析】∵对应角相等且对应边成比例的多边形相似，∴D符合定义，故选D.9.【答案】A【解析】设这个多边形的最长边是x，则＝，解得x＝18.故选A.10.【答案】A【解析】∵矩形ABCD∽矩形ADFE，∴＝，∵AE＝1，AB＝4，∴＝，解得AD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，＝，∴＝故选D.12.【答案】B【解析】∵AB∥CD，∴＝；∵AO＝2，DO＝4，BO＝3，∴＝，解得CO＝6，∴BC＝BO＋CO＝3＋6＝9.故选B.13.【答案】B【解析】∵DE∥AB，∴＝＝，∵AD为△ABC的角平分线，∴＝＝；故选B.14.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选A.15.【答案】A【解析】∵△ABC～△DEF，相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.故选A.16.【答案】B【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1∶4.故选B.17.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.18.【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选B.19.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶9，∴这两个相似三角形的相似比为1∶3，∴这两个相似三角形的周长比为1∶3，∴周长扩大为原来的3倍，故选B.20.【答案】D【解析】∵相似△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶9.故选D.21.【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4，∴BC∶EF＝1∶2，∵BC＝1，∴EF＝2，故选B.22.【答案】B【解析】∵两相似三角形的周长分别是36和12∴相似比为3∶1，∵周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，∴周长较大的三角形的最小边为9，周长较小的三角形的最大边为5，∴周长较大的三角形的第三条边为12，∴两个三角形均为直角三角形，∴周长较大的三角形的面积＝×9×12＝54，故选B.23.【答案】D【解析】根据题意，两个三角形的相似比是5∶3，面积比就是25∶9，大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16＝2( cm2)，所以小三角形的面积为2×9＝18( cm2)．故选D.24.【答案】C【解析】A.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故A错误；B.∵DE∥BC，∴＝，故B错误；C.∵DE∥BC，∴＝，故C正确；D.∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴＝，故D错误；故选C.25.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.26.【答案】C【解析】如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝4，∴EC2＝42＋42，即EC＝4，∴S2的面积为EC2＝32，∵S1的边长为6，S1的面积为6×6＝36，∴S1＋S2＝32＋36＝68.故选C27.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为180÷50＝元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×＝1 620元故选C.28.【答案】B【解析】由题意可得AB＝1.5 m，BC＝0.4 m，DC＝4 m，△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得DE＝12，故选B.29.【答案】D【解析】如图，由题意得，△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，解得BE＝6，即树的高度为6米．故选D.30.【答案】D【解析】∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1,0)，∴BO＝1，则AO＝AB＝，∴A(，)，∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，∴点C的坐标为(1，－1)．故选D.31.【答案】B【解析】∵点A(6,4)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，∴点C的坐标为(6×，4×)，即(3,2)，故选B.32.【答案】D【解析】由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选D.33.【答案】A【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积的比4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴＝，故选A.34.【答案】2.8【解析】设这条道路的实际长度为x，则＝，解得x＝280 000 cm＝2.8 km.∴这条道路的实际长度为2.8 km.35.【答案】4【解析】设AE＝x，则AD＝2x，∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，∴＝，∴AB2＝2x2，∴AB＝x＝4，∴x＝2，∴AD＝4.36.【答案】【解析】∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，∴当另一个三角形的三边的比为3∶4∶5时，这两个三角形相似，∵另一个三角形的最短边长为8，∴另外两边长为，.37.【答案】4.8或【解析】CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．38.【答案】或【解析】当＝时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝＝＝；当＝时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝＝＝.39.【答案】4∶9【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，∴它们的相似比为4∶9，∴它们的周长比为4∶9.40.【答案】8【解析】设Rt△A1B1C1最长边为x cm，∵Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4，∴12∶x＝3∶4，解得x＝16，则Rt△A1B1C1最长边的中线长为8 cm，41.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.42.【答案】90270【解析】设较大三角形的其他两边长为a，b.∵由相似三角形的对应边比相等，∴＝＝，解得a＝15，b＝36，则较大三角形的周长为90，面积为270.故较大三角形的周长为90，面积为270.43.【答案】9∶14【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，设正方形的边长为y，∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，∴①∶(①＋③)＝1∶42，即x2∶3xy＝1∶42，∴y＝7x，∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.44.【答案】9∶4【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶4.45.【答案】1【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝1，故答案为1.46.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.47.【答案】5【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，＝，即＝，解得AM＝5 m．则小明的影长为5米．48.【答案】5【解析】如图，过点P作PE⊥DC，交AB于点F，设每两棵树间的间隔x m，根据题意可得：∵AB∥CD∴△ABP∽△DPC，∴＝，∴＝，解得x＝5.49.【答案】解∵b∶c＝∶0.3，∴b∶c＝(×4)∶(0.3×4)＝2∶1.2；∵a∶b＝3∶2，∴a∶b∶c＝3∶2∶1.2＝(3×5)∶(2×5)∶(1.2×5)＝15∶10∶6.【解析】首先根据b∶c＝∶0.3，可得b∶c＝2∶1.2；然后根据a∶b＝3∶2，求出a∶b∶c的值是多少即可．50.【答案】解设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入x－y＋z＝6，可得2k－3k＋4k＝6，解得k＝2，所以x＝4，y＝6，z＝8，把x＝4，y＝6，z＝8代入3x－2y＋z＝12－12＋8＝8.【解析】根据比例的性质，可用设＝＝＝k，进而解答即可．51.【答案】解(1)∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∴＝，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴＝＝，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9.【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．52.【答案】解∵DE∥BC，∴＝，又∵＝，∴＝，∴AB∥CF，∴＝，∵＝，∴＝＝2，∴＝2.【解析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出＝，证出AB∥CF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．53.【答案】证明∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即＝＝，∴ABC∽△DEF.【解析】先根据三角形中位线性质得到DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，则可利用三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论．54.【答案】证明如图，∵＝，∴A′B′∥AB，∴＝.同理A′C′∥AC，B′C′∥BC，∴＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△A′B′C′.【解析】利“平行线截线段成比例”推知△ABC与△A′B′C′的对应边相互平行，则△ABC∽△A′B′C′.55.【答案】解△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝2a，DF＝a，∴＝＝2，＝＝2，∴＝，而∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF.【解析】先根据正方形的性质，得∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，利用E为边AD的中点，CF＝3FD，得到AE＝DE＝2a，DF＝a，则可计算出＝，加上∠A＝∠D，于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF.56.【答案】证明∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，∴＝＝，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.【解析】首先根据已知得出AD∶AC＝AE∶AB，又因为∠DAE＝∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB.57.【答案】证明(1)∵四边形ABCD为正方形，△EDF为等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF；(2)延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．58.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△ABE.【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.59.【答案】解(1)∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，∵Rt△ABC的斜边AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜边A′B′＝4 cm；(2)∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2 cm.【解析】(1)由等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，根据相似比的定义，可得AB∶A′B′＝3∶1，继而求得答案；(2)由△A′B′C′是等腰直角三角形，利用三线合一的性质，可得△A′B′C′斜边A′B′上的高即是斜边A′B′上的中线，继而求得答案．60.【答案】解∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，∵AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线，∴∠BAD＝∠B1A1D1，又∠B＝∠B1，∴△BAD∽△B1A1D1，∴＝＝k.【解析】根据相似三角形的性质定理得到∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，根据相似三角形的判定定理证明△BAD∽△B1A1D1，根据相似三角形的性质定理得到答案．61.【答案】解(1)由相似变换可得DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；(2)∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9，∵直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2∴△DEF的周长为8 cm，S △DEF＝cm2.【解析】根据相似三角形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解题即可．62.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．63.【答案】解(1)过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，则∠BMC＝∠ANC＝∠BCA＝90°，∴∠BCM＋∠MBC＝90°，∠BCM＋∠ACN＝90°，∴∠MBC＝∠ACN，在△BMC和△CNA中∴△BMC≌△CNA，∴BM＝CN，AN＝CM，∵l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，∴BM＝CN＝3，CM＝AN＝1＋3＝4，在Rt△BMC中，由勾股定理，得BC＝AC＝＝5，在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝5；(2)∵直线l2∥直线l3，∴∠DBC＝∠BCM，∵∠BCD＝∠BMC＝90°，∴△BCD∽△CMB，∴＝，∴＝，∴BD＝，∵AB＝5，∴＝＝.【解析】64.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.【解析】。

九年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：一、相关概念：1. 相似图形：形状相同的图形。

2. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。

3. 相似比：相似多边形对应边的比。

二、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等三、相似三角形的判定✓通过定义（三边对应成比例，三角相等）✓平行于三角形一边的直线✓三边对应成比例（SSS）✓两边对应成比例且夹角相等（SAS）✓两角对应相等（AA）✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（HL）四、相似三角形的性质✓对应角相等。

✓对应边成比例。

✓对应高的比等于相似比。

✓对应中线的比等于相似比。

✓对应角平分线的比等于相似比。

✓周长比等于相似比。

✓面积比等于相似比的平方。

五、位似：✓位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.✓在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.考点一一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列命题：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的等腰直角三角形都相似，④所有的直角三角形都相似.其中，正确的是 ( )A.②③B.②③④C.③④D.②④2.有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为6，底边长为4，另一个三角形框架的底边长为2，则这个三角形框架的腰长为 ( ) A.6 B.4 C.3 D.23.如图，点P 是△ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条4.如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A.1对B.2对C.3对D.4对5.两个相似菱形边长的比是1:4，那么它们的面积比是 ( ) A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:166.下列条件中，不能判定以A /、B /、C /为顶点的三角形与△ABC 相似的是（ ） A.∠C=∠C /=90°,∠B=∠A /=50° B.AB=AC ，A /B /=A /C /，∠B=∠B /C.∠B=∠B /，////C B BC B A AB =D. ∠A=∠A /，////C B BC B A AB =7.△ABC 的周长等于16，D 是AC 的中点，DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC 的周长等于( ) A.2 B.4 C.6 D.88.在□ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE 与DF 相交于H ，则△EFH 的面积与△ADH 的面积的比值为 （ ） A ．21 B ． 81 C ．161 D ．41二、填空题（每小题3分，共18分）9．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，则这个地区的实际周长________。

《相似三角形的性质》A卷一、单项选择题(共5题,共37分)1.若△ABC∽△DEF,相似比为 3:2,则对应高的比为( )A.3:2B.3:5C.9:4D.4:92.已知△ADF∽△DEF且相似比为4:3,若△ABC中BC边上的中线AM=8, 则△DEF中EF边上的中线( )A. 3B.4C.5D.63.已知△ABC∽△DEF,相似比为3:1，且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为 ( )A.2B.3C.6D.544.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则△EOD的周长与△BOC的周长的比为( )A. 1：2B.2：3C.1：3D. 1：45.已知△ABC∽△，AD,分别是△ABC,△的高，且AD:=2:3，则（）A.△ABC与△的周长比为4:9B.AB:=2:3C.D.二、填空题(共5题,共35分)1.若△ABC∽△，对应角平分线的比为2:，且BC边上的中线AD=5，则边上的中线=____.2.如图，在AD=10cm，CD=6cm,E为AD上一点，且 BE=BC,CE=CD, BM平分∠EBC,交CE于点M, CN平分∠ECD,交ED于点N.则的值是________.3.（2017湖南湘潭中考）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC 的面积比=________.4.在△ABC中，AB=6cm,AC=5cm,点D，E分别在AB，AC上，若△ADE与△ABC相似，且=1:8,则AD=________cm.5.(2017福建莆田二十五中月考)如图,M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的三条边，所形成的三个小三角形(阴影部分)的面积分别是4,9,49,则△ABC的面积是________.三、解答题(共4题,共28分)1.如图，的对角线AC,BD相交于点O，点E是 AD的中点，△BCD的周长为8 cm，求△DEO的周长。

2.（2016·江苏无锡第二次联考改编）如图，已知矩形ABCD的边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O。

27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC 的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六 相似形中的综合题 9．正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，21AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是 AE的中点； （2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3）若21=∆∆OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例. 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. 3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比. 8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案 1．22或42 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC=26， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，ACAEAB AD =，即2631AE =，解得AE =22. 若△ADE∽△ACB 时，AB AE AC AD =3AE=，解得AE=42. ∴当AE =22或42时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一).（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB ; ∴AC AD =ABAE.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°， ∴∠ECF=∠BDF ， 又∠F=∠F ， ∴△CEF∽△DBF ;∴BF EF =DFCF，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb2. 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm，40(cm)BC ==．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为21×5CN=21×3×4，所以CN=512． 因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以ABGFCN CM =． 设正方形的边长为x ，则1251255xx -=，解得3760=x ．所以正方形的边长为3760．（2）同（1），有12251255xx -=，解得4960=x ．（3）同（1），有12351255x x -=，解得6160=x ． （4）同（1），有1251255x nx -=，解得n x 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=xm,∴x =2m. (3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°. 设新做扇形的半径为γ，则230γ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12NC BC a ==. 在Rt△DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a =+=+= ∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=-. ∴2152)15(-=-=a a CD CE ，故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D .∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴BF BHDG DF=， ∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ， 9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是 ⌒AE的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD . （3） ∵AO=OC ，∴12OCD ACD S S ∆∆=.∵12CEF OCD S S ∆∆=，∴14CEF ACD S S ∆∆=.∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE .∴2CEF ACD S CF S AC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴CF =2.。

专题28.7锐角三角函数值与锐角关系（专项练习）一、单选题1．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，3sin 5A =，则tanB 的值为（）A ．45B ．35C ．34D ．432．已知：22sin 32cos α1+= ，则锐角α等于（）A ．32B ．58C ．68D ．以上结论都不对3．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =，则sin A 的值是（）A ．35B ．45C ．53D ．544．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA·tanB 等于()A ．0B ．1C ．－1D ．不确定5．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．则sinA 的值为（）A ．725B ．2425C ．724D ．2476．⊿ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列比值中不等于tan A 的是（）A ．BC ACB ．CD ADC ．BD CDD ．AC AB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，则sin B 的值为()A ．54B ．45C ．53D ．358．在ABC 中，90C ∠=，3sin 5A =，那么cosB 的值等于（）A ．35B ．45C ．34D ．439．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k 1x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=2k x在第一象限内的图象交于点B ，连接BO ．若S △OBC =1，tan ∠BOC=13，则k 2的值是（）A ．﹣3B ．1C ．2D ．310．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②OD =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D到CF 的距离为5．其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤二、填空题11．已知α∠为锐角，且5sin 13α=，则cos α=______．12．已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.13．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．14．已知：tanx=2，则sin 2cos 2sin cos x xx x+-＝____.15．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sinα=sinB ；②sinβ=sinC ；③sinB=cosC ；④sinα=cosβ.其中正确的结论有_____.16．如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是______．17．如图，在Rt ABC △中．90,2,4ABC AB BC ∠=︒==，点D 是边AC 上一动点．连接BD ，将ABD △沿BD 折叠，点A 落在A '处，当点A '在ABC 内部（不含边界）时，AD 长度的取值范围是___________．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB V 斜边上的高为1，30AOB ∠=︒，将Rt OAB V 绕原点顺时针旋转90︒得到Rt OCD △，点A 的对应点C 恰好在函数(0)ky k x=≠的图象上，若在ky x=的图象上另有一点M 使得30MOC ∠=︒，则点M 的坐标为_________．三、解答题19．求值：(1)260453456 cos sin tan tan+-⋅；()2已知2tanA=，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．20．（1）已知3tanα﹣2cos30°=0，求锐角α；（2）已知2sinα﹣3tan30°=0，求锐角α．21．如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=BD和AE的长．22．如图，已知BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，联结EF．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）如果sin AAEF ABCS S ∆∆的值．23．如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x =>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B．（1）求m 的值；（2）点M 是函数(0)my x x=>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．24．如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC BD 、的交点，连接CE DG 、．（1）求证：DOG COE ∆∆≌；（2）若DG BD ⊥，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，12AM =，求正方形OEFG 的边长．参考答案1．D【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =35，设BC=3x ，则AB=5x ，∵BC 2+AC 2=AB 2∴AC=4x ．∴tanB=AC BC ＝4x 3x＝43．故选D ．【点拨】本题考查了求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．2．A解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A ．3．B【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答．解：∵在Rt △ABC 中,∠C =90︒，∴∠A +∠B =90︒，∴sin 2A+sin 2B=1，sin A >0，∵sin B =35，∴sin A =45.故选B.【点拨】本题考查互余两角三角函数的关系.4．B【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC 的边表示出两个三角函数，即可求解．解：•.1a b tanA tanB b a==故选B ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A【分析】根据勾股定理逆定理推出∠C=90°，再根据sin =BCA AB进行计算即可；解：∵AB=25，BC=7，CA=24，又∵22225=247+，∴222=AB BC AC +，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴sin =BC A AB =725；故选A.【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.6．D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．解：如下图所示在Rt ABC 中，tan A =BC AC，故A 不符合题意；在Rt ACD △中，tan A =CDAD，故B 不符合题意；∵∠A ＋∠ACD=90°，∠BCD ＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD ∴tan A =tan ∠BCD=BDCD，故C 不符合题意；tan A ≠ACAB，故D 符合题意．故选D ．【点拨】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．7．D【分析】根据互为余角的两个角的三角形函数之间的关系求解．解：因为∠A ＋∠B ＝90°，所以sinB ＝cosA ，所以sinB ＝35．故选D【点拨】本题考查了互为余角的三角函数间的关系，如果∠A ＋∠B ＝90°，则sinA ＝cosB ，sinB ＝cosA8．A【分析】根据∠A +∠B =90°得出cos B =sin A ，代入即可．解：∵∠C =90°，sin A =35．又∵∠A +∠B =90°，∴cos B =sin A =35．故选A ．【点拨】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A +∠B =90°，能推出sin A =cos B ，cos A =sin B ，tan A =cotB ，cotA =tan B ．9．D解：试题分析：先求得直线y=k 1x+2与y 轴交点C 的坐标为（0，2），然后根据△BOC 的面积求得BD 的长为1，然后利用∠BOC 的正切求得OD 的长为3,，从而求得点B 的坐标为（1，3），代入y=2k x求得k 2=3．故答案选D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题．10．C【分析】由题意易得,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC 是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，然后根据三角函数可进行求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,45,90BC CD BO OD OA OC BDC BCD DCE ====∠=︒∠=∠=︒，AC BD ⊥，∵点F 是DE 的中点，∴1,//2OF BE OF BE =，∵6OF =，4CE =，∴12BE =，则8CD BC ==，∵OF ∥BE ，∴△DGF ∽△DCE ，∴12DG GF CD CE ==，∴2GF =，故①正确；∴点G 是CD 的中点，∴OG ⊥CD ，∵∠ODC =45°，∴△DOC 是等腰直角三角形，∴OD =，故②正确；∵CE =4，CD =8，∠DCE =90°，∴1tan 2CE CDE CD ∠==，故③正确；∵1tan 12CDE ∠=≠，∴45CDE ∠≠︒，∴90ODF ∠≠︒，故④错误；过点D 作DH ⊥CF ，交CF 的延长线于点H ，如图所示：∵点F 是CD 的中点，∴CF =DF ，∴∠CDE =∠DCF ，∴1tan tan 2CDE DCF ∠=∠=，设DH x =，则2CH x =，在Rt △DHC 中，22464x x +=，解得：5x =±，∴DH =∴正确的结论是①②③⑤；故选C ．【点拨】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．11．1213【分析】根据5sin 13α=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cos α的值．解：∵22sin cos 1αα+=，5sin 13α=，∴12cos 13α=±，又∵α∠为锐角，∴12cos 13α=.故答案为：1213.【点拨】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12．35【分析】根据∠A +∠B ＝90°，判定三角形ABC 为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系求解即可.解：由∠A +∠B ＝90°，sin A ＝35，得：cos B ＝sin A ＝35，故答案为35．【点拨】本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在△ACB 中，∠A +∠B ＝90°，则∠C=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA=cotB ，cotA=tanB ．13．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．14．43解：分子分母同时除以cosx ，原分式可化为：221tanx tanx +-，当tanx=2时，原式=2242213+=⨯-．故答案为43．15．①②③④【分析】根据∠A=90°，AD ⊥BC ，可得∠α=∠B ，∠β=∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．解：∵∠A=90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B ，∠β=∠C ，∴sinα=sinB ，故①正确；sinβ=sinC ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sinB=AC BC ，cosC=AC BC，∴sinB=cosC ，故③正确；∵sinα=sinB ，cos ∠β=cosC ，∴sinα=cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点拨】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．16【分析】过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小为MH ，再算出MC 的长度，在直角三角形MPC 中利用三角函数即可解得MH解：过M 点作MH 垂直BC 于H 点，与OB 的交点为P 点，此时12MP PB +的长度最小∵菱形ABCD 中，10AB AC ==∴AB =BC =AC =10，△ABC 为等边三角形∴∠PBC =30°，∠ACB =60°∴在直角△PBH 中，∠PBH =30°∴PH =12PB ∴此时12MP PB +得到最小值，1=2MP PB MP PH MH ++=∵AC =10，AM =3,∴MC =7又∠MPC =60°∴MH =MC【点拨】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P 点是解题关键.17．53AD <<【分析】分别求出当A '落在AC 和BC 上时AD 的长度即可.解：∵∠ABC =90°，AB =2，BC =4，∴AC ===当点A '落在AC 上时，如图，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ADB =A DB '∠=90°，∵AD AB cosA AB AC==，∴2AB AD AC ==当点A '落在BC 上时，如图，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∵将△ABD 沿BD 折叠，点A 落在A '处，∴∠ABD =∠DBC =45°，∵DH ⊥AB ，∴∠HDB =∠HBD =45°，∴BH =DH ，∵2HD BC tanA AH AB===，∴HD =2AH =BH ，∵AB =AH +BH =2AH +AH =2，∴23AH =，43BH DH ==，∴3AD ===，∴当点A '在△ABC 内部（不含边界）时，ADAD <<．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．18．【分析】利用30°的正切可以求出C 点坐标，再利用C 、M 在(0)k y k x =≠上，设M 的坐标，最后通过30MOF ∠=︒可以求出M 点的坐标．解：如图，过点C 作CE y ⊥轴，过点M 作MF x ⊥轴，由题意可知30EOC MOF ∠=∠=︒，1CE =则tan 30CE OE ==︒C在0)y k ≠上，k ∴=设()M m m(0)m >30MOF ∠=︒tan 3MOF ∴∠==解得1,1m m ==-（不符合题意，舍去）所以M故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C 点的坐标是解决问题的关键．19．（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+（2）2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A =2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．20．（1）α=30°；（2）α=60°．【分析】（1）先求出tanα的值，然后求出角的度数；（2）先求出sinα解：（1）解得：则α=30°；（2）解得：sinα=2，则α=60°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．21．(1)见分析(2)8,BD AE ==【分析】（1）由等腰三角形的性质得到,AD CD BD AC =⊥，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出AB =，由勾股定理得出BD 的长度，解直角三角形求出AF 的长度，再由菱形的性质即可求解．解：（1） BA =BC ，BD 平分∠ABC,AD CD BD AC∴=⊥ DE =DF∴四边形AECF 是菱形；（2）BD AC ⊥ ，BA ⊥AF90ADB BAF ∴∠=∠=︒BC = ，BA =BCAB ∴= AD =4∴在Rt ABD ∆中，BD 8==tan AD AF ABD BD AB∠== 48∴=AF ∴=四边形AECF 是菱形AE AF ∴==【点拨】菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．22．（1）见分析；（2）14【分析】（1）先求证AEB AFC △∽△，得到AE AB AF AC =，再根据A A ∠=∠，即可求证；（2）根据三角函数的定义以及关系，求得AE AB的值，即可求解．解：（1）∵BE 、CF 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的高∴90AFC AEB ∠=∠=︒又∵A A∠=∠∴AEB AFC△∽△∴AE AB AF AC =，即AE AF AB AC=又∵A A ∠=∠∴AEF ABC∽（2）在Rt ABE △，sin 2BE A AB ==，cos AE A AB =由锐角三角函数关系可得：1cos 2A ==，即12AE AB =由（1）得，AEF ABC∽∴21(4AEF ABC S AE S AB ∆∆==【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义和关系是解题的关键．23．（1）24；（2）M 点的坐标为(8,3)【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P 的横坐标，利用k =xy 计算m 即可；（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.解：（1）∵点P 纵坐标为4，∴1412x =+，解得6x =，(6,4)P ∴∴4=6m ，∴24m =．（2）∵1tan 2PMD ∠=，∴12PD PM =，设(0)PD t t =>，则2DM t =，当M 点在P点右侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t +-，∴（6+2t ）（4-t ）=24，解得：11t =，20t =（舍去），当11t =时，(8,3)M ，∴M 点的坐标为(8,3)，当M 点在P 点的左侧，∴M 点的坐标为(62,4)t t -+，∴（6-2t ）（4+t ）=24，解得：10t =，21t =-，均舍去．综上，M 点的坐标为(8,3)．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．24．(1)见分析;(2)【分析】（1）由正方形ABCD 与正方形OEFG ，对角线AC BD 、，可得90DOA DOC ∠=∠=︒，90GOE ∠=︒，即可证得GOD COE ∠=∠，因,DO OC GO EO ==，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）方法一：过点M 作MH DO ⊥交DO 于点H ，由于45MDB ∠=︒，由可得,DH MH 长，从而求得HO ，即可求得MO ，再通过MH DG ∥，易证得D OHM O G △∽△，则有OH MO OD GO =，求得GO 即为正方形OEFG 的边长方法二：因为DG ⊥BD ，利用同旁内角互补证DG ∥OA ，进而得△DMG ∽△AMO 。

28.1锐角三角函数——正弦、余弦、正切一、基础·巩固达标1.在△R t ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定2.已知α是锐角，且cosα=45，则sinα=()A.925B.45C.316D.5253.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.4.设α、β为锐角，若sinα=33，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 235.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=43，求AD、AC、BC.二、综合应用达标7.已知α是锐角，且sinα=45，则cos(90°－α)=()A.43B.54C.31D.558.若α为锐角，tana=3，求coscossinsin的值.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为23，且α为锐角，求tanα.10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14三、回顾展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()A.3434B. C. D. 4355图28.1－15图28.1－17图28.1－1612.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r 3 2，AC=2，则cosB的值是()A.32B.55C.32D.2313.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC=()A.45B.5C.11D. 54514.如图28.3－16，CD是△R t ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()A.35B.344C. D.43515.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1－18，在锐角 α 的终边 OB 上，任意取两点 P 和 P ，分别过点 P 和 P 做始边 OA 的垂线 PM 和 P M ，M 和 M 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角 α 的正弦，比值________叫做角 α 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于 这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 α 的函数.图 28.1－18图 28.1－1916.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+| 3 |；17.已知：如图 28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点 D 在 OC 的延长线上，sinB= (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若 OD ⊥AB ，BC=5，求 AD 的长.参考答案12，∠CAD=30°.一、基础·巩固达标1.在 △R t ABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值()A.都没有变化B.都扩大 2 倍C.都缩小 2 倍D.不能确定思路解析：当 △R t ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角 A 大小不变.答案：A2.已知 α 是锐角，且 cos α=4 5，则 sin α=()A.9 25B.4 5C.3 16 D.525思路解析：由 cos α=4 5，可以设 α 的邻边为 4k ，斜边为 5k ，根据勾股定理，α 的对边为 3k ，则sinα=3 5.答案：C1 1 1 1 13.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=义计算.3x，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定答案：12，34.设α、β为锐角，若sinα=33，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 23思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.38606.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=43，求AD、AC、BC.思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=求解.43，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.在△R t ABC中，∵tanB=4420，∴AC=AB= k.∵BD=9,∴k=3. 333所以AD=4×3=12，AC=203×3=20.根据勾股定理BC 20215225.二、综合应用达标7.已知α是锐角，且sinα=45，则cos(90°－α)=()A.43B.54C.31D.55思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=4 5 .方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.答案：A8.若α为锐角，tana=3，求coscossinsin的值.思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=310，cosα=110，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=sincos计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.答案：原式=cos sincos coscos sincos cos1tan 1311tan 1329.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为23，且α为锐角，求tanα.思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是利用前面介绍过的方法求tanα.23解：设方程的另一个根为x，则()x=123∴x=4.∴5sinα=(23)+(23)，解得sinα=523，进而可求出sinα=45，然后设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，∴tanα=4k43k3.10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1－14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=12b，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，2221 2ab.由题意得，平行四边形的面积S=又因为 S=ah=a(bsin α)，所以 1 1ab=absin α，即 sinα= .所以 α=30°.2 2三、回顾 展望达标11.三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.3－15 所示，则 sin α 的值是()A.图 28.1－1534 3 4 B. C. D.43 5 5思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C12.如图 28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接 CD ，若⊙O 的半径r3 2，AC=2，则 cosB 的值是()图 28.1－17A.3 2B.5 5 C.32D.2 3思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D13.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 13，则 BC=()A.45B.5C.1 1 D.5 45思路解析：根据定义 sinA= 答案：BBC AB，BC=AB·sinA.14.如图 28.3－16，CD 是 △R t ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cos ∠BCD=()图 28.1－16A.3 5B.3 4 4 C. D.43 5思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到 △R t ADC 中，由“同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.答案：B15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1－18，在锐角 α 的终边 OB 上，任意取两点 P 和P ，分别过点 P 和 P 做始边 OA 的垂线 PM 和 P M ，M 和 M 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角 α 的正弦，比值________叫做角 α 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于 这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 α 的函数.图 28.1－18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：PM OM PMP M OMOM , , 1 1 , 1OP OP OPOPOPOP11，锐角 α 16.计算：21－tan60°+( 5 －1)0+ | 3 | ；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.解：2 － －tan60°+(5－1)0+| 3|=1 3－ 3 +1+ 3 = .2 217.已知：如图 28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点 D 在 OC 的延长线上，sinB=1 2，∠CAD=30°.图 28.1－191 1 1 1 1 － 1(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.由sinB=12可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD是△R t OAD的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=12，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线. (2)解：∵OD⊥AB∴OC垂直平分AB.∴AC=BC=5.∴OA=5.在△R t OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=∴AD=53.AD OA.。

初三下册相似三角形练习题相似三角形是初中数学中的重要概念，掌握相似三角形的性质和解题方法对于初三学生来说至关重要。

下面我们来通过一些练习题，巩固对相似三角形的理解和应用。

1. 已知ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且各边的比值为AB:DE =3:4，BC:EF = 5:6，AC:DF = 7:8。

如果AC = 28，求DF的长度。

解析：由已知可以得到三条等比例的边长比，我们可以设AB = 3x，DE = 4x，BC = 5y，EF = 6y，AC = 7z，DF = 8z。

根据相似三角形的性质，可列出如下比例：3x / 4x = 5y / 6y = 7z / 8z化简得：3/4 = 5/6 = 7/8根据等比例的定义，我们可以得到：x = 4/3，y = 6/5，z = 8/7因此，DF = 8z = 8 * (8/7) = 64/7。

所以，DF的长度为64/7。

2. 已知ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且各边的比值为AB:DE =2:3，BC:EF = 4:5，AC:DF = 6:7。

如果BC = 15，求EF的长度。

解析：同样设AB = 2x，DE = 3x，BC = 4y，EF = 5y，AC = 6z，DF = 7z。

根据相似三角形的性质，可列出如下比例：2x / 3x = 4y / 5y = 6z / 7z化简得：2/3 = 4/5 = 6/7根据等比例的定义，我们可以得到：x = 3/2，y = 5/4，z = 7/6因此，EF = 5y = 5 * (5/4) = 25/4。

所以，EF的长度为25/4。

3. 已知ΔABC和ΔDEF是相似三角形，且各边的比值为AB:DE = 3:2，BC:EF = 4:3，AC:DF = 5:6。

如果AC = 20，求DF的长度。

解析：同样设AB = 3x，DE = 2x，BC = 4y，EF = 3y，AC = 5z，DF = 6z。

根据相似三角形的性质，可列出如下比例：3x / 2x = 4y / 3y = 5z / 6z化简得：3/2 = 4/3 = 5/6根据等比例的定义，我们可以得到：x = 2/3，y = 3/4，z = 6/5因此，DF = 6z = 6 * (6/5) = 36/5。

相似三角形的判定同步练习（一）填空：1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。

3．若线段a=4, b=6, 则a, b的比例中项为________。

4．已知：===, 则=______，=_________。

5．已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。

6．若=, 则 x=_______。

7．已知：ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，AB=10，AD-DB=2，BC=9，则DE=________。

8．已知：RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=________，AC=_________。

9．ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______，AD=_________，BD=_________。

10．ΔABC中，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则CD=_________。

11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。

12．ΔABC中，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形BCED∶SΔADE=________。

13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。

14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为_________。

15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。

（二）选择题：1．在ΔABC中，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（）A、1∶3B、1∶9C、3∶1D、1∶22．如图，在ΔABC中=，=，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（）。

2019—2020学年度下学期九年级单元测试（八）《相似》《锐角三角函数》一、选择题（每小题3分共30分） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若23AD DB，则AE AC＝( )A.13B.25C.23D.35 2．已知5y －4x ＝0，那么（x ＋y ）∶（x －y ）的值等于 （ ）A.91B.－9C.9D.－91 3．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )A.43B.34C.35D.454．在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若△ADE 与四边形DBC E 的面积相等，则DEBC 等于（ ） A.2 B.12 C.1 D. 145．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线与点H ，则图中相似三角形共有（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对6．如图，小正方形的边长均为1，则图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) 7．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A.13 B ．2 2 C.223 D.24第7题图第5题图第6题图9.在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ，若EC ＝2BE ，则BFFD 的值是( )A.12B.13C.14D.1510. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是( ) A ．20B ．22C ．24D ．26二、填空题（每小题3分共18分）11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝ ． 12．在Rt △ABC 中，若2AB ＝AC ，则cosC ＝ ．13．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边AB 上，F ，G 分别在CD 和BC 的延长线上， 且EF 经过AD 的中点，若△EFG 是等边三角形，则ABAD的值为 . 14．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形， 底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝2，BC ＝1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI ＝ ．15．已知,如图,矩形AOBC ,以O 为坐标原点,OB 、OA 分别在x 轴,y 轴上,点A 坐标为（0,3）,∠OAB =60°以AB 为轴对折后,使C 点落在D 点处,则D 点坐标为 ．16．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF ＝60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE ＝CF ；②∠EAB ＝∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ；④若∠BAE ＝15°，则点F 到BC 的距离为23－2.其中正确的结论是____________（填上正确结论的序号）．第14题图第11题图第13题图 第15题图 第10题图第8题图 第16题图三．解答题（共72分）17．计算（8分，每题4分）(1) 2sin30°＋(π－3.14)0＋|1－2|＋(－1)2 019；(2) －12－|3－10|＋25sin45°－( 2 019－1)2.18．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AB 于点G ；分别以点G ，B 为圆心，大于12GB 的长为半径画弧，两弧交点K ，作射线CK ；②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ；分别以点M ，N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E. 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题：(1)线段CD 与CE 的大小关系是 ；(2)过点D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于点F.若AC ＝12，BC ＝5，求tan ∠DBF 的值．19.（8分）如图，在▱ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G. (1)求证：BF ＝CF ；(2)若BC ＝6，DG ＝4，求FG 的长．20．（8分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.21.（8分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，连接DE．（1）求证：△EOD∽△BOC；（2）若S△EOD=9，S△BOC=25，求AE∶AC及S△ADE∶S四边形BCDE的值．22．(10分) 如图1，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．【变式】点D，E分别变到CB，AC的延长线上．如图2，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：△ABD∽△DCE图1 图223．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．24．(12分) 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝AFAD，当k为何值时，CF＝12AD?②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．8.《相似与解直角三角形》参考答案一、选择题1-10 BC D AC AB D B D 二、填空题11、1312、32或255 13、2 14、4315、(2,32-) 16、①② 三、计算题17、(1)解：原式＝1＋1＋(2－1)－1＝ 2.(2)解：原式＝－1－(10－3)＋25×22－(2 019－2 2 019＋1) ＝－1－10＋3＋10－2 019＋2 2 019－1 ＝－2 018＋2 2 019.18、(1) CD ＝CE(2) 解：∵BD 平分∠CBF ，BC ⊥CD ，BF ⊥DF ， ∴BC ＝BF ，∠CBD ＝∠FBD. 在△BCD 和△BFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DCB ＝∠DFB ，∠CBD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∴△BCD ≌△BFD(AAS)． ∴CD ＝DF.设CD ＝DF ＝x ， 在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝13， ∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝BC AB ，即x 12＋x ＝513， 解得x ＝152.∵BC ＝BF ＝5， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝152×15＝32.19. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴△EBF ∽△EAD. ∴BF AD ＝EB EA ＝12.∴BF ＝12AD ＝12BC.∴BF ＝CF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴△FGC ∽△DGA. ∴FG DG ＝FC AD ，即FG 4＝12. 解得FG ＝2.20. 解：设E 关于O 的对称点为M ，由光的反射定律知，延长GC ，FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H. ∵GF ∥AC ， ∴△MAC ∽△MFG . ∴AC FG ＝MA MF ＝MO MH， 即AC BD ＝OE MH ＝OE MO ＋OH ＝OE OE ＋BF . ∴OE OE ＋1.6＝22.1.∴OE ＝32.答：楼的高度OE 为32米．21.（1）略（2）35AE AC ；9=16ADE BCDE S S 四形边22. 解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°， ∴∠CDE ＋∠ADB ＝120°. ∴∠BAD ＝∠CDE. ∴△ABD ∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE ＝2. ∴AE ＝9－2＝7.【变式】 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∴∠ABD＝∠DCE＝120°.∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠EDC＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，∴∠DAB＝∠EDC.∴△ABD∽△DCE.23.24. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3过点A(－3，0)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋3＝0，a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)．(2)①∵在Rt △AOC 中，OA ＝3，OC ＝3， ∴AC 2＝OA 2＋OC 2＝18.∵D(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)， ∴CD 2＝12＋12＝2，AD 2＝22＋42＝20. ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°. ∵CF ＝12AD ，∴F 为AD 的中点．∴AF AD ＝12，即k ＝12. ②连接BC ，在Rt △ACD 中，tan ∠DAC ＝DC AC ＝232＝13， 在Rt △OBC 中，tan ∠OCB ＝OB OC ＝13， ∴∠DAC ＝∠OCB.∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°. ∴∠FAO ＝∠ACB. 若以A ，F ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF ＝∠ABC 时，△AOF ∽△CBA ，∴OF ∥BC ， 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋t ＝0，t ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，t ＝3.∴直线BC 的解析式为y ＝－3x ＋3. ∴直线OF 的解析式为y ＝－3x. 设直线AD 的解析式为y ＝mx ＋n ，9数学（下）8—11 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝4，－3m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝6.∴直线AD 的解析式为y ＝2x ＋6， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋6，y ＝－3x ，解得⎩⎨⎧x ＝－65，y ＝185.∴F(－65，185)； 当∠AOF ＝∠CAB ＝45°时，△AOF ∽△CAB. ∵∠CAB ＝45°，∴直线OF 的解析式为y ＝－x.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∴F(－2，2)．综上所述，点F 的坐标为(－65，185)或(－2，2)．。