辽宁省沈阳市辽中县新时代高中2017届高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

辽宁省沈阳市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于( ) A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( ) A．5 B．6 C．7 D．86．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm37．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数，若，则f（﹣a）=( )A．B．C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．812．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是__________．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=__________．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是__________．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值__________．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k）0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.82819．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．辽宁省沈阳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于( ) A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：由补集的定义可得∁U N={2，3，5}，则（∁U N）∩M={2，3}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=( )A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．解答：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．点评：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是( )A．（0，a）B．（a，0）C．（0，）D．（，0）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．解答：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．点评：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．解答：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A．B．C．2cm3D．4cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．解答：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A．3 B．﹣3 C．1 D．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7考点：程序框图．专题：计算题；规律型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．点评：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知函数，若，则f（﹣a）=( )A．B．C．D．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．解答：解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选C．点评：本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．解答：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．解答：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．解答：解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …=sin（2x﹣）+．…函数f（x）的最小正周期为T=π．…因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k）0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.828考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率．（Ⅱ）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．解答：解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为=；（Ⅱ）x2=≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．点评：本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．19．如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）V E﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．解答：（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（II）解：V E﹣ABCD===．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x 轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．解答：解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．…（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．因为，…所以=，所以．…将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，解得x=．…又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，，解得．…点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．解答：解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．解答：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．解答：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2=16．…直线l的参数方程为，即（t为参数）…（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…点评：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．解答：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．点评：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.2314. 3 15. 3 16. 9 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，由题意得2314=-=a a d ， ……………………1分 所以n n d n a a 22)1(2)1(1n =⨯-+=⋅-+=． ……………………………………2分 设等比数列}{nb 的公比为q ，由题意得8253==b b q ，解得2=q ． ……………………3分 因为221==qb b ，所以n n n n q b b 222111=⋅=⋅=--． ……………………………………6分 （Ⅱ）21)21(22)22(--⋅++⋅=n n n n S 2212-++=+n n n ． ……………………12分 （分别求和每步给2分）18. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）x2050004.0=⨯ ，∴100=x . ……………………………………1分 ∵1005104020=++++y ，∴25=y . ……………………………………2分008.05010040=⨯，005.05010025=⨯，002.05010010=⨯，001.0501005=⨯)/(3m g μ ……………………………………5分（Ⅱ）在空气质量指数为10051-和200151-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为10051-的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气污染指数为200151-的1天记为e ， ………………………………………6分 从中任取2天的基本事件分别为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，),(e a ，(,)b c ，(,)b d ，),(e b ，(,)c d ，),(e c ，),(e d 共10种， ………………………………………8分其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共6种， ………………………………………10分 所以事件A “两天都为良”发生的概率是63()105P A ==. …………………………12分 19. (本小题满分12分)解: （Ⅰ）证明：因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1，…………………2分 又 平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面 C C AA 11平面ABC AC = ……………………4分 且⊂O A 1平面C C AA 11，⊥∴O A 1平面ABC . ……………………6分（Ⅱ）AC C A //11 ,⊄11C A 平面ABC ,⊂AC 平面ABC ，//11C A ∴平面ABC ，即1C 到平面ABC 的距离等于1A 到平面ABC 的距离. ……………8分由（1）知⊥O A 1平面ABC 且32211=-=AO AA O A ， ……………………9分1332213131111=⨯⨯⨯⨯=⋅==∴∆--O A S V V ABC ABC A ABC C . ……………………12分 20. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）1ln )(++='x a x f ， ……………………1分01)1(=+='a f ，解得1-=a ，当1-=a 时， x x x x f ln )(+-=，……………………2分即x x f ln )(='，令0)(>'x f ，解得1>x ； ……………………3分 令0)(<'x f ，解得10<<x ； ……………………4分)(x f ∴在1=x 处取得极小值，)(x f 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(. …………………6分（Ⅱ）1)(--=m x f y 在),0(+∞内有两个不同的零点，可转化为1)(+=m x f 在),0(+∞内有两个不同的根，也可转化为)(x f y =与1+=m y 图像上有两个不同的交点， ………………7分 由（Ⅰ）知，)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，1)1()(min -==f x f ， … 8分 由题意得，11->+m 即2->m ①……………10分 当10<<x 时，0)ln 1()(<+-=x x x f ；当0>x 且0→x 时，0)(→x f ；当+∞→x 时，显然+∞→)(x f （或者举例：当2e x =，0)(22>=e ef ）；由图像可知，01<+m ，即1-<m ② ……………11分由①② 可得 12-<<-m ……………12分 21. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意得22=b ，解得1=b ， ……………………………………1分22==a c e ，222c b a +=，∴2=a ，1=c ，故椭圆的标准方程为1222=+y x . ………………………………………………3分（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取)22,1(A ，)22,1(-B ，)22,1(--C ， 故22221=⨯⨯=∆ABC S ： ………………………………………………4分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 化简得0224)12(2222=-+-+k x k x k ， …………………………5分设),(11y x A ，),(22y x B ，1242221+=+k k x x ，12222221+-=⋅k k x x ， ……………6分]4)[()1(||212212x x x x k AB ⋅-+⋅+=]12224)124[()1(222222+-⋅-+⋅+=k k k k k 1212222++=k k ， ………………………………………8分点O 到直线0=--k y kx 的距离1||2+-=k k d 1||2+=k k因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为d 21||22+=k k ， …………………9分2222222)12()1(221||2)12122(212||21++=+⋅++⋅⋅=⋅=∴∆k k k k k k k d AB S ABC22)12(414122+-=k 2< …………………11分 综上，ABC ∆面积的最大值为2. …………………12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， …………………1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， …………………3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. …………………5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ …………………8分因为圆C 的半径为1，则C MN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. …………………10分（用直角坐标求解酌情给分） 23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， …………………1分原不等式等价于x x x 2132<-<-， …………………3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . …………………5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--， ………6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- …………………8分原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . …………………10分。

2017届高三第一次月考试卷文科数学考试时间：120分钟；满分:150分；命题人：李强一、选择题（每小题5分，合计60分）1．已知集合{}{}2|30,|13A x x x B x x =-≥=<≤，则如图所示阴影部分表示的集合为（ ）A ．[)0,1B ．(]0,3C ．()1,3D ．[]1,3 2．已知向量()(),2,1,1m a n a ==-，且m n ⊥，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．2-或1 D ．2-3．设复数z 满足()3112(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4，甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ） A ．1 B ．116 C ．14 D ．125．若直线:4l mx ny +=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．0 B ．至多有一个 C ．1 D ．2 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（ ） A ．52 B ．78 C ．104 D ．208 7．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位8．若函数()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>的部分图象如图所示，则关于()f x 的描述中A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增减函数 9．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2312，则（ ）A ．13a =B ．12a =C ．11a =D ．10a =10．在矩形ABCD 中，2,1,AB BC E ==为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF 的最大值为（ ） A ．72 B ．4 C ．92D ．5 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133 B ．35 C ．1043 D ．107412．已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,()31f x x =-, 当11x -≤≤时,()()f x f x -=-, 当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则()6f =（ ）题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项二、填空题（每小题5分，合计20分）13．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，则它的离心率为 ．14．曲线()232ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15．某大型家电商场为了使每月销售A 和B 两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的A 和B 进行了相关调查，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为 元．16．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．三、解答题（12分）17．已知顶点在单位圆上的ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且222b c a bc +=+.（1）求角A 的大小；（2）若224b c +=,求ABC ∆的面积.（12分）18．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组第二组第三组第四组第五组分组[)5060， [)6070， [)7080， [)8090， [)900，10（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？（12分）19．已知函数()()24log 23f x ax x =++. （1）已知()11f =,求()f x 单调递增区间;（2）是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0？若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由.（12分）20．在平面直角坐标系xOy 中,过点()2,0C 的直线与抛物线24y x =相交于,A B 两点,()()1122,,,A x y B x y .（1）求证:12y y 为定值；（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.（12分）21．已知函数()()2ln ,f x ax bx x a b R =+-∈.（1）当1,3a b =-=时,求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）设0a >,且对于任意的()()0,1x f x f >≥,试比较ln a 与2b -的大小.四、选做题（任选一个作答）（10分）22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为:12(12x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点,求PQ 的值.（10分）23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-++． （1）解不等式()8f x ≥；（2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．参考答案13．2【解析】试题分析：因为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,1-，所以12ba-=-⨯，即2,a b c==，所以cea==.考点：双曲线的几何性质；14．30x y--=【解析】试题分析：()21132ln12f=-+=-，()223f x xx'=-+，()12321f'=-+=，所以切线方程为21y x+=-即30x y--=.考点：导数的几何意义.15．960【解析】试题分析：设月销售A产品x台，B产品y台，则3002003000501001100x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，利润6080z x y=+，在直角坐标系中作出可行域，由图可知当目标函数经过可行域内的点(4,9)B时，利润的最大值，最大值为604809960z=⨯+⨯=.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 16．194 【解析】试题分析：则题意可知，前19行共有119191902+⨯=，所第20行从左到右的数字依次191,192,193,194,，所以第4个数为194.考点：1.归纳推理；2.等差数列的前n 项和公式.【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前n 项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性. 17．（1）60︒;（23【解析】试题分析：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=代入余弦定理即可求出角A ；（2）由正弦定理先求出边a ，再由余弦定理可求出bc ，代入三角形面积公式即可.试题解析：（1）由222b c a bc +=+得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==又∵0A π<< ∴60A =︒ （2）由2sin aA=得2sin 3a A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即22212cos603422b c bc bc =+-︒=-⨯，即∴1bc =∴11sin 1sin 6022ABC S bc A ∆==⨯⨯︒= 考点：正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．（1）0.005a =（2）74.5（3）13【解析】 试题分析：（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，即所有小长方形面积和为1得()0.0100.0200.0300.035101a ++++⨯=，解得0.005a =（2）根据组中值得平均数55565357530852951074.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由分层抽样法得第3、4、5组中各抽取3、2、1人，利用枚举法得随机抽取2名，共有15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有5个，因此概率为()51153P A ==试题解析：（1）由题意得：()0.0100.0200.0300.035101a ++++⨯=，即0.005a =（2）数学成绩的平均分为：55565357530852951074.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）第3、4、5组中共有学生人数分别为30、20、 10人，用分层抽样法抽6人，即在第3、4、5组中各抽取3、2、1人，设6名学生为a b c d e f 、、、、、．随机抽2人，共有ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 、、、、、、、、、、、、、、共15个基本事件，其中恰有1人分数不低于90分的基本事件有af bf cf df ef 、、、、5个，记其中恰有1人分数不低于90分为事件A ，∴()51153P A ==19．（1）()1,1-（2）12a =【解析】试题分析：（1）先由()11f =得1a =-，再根据复合函数单调性得 只需求223t x x =-++单调增区间，注意函数定义域为()1,3-，从而得()f x 单调递增区间为()1,1-（2）由题意得223t ax x =++的值域为[1,)+∞，所以21,112231a a a a a >⎧⎪⇒=⎨⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩试题解析：（1）()()24log 23f x ax x =++且()()2411,log 12131,54,1f a a a =∴+⨯+=∴+=∴=-,可得函数()()24log 23f x x x =-++,真数为2230,x x -++>∴函数的定义域为()1,3-令()222314t x x x =-++=--+可得, 当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数,底数为41,>∴函数()()24log 23f x x x =-++单调递增区间为()1,1-.（2）设存在实数a ,使()f x 最小值为0.由于底数为41>,可得真数2231t ax x =++≥恒成立, 且真数t 最小值恰好是1.即a 为正数, 且当1x a =-时, t 值为1,所以21,112231a a a a a >⎧⎪∴=⎨⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.考点：复合函数单调性20．（1）见解析；（2）存在平行于y 轴的定直线1x =被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值.【解析】试题分析：（Ⅰ）设出过点()2,0C 的直线方程，与抛物线方程联立消去未知数x ，由根与系数关系可得128y y =-为定值；（Ⅱ）先设存在直线l ：a x =满足条件，求出以AC 为直径的圆的圆心坐标和半径，利用勾股定理求出弦长表达式=1a =时，弦长为定值.试题解析：（Ⅰ）（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，22,2221-==y y , 因此821-=y y （定值）,当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值. （Ⅱ）设存在直线l ：a x =满足条件，则AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-= 因此以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r又E 点到直线a x =的距离|22|1a x d -+=所以所截弦长为212122)22()4(4122a x x d r -+-+=- 2121)22(4a x x -+-+=2148)1(4a a x a -+--=当01=-a 即1=a 时，弦长为定值2，这时直线方程为1=x .考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21．（1）()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2ln 2-；（2）ln 2a b <- 【解析】试题分析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()211x x f x x--'=-,讨论函数在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性与极值，与两端点值比较即可求其最大值与最小值；（2）因为()()0,1x f x f >≥，所以()f x 的最小值为(1)f ,设()0f x '=的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x ,不妨设0,021><x x ，则21x =，所以有即12b a =-，令()24ln g x x x =-+,求导讨论函数()g x 的单调性可得()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭，即()0g a <，可证结论成立.试题解析：（1）当1,3a b =-=时，()23ln f x x x x =-+-，且1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+-=-=-． 由()0f x '>，得112x <<；由()0f x '<，得12x <<， 所以函数()f x 在1(,1)2上单调递增；函数()f x 在(1,2)上单调递减，所以函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()12f =，又()()153322ln 2ln 22ln 2ln 402444f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()122f f ⎛⎫<⎪⎝⎭，故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-． （Ⅱ）由题意，函数f （x ）在x=1处取到最小值，又xbx ax x b ax x f 1212)(2'-+=-+=设0)('=x f 的两个根为21,x x ，则02121<-=ax x 不妨设0,021><x x ，则)(x f 在),0(2x 单调递减，在),(2+∞x 单调递增，故)()(2x f x f ≥， 又()(1)f x f ≥，所以12=x ，即212a b +=，即12b a =- 令()24ln g x x x =-+，则()14'x g x x -=令()'0g x =，得14x =,当104x <<时，()()'0,g x g x >在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当x14x <时，()()'0,g x g x <在（∞+，41）上单调递减；因为()11ln 404g x g ⎛⎫≤=-<⎪⎝⎭故()0g a <，即24ln 2ln 0a a b a -+=+<，即ln 2a b <-. 考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.22．（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,l的普通方程为+10x =;（2.【解析】试题分析：（1）在极坐标方程两边同乘以ρ，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，消去参数即可求出直线l 的普通方程；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由直线参数的几何意义与根与系数关系即可求PQ . 试题解析：（1）24cos ,4cos ρθρθ=∴=,由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,消去t 解得：+10x =.所以直线l的普通方程为+10x =.（2）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=,整理得250t -+=, 设其两根分别为12,t t，则1212125,t t t t PQ t t +==∴=-==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义. 23．（1）{}|5,3x x x ≤≥或（2）()(),14,-∞-+∞【解析】 试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们交集得解集（2）不等式()23f x a a<-的解集不是空集，等价于()2min 3f x a a<-，因此根据绝对值三角不等式求()13f x x x=-++的最小值：()134f x x x=-++≥，再解不等式234a a->得实数a的取值范围．。

2017届辽宁省沈阳市高三数学（文）一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁RP2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．23．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a4．公差不为零的等差数列{an }的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S 8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：37．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．1810．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米 B．2米C．（1+）米D．（2+）米12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{an }的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= ．14．如图所示，输出的x的值为．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为．（用数值作答）16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x ∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁RP【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m 的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得 5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以 m=故选C．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵yi =xi+a，∴E（yi ）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi ）=D（xi）+E（a）=4．方法2：由题意知yi =xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．4．公差不为零的等差数列{an }的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S 8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a 4是a 3与a 7的等比中项， ∴a 42=a 3a 7，即（a 1+3d ）2=（a 1+2d ）（a 1+6d ）， 整理得2a 1+3d=0，① 又∵，整理得2a 1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a 1=﹣3， ∴， 故选：C ．5．设F 1和F 2为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，若F 1，F 2，P （0，2b ）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±x D ．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则|F 1P|=，由F 1、F 2、P （0，2b ）是正三角形的三个顶点可知|F 1P|==2c ，由此可求出b==a ，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F 1，F 2，P （0，2b ）是正三角形的三个顶点， 设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则|F 1P|=，∵F 1、F 2、P （0，2b ）是正三角形的三个顶点， ∴=2c ，∴c 2+4b 2=4c 2，∴c 2+4（c 2﹣a 2）=4c 2， ∴c 2=4a 2，即c=2a ， b==a ，∴双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x．故选：B．6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：3【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】设M为AC的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得+=2，结合题意可得2=﹣3，由数乘向量的性质可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；进而可得==，而又由S△AOB +S△BOC=S△ABC，分析可得S△AOB=S△ABC，结合题意计算可得△AOB和△AOC的面积比，即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：在△ABC中，M为AC的中点，则+=2，又由，则有2=﹣3，从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；由2OM=3BO可得， ==，S△AOB +S△BOC=S△ABC，又由S△AOB =S△BOC，则S△AOB=S△ABC，则=；故选：D．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．18【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，联立，解得A（3，﹣1），而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，∴x2+2x+y2的最大值是16．故选：C．10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米 B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{an }的公比q＞0．已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{an }是等比数列把an+2+an+1=6an整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{an }是等比数列，∴an+2+an+1=6an可化为a 1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a 2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为14．如图所示，输出的x的值为17 ．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．x|的解的个数为12 ．（用数值作答）15．方程|cos（x+）|=|log18【考点】根的存在性及根的个数判断．x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|，【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18∴|sinx|=|logx|，18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：作出y=|sinx|与y=|log18由图象可知y=|sinx|与y=|logx|有12个交点，18x|有12个解．∴方程|cos（x+）|=|log18故答案为：12．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．（Ⅱ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．（Ⅱ）解：依题意得：，解得N=78．∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．∴，解得x=40，y=5．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=VE﹣FCD +VE﹣ABCD，只有分别求解两个棱锥的体积即可；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB 与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．【解答】解：（Ⅰ）连接ED，∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD∩AD=D，∴AD⊥平面FDC，VE﹣FCD =AD•S△FDC=××1×2×2=，VE﹣ABCD =EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，∴多面体EABCDF的体积V=VE﹣FCD +VE﹣ABCD=+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线EB与平面ECF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图所示…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b 的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，yQ=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（xP ，yP），则xP=，yP=k（xP﹣1）=，则lPQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有yQ=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅲ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，kMA +kMB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f （x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f （x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣）﹣（﹣，+∞）f（x）+ 0﹣ 0+f'（x） c c﹣所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x，当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x，+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。

2017-2018学年辽宁省高三（上）12月月考试卷（文科数学）一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={y|y=5m+1，m∈N*}，则集合A∩B中最小元素为（）A．1 B．9 C．11 D．132．（5分）已知复数z=为纯虚数，则m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用a1，a2，…，a3217表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（）A．平均分B．“优分”人数C．“优分”率D．“优分”人数与非“优分”人数的比值4．（5分）等差数列{an }的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣ B．2π﹣ C．D．2π﹣26．（5分）已知直线l1：2x﹣y+1=0和l2：x+2y=3的倾斜角依次为α，β，则下列结论中正确的是（）A．β=90°+α B．α+β=180°C．α=90°+β D．α+β=90°7．（5分）已知，其中θ在第二象限，则cosθ﹣sinθ=（）A．B． C．D．8．（5分）已知实数x，y满足条件，则不等式x+2y≥2成立的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．9π B．324πC．81πD．10．（5分）已知O：x2+y2=1和点，A、B是圆O上两个动点，则∠APB的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c 这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c12．（5分）过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则||2+||2=（）A．36 B．40 C．50 D．52二、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）双曲线﹣=1的离心率e= ．14．（5分）数列{an }中，，，则a7= ．15．（5分）已知向量=（2，﹣1），=，且（+k）⊥（﹣k），则实数k= ．16．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{an }的前n项和Sn=n2+2n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．18．（12分）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：，两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），P是椭圆上的动点，且向量的最大值为2．（1）求椭圆方程；（2）过左焦点的直线l交椭圆C与M、N两点，且满足，求直线l的方程（其中∠MON=θ，O为坐标原点）．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点，则求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省高三（上）12月月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，共60分）1．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={y|y=5m+1，m∈N*}，则集合A∩B中最小元素为（）A．1 B．9 C．11 D．13【分析】由A与B，求出两集合的交集，确定出交集中的最小元素即可．【解答】解：∵A={x|x=2n﹣1，n∈N*}={1，3，5，7，9，11，…}，B={y|y=5m+1，m∈N*}={6，11，16，…}，∴A∩B中最小元素为11，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015秋•陕西期末）已知复数z=为纯虚数，则m=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵z==为纯虚数，∴=0，≠0，则m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2015秋•赤峰校级月考）在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用a1，a2，…，a3217表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（）A．平均分B．“优分”人数C．“优分”率D．“优分”人数与非“优分”人数的比值【分析】由程序框图知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，再根据表示的意义即可得出结论．【解答】解：由程序框图可知，最后输出的m 值是大于等于120分的人数，即次考试数学分数不低于120分的同学的人数是m，因为表示这次考试数学分数不低于120分的“优分”率．故选：C．【点评】本题考查了通过设计程序框图解决实际应用问题，是基础题目．4．（5分）（2016•河南模拟）等差数列{an }的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴=故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．5．（5分）（2016•河南二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣ B．2π﹣ C．D．2π﹣2【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．6．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知直线l1：2x﹣y+1=0和l2：x+2y=3的倾斜角依次为α，β，则下列结论中正确的是（）A．β=90°+α B．α+β=180°C．α=90°+β D．α+β=90°【分析】直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为2，l2：x+2y=3的斜率为﹣，两条直线互相垂直，且α为锐角，β为钝角，即可得出结论．【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为2，l2：x+2y=3的斜率为﹣，两条直线互相垂直，且α为锐角，β为钝角，∴β=90°+α，故选A，【点评】本题考查直线的垂直关系，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．7．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知，其中θ在第二象限，则cosθ﹣sinθ=（）A．B． C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求cosθ﹣sinθ的值即可．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，其中θ在第二象限，平方可得sinθcosθ=﹣，sinθ＞0，cosθ＜0．cosθ﹣sinθ＜0．故cosθ﹣sinθ=﹣=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．8．（5分）（2016•洛阳四模）已知实数x，y满足条件，则不等式x+2y≥2成立的概率为（）A．B．C．D．【分析】画出满足条件的平面区域，求出相对应的面积，从而求出符合条件的概率即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，平面区域△ACO的面积是2，而△ABC的面积是1，故不等式x+2y≥2成立的概率为：，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．9．（5分）（2015秋•海口校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，O1为正方形A1B1C1D1的中心，则四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．9π B．324πC．81πD．【分析】设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=（3）2+（R﹣6）2，可得R，即可求出四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则由勾股定理可得R2=（3）2+（R﹣6）2，∴R=，∴四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=81π，故选：C．【点评】本题考查四棱锥O1﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球的半径是关键．10．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知O：x2+y2=1和点，A、B是圆O上两个动点，则∠APB的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线，∵|OA|=1，|OP|=2，∴∠OPA=，∴∠APB的最大值为2×．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，确定∠APB取最大值时，PA，PB是圆的切线是关键．11．（5分）（2015秋•长春校级期末）记，，，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】利用对数函数性质求解．【解答】解：∵=+1，=，=，∵e≈2.71828，＜ln2＜1，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．12．（5分）（2015秋•长春校级月考）过抛物线C：y2=4x焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，过线段AB的中点作y轴的垂线，垂足为P，则||2+||2=（）A．36 B．40 C．50 D．52【分析】由抛物线焦点弦公式可知丨CP丨=3，利用余弦定理，分别求得丨丨2和丨丨2，则丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50．【解答】解：抛物线C：y2=4x焦点（1，0），设AB的中点C，由抛物线的焦点弦公式可知丨AB丨=2丨CP丨+2p，则丨CP丨=3，由余弦定理可知：丨丨2=丨丨2+丨丨2﹣2丨丨丨丨cos∠ACP，即丨丨2=42+丨丨2﹣2×4丨丨cos∠ACP，同理可得：丨丨2=42+丨丨2﹣2×4丨丨cos∠BCP，由∠ACP+∠BCP=π，则cos∠BCP=﹣cos∠ACP，∴丨丨2+丨丨2=32+2丨丨2=50，∴丨丨2+丨丨2=50，故选C．【点评】本题考查抛物线的焦点弦公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：（每题5分，共20分）13．（5分）（2014春•越秀区校级期中）双曲线﹣=1的离心率e= 2 ．【分析】利用双曲线﹣=1，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1中，a2=4，b2=12，∴c2=16，∴a=2，c=4，∴e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线方程与性质，确定a，c的值是关键．14．（5分）（2015秋•赤峰校级月考）数列{an }中，，，则a7= 2 ．【分析】利用递推公式即可得出．【解答】解：∵，，∴a3==﹣3，a5==﹣．则a7==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）已知向量=（2，﹣1），=，且（+k）⊥（﹣k），则实数k= ±．【分析】根据两向量垂直数量积为0，列出方程即可求出实数k的值．【解答】解：向量=（2，﹣1），=，∴=22+（﹣1）2=5，=+=1；又（+k）⊥（﹣k），∴（+k）•（﹣k）=0，即﹣k2=0，∴5﹣k2=0，解得k=±．故答案为：±．【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数量积公式的应用问题，是基础题目．16．（5分）（2015秋•长春校级月考）函数f（x）=x3﹣3x+m的定义域A=[0，2]，值域为B，当A∩B=∅时，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．．【分析】利用导数求出函数f（x）在定义域[0，2]内的值域B，利用A∩B=∅求出m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣1（舍去），∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是单调减函数，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，2）上是单调增函数，且f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=m+2，∴f（x）的定义域A=[0，2]，值域为B=[m﹣2，m+2]，当A∩B=∅时，m+2＜0或m﹣2＞2，解得m＜﹣2或m＞4，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，也考查了集合的运算问题，是综合性题目．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2013秋•吉林期末）已知数列{an }的前n项和Sn=n2+2n（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）当n=1时，可求得a1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，对a1=3仍成立，于是可得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用裂项法可求得=（﹣），于是可求得数列{}的前n项和Tn ．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，对a1=3仍成立，∴数列{an }的通项公式：an=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知==（﹣）∴Tn=[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（﹣）=．【点评】本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．18．（12分）（2015•威海一模）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml 和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．【分析】（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，利用抽样比直接求解即可．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，求出从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件个数，求出至少有1个300ml的杯子的基本事件个数，然后求解概率．【解答】解：（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，由题意，∴x=40．∴在甲样式的杯子中抽取了100﹣40﹣35=25个，∴，解得z=2000．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，∴△=4k2b2﹣4（k2+3）（b2﹣6）=12（k2﹣b2+6）＞0，∴m=2．也就是抽取的5个样本中有2个300ml的杯子，分别记作A1，A2；3个500ml的杯子，分别记作B1，B2，B3．则从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B 2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．其中至少有1个300ml的杯子的基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），共7个∴至少有1个300ml的杯子的概率为．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2015•张掖一模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．（Ⅰ）求棱AA1的长；（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣，可求出棱长．（Ⅱ）因为在长方体中A1D1∥BC，所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣=10，∴即，解得h=3．故A 1A 的长为3．（Ⅱ）∵在长方体中，A 1D 1∥BC ，∴∠O 1BC 为异面直线BO 1与A 1D 1所成的角（或其补角）． 在△O 1BC 中，AB=BC=2，A 1A=3， ∴AA 1=BC 1=，=，∴，则cos ∠O 1BC===．∴异面直线BO 1与A 1D 1所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．20．（12分）（2015秋•长春校级月考）已知椭圆C ：，两个焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），P 是椭圆上的动点，且向量的最大值为2．（1）求椭圆方程；（2）过左焦点的直线l 交椭圆C 与M 、N 两点，且满足，求直线l 的方程（其中∠MON=θ，O 为坐标原点）．【分析】（1）由椭圆两个焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），P 是椭圆上的动点，且向量的最大值为2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入椭圆C的方程=1，得（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、正弦定理能求出直线l；直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2．由此能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：，两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），P是椭圆上的动点，且向量的最大值为2∴，解得c=2，a2=6，b2=2，故椭圆C的方程为=1．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入椭圆C的方程=1，并整理得：（3k2+1）x2+12k2x+12k2﹣6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|=•|x1﹣x2|=•=，坐标原点O到直线l的距离d=．∵，∴S△MON=，∴S△MON=|MN|d==，解得k=±此时直线l的方程为y=±（x+2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2此时点M（﹣2，），N（﹣2，﹣），满足S△MON=，综上得，直线l的方程为x=﹣2或y=±（x+2）．【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、正弦定理、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2015秋•长春校级月考）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点，则求实数a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可．【解答】解：（1）由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）（2016•衡水校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【分析】（1）若a=﹣1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．【解答】解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，而﹣1.2和 1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或 x≥1.5}．（2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣1|，即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．【点评】本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于中档题．。

2017届高三上学期9月份月考试题数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|y=﹣log2（2﹣x）}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）2．若函数f（x）=2x+a2x﹣2a的零点在区间（0，1）上，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）3．“0＜x＜1”是“log2（e2x﹣1）＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要4．原命题“若z1与z2互为共轭复数，则z1z2=|z1|2”，则其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知命题p：∀x＞2，log2（x+）＞2，则（）A．且￢p为真命题B．且￢p为真命题C．且￢p为假命题D．且￢p为假命题6．曲线y=tanx在点（，1）处的切线的斜率为（）A．B．C．1 D．27．函数y=ln|x|﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．8．设a=4，b=4，c=（），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a9．定义在R的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x，则f（﹣）=（）A． B．C．D．10．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4的零点小于3个，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]11．已知函数f（x）=x2﹣2ax+blnx+2a2在x=1处取得极值，则a+b=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或1 D．﹣1或212．函数f（x）=ln（x2﹣x+1）﹣的所有零点的和为（）A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={﹣1，0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B的真子集的个数为．14．设函数f（x）=，则2f（9）+f（log2）= ．15．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x+ln（﹣x），则曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为．16．已知函数f（x）=是减函数，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|1＜2＜32}，B={x|log2（x+3）＜3}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若（a，a+2）⊆B，求a的取值范围．18．已知不恒为零的函数f（x）=xlog2（ax+）是偶函数．（1）求a，b的值；（2）求不等式f（x﹣2）＜log2（1+）的解集．19．已知命题p：函数f（x）=x3﹣x2+（5﹣a2）x+a在R上的增函数；命题q：函数g（x）=在[a，+∞）上单调递增，若“p∨（￢q）”为真命题，“（￢p）∨q”也为真命题，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）2﹣x+1．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1且a≥时，证明：f（x）＜0．21．已知函数f（x）=x2+ax在x=0与x=1处的切线互相垂直．（1）若函数g（x）=f（x）+lnx﹣bx在（0，+∞）上单调递增，求a，b的值；（2）设函数h（x）=，若方程h（x）﹣kx=0有四个不相等的实数根，求k的取值范围．22．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣a，g（x）=x3﹣2x2+3x+．（1）讨论f（x）零点的个数；（2）若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围．2017届高三上学期9月份月考试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|y=﹣log2（2﹣x）}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，B={x|y=﹣log2（2﹣x）}={x|﹣1≤x＜2}，∴A∪B={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）．故选：D．2．若函数f（x）=2x+a2x﹣2a的零点在区间（0，1）上，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）【考点】二分法的定义．【分析】根据函数零点定理可得f（0）•f（1）=（1﹣2a）（2+a2﹣2a）＜0，解得即可．【解答】解：函数f（x）=2x+a2x﹣2a的零点在区间（0，1）上，∴f（0）•f（1）=（1﹣2a）（2+a2﹣2a）＜0即（2a﹣1）（a2﹣2a+2）＞0，∵a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1＞0，∴2a﹣1＞0，解得a＞，故选：C3．“0＜x＜1”是“log2（e2x﹣1）＜2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由对数函数的性质求出log2（e2x﹣1）＜2的解集，由集合之间的关系、充要条件的有关定义推出结论．【解答】解：由log2（e2x﹣1）＜2得，0＜e2x﹣1＜4，则1＜e2x＜5，解得0＜x＜ln5，则log2（e2x﹣1）＜2⇔x∈（0，），又，则（0，）⊆（0，1），所以“0＜x＜1”是“log2（e2x﹣1）＜2”的必要不充分条件，故选：B．4．原命题“若z1与z2互为共轭复数，则z1z2=|z1|2”，则其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系．【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则z1z2=|z1|2是真命题；其逆命题是：“若z1z2=|z1|2，则z1，z2互为共轭复数”，例z1=0，z2=3，满足条件z1z2=|z1|2，但是z1，z2不是共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．5．已知命题p：∀x＞2，log2（x+）＞2，则（）A．且￢p为真命题B．且￢p为真命题C．且￢p为假命题D．且￢p为假命题【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果，然后判断真假即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞2，log2（x+）＞2，，∵x＞2，∴≥4，当且仅当x=2时取等号，＞2，命题p为真命题，¬p 为假命题，故选C．6．曲线y=tanx在点（，1）处的切线的斜率为（）A．B．C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，可得曲线y=tanx在点（，1）处的切线的斜率．【解答】解：y=，y′==，x=，y′=2，∴曲线y=tanx在点（，1）处的切线的斜率为2，故选D．7．函数y=ln|x|﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性，以及函数导数，求出函数的最值，判断选项即可．【解答】A 解：当x＞0时，y=f（x）=lnx﹣x2+1，f′（x）=﹣x=，当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，故f（x）在x=1处取得最大值f（1）=，又f（x）为偶函数，故选A．8．设a=4，b=4，c=（），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵1＞log96=log3＞log32，c=，＞1，∴c＞b＞a．故选：D．9．定义在R的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x，则f（﹣）=（）A． B．C．D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用函数的周期性，函数的解析式转化求解函数值即可．【解答】解：在R的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），可知函数是周期函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x，f（﹣）=f（﹣8+）=f（）=f（﹣）=，故选：C．10．已知函数f（x）=x3﹣ax2+4的零点小于3个，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3]【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导数，通过a的符号，求解函数的极值，判断函数的零点个数．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2ax=3x（x﹣），当a＜0时，f（x）在x=处取得极大值f（）=4﹣a3＞0，在x=0处取得极小值f（0）=4＞0，此时有一个零点，满足条件；当a=0时显然满足条件，当a＞0时，在x=0处取得极大值4，在x=处取得极小值4﹣a3≥0，解得a≤3，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣2ax+blnx+2a2在x=1处取得极值，则a+b=（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或1 D．﹣1或2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，根据f（1）=，f′（1）=0，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，检验即可．【解答】解：f′（x）=x﹣2a+，由已知f（1）=，f′（1）=0，解得或，当a=1，b=1时，在x=1处不能取得极值，所以，a+b=﹣1．故选：A．12．函数f（x）=ln（x2﹣x+1）﹣的所有零点的和为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】由f（x）=ln[（x﹣）2+]﹣，它是由偶函数g（x）=ln（x2+）﹣的图象向右平移个单位得到，故f（x）的图象关于x=对称，根据偶函数的性质，函数f（x）的所有零点的和x1+x2=2×=1．【解答】解：f（x）=ln[（x﹣）2+]﹣，它是由偶函数g（x）=ln（x2+）﹣的图象向右平移个单位得到，故f（x）的图象关于x=对称，又g（x）在（0，+∞）上为增函数，画图知g（x）有两个零点，如图示：故f（x）有两个零点，由g（x）有两个零点，两个零点关于y轴对称，则两个零点之和为0，∴f（x）=ln（x2﹣x+1）﹣的所有零点的和x1+x2=2×=1，故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={﹣1，0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B的真子集的个数为31 ．【考点】子集与真子集．【分析】根据集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，集合A={﹣1，0，1}，求出集合B的元素个数．根据含有n 个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．【解答】解：集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，集合A={﹣1，0，1}，当x=y=﹣1时，则z=﹣2；当x=﹣1，y=0或x=0，y=﹣1时，则z=﹣1；当x=﹣1，y=1或x=1，y=﹣1或x=y=0时，则z=0；当x=0，y=1或x=1，y=0时，则z=1；当x=y=1时，则z=2；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，含有5个元素，∴B的真子集的个数为25﹣1=31个．故答案为：31．14．设函数f（x）=，则2f（9）+f（log2）= 15 ．【考点】函数的值．【分析】先分别求出f（9）=log48=，f（）==12，由此能求出2f（9）+f（log2）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（9）=log48=，f（）==2=12，∴2f（9）+f（log2）=2×．故答案为：15．15．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x+ln（﹣x），则曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（1﹣）x ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质．【分析】求出当x＞0时，﹣y=﹣x+lnx，y=x﹣lnx，求出导函数，可得切线斜率，利用点斜式可得切线方程．【解答】解：当x＞0时，﹣y=﹣x+lnx，y=x﹣lnx，y′=1﹣，切线方程为y﹣（e﹣1）=（1﹣）（x﹣e），即y=（1﹣）x．故答案为y=（1﹣）x．16．已知函数f（x）=是减函数，则a的取值范围是[，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；分段函数的应用．【分析】若函数f（x）=是减函数，故每一段上函数均为减函数，且a＞f（1），利用导数法，可得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=是减函数，∴0＜a＜1，当x≥1时，f′（x）=1+lnx﹣2ax≤0，2a≥，设h（x）=，则h′（x）==0，解得：x=1，故h（x）在x=1处取得最大值1，故2a≥1，即a≥，又a＞f（1）=﹣a，故a∈[，1）．故答案为：[，1）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|1＜2＜32}，B={x|log2（x+3）＜3}．（1）求（∁R A）∩B；（2）若（a，a+2）⊆B，求a的取值范围．【考点】子集与真子集；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出集合A，B，得到A的补集，从而求出其和B的交集即可；（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1＜＜32，得0＜x2﹣2x﹣3＜5，即，解得A=（﹣2，﹣1）∪（3，4），∁R A=（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3]∪[4，+∞），由log2（x+3）＜3，得：0＜x+3＜8，B=（﹣3，5），∴（∁R A）∩B=（﹣3，﹣2]∪[﹣1，3]∪[4，5）．（2）当（a，a+2）⊆B时，得：，∴a∈[﹣3，3]．18．已知不恒为零的函数f（x）=xlog2（ax+）是偶函数．（1）求a，b的值；（2）求不等式f（x﹣2）＜log2（1+）的解集．【考点】指、对数不等式的解法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据f（﹣x）=f（x），求得a、b的值．（2）不等式等价于 f（x﹣2）＜f（1），即|x﹣2|＜1，求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）=xlog2（ax+）=f（﹣x）=﹣xlog2（﹣ax+），即x=0，，∴，或．经过检验，当a=1，b=1时，满足f（x）是偶函数，故a=1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=xlog2（x+），显然在x∈（0，+∞）上，f（x）是增函数，f（x﹣2）＜log2（1+），等价于 f（x﹣2）＜log2（1+）=f（1），∵f（﹣x）=f（x）=f（|x|），∴f（|x﹣2|）＜f（1），|x﹣2|＜1，求得x∈（1，3）．19．已知命题p：函数f（x）=x3﹣x2+（5﹣a2）x+a在R上的增函数；命题q：函数g（x）=在[a，+∞）上单调递增，若“p∨（￢q）”为真命题，“（￢p）∨q”也为真命题，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】若“p∨（￢q）”为真命题，“（￢p）∨q”也为真命题，则p为真命题，则q也为真命题；若p 为假命题，则q也为假命题，进而可得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若p为真命题，则f′（x）=x2﹣2x+5﹣a2≥0恒成立，则△=4﹣4（5﹣a2）≤0，解得：﹣2≤a≤2．g′（x）=，故g（x）=在[1，+∞）上递增，若q为真命题，则a≥1．由已知可得若p为真命题，则q也为真命题；若p为假命题，则q也为假命题，当p，q同真时，1≤a≤2；同假时，a＜﹣2，故a∈（﹣∞，﹣2）∪[1，2]．20．已知函数f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）2﹣x+1．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1且a≥时，证明：f（x）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）代入a值，求导，利用导函数判断函数的单调区间；（2）求出f（x）的表达式，利用构造函数g（x），利用导函数判断函数f（x）的单调性，根据单调性证明结论．【解答】解析：（Ⅰ）a=0时，f′（x）=1+lnx﹣1=0，x=1，当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0．故f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），f（x）在x=1处取得极小值f（1）=0，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1），设g（x）=lnx﹣2a（x﹣1），则g′（x）=﹣2a＜0，∴g（x）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴f（x）＜f（1）=0．∴f（x）＜0．21．已知函数f（x）=x2+ax在x=0与x=1处的切线互相垂直．（1）若函数g（x）=f（x）+lnx﹣bx在（0，+∞）上单调递增，求a，b的值；（2）设函数h（x）=，若方程h（x）﹣kx=0有四个不相等的实数根，求k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导函数大于0，分半求解a，b的值即可．（2）画出函数的图象，求出曲线的斜率，然后推出结果．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x+a，∴f′（0）f′（1）=﹣1，即a（a+2）=﹣1，a=﹣1．g（x）=x2﹣x+lnx﹣bx，g′（x）=2x﹣1+﹣b≥0在x＞0上恒成立，即（2x﹣1）（1﹣）≥0，当x≥时，b≤2x，即b≤1；当0＜x≤时，b≥2x，即b≥1，故b=1．（Ⅱ）由题意y=h（x）与y=kx有四个交点．如图，设直线y=kx与曲线y=lnx切于（x0，lnx0），则k=，∴lnx0=×x0=1， =，由图可知k∈（0，）．22．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣a，g（x）=x3﹣2x2+3x+．（1）讨论f（x）零点的个数；（2）若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求a的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）通过a的讨论，求出函数的极小值，判断零点个数．（2）通过函数的导数，利用函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）当a＜0时，由e x=a（x+1），考查y=e x与y=a（x+1）的图象知只有一个零点；当a=0时，无零点；当a＞0时，f′（x）=e x﹣a=0，x=lna，f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=﹣alna，若a＞1，f（lna）=﹣alna＜0，有两个零点，若a=1，f（lna）=0，有一个零点，若0＜a＜1，f（lna）＞0，无零点．综上，当a＜0或a=1时，有一个零点；当0≤a＜1时，无零点；当a＞1时，有两个零点．（2）由已知当x∈[﹣1，2]时，f（x）min≥g（x）min．当a≤0时，f′（x）=e x﹣a＞0，f（x）min=f（﹣1）=，g′（x）=（x﹣1）（x﹣3），g（x）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，g（﹣1）=0，g（2）=6，g（x）min=0，f（x）min≥g（x）min．当a＞0时，f′（x）=e x﹣a=0，x=lna，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增．若lna≤﹣1即0＜a≤，f（x）min=f（﹣1）=，满足f（x）min≥g（x）min，若﹣1＜lna＜2即＜a＜e2，f（x）min=f（lna）=﹣alna，由﹣alna≥0解得＜a≤1，若lna≥2即a≥e2，f（x）在[﹣1，2]上递减，f（x）min=f（2）=e2﹣3a＜0，不满足条件．综上可知a的取值范围是（﹣∞，1]．。

2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次质检试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．（5分）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．104．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=log2D．y=sinx5．（5分）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6．（5分）如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38．（5分）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P29．（5分）下列四个结论正确的是（）A．若n组数据（x1，y1），…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2.5个单位10．（5分）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c11．（5分）直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．112．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为．14．（5分）记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x ∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=．（1）求证数列{a n}是等比数列并求通项公式a n；（2）设b n=2n﹣1，c n=a n•b n，T n为{c n}的前n项和，求T n．19．（12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A （优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅲ）已知a≥10，b≥8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率．20．（12分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD 翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积；（3）求四面体ABCD外接球的表面积．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•鹰潭二模）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．（5分）（2015•遂宁模拟）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可．【解答】解：由得：；带入向量的坐标便得到：|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；∴（2λ+2）2+4=4；∴解得λ=﹣1．故选C．【点评】考查向量坐标的加法与减法运算，根据向量的坐标能求其长度．3．（5分）（2014•孝感二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．4．（5分）（2013秋•洛阳期末）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=log2D．y=sinx【分析】利用基本初等函数的性质逐一判断得出结论．【解答】解：对于A，由二次函数性质可知，函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除A；对于B，由在（﹣∞，0）上y=得函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除B；对于C，当x∈（﹣∞，0）时，y=，由复合函数的单调性可知，函数在（﹣∞，0）上单调递增，且由偶函数的定义可知函数为偶函数，故正确；对于D，由正弦函数的性质可知为奇函数，故排除D．故选C．【点评】考查学生对基本初等函数的性质单调性、奇偶性的掌握运用能力，可用排除法．5．（5分）（2016•南昌校级二模）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣1+i，则在复平面内=i•（﹣1﹣i）=﹣i+1对应的点坐标为（1，﹣1），故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，S=，n=4，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，S=，n=6，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，S=，n=8，k=4，当k=4时，满足进行循环的条件，S=，n=10，k=5，当k=5时，满足进行循环的条件，S=，n=12，k=6，当k=6时，满足进行循环的条件，S=，n=14，k=7，当k=7时，满足进行循环的条件，S=，n=16，k=8，当k=8时，满足进行循环的条件，S=，n=18，k=9，当k=9时，满足进行循环的条件，S=，n=20，k=10，当k=10时，满足进行循环的条件，S=，n=22，k=11，当k=11时，不满足进行循环的条件，故程序框图的功能是计算的S=值，即求{}前10项和，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．（5分）（2016•玉溪三模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（2015•湖北模拟）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P2【分析】运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P2；由余弦函数的值域，即可判断P3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P4．【解答】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P1为真命题；对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．故选D．【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．9．（5分）（2015秋•长春校级月考）下列四个结论正确的是（）A．若n组数据（x1，y1），…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2.5个单位【分析】根据相关系数的定义，可判断A；根据回归直线的几何意义判断命题B是否正确；利用椭圆的定义，判断C的正误；设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．判断D的正误．【解答】解：对于A，若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=﹣1，故A正确；对于B，回归直线也可能不过任何一个点，所以命题B不正确；对于C，点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为线段不是椭圆．所以C不正确；对于D，回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位，故D不正确．故选：A．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了回归直线方程的应用，椭圆的定义等知识点，属于基础题．10．（5分）（2010•宝鸡模拟）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【分析】分别写出其逆命题再判断，A、由面面平行的性质定理判断．B、也可能平行C、由三垂线定理判断．D、由线面平行的判定定理判断．【解答】解：A、其逆命题是：当c⊥α时，或α∥β，则c⊥β，由面面平行的性质定理知正确．B、其逆命题是：当b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，也可能平行，相交．不正确．C、其逆命题是当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c，由三垂线定理知正确．D、其逆命题是当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由线面平行的判定定理知正确．故选B【点评】本题主要考查线面平行的判定理，三垂线定理及其逆定理，面面平行的性质定理等，做这样的题目要多观察几何体效果会更好．11．（5分）（2015•哈尔滨校级三模）直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．1【分析】画出图形，直线l1∥l2，l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，结合选项讨论m的取值是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：∵直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示；又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质问题，应画出图形，结合图形解答该题，是易错题．12．（5分）（2016春•南昌校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A． B． C．D．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，根据表示的几何意义是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率问题．由图象可得结论．【解答】解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数∵f（4）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0又因为表示的是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率．所以当（﹣1，﹣2）与A（0，4）相连时斜率最大，为6，当（﹣1，﹣2）与B（2，0）相连时斜率最小为，∴的取值范围是（，6）故选：A．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与定点连线的斜率．属于线性规划中的延伸题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•石家庄一模）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（0，﹣）．【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2=﹣2py 的焦点坐标，即可求出物线y=﹣4x2的焦点坐标．【解答】解：抛物线y=﹣4x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．14．（5分）（2015•聊城二模）记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，确定区域面积是关键，属于中档题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【分析】作出图形，求得线段BD=AB=10，然后解直角三角形求得线段DC，即可得到速度．【解答】解：根据题意得：AB=10，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=10×=5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷=10海里/小时故答案为：10．【点评】本题考查解三角形的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2015秋•固原校级月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【分析】（1）利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数可知f（0）=0，且函数y=f（x）是以2为周期的函数，并在区间（0，1]上单调递减，从而可判断出f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；（2）依题意，知点（0，0）为其对称中心，利用其周期性可知点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；（3）作出函数y=f（x）的图象可知直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（4）利用函数y=f（x）的周期性与在区间[1，2）上为减函数可判断出f（9.2）＜f（π）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性、周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与数形结合思想的运用，考查推理运算能力，属于难题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）（2013•江苏一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．【分析】（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．（2）通过两角和公式对2sinA﹣sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC的取值范围．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=﹣，∴accos（π﹣B）=﹣，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3．∴（a+c）2=12，所以a+c=2．（2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC．∵0＜C＜，∴cosC∈（﹣，）．∴2sinA﹣sinC的取值范围是（﹣，）．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．18．（12分）（2015秋•长春校级月考）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=．（1）求证数列{a n}是等比数列并求通项公式a n；（2）设b n=2n﹣1，c n=a n•b n，T n为{c n}的前n项和，求T n．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=2n﹣1，c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S n =，∴a 1=S 1=（a 1﹣1），解得a 1=3． n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣，∴a n+1=3a n ．故数列{a n }是公比为3的等比数列． ∴．（2）b n =2n ﹣1，c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n．∴数列{c n }的前n 项和T n =3+3×32+5×33+…+（2n ﹣1）•3n，∴3T n =32+3×33+…+（2n ﹣3）•3nz +（2n ﹣1）•3n+1． ∴﹣2T n =3+2（32+33+ (3)）﹣（2n ﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n ﹣1）•3n+1．∴T n =3+（n ﹣1）•3n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（12分）（2015•石景山区一模）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩，（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（Ⅲ）已知a ≥10，b ≥8，求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率． 【分析】（Ⅰ）根据频率=，求出n 的值，即得抽取的学生人数；（Ⅱ）根据语文成绩优秀率是30%，求出a 的值，再利用样本容量n 求出b 的值； （Ⅲ）用列举法求出满足条件的（a ，b ）基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得； =0.18，解得n=100，即抽取的学生人数是100； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n=100； ∴=30%，解得a=14；又7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，解得b=17；（Ⅲ）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A，由（Ⅱ）得，a+b=31，且a≥10，b≥8；∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14种；其中b+11＞a+16的有：（10，21），（11，20），（12，19）共3种；∴所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率的问题，是基础题目．20．（12分）（2016•南昌校级二模）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积；（3）求四面体ABCD外接球的表面积．【分析】（1）由中位线定理得AB∥EF，故而AB∥平面DEF；（2）由直二面角可得BD⊥平面ACD，于是V E﹣AFD=V F﹣ADE=；（3）根据三棱锥的三个侧面两两垂直的性质可求得外接球的半径，从而计算出球的表面积．【解答】解：（1）∵E、F分别是AC和BC边的中点，∴EF∥AB，又EF⊂平面DEF，AB⊄平面DEF，∴AB∥平面DEF．（2）∵CD是正三角形ABC的高，∴AD=BD=2，CD=2，∵二面角A﹣DC﹣B是直二面角，∴BD⊥平面ACD．∵E，F是AC，BC的中点，∴S△ADE=S△ACD==，F到平面ACD的距离等于=1．∴V E﹣AFD=V F﹣ADE===．（3）设外接球的球心为O，∵△BCD是直角三角形，∴O在底面BCD上的投影为BC的中点F，连结OF，则OF⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，∴AD∥OF，∵球O是三棱锥A﹣BCD的外接球，∴OF=AD=1．∴球O的半径OB==．∴球O的表面积S=4πOB2=20π．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，棱锥与外接球的关系，属于中档题．21．（12分）（2016•长春校级模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（4分）（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…（7分）∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分）将（•）代入得：m2=，…（11分）经检验满足△＞0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．22．（12分）（2012•河北模拟）已知函数．（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．【分析】（1）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；（2）由于函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，令g（x）=e x（x﹣a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．【解答】解：（Ⅰ），，．当时，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1．…．．（2分）则f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣3x﹣1．…．．（4分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，，所以．即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．…．．（6分）当x∈（﹣∞，a）时，，令g（x）=e x（x﹣a）+1．…（7分）只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=e x（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．所以g（x）在区间（﹣∞，a）最小值为g（a﹣1）=1﹣e a﹣1．…．．（9分）显然，当a=1时，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜1时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以f（x）没有零点；当a＞1时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0，所以f（x）有两个零点．…．．（12分）【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查考查函数的单调性，属于中档题．。

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18B．24C．60D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a ，∴双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x ．故选：B ．6．在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC 的面积比是（ ）A ．3：4B ．3：2C ．1：1D ．1：3 【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】设M 为AC 的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得+=2，结合题意可得2=﹣3，由数乘向量的性质可得B ，O ，M 三点共线，且2OM=3BO ；进而可得==，而又由S △AOB +S △BOC =S △ABC ，分析可得S △AOB =S △ABC ，结合题意计算可得△AOB 和△AOC 的面积比，即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：在△ABC 中，M 为AC 的中点，则+=2， 又由，则有2=﹣3，从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM=3BO ；由2OM=3BO 可得，==，S △AOB +S △BOC =S △ABC ，又由S △AOB =S △BOC ，则S △AOB =S △ABC ，则=；故选：D．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4B．9C．16D．18【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，联立，解得A（3，﹣1），而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，∴x2+2x+y2的最大值是16．故选：C．10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC 最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=+2．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为14．如图所示，输出的x的值为17．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为12．（用数值作答）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18x|，∴|sinx|=|log18x|，作出y=|sinx|与y=|log18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点，∴方程|cos（x+）|=|log18x|有12个解．故答案为：12．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅰ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．（Ⅰ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．（Ⅰ）解：依题意得：，解得N=78．∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．∴，解得x=40，y=5．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅰ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．+V E﹣ABCD ，只有分别求解【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD两个棱锥的体积即可；（Ⅰ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅰ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．【解答】解：（Ⅰ）连接ED，∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD∩AD=D，∴AD⊥平面FDC，V E=AD•S△FDC=××1×2×2=，﹣FCD=EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，V E﹣ABCD∴多面体EABCDF的体积V=V E+V E﹣ABCD =+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣FCD﹣﹣﹣（Ⅰ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C （2，2，0），F（0，2，1），∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线EB与平面ECF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣（Ⅰ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图所示…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅰ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅰ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b 的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅰ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（Ⅰ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅰ）可知，代入即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅰ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅰ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f （x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f （x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，﹣）﹣（﹣，+∞）f（x）+0﹣0+f'（x）c c﹣所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0，当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。

辽宁省沈阳市2017届高三高考一模试卷（文）第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）过点(13)A --，，且斜率是直线3y x =的斜率的14-的直线方程是（ ） （A ）4110x y --= （B ）4130x y ++= （C ）3490x y --=（D ）34150x y ++=（2）已知a ，b ，c ∈R ，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是（ ）（A ）若3a b c ++≠，则2223a b c ++<（B ）若3a b c ++=，则2223a b c ++< （C ）若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥（D ）若2223a b c ++≥，则3a b c ++=（3）已知函数()sin cos f x x x =-且()2()f x f x '=，则tan x =（ ）（A ）3-（B ）3（C ）1（D ）－1（4）已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ） （A ）22(1)(1)2x y ++-= （B ）22(1)(1)2x y -++=（C ）22(1)(1)2x y -+-= （D ）22(1)(1)2x y +++= （5）某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）（A ）ˆ10200yx =-+ （B ）ˆ10200yx =+ （C ）ˆ10200yx =-- （D ）ˆ10200yx =- （6）“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线330x my ++=垂直”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某校从高三年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高三年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）（A ）588 （B ）480 （C ）450 （D ）120（8）如图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） （A ）N q M = （B ）M q N = （C ）Nq M N =+（D ）Mq M N=+（9）已知点P 在曲线4e 1x y =+上，其中e 2.71828=是自然对数的底数，曲线在点P 处的切线的倾斜角为34π，则点P 的纵坐标为（ ） （A ）4e e 1+ （B ）4e 1+ （C ）12 （D ）2（10）设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）（A ）函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) （B ）函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1) （C ）函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2) （D ）函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2)（11）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左焦点为1F ，左、右顶点分别为12A A 、，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段112PF A A 、为直径的两个圆的位置关系为（ ）（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况都有可能（12）已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时， ()()0f x f x x '+>，若1111()2(2)(ln )(ln )2222a fb fc f ==--=，，，则a b c ，，的大小关系正确的是（ ）（A ）a c b << （B ）b c a <<（C ）a b c <<（D ）c a b <<第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点(2)P k ，与点F 的距离为3，则抛物线方程为 ．（14）若实数x y ，满足不等式组20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数2z x y =+的最小值 为 .（15）若直线y x b =+与曲线3y =-b 的取值范围是 .（16）12F F 、分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A B 、两点. 若112||3||AF F B AF x =⊥，轴，则椭圆E 的方程为 .二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本题满分10分）已知直线:20l x y m -+=，m ∈R ，圆22:5C x y +=. （Ⅰ）当m 为何值时，l 与C 无公共点； （Ⅱ）当m 为何值时，l 被C 截得的弦长为2.（18）（本题满分12分） 已知关于x 的一次函数y mx n =+.（Ⅰ）设集合{21123}P =--，，，，和{23}Q =-，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y mx n =+是增函数的概率；（Ⅱ）实数m ，n 满足条件101111m n m n +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤，≤≤，≤≤，求函数y mx n =+的图象经过一、二、三象限的概率.（19）（本题满分12分） 函数32()33(0)f x ax x x a =++≠．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）若f (x )在区间(1，2)内是增函数，求a 的取值范围．（20）（本题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去A图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去B图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（Ⅰ）如果7x=，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅱ）如果9x=，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．（21）（本题满分12分）已知m>1，直线l：22mx my--=，椭圆C：2221xym+=，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O 在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．（22）（本题满分12分）已知函数12e()lnmf x mx xx-+=--，1()lng x xx=+，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（Ⅰ）当0m=时，求函数f (x)的单调区间和极值；（Ⅱ）若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f (x0) > g(x0)成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）24y x = （14）3 （15）[13]- （16）22312x y += 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本题满分10分）解析：（Ⅰ）由已知，圆心为O (0，0)，半径r ＝5，圆心到直线2x －y ＋m ＝0的距离d＝|m |5， ∵直线与圆无公共点，∴d >r ，即|m |5>5， ……4分 ∴m >5或m <－5.故当m >5或m <－5时，直线与圆无公共点. ……5分 （Ⅱ）如图，由平面几何垂径定理知r 2－d 2＝12. ……7分 即5－m 25＝1，得m ＝±25，∴当m ＝±25时，直线被圆截得的弦长为2. ……10分 （18）（本题满分12分）解：（Ⅰ）抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2，3)，(－1，－2)，(－1，3)，(1，－2)， (1，3)，(2，－2)，(2，3)，(3，－2)，(3，3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1，3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3，3)，共6个基本事件， ……5分所以，P (A )＝610＝35. ……6分（Ⅱ）m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m >0，n >0， …..……7分故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，……10分 ∴所求事件的概率为P ＝1272＝17. ……12分（19）（本题满分12分）解析：（Ⅰ）当a ＝1时，f (x )＝x 3＋3x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3， ∴(1)7f =，(1)12f '=， ……3分∴()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为712(1)y x -=-，即1250x y --=.……5分 （Ⅱ）（法一）f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3≥0，在区间(1，2)上恒成立， 即222112()x a x x x +-=-+≥， ……7分 而y =212()x x-+在区间(1，2)是增函数， 则15(1)44y <-+=-，∴54a -≥， ……11分又0a ≠，∴a 的取值范围是5[0)4-，∪(0，＋∞)． ……12分（法二）当a ＞0，12x <<时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数，符合题意． ……7分 当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0. ……11分综上，a 的取值范围是5[0)4-，∪(0，＋∞)． ……12分（20）（本题满分12分）解：（Ⅰ）当7x =时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是：7，8，9，12， 所以平均数为7891294x +++==， ……3分方差为()()()()222221779899912942s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……5分（Ⅱ）记甲组3名同学分别为123A A A ，，，他们去图书馆学习次数依次为91211，，； 乙组4名同学分别为1234B B B B ，，，，他们去图书馆学习次数依次为98912，，，. 从学习次数大于8的学生中选2名同学，所有可能的结果有15种，它们是：121311131423212324313334131434A A A A A B A B A B A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B ，，，，，，，，，，，，，，,用C 表示：“选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，其中的结果有5种，它们是：1424232134A B A B A B A B A B ，，，，， ……10分 故选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习次数和大于20的概率为51()153P C ==. ……12分 （21）（本题满分12分）解析：（Ⅰ）∵直线l ：x －my －m 22＝0经过F 2(m 2－1，0)，∴m 2－1＝m 22，得m 2＝2. ……2分又∵m >1，∴m ＝ 2. ……3分 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. ……4分 （Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋m 22，x2m 2＋y 2＝1，消去x 得2y 2＋my ＋m 24－1＝0，∴y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m 28－12. ……6分由Δ＝m 2－8(m 24－1)＝－m 2＋8>0，得m 2<8， ……7分由于F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，故O 为F 1F 2的中点．由G 、H 分别为△AF 1F 2、△BF 1F 2的重心，可知G (x 13，y 13)，H (x 23，y 23)，设M 是GH 的中点，则M (x 1＋x 26，y 1＋y 26)，∵原点O 在以线段GH 为直径的圆内，∴x 1x 2＋y 1y 2<0. ……8分 而x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋m 22)(my 2＋m 22)＋y 1y 2＝(m 2＋1)(m 28－12)，∴m 28－12<0，即m 2<4. ……10分 又∵m >1且Δ>0，∴1<m <2. ∴m 的取值范围是(1，2)． ……12分 （22）（本题满分12分）解：（Ⅰ） f (x )＝－－1＋2e x －ln x ，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝2e －1x 2－1x ＝2e －1－x x 2. ……1分令f ′(x )>0得0<x <2e －1；令f ′(x )<0，得x > 2e －1；∴函数f (x )的单调递增区间是(0，2e －1)，减区间是(2e －1，＋∞)， ……3分 ∴f (x )的极大值是f (2e －1)＝－1－ln(2e －1)． ……4分（Ⅱ）（法一）令F (x )＝f (x )－g (x )＝mx －m ＋2ex －2ln x ，则只需max ()0F x >. ……5分①当m ≤0时，由x ∈[1，e]，知mx －m x ≤0且－2ln x －2ex<0，∴此时不存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)>g (x 0)成立； ……7分 ②当m > 0时，F ′(x )＝m ＋m ＋2e x 2－2x ＝m (x 2＋1)＋2(e －x )x 2＞0，x ∈[1，e]，∴F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )max ＝F (e)＝m e －me －4. ……10分∵max ()0F x >，∴m e －m e －4>0，∴m > 4ee 2－1．综上可得，m 的取值范围是24e()e 1+∞-，. ……12分 （法二）依题意，mx －m －1＋2e x －ln x ＞1x ＋ln x ，即12e()2ln m x x x x ->+，而x ∈[1，e]时，10x x-≥，①若1x =，02e >，∴不存在符合意义的m ； ……7分 ②若x ∈(1，e]，则10x x->，问题转化为存在x ∈(1，e]， 使22e2ln 2e 2ln 11xx x x m x x x ++>=--， ……8分 设22e 2ln ()1x xh x x +=-，则222(2ln 2)(1)(2e 2ln )2()(1)x x x x x h x x +--+⋅'=-22222(1)ln 2(2e 1)(1)x x x x x -++--=-， x ∈(1，e]，∴22(1)ln x x -+＜0，22(2e 1)x x --＜4e 0-<，（分组判正负）∴()h x '＜0，()h x 递减， ……10分 ∴min 24e ()(e)e 1h x h ==-，只需24e e 1m >-. ……12分。

2017届高三上学期10月月考试卷数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷的相应位置．1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜1}2．复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．若a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2＞b2C．2a＞2b D．4．函数的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）5．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞07．某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：则下列函数模型中能较好地反映豆类枝数在第x月的数量y与x之间的关系的是（）A．y=2x B．y=x2﹣x+2 C．y=2x D．y=logx+228．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，则b为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定9．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A．（，）B．（，） C．（3，） D．（﹣3，）10．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）11．给定函数①y=x，②y=log（x+1），③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④12．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．14．某校有老师200人，男学生1400人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为90人，则n= ．15．设x＞0，则的最小值是．16．设f（x）=则使f（x）=11成立的实数x的集合为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁A）∩B；R（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）19．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．20．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．21．已知函数f（x）=x3﹣3ax+b的图象在（1，f（1））处与y=2相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调递减区间．22．设函数，a为常数，且f（3）=（1）求a值；（2）求使f（x）≥4的x值的取值范围；（3）设g（x）=﹣x+m，对于区间[3，4]上每一个x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．2017届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卷的相应位置．1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集和数轴即可求出A∩B．【解答】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}．故选D．2．复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==1+i．故选A．3．若a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a2＞b2C．2a＞2b D．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例a=1，b=﹣2，可判断A，B，D均不成立，进而得到答案．【解答】解：当a=1，b=﹣2时，a＞b，但，故A中不等式不恒成立，a2＜b2，故B中不等式不恒成立，，故D中不等式不恒成立，而2a＞2b恒成立，故选：C．4．函数的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据幂函数的值域即可求解．【解答】解：函数y=的定义域为{x|x≥0}，其值域是[0，+∞），那么：函数的值域是[﹣1，+∞），故选：C．5．“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件．【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件故选A6．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx=0 B．∃x∈R，tanx=1 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．【解答】解：A、x=1成立；B、x=成立；D、由指数函数的值域来判断．对于C选项x=﹣1时，（﹣1）3=﹣1＜0，不正确．故选C7．某种豆类生长枝数随时间增长，前6月数据如下：则下列函数模型中能较好地反映豆类枝数在第x月的数量y与x之间的关系的是（）x+2A．y=2x B．y=x2﹣x+2 C．y=2x D．y=log2【考点】线性回归方程．【分析】本题要选择合适的模型，从所给数据可以看出图象大约过（1，2）和（2，4），把这两个点代入所给的四个解析式发现只有y=2t最合适，再考查四个选项，找出正确选项即可．【解答】解：从所给数据可以看出图象大约过（1，2）和（2，4）把这两个点代入所给的四个解析式发现只有y=2t最合适，故选：C．8．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，则b为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质，可得f（0）=0，代入构造关于b的方程，解得答案．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵当x≥0时，f（x）=2x+2x+b，∴f（0）=1+b=0，解得：b=﹣1．故选：A9．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（）A．（，）B．（，） C．（3，） D．（﹣3，）【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标．【解答】解：∵点P对应的复数为﹣3+3i，则点P的直角坐标为（﹣3，3），点P到原点的距离r=3，且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为（，），故选 A．10．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．11．给定函数①y=x，②y=log（x+1），③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据一次函数及指数函数，对数函数的性质，判断函数的单调性，从而得出答案．【解答】解：y=x，k=1，递增，y=，底数是，递减，y=|x﹣1|=1﹣x，递减，y=2x+1，底数是2，递增，故选：B．12．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，问题转化为a≥3x2在[﹣1，1]恒成立，根据二次函数的性质求出a的最小值即可．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣ax在[﹣1，1]上是单调减函数，即f′（x）=3x2﹣a≤0在[﹣1，1]恒成立，即a≥3x2在[﹣1，1]恒成立，故a≥3，a的最大值是3，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜014．某校有老师200人，男学生1400人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为90人，则n= 210 ．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，再把各层抽取的样本数相加可得样本容量 n的值．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，应抽取的男学生人数为1400×=105，应抽取的老师人数为200×=15，故样本容量 n=90+105+15=210．故答案为210．15．设x＞0，则的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】依题意，利用基本不等式即可．【解答】解：∵x＞0，∴y=3x+≥2（当且仅当x=时取等号）．故答案为：16．设f（x）=则使f（x）=11成立的实数x的集合为{1，7，13} ．【考点】函数的值．【分析】当x≥10时，f（x）=x﹣2=11；当1≤x＜10时，f（x）=f（x+6），由1≤x＜10，得7≤x+6＜16，当7≤x+6＜10时，f（x）=f（x+6）=f（x+12）；当10≤x+6＜16时，f（x）=f （x+6）．由此能求出使f（x）=11成立的实数x的集合．【解答】解：∵f（x）=，f（x）=11，∴当x≥10时，f（x）=x﹣2=11，解得x=11；当1≤x＜10时，f（x）=f（x+6），由1≤x＜10，得7≤x+6＜16，当7≤x+6＜10时，13≤x+12＜16，f（x）=f（x+6）=f（x+12）=x+12﹣2=11，解得x=1；当10≤x+6＜16时，f（x）=f（x+6）=x+6﹣2=11，解得x=7．综上，使f（x）=11成立的实数x的集合为{1，7，13}．故答案为：{1，7，13}．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．A）∩B；（1）求A∪B；（∁R（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【分析】本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A ∩C≠∅确定参数a的取值范围【解答】解：（1）∵集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∵CA={x|x＜4或x≥8}RA）∩B={x|8≤x＜10或2＜x＜4}∴（CR（2）∵若A∩C≠∅，A={x|4≤x＜8}，C={x|x＜a}．∴a的取值范围是a＞4∴a∈（4，+∞）18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；分层抽样方法．【分析】（I）根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的基本事件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．（III）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．【解答】解：（I ）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 =，∴男性应该抽取20×=4人…．（II ）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A ，B ；男性4人为c ，d ，e ，f ，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A ，B ）、（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ）、（c ，d ）、（c ，e ）、（c ，f ）、（d ，e ）、（d ，f ）、（e ，f ）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ），共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．（III ）∵K 2≈8.333，且P （k 2≥7.879）=0.005=0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．19．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l 的参数方程．（2）设l 与圆x 2+y 2=4相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【考点】直线的参数方程．【分析】对第（1）问，由过点（x 0，y 0），且倾斜角为α的直线的参数方程可得l 的参数方程；对第（2）问，根据l 的参数方程，可设A ，B，再将l 的参数方程代入圆的方程中，得到一个关于t 的一元二次方程，由韦达定理可得点P 到A 、B 两点的距离之积．【解答】解：（1）因为过点（x 0，y 0），且倾斜角为α的直线的参数方程，由题意，将x 0=1，y 0=1，α=代入上式得直线l 的参数方程为（t 为参数）．（2）因为A ，B 都在直线l 上，故可设它们对应的参数分别为t 1，t 2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4中，整理得，则t1，t2是此方程的两根，由韦达定理得t1t2=﹣2，所以|PA|•|PB|=|t1t2|=2．即点P到A、B两点的距离之积为2．20．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f （x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．21．已知函数f（x）=x3﹣3ax+b的图象在（1，f（1））处与y=2相切．（1）求a，b的值；（2）求f（x）的单调递减区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=0，求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣3a，由题意，解得：；（2）由（1）得：f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）．22．设函数，a为常数，且f（3）=（1）求a值；（2）求使f（x）≥4的x值的取值范围；（3）设g（x）=﹣x+m，对于区间[3，4]上每一个x值，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法．【分析】（1），可得，利用指数函数的单调性可得10﹣3a=1解出即可．（2）由已知，利用指数函数的单调性即可得出10﹣3x≤﹣2．（3）由题意f（x）＞g（x）化为恒成立．即在[3，4]恒成立．设，上述问题等价于m＜h（x）min，利用函数与在[3，4]为增函数，可得h（x）在[3，4]为增函数，即可得到h（x）的最小值．【解答】解：（1），即，∴10﹣3a=1，解得a=3．（2）由已知，∴10﹣3x≤﹣2．解得x≥4故f（x）≥4解集为{x|x≥4}．（3）依题意f（x）＞g（x）化为恒成立即在[3，4]恒成立设则m＜h（x）min，∵函数与在[3，4]为增函数，可得h（x）在[3，4]为增函数，∴，∴m＜2．。