高考数学总复习 集合的概念与运算学案 理 北师大版(1)

§1.1集合的概念与运算2014高考会这样考 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．复习备考要这样做 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅ B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A .[难点正本 疑点清源] 1． 正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2． 注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．3． 正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.1． (2012·江苏)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.答案 {1,2,4,6}解析 A ∪B 是由A ，B 的所有元素组成的．A ∪B ＝{1,2,4,6}．2． 已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤1＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 (2,3)解析 集合B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵集合A 中a －1≤x ≤1＋a .∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.3． 已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，m ＝0； 当－1∈B 时，m ＝1；当2∈B 时，m ＝－12.∴m 的值为0,1，－12.4． (2012·江西)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 C解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝－1； 当x ＝1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝－1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝1； 当x ＝1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}，即元素的个数为3.5． (2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1.题型一 集合的基本概念例1 (1)下列集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征．答案 (1)B (2)C解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.答案 0或98解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论． 解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案 4解析由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.题型三集合的基本运算例3 设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值是________．思维启迪：本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．答案1或2解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁U A)∩B＝∅⇔B⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.题型四 集合中的新定义问题例4 (2011·广东)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决． 答案 A解析 不妨设1∈T ，则对于∀a ，b ∈T ，∵∀a ，b ，c ∈T ，都有abc ∈T ，不妨令c ＝1，则ab ∈T ，故T 关于乘法是封闭的，故T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的；若T 为偶数集，V 为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B 、C 错误；若T 为非负整数集，V 为负整数集，显然T 、V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ，∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，但是对于∀x ，y ∈V ，有xy >0，xy ∉V ，D 错误．故选A.探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个． 答案 6解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．对集合中的元素特征认识不明致误典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B 是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B 中的元素(x ，y )不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B 的元素的性质中的“x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ”，只关注“x ∈A ，y ∈A ”，而忽视“x －y ∈A ”的限制条件导致错解．解析 ∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}，∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.∴B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B 中所含元素的个数为10. 答案 D温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x 、y 、(x ，y )；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的定义域，{y |y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )的值域，{(x ，y )|y ＝f (x )}表示函数y ＝f (x )图像上的点．遗忘空集致误典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1a可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 2012·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}答案 C解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，∴∁U M ＝{3,5,6}．2． (2011·课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．3． (2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}答案 C解析 ∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}． 4． 已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}答案 C解析 由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x x －1 ≥0，∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，M ∩N ＝{x |x >1}．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.答案 －1或2解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.6． 已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B＝__________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．7． (2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.三、解答题(共22分)8． (10分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.9． (12分)设符号@是数集A 中的一种运算：如果对于任意的x ，y ∈A ，都有x @y ＝xy ∈A ，则称运算@对集合A 是封闭的．设A ＝{x |x ＝m ＋2n ，m 、n ∈Z }，判断A 对通常的实数的乘法运算是否封闭？解 设x ＝m 1＋2n 1，y ＝m 2＋2n 2，那么xy ＝(m 1＋2n 1)×(m 2＋2n 2)＝(m 1n 2＋m 2n 1)2＋m 1m 2＋2n 1n 2.令m ＝m 1m 2＋2n 1n 2，n ＝m 1n 2＋m 2n 1，则xy ＝m ＋2n ， 由于m 1，n 1，m 2，n 2∈R ，所以m ，n ∈R . 故A 对通常的实数的乘法运算是封闭的．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2． (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 答案 B解析 由S ⊆A 知S 是A 的子集，又∵A ＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ⊆A 的S 共有26＝64(种)可能．又∵S ∩B ≠∅，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ⊆A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56.3． 若集合A 具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A . 则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”； (3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A .A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 (1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·陕西改编)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝____________.答案 (1,2]解析 M ＝{x |lg x >0}＝{x |x >1}， N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{x |1<x ≤2}．5． 已知M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝a ＋1}，N ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M ∩N ＝∅，则a 的值为____________．答案 1，－1，52，－4 解析 集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M ∩N ＝∅知，点(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，52，－4. 6． 设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________．答案 (－∞，－3)解析 A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ≤t }，由A ∩B ＝∅知，t <－3.三、解答题7． (13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .解 A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋1≥4，a ≤2， ∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}．∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．。

第1讲集合及其运算一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}常用结论1．三种集合运算的性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则AC.(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n －2个非空真子集．二、教材衍化1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x 是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D答案：B2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选C.当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.3．已知集合A＝{1，3，－a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________．解析：因为B⊆A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a2(此方程无实根)，所以a＝1，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)[学生用书P2]集合的概念(自主练透)1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个解析：选C.依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________． 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.答案：0或983.已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则k 的取值X 围为________．解析：因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16. 答案：(16，＋∞)4．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．BA(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值X 围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，比较A ，B 中的元素可知AB ，故选C.(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值X 围为m ≤3. 【答案】 (1)C (2)D (3)(－∞，3] 【迁移探究1】 (变条件)本例(3)中，若B A ，求m 的取值X 围？解：因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值X 围为(－∞，3]．【迁移探究2】 (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值X 围．解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值X 围为∅.【迁移探究3】 (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m的取值X 围．解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值X 围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)判断两集合关系的方法①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系； ②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系． (2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．[提醒] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．1．(2020·某某模拟)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x <1，则( )A ．M NB ．N MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R解析：选C.集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .故答案为C.2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：选A.由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个． 3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值X 围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值X 围为[－2，2)． 答案：[－2，2)集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}(2)(2020·某某某某模拟)若集合A ＝{x |2x 2－9x >0}，B ＝{y |y ≥2}，则(∁R A )∪B ＝( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，92B ．∅C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 (1)通解：因为N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.优解：由题可得N ＝{x |－2<x <3}． 因为－3∉N ，所以－3∉M ∩N ，排除A ，B ； 因为2.5∉M ，所以2.5∉M ∩N ，排除D.故选C.(2)因为A ＝{x |2x 2－9x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >92或x <0，所以∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以(∁R A )∪B ＝[0，＋∞)．故选C.【答案】 (1)C (2)C 角度二 利用集合的运算求参数(1)(2020·某某某某重点中学六校联考)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0，3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)(2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． (3)已知集合A ＝{x |x 2－x －12＞0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x ＞4}，则实数m 的取值X 围是________．【解析】 (1)由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的数值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.(2)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.(3)集合A ＝{x |x ＜－3或x ＞4}，因为A ∩B ＝{x |x ＞4}，所以－3≤m ≤4. 【答案】 (1)C (2)4 (3)[－3，4](1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)利用集合的运算求参数的值或取值X 围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．(2020·某某某某一中、某某一中等八所中学联考)已知集合M ＝[－1，1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．[0，1]B ．[－1，1]C ．[0，1)D ．(0，1]解析：选A.由于M ＝[－1，1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，所以N ＝[0，1]，所以M ∩N ＝[0，1]．故选A.2.(2020·某某某某八校联考)如图，设全集U ＝N ，集合A ＝{1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{2，4} B．{7，8}C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(∁U A)∩B＝{2，4}．故选A.3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝－x2－2x}，则A∩B＝( )A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0}C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}解析：选B.因为函数y＝－x2－2x有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.[学生用书P4]集合新定义问题中的核心素养(1)(2020·某某某某第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x ∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )A．1 B．0C．－1 D．sin α＋cos α(2)(2020·某某某某一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1}【解析】(1)因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.故选B.(2)由题意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0<x<1}．故选D.【答案】(1)B (2)D(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．(2)解决集合的新定义问题的两个切入点①正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6[基础题组练]1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B ＝( )A．{2} B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D.由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( ) A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.3．(2020·某某某某、某某三模)已知集合A＝{x|y＝－x2＋1}，B＝(0，1)，则A∩B ＝( )A．(0，1) B．(0，1]C．(－1，1) D．[－1，1]解析：选A.由题意得A＝[－1，1]，又B＝(0，1)，所以A∩B＝(0，1)．故选A.4．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( )A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.5．(2020·某某某某测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选C.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C.6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝( )A．－2 B．0C．1 D．2解析：选B.因为A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2， 当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}(舍)；当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}．综上，x ＝0.故选B.8．(2020·某某模拟)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为( )A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{－1，1，0} 解析：选D.M ＝{x |x 2＝1}＝{－1，1}，当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ，当a ≠0时，因为N ⊆M ，所以1a ＝－1或1a＝1，即a ＝－1或a ＝1.故选D. 9.(2020·某某模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．(2020·某某某某3月质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a <0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围为( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 解析：选D.A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }．因为B⊆A ，所以a ≤1.故选D.11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________．解析：A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}＝{x |2－x ＞0}＝{x |x ＜2}，则A ∩B ＝[－1，2)，A ∪B ＝(－∞，3]．答案：[－1，2) (－∞，3]12．已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值X 围为________． 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[综合题组练]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.因为(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．2．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中错误结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：①③3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值X 围是________．解析：因为A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m ＜1－m ，即m ＜13时， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13. 综上，实数m 的取值X 围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，则A ∩B ＝________．解析：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7.因此，A ∩B ＝{}－1，7.答案：{}－1，7。

§1.1集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn图)，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B ⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}知识拓展1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)题组二 教材改编2．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________.答案 {x |x 是直角}3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为3，故选C. 5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一 集合的含义1．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________.答案0或1解析若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，不符合题意．综上可知，a＝0或a＝1.2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．6答案 B解析当a＝0时，a＋b＝1,2,6；当a＝2时，a＋b＝3,4,8；当a＝5时，a＋b＝6,7,11.由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例 (1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0答案 D解析 由题意知，A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________________________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34.题型三集合的基本运算命题点1 集合的运算典例(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案 A解析∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.(2)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C解析∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C.命题点2 利用集合的运算求参数典例 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 D解析由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.(3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a 的取值范围是______．答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}， 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题典例已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为( ) A．77 B．49C．45 D．30答案 C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案 B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B答案 C解析由题意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.2．(2017·浙江)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q 等于( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,2) 答案 A解析 ∵P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}， ∴P ∪Q ＝{x |－1＜x ＜2}． 故选A.3．(2018届齐鲁名校协作体联考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋4x －1≤0，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A ．(0,4] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[－4,1]答案 B解析 ∵A ＝{x |－4≤x <1}，B ＝{y |y >0}，∴A ∩B ＝(0,1)，故选B. 4．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－4，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 答案 D解析 由A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}＝{x |1<x <4}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， 得A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，故选D. 5．(2018·潍坊调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}答案 B解析 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A 去掉A ∩B 部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．(2017·郑州平顶山二模)已知复数f (n )＝i n(n ∈N ＋)，则集合{z |z ＝f (n )}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．无数答案 A解析 复数f (n )＝i n(n ∈N ＋)，可得f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N .集合{z |z ＝f (n )}中元素的个数是4.7．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3} D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 B解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．(2017·广东、广西、福建十校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}，∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．10．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________． 答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－32.11．(2017·南阳模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 D解析 ∵A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m <1－m ，即m <13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________． 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，当集合M ∩N 的长度取最小值时，M 与N 应分别在区间[0,1]的左、右两端．取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.。

1 集合的基本运算本节教材分析课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等.值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用venn 图表，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导区分一些容易混淆的关系和符号.三维目标1. 知识与技能：(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法：学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算.3.情感.态度与价值观：(1)进一步树立数形结合的思想.(2)进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.教学重点：集合的交集与并集的概念；全集与补集的概念教学难点：是理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系..教学建议：本节的重点是交集与并集、全集与补集的概念..难点是理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系..教学时，应通过具体例子，借助Venn 图，帮助学生直观理解交集、并集的概念，在这个基础上，抽象概括出集合的交集、并集的一般概念.结合集合运算的两个性质，运用图形直观说明.在全集与补集教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图形进行求补集的运算.进行补集运算，需要正确理解补集的概念，求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一个集合在不同全集中的补集是不同的. 新课导入设计导入一:我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如.835=+类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题.导入二：请同学们考查下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？（1）};6,5,4,3,2,1{},6,4,2{},5,3,1{===C B A（2）A={x x 是有理数}，B={x x 是无理数}，C={x x 是实数}.引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.。

第一章集合章末复习课网络构建核心归纳知识点一集合的含义与表示(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫作元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．(2)集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．知识点二元素与集合、集合与集合之间的关系元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可．对于两个集合A，B，可分成两类A⊆B，A B，其中A⊆B又可分为A B与A＝B两种情况．在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形．知识点三集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．要点一集合间的关系集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素．【例1】(1)已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x<a}，若满足A⊆B，则实数a的取值范围是________．(2)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，集合B＝{y|ay＋1＝0}，若满足B⊆A，则实数a所能取的一切值为________．(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析 (1)如下图，先在数轴上表示出A ，要满足A ⊆B ，依图形覆盖关系易知a ≥5．(2)A ＝{2，－3}．故分B ＝∅，B ＝{2}，B ＝{－3}三种情况来讨论，求得a 值为0，－12，13． (3)①B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3．②B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2． 综合①②，可知m ≤3．答案 (1){a |a ≥5} (2)0，－12，13(3){m |m ≤3}【训练1】 已知全集U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }和它的子集A ＝{1，|2x －1|}．如果∁U A ＝{0}，求实数x 的值．解 ∵U ＝{1,3，x 3＋3x 2＋2x }，∁U A ＝{0}， ∴0∈U ，即x 3＋3x 2＋2x ＝0， 解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－2，当x ＝0时，A ＝{1,1}与集合中元素互异性矛盾，舍去． 当x ＝－2时，A ＝{1,5}U 不符合题意，舍去．当x ＝－1时，A ＝{1,3}⊆U 符合题意． 因此，实数x 的值为－1． 要点二 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．【例2】 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求实数a 的取值范围； (2)是否存在a ，使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？ 解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <0，或x >2}．∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0．(2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时， －1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．【训练2】 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________． (2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－2≤x ≤1}解析 (1)∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{6,8}． ∴(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}． (2)A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}． 答案 (1){6,8} (2)D要点三 定义新运算与集合运算的综合应用新定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念，或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，对信息进行转化，从而解决问题．这类问题的解题策略如下：(1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号．(2)细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点．(3)对新定义中提取的知识整理转换．若是新定义的运算，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，考虑能否利用定义外延，也可以用特殊值法排除选项(选择题型)．【例3】 设M 和P 是两个非空集合，规定M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，根据这一规定，M －(M －P )等于( )A ．MB ．PC ．M ∪PD ．M ∩P解析 由M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }⇔M －P ＝M ∩(∁U P )(U 为全集)，则M －(M －P )＝M －[M ∩(∁U P )]＝M ∩{∁U [M ∩(∁U P )]}＝M ∩[(∁U M )∪∁U (∁U P )]＝M ∩[(∁U M )∪P ]＝[M ∩(∁U M )]∪(M ∩P )＝∅∪(M ∩P )＝M ∩P .故选D答案 D【训练3】 若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )A．27种B．26种C．9种D．8种解析本题定义了一种新概念：集合的一种分拆．实际上还是集合的并集的应用，我们只需把每一种分拆的可能都考虑到，找出规律即可求得集合A的分拆种数．当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，也可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．故选A．答案 A方向1 分类讨论思想在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想．分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合元素互异性、集合运算中出现A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等符号语言时对∅的讨论等．【例4－1】已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，若A∩(∁U B)＝∅，求实数m的取值范围．解由A∩(∁U B)＝∅，得A⊆B，而B＝{1,2}，①当Δ＝m2－4<0时，A＝∅⊆B，此时－2<m<2；②当Δ＝m2－4＝0时，m＝±2，当m＝2时，A＝{1}⊆B，当m＝－2时，A＝{－1}B；③当Δ＝m2－4>0时，A有两个元素，若A⊆B，则A＝{1,2}，此时不存在相应的m．综上所述，m的取值范围为{m|－2<m≤2}．方向2 数形结合思想集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．【例4－2】已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a<x<a＋1，a<1}，B⊆A，求实数a的取值范围．解∵a<1，∴2a<a＋1，B≠∅．画出数轴分析，如图所示．由图知，要使B ⊆A ，需2a ≥1或a ＋1≤－1， 即a ≥12或a ≤－2，又∵a <1，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或12≤a <1}．【例4－3】 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析 根据题意画出Venn 图，如图，设只喜欢篮球的人数为x ，则既喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为15－x ，只喜欢乒乓球人数为10－(15－x )．根据题意知喜欢篮球与乒乓球人数为30－8，则x ＋(15－x )＋[10－(15－x )]＝30－8，解得x ＝12，故只喜欢篮球的人数为12．答案 12。

§1.1.3 集合的基本运算一. 教学目标：1. 知识与技能(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算.3.情感.态度与价值观(1)进一步树立数形结合的思想.(2)进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.二.教学重点.难点重点：交集与并集，全集与补集的概念.难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．三.学法与教学用具1.学法：学生借助Venn 图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.2.教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题问题1：我们知道，实数有加法运算。

类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A.B 之间的关系吗?(1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C ===(2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数引导学生通过观察，类比.思考和交流，得出结论。

教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容。

(二)研探新知l.并集—般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集. 记作：A ∪B.读作：A 并B.其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈或用Venn 图表示如下：请同学们用并集运算符号表示问题1中A ，B ，C 三者之间的关系.练习.检查和反馈(1)设A={4，5，6，8)，B={3，5，7，8)，求A ∪B.(2)设集合A {|12},{|13},.A x x B x x A B =-<<=<<集合求让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调：（1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.(2)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.2.交集（1）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合A.B 与集合C 之间有什么关系？①{2,4,6,8,10},{3,5,8,12},{8};A B C ===②{|20049}.A x x =是国兴中学年月入学的高一年级女同学B={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级同学}，C={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}.教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义；一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集. 记作：A ∩B.读作：A 交B其含义用符号表示为：{|,}.A B x x A x B =∈∈且接着教师要求学生用Venn 图表示交集运算.（2）练习.检查和反馈①设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线1l 上点的集合为2L ，试用集合的运算表示1l 的位置关系.②学校里开运动会，设A={x |x 是参加一百米跑的同学}，B={x |x 是参加二百米跑的同学}，C={x |x 是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算A ∩B 与A ∩C 的含义.学生独立练习，教师检查，作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正.（三）学生自主学习，阅读理解1．教师引导学生阅读教材第11～12页中有关补集的内容，并思考回答下例问题：（1）什么叫全集？（2）补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用Venn 图又表示？（3）已知集合{|38},R A x x A =≤<求ð.（4）设S={x |x 是至少有一组对边平行的四边形}，A={x |x 是平行四边形}，B={x |x 是菱形}，C={x |x 是矩形}，求,,A S B C B A 痧.在学生阅读.思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考完后，请学生回答上述问题，并及时给予评价.（四）归纳整理，整体认识1．通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？2．并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别？（五）作业1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集.交集和补集的现实含义.3．书面作业：教材第14页习题1.1A 组第7题和B 组第4题.。

1.3 集合的基本运算第1课时交集与并集[核心必知] 1．交集与并集的定义2.交集、并集运算的性质(1)交集运算性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A，(A∩B)∩C ＝A∩(B∩C)．(2)并集运算性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆(A ∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝B，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)．[问题思考]1．数学活动课上，小强说：“若x∉(A∩B), 则x∉A且x∉B.”小刚说：“若x∉(A∪B)，则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗？为什么？提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉(A∩B)可分三种情况：x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B 的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x∉(A∪B)，则必有x∉A且x∉B，即小刚同学说的正确．2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．讲一讲1．(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N ＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( ) A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.[尝试解答] (1)选 B 由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1，0,1,2,3}，∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．若本例(2)中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B.解：因为A＝{x|－4≤x＜2}，∴当a＜－4时，A∩B＝∅，当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}．解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．练一练1．(重庆高考)已知集合A＝{1,2,3}，B ＝{1,3}，则A∩B＝( )A．{2} B．{1,2}C．{1,3} D．{1,2,3}解析：选 C A∩B＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．2．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x ＞2}，试求A∩B和A∪B.解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．讲一讲2．已知A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，求p，q，r的值．[尝试解答] ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1.∴A＝{1，－2}．∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}．∴4－2q＋r＝0且25＋5q＋r＝0.解得q＝－3，r＝－10.故p＝－1，q＝－3，r＝－10.应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．练一练3．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.解：∵2∈A，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3.当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a ＋1＝3.由集合中元素的互异性知a≠1.当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，即集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}．讲一讲3．设A＝{x|x2－2x＝0}；B＝{x|x2－2ax ＋a2－a＝0}．(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的值．[尝试解答] 由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．(1)∵A∩B＝B，∴B⊆A，B＝∅，{0}，{2}，{0,2}．当B＝∅时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；当B＝{0}时，⎩⎪⎨⎪⎧a2－a＝0，4a＝0，∴a＝0；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＋a 2－a ＝0，4a ＝0，无解；当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2－a ＝0，得a ＝1.综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}．(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，又∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根，∴A ＝B ，由(1)知a ＝1.解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解． 练一练4．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |m＜x ＜m ＋9}．(1)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋9≥3，∴－6≤m ≤－2为所求范围． (2)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9＞－2，m ＜3，∴－11＜m ＜3为所求范围．在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？[巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x ，利用Venn 图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x 的方程求解即可．[妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A ，参加田赛的运动员组成集合B ，参加球类比赛的运动员组成集合C .根据题意画出Venn 图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x .由题意，得9＋3＋3＋(8－3－x )＋x ＋(14－3－x )＝28，解得x ＝3.所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．1．(福建高考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：选D 因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 解析：选A 将集合A 与B 在数轴上画出(如图)．由图可知A ∪B ＝(－1,3)，故选A. 3．(浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )A ．[－4，＋∞)B ．(－2, ＋∞)C ．[－4,1]D ．(－2,1] 解析：选 D 由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2<x ≤1}＝(－2,1]，故选D.4．设A ＝{0,1,2,4,5,7}，B ＝{1,3,6,8,9}，C ＝{3,7,8}，则A ∩B ＝________，(A ∩B )∪C ＝________.解析：∵A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{1}∪{3,7,8}＝{1,3,7,8}．答案：{1} {1,3,7,8}5．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x >a }且满足A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解析：利用数轴，∵A ∩B ＝∅，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)6．已知关于x 的方程3x 2＋px －7＝0的解集为A ，方程3x 2－7x ＋q ＝0的解集为B ，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，∴－13∈A 且－13∈B .∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋p ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－7＝0且3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋q ＝0.∴p ＝－20，q ＝－83.由3x 2－20x －7＝0得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，7， 由3x 2－7x －83＝0得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，7.一、选择题1．(四川高考)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则A ∪B ＝ ( )A ．{b }B ．{b ，c ，d }C ．{a ，c ，d }D ．{a ，b ，c ，d } 解析：选D 依题意得知，A ∪B ＝{a ，b ，c ，d }．2．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由已知A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4.3．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( )A ．(A ∪C )∩(B ∪C ) B ．(A ∪B )∩(A ∪C ) C ．(A ∪B )∩(B ∪C )D ．(A ∪B )∩C解析：选 A 由并集、交集的定义知(A ∪C )∩(B ∪C )正确．4．设I ＝{ 1,2,3,4}，A 与B 是I 的子集，若A ∩B ＝{1,3}，则称(A ，B )为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A ，B )与(B ，A )是两个不同的“理想配集”)( )A ．4B ．8C ．9D ．16解析：选C 由题意，可用Venn 图表示所有理想配集如下：所以，符合条件的“理想配集”共有9个．二、填空题5．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2，4,6}．答案：{1,2,4,6}6．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析：由题意知：a 2＋4＞3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意．∴a ＝1.答案：17．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：128．已知集合T 是方程x 2＋px ＋q ＝0(p2－4q ＞0)的解组成的集合，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,4,7,10}，且T ∩A ＝∅，T ∩B ＝T ，则实数p ＝________，q ＝________.解析：∵Δ＝p 2－4q ＞0，∴方程x 2＋px ＋q ＝0必有两个不等的实数根，即集合T 中含有两个元素．∵A ∩T ＝∅，∴1,3,5,7,9∉T . 又T ∩B ＝T ，∴TB .∴T ＝{4,10}，即4和10是方程x 2＋px ＋q ＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋10＝－p ，4×10＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－14，q ＝40.答案：－14 40 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，试求实数m 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又∵A ＝{x |－2≤x ≤5}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，∴m ＜2. 当B ≠∅时，如图所示，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是m ＜2或2≤m ≤3，即m ≤3.10．已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋m 2－19＝0}，B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}，是否存在实数m ，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，则说明理由．解：假设存在这样的实数m ， ∵B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}＝{－4,2}，又A ∩C ＝∅，∴2∉A ，－4∉A .又A ∩B ≠∅，∴3∈A ，把x ＝3代入x 2－mx ＋m 2－19＝0中，解得m ＝5或m ＝－2.当m ＝5时，A ＝{2,3}，与A ∩C ＝∅矛盾，当m ＝－2时，A ＝{－5,3}，符合题意，∴m ＝－2.故存在m ＝－2，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立．第2课时 全集与补集[核心必知]1．全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．(2)符号表示：全集通常记作U . 2．补集(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集(或余集)．(2)符号表示：U 中子集A 的补集记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．(3)图示：用Venn 图表示∁U A ，如图所示．(4)运算性质：①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅. ②∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )， ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[问题思考]1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．2．∁U A 在U 中的补集∁U (∁U A )与集合A 有什么关系？提示：相等．3．∁A C 与∁B C 相等吗？为什么？ 提示：不一定．依据补集的含义，符号∁A C 和∁B C 都表示集合C 的补集，但是∁A C 表示集合C 在全集A 中的补集，而∁B C 表示集合C 在全集B 中的补集，由于集合A 和B 不一定相等，所以∁A C 与∁B C 不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．如集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{1,3,4}，则∁A C ＝{2,5,6,7,8,9}，∁B C ＝{0,2}，很明显∁A C ≠∁BC .讲一讲1．(1)(广东高考)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,5}，则∁U M ＝( )A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,4,6}D ．{2,4,6}(2)U ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }，A ＝{x |x 2－8x＋15＝0}，B＝{2,3,4}，求∁U A，∁U B.[尝试解答](1)选C由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，从而∁U M＝{3,4,6}．(2)法一：U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,5}，∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．法二：Venn图表示．∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．在求集合的补集运算时，①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．练一练1．(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A ＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A；(2)已知全集U＝{不大于10的非负偶数}，A＝{0,2,4,6}，B＝{x|x∈A且x<4}，求∁U A，A∩(∁U B)．解：(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)：可知∁U A＝{x|1<x≤4}，∁U B＝{x|3<x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：由题意知U＝{0,2,4,6,8,10}，A＝{0,2,4,6}，B＝{0,2}，∴∁U A＝{8,10}，∁U B＝{4,6,8,10}．∴A∩(∁U B)＝{4,6}．法二：可用Venn图：∴∁U A＝{8,10}，A∩(∁U B)＝{4,6}．讲一讲2．(1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P＝{2，a2－a－2}，且∁U P＝{－1}，求实数a；(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∁R B，求a的取值范围．[尝试解答] (1)∵∁U P＝{－1}，∴－1∈U且－1∉P. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a2＝－1，a2－a－2＝0⇒a＝2.经检验知：a＝2适合题意．(2)∁R B＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁R B，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式(组)求解，必要时可借助数轴或Venn 图．练一练2．设集合A ＝{|2a －1|,2}，B ＝{2,3，a 2＋2a －3}且∁B A ＝{5}，则实数a 的值是________．解析：由补集的性质可知：∴⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2.答案：23．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁RB )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2解析：选C ∵B ＝{x |1＜x ＜2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，由A ∪(∁R B )＝R ，如图所示可知a ≥2.讲一讲3．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[尝试解答]在数轴上分别表示出全集U 及集合A ，B (如图所示)，先求出∁U A 及∁U B ，再求解．则∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x ＜－3，或2＜x ≤4}． 所以A ∩B ＝{x |－2＜x ≤2}； (∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}；A ∩(∁UB )＝{x |2＜x ＜3}．解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：(1)通法，利用定义，注意求解的顺序．(2)利用Venn图：要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意(∁U A)∩B，(∁U B)∩A等在图示法中的表示如图(1)所示：如图(2)所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：①(∁U A)∩B；②(∁U B)∩A；③A∩B；④∁U(A ∪B)．练一练4．已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M⊆U，N⊆U，且M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求集合M，N.解：用图示法表示集合U，M，N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．由图可知，M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解]法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．∵∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二：A∩B，A∪B，A∩(∁U B)求法同解法一．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}，(∁U A)∪B＝∁U(A∩∁U B)＝{1,2,4,6,7,8}．[尝试用另一种方法解题]法三：画出Venn图，如图所示，可得A∩B ＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．1．(辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA )∩(∁UB )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 解析：选B因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U(A ∪B )＝{7,9}．2．设集合A ＝{4,5,6,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选B A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}∴∁U (A ∩B )＝{3,5,6,8}．3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2}，N ＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是()A ．{3,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,5}D ．{3,4}解析：选 D 由题知，阴影部分是∁U (M∪N )＝{3,4}．4．(湖南高考)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.解析：∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}5．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }．∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .解：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如图所示，则由图可知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2或x ＝3}．一、选择题1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( )A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C ∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．图中阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B) B．(∁U A)∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选A 显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：A∩∁U B.3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝( )A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}解析：选D ∁U Q＝{1,2,6}，故P∩(∁U Q)＝{1,2}．4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D 因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.二、填空题5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁U A，则实数m的取值范围是________．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁U A＝{x|x≤2}．又m∈∁U A，∴m≤2.答案：[2，＋∞)6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：∁U A＝{钝角三角形或直角三角形}，∁U B＝{锐角三角形或直角三角形}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝U.答案：U7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．答案：{2,5}8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为________．解析：∵M⊆U，∁U M＝{5,7}，∴a－5＝3，∴a＝8.答案：8三、解答题9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁U A＝{1,4}，求m的值．解：∵U＝{1,2,3,4}，∁U A＝{1,4}，又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}∴A＝{2,3}．∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m ＝6.10．我们知道，如果集合A⊆U，那么U 的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B ＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A 是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁U A；(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，∁U A＝{x|x是高一(1)班的男生}．(2)阴影部分如下图所示．(3)若A－B＝∅，则A⊆B.1.集合的含义与表示 (1)集合中元素的特征：集合中元素具有三大特征：①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．(2)集合的表示法：集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn 图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想．2．元素与集合、集合与集合的关系 (1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号∈表示)和不属于(用符号∉表示)．如a ∈A ，a ∉B 等．(2)集合与集合的关系是：3．空集的性质空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解．4．集合的基本运算(1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．(2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn 图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn 图表示．[典例1] 已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合．[解] ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M .(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由(1)知不合题意．综上所述，t的取值集合为{0}．[借题发挥] 对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．[对点训练]1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( )A．－1 B．0C．1 D．1或－1解析：选A 由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0，或a2＝1.∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝－1.[典例2] 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；(3)是否存在a，使(∁R A)∪B＝R，且A∩B ＝∅？[解] (1)∵A∩B＝A.∴A⊆B.结合数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2，即－1≤a≤0.(2)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁R A＝{x|x<0或x>2}．∵(∁R A)∪B＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2.∴－1≤a≤0.(3)∵(∁R A)∪B＝R，∴－1≤a≤0，故a＋3∈[2,3]，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，故a不存在．[借题发挥] 解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解．[对点训练]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}，求a，b的值．解：将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．由A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，知b ＝2，且－1≤a ≤0，由A ∪B ＝{x |x ＞－2}，知－2＜a ≤－1. 综上可知a ＝－1，b ＝2.[典例3] 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，A ∩B ＝B ，且B ≠A ，求实数a 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝B ，且B ≠A ， ∴BA .又∵A ＝{1,2}， ∴B ＝∅，{1}，{2}． 当B ＝∅时，Δ＝4－4(a －1)＝4(2－a )<0，a >2. 当B ＝{1}时， 得a －1＝1，a ＝2. 当B ＝{2}时， 无解．综上所述，得a 的取值范围为{a |a ≥2}． [借题发挥] 此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用．[对点训练]3．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |2a ＜x ≤a ＋1，a ＜1}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵a ＜1，∴2a ＜a ＋1，∴B ≠∅. 在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由B ⊆A 知，a ＋1＜－1或2a ≥1，即a＜－2或a ≥12.又∵a ＜1，∴a ＜－2或12≤a ＜1.故所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa <－2或12≤a <1.[典例4] 对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|a ∈A ，b ∈B }记作A ×B .例如，A ＝{1,2}，B ＝{3,4}，则有A ×B ＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B ×A ＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A ×A ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B ×B ＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题．(1)已知C ＝{a }，D ＝{1,2,3}，求C ×D ； (2)已知A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A ，B ；(3)A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A ×B 中元素的个数．[解] (1)C ×D ＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)∵A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}， ∴A ＝{1,2}，B ＝{2}．(3)集合A 中的任意一个元素与B 中的一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为mn 个．所以，若A 中有3个元素，B 中有4个元素，则A ×B 中有3×4＝12个元素．[借题发挥] 以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决．[对点训练]4．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )A．27 B．26C．9 D．8解析：选A 当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．（时间：90分钟满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a满足( )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≤－1或a≥1解析：选C 由P∪M＝P，得M⊆P，又M＝{a}，所以－1≤a≤1.2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于( )A．{2,4} B．{1,2,4}C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}解析：选C ∵M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，∴M∩N＝{2,4,8}．3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A．3个 B．2个C．1个 D．无穷多个解析：选B M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}．而集合N是连续正奇数构成的集合，∴M∩N＝{1,3}．4．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则( )A．A∩B＝A B．A∩B AC．A∪B＝B D．A∩B A解析：选D ∵B＝{x|x＝2a，a∈A}，∴B＝{0,2,4,6}．又A＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{0,2}A.5．(安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A 集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x∈P，但x∉Q}，则P－(P－Q)等于( )A．P B．QC．P∩Q D．P∪Q解析：选C 法一：结合Venn 进行分析推理即可得出答案．法二：采用赋值法进行验证可得．令P ＝{1,2,3,4,5}，Q ＝{2,3,4,5}，则P －Q ＝{1}＝M ，P －(P －Q )＝P －M ＝{x |x ∈P ，但x ∉M }＝{2,3,4,5}，结合选项应选C.7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ∵M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}， ∴集合M 必含有a 1，a 2，且不含有a 3.又∵M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，∴M ＝{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 4}，共2个． 8．设I 是全集，集合P ，Q 满足P Q ，则下列结论中错误的是( )A ．P ∪(∁I Q )≠∅B ．(∁I P )∪P ＝IC ．P ∩(∁I Q )≠∅D ．(∁I P )∩(∁I Q )≠∁I P解析：选C 依题意画出Venn 图，如下图所示，显然A ，B ，D 正确．9．下列四个命题： ①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q 6x∈N 是有限集．其中，正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选D ①∵{0}是含有一个元素0的集合，而不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，∵0∈N ，∴②不正确．③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1，∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时，∵6x∈N ， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q |6x ∈N 是无限集，∴④不正确． 10．若非空集合A ，B ，U 满足A ∪B ＝U ，A ∩B ＝∅，则称(A ，B )为U 的一个分割，则集合U ＝{1,2,3}的不同分割有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：选B 依题意可得，当集合A 为{1}时，B 为{2,3}；当A 为{2}时，B 为{1,3}；当A 为{3}时，B 为{1,2}；同时对调A 、B 的位置，也可得到三对集合，所以符合条件的有6个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________．解析：B ＝{c }或{a ，c }，或{b ，c }，或{a ，b ，c }，共4个．答案：412．设U ＝R ，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{x |－1≤x <5}，则(∁U M )∪(M ∩N )等于________． 解析：∁U M ＝{x |x <2}，M ∩N ＝{x |2≤x <5}，(∁U M )∪(M ∩N )＝{x |x <5}．答案：{x |x <5}13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．解析：结合Venn 图可知两种都没买的有2人．答案：214．已知集合A 、B ，定义集合A *B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{－2 011,0,2 012}，B ＝{－2 012,0，2 012}，则集合A *B ＝________.解析：由题意知，集合A *B 中的元素由集合A ，B 的并集A ∪B 中的元素去掉交集A ∩B 中的元素组成．由于A ∪B ＝{－2 012，－2 011,0,2 012}，A ∩B ＝{0，2 012}，于是A *B ＝{－2 011，－2 012}．答案：{－2 011，－2 012}三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R .(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}．又∁U A ＝{x |x <2或x >8}．∴(∁U A )∩B ＝{x |x <2或x >8}∩{x |1<x <6}＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，结合数轴可知，a <8.16．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0有实数根}．求A ∪B ，A ∩B ，A ∩(∁U B )．解：对于方程ax 2－x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝1，满足题意．当a ≠0时，要使该方程有实数根．则Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14. 综上知：a ≤14.∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤14. ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤14或a ≥2，A ∩B ＝{a |a ≤－2}． 又∵∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞14，∴A ∩∁U B ＝{a |a ≥2}． 17.(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x ≤7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |5－a <x <a }．(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆(A ∪B )，求a 的取值范围．解：(1)借助数轴可知：A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}．∁R A ＝{x |x <3或x >7}．∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7<x <10}．(2)当5－a ≥a 即a ≤52时，C ＝∅，满足C ⊆A ∪B .当5－a <a 即a >52时， 由C ⊆A ∪B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a ≥2，a ≤10，解得a ≤3.∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤52∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 52＜a ≤3＝{a |a ≤3}． 18．(本小题满分14分)已知A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若B ∪A ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又∵A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2,4}，|a |>4.∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＜0，即a 2＞16，|a |>4，∴a ＜－4或a ＞4；②当B 是单元素集时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－2＋4，a 2－12＝－2×4.∴a ＝－2.综上可得，B ∪A ＝A 时，a 的取值范围为a ＜－4或a ＝－2或a ≥4.∴B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a ＜4，且a ≠－2。

1．3 集合的基本运算第1课时【学习目标】1．理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2．会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．【课前导学】一、复习回顾1．回忆概念：子集，真子集，补集．2．已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S，{x|x∈S且x A}= ．3．用适当符号填空：0 {0}；0 Φ；Φ{x|x＋1＝0, x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}．4．如果全集U={x|0≤x<6,x∈Z},A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝那么，C U A=____, C U B=____．二、问题情境5、用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：①A={-1,1,2,3},B={-2,-1,1},C={-1,1}；②A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0<x≤3}；③A={x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B={x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C={x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者}．上述每组集合中，A,B,C之间都具有怎样的关系？对于①中若D={-2,-1,1,2,3}，A,B,D之间都具有怎样的关系？讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示上述两个集合的关系？【课堂活动】一、建构数学：1．交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．记作：A∩B（读作“A交B”）（intersection set）；符号语言为：A∩B={x∣x∈A,且x∈B }；图形语言为：2．并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A∪B（读作＂A并B＂）(union set)；符号语言为：A∪B={x∣x∈A或x∈B }．图形语言为：3．区间的表示法：设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：[a， b] = _____________________；（a， b）= _____________________；[a ，b）= _____________________；（a ，b] = ______________________；（a，+∞）=______________________；（-∞，b）=______________________；（-∞，+∞）=____________________．其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言；（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开；（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.思考:A ∩B=A ，可能成立吗？A ∪B=A ，可能成立吗？A ∪U C A 是什么集合？结论： A ∩B = A ⇔ A ⊆B ；A ∪B = B ⇔ A ⊆B ．二、应用数学：例1 设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B ．【思路分析】涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案． (如图1—6)解：在数轴上作出A 、B 对应部分如图1—6，A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}．【解后反思】数形结合思想的应用----数轴是常用工具．例2 设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求A ∩B 。

第一章会集复习一（导教学设计）[ 学习目标 ]1、知识与技术（1）理解会集的含义及其表示法，子集、真子集的定义；（2）认识属于、包含、相等关系的意义；（3）认识两个特其他会集。

2、过程与方法(1)经过例题回顾掌握会集的有关看法, 表示方法 .(2)归纳整理本章所学知识使知识形成网络.3、感情 . 态度与价值观学习会集后要有所收获，增强学好数学的自信心.[ 学习重点 ]:复习会集的表示方法和会集关系.[ 学习难点 ] ：子集的包含关系和子集的个数.[ 学习教具 ] ：多媒体[ 学习方法 ] ：自主整理、回顾复习.[ 学习过程 ]一、会集知识导图请同学们比较知识导图, 回顾本章的基础知识二、复习会集的有关基础知识1、会集的看法：（ 1）会集中元素特色：，（ 2）会集的分类：①按元素个数分：②按元素特色分：，举例说明 :.，，；（ 3）会集的表示法：；2、两类关系：（ 1）元素与会集的关系，用（ 2）会集与会集的关系，用当AB 时，称或，A是 B的表示；，表示，；当A B时，称A是 B的.3、两个特其他会集：（ 1）空集：（ 2）全集：..记作：记作：二、注意的问题1、解答会集问题，第一要正确理解会集的有关看法，特别是会集中元素的三个特色；对于用描述法给出的会集，要先看会集中的代表元素是谁，以及它所拥有的性质；要重视发挥图示法的作用，经过数形结合直观地解决问题2 、注意特别会集空集，空集是任何会集的子集，在解型如 A B 类题时，要第一考虑会集A为空集时，并且有A=B或 A≠B两种可能，注意应用分类谈论的思想。

三、例题精讲例 1.( 广东省惠州市2020) 设会集A {1,2} ,则满足 A B { 1,2,3} 的会集B的个数是（）A． 1 B． 3 C． 4 D． 8例 2.( 江苏省启东中学2020) 定义会集 A*B＝｛x| x∈A, 且x B｝, 若 A＝｛ 1， 3，5，7｝，B＝｛ 2， 3， 5｝，则 A*B 的子集个数为（）A． 1 B ．2 C． 3 D． 4例 3. （ 2020 年金华一中）定义A B { z | z xy x , x A, y B} ，设yA { 0,2},B { 1,2} ，则A B 中所有元素和为（）A ． 1B ． 3C ． 9 D． 18例 4. （ 2020 年山东卷，数学文科理科，1）满足M ｛ a , a , a , a ｝,且 M∩｛ a ,a2 ,1 2 3 4 1a ｝={ a ， a }的会集 M的个数是（）3 1 2A． 1 B． 2 C． 3 D ． 4例5.若会集A x | x a ， B x | 2x 5 0 ，且满足A B ，求实数a的取值范围 .例 6. 已知 Ax | x 2px q0,会集Bx | x 2 3x 4 0 , 且满足 AB ，求实数 p,q 满足的条件 .四、课堂练习 :1．会集 M2,4,6 的真子集的个数为（）A ． 6B ． 7C ． 8 D． 92．设会集 M{1, 2} ，则满足条件 M UN {1, 2,3,4}的会集 N 的个数是 （）A ． 1B ． 3C． 4D． 83．设 a, b R ， {1, a, } {0, b, } ，则 b a（）b abB ． 1aD ． 2A ． 1C ． 24．（ 2020 江西 2）定义会集运算 : A B z z xy, xA, yB .设A 1,2, B0,2 ,则会集 A B 的所有元素之和为（）A ． 0B ． 2C ． 3D ． 65．已知会集x | a x 6 , B x | x3 ,且满足 A B ，求实数 a 的取值范围 .6．已知 Ax | ax 1 0 , 会集 Bx | x 22x 3 0 , 且满足 AB ，求实数 a 满足的条件 .五、课后作业 :1．定义会集运算： A ⊙ B =｛ z ︳ z = xy ( x+y ) ，x ∈ A ， y ∈ B ｝，设会集 A=｛ 0， 1｝， B=｛ 2， 3｝，则会集A ． 0A ⊙B 的所有元素之和为B ． 6C ． 12D ． 18（）2. 。