2019-2020学年八年级数学上册7.1为什么要证明导学案新版北师大版.doc

7．1 为什么要证明1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点) 一、情境导入人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！ 二、合作探究 探究点一：数学的结论必须经过严格的论证当n ＝1，2，3，4，5时，代数式n 2－3n ＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n 2－3n ＋7的值都是质数吗？ 解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n 2－3n ＋7中进行验证． 解：当n ＝1，2，3，4，5时，n 2－3n ＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n ＝6时，n 2－3n ＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以对于所有自然数，式子n 2－3n ＋7的值不都是质数． 方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证． 探究点二：检验数学结论的常用方法 【类型一】实验验证先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中两条线段a 与b 哪一条更长？ (3)图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a 更长一些；(3)AB 与DC 不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a 与b 一样长；(3)AB 平行于CD. 方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．【类型二】举出反例当n 为正整数时，代数式(n 2－5n＋5)2的值都等于1吗？解析：对于代数式(n 2－5n ＋5)2，n 的取值为正整数，要判断(n 2－5n ＋5)2的值是否为1，可以先取值分别求出代数式的值．解：当n ＝1时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝2时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝3时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝4时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝5时，(n2－5n ＋5)2＝52＝25≠1.所以当n 为正整数时，(n 2－5n ＋5)2不一定等于1.方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．【类型三】推理证明 如图，从点O 出发作出四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，已知OA⊥OC，OB ⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？解析：图中∠AOB 、∠COD 均与∠BOC 互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB 与∠COD 的度数．通过计算发现∠AOB ＝∠COD ，于是可以归纳∠AOB ＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB ⊥OD ，∴∠AOC ＝∠BOD＝90°.∵∠BOC ＝30°，∴∠AOB ＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝90°－54°＝36°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD. (4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC ＋∠COD ＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB ＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．三、板书设计 为什么,要证明)⎩⎪⎨⎪⎧推理的意义：数学结论必须经过严格的论证检验数学结论的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧实验验证举出反例推理证明经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识，了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．。

课题：第七章平行线的证明§7-1为什么要证明新授课总第1课时-1 学习目标：1、了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。

2、初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有理有据的推理。

模块一：自主学习模块二：交流研讨学习内容摘记一、温故知新1、如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下。

错误！嵌入对象无效。

2、如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？先观察，再用三角尺验证一下。

错误！嵌入对象无效。

二、自主探究：请你阅读课本P162至P164，然后完成下列各题。

1、当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？n 0 1 2 3 4 5 6 …n2+3n+1是否为质数2、等腰三角形三边分别为4，4，5；5，5，6；6，6，7时，其周长分别为4+4+5=13，5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为3和8时，其周长一定是14，这一结论对吗？3、实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段。

通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？怎样判断一个结论是否正确？通过实验、观察、归纳的结论可能正确，也可能不正确。

因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。

研讨内容摘记模块三：巩固内化模块四：当堂训练（预时15分钟） 班级：八（ ） 姓名：第 七 章： 平 行 线 的 证 明§7-1 为什么要证明 新授课 总第1课时-2内容一：由组长组织，小组成员之间互相校对“自主学习”部分的完成情况，交换意见和方法，帮助未能完成的同学，共同进步。

内容二：请组长组织，全组同学合作，完成以下内容，并在白板上展示出来。

【合作探究一】如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？【合作探究二】如图，四边形ABCD 四边的中点为E 、F 、G 、H ，度量四边形EF GH 的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD 的形状，还能得到类似的结论吗？要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性。

八年级数学上册71为什么要证明教案新版北师大版1 为什么要证明【知识与技能】1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.2.发展学生的推理意识.【过程与方法】通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题.【情感态度】让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生科学严谨的学习态度.【教学重点】体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.【教学难点】感受证明的必要性.一、创设情境，导入新课教材第162页“做一做”上方的问题.【教学说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论是否正确.二、思考探究，获取新知验证结论的正确性.做一做：教材第162页“做一做”.【教学说明】（1）中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；（2）中利用先猜想再验证的方法；培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题.【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.三、运用新知，深化理解1.最近有很长一段时间没有下雨了.并且今天是艳阳高照，那么晚上不会下雨，这个判断是的.（填“正确”或“不正确”）2.下列说法不正确的是（）A.若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角.B.若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2.C.若直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2.3.如图，甲沿着ACB由A到B，乙沿着ADEFB由A到B，同时出发，速度相等，则（）A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不确定4.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，连结EF,EF与AD 和BC有怎样的位置关系和数量关系？你的结论对所有的梯形都成立吗？5.当a=1,b=2时，12+22>2×1×2;当a=-1,b=3时，（-1）2+32>2×（-1）×3；当a=-,b=-3时，（-）2+（-3）2>2×(-)×(-3).于是猜想：对于任意实数总有a2+b2>2ab成立.这个结论正确吗？说明理由.【教学说明】让学生独立完成，检查学生对于所学知识的掌握程度，根据反馈的情况适当查漏补缺，有困难的学生采用互相交流的形式得出结论.【答案】1.不正确； 2.A; 3.C4.EF∥AD∥BC.EF= (AD+BC).这个结论对所有的梯形都成立.证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G.∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G,又∵F是CD的中点，∴DF=CF,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,AF=GF.又∵E是AB的。

逸夫中学电子备课本年级八年级学科数学姓名2019---2020学年一学期八年级数学科教学设计如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的结论吗？第四环节归纳与总结活动内容：①通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理．②举例说明“推理意识”与推理方法．第五环节：反馈练习活动内容：1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.答案：a与b的长度相等.第1小题图第2小题图答案：连接AC．∵E、F、G、H分别是四边形ABCD四边中点，∴EF∥AC，EF=21AC；GH∥AC，GH=21AC；∴EF平行且等于GH，∴四边形EFHG为平行四边形．让学生用自己的语言进行叙述，培养学生的表达能力.让学生大胆地进行预测，但要让学生说清理由，让学生了解几何证明的必要性.使学生理解仅有对图形的直观感AB ECDFGH2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b与线段d在同一直线上.3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数.第六环节课时小结活动内容：今天这节课你学到了什么知识？参考答案：①要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性．②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．第七环节巩固练习课本第217页习题6.1第2，3题教学反思本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体通过学生的总结，使学生对证明的必要性有一个清楚的认识，数学杜绝随意性，数学是严密的科学.受是不够的，从而帮助学生建立推理意识通过前三个例题的感受以及反馈练习，学生都清楚地知道推理、论证的必。

第七章平行线的证明1 为什么要证明教学目标【知识与技能】1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,从而认识到证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例推理证明等,理解数学的严谨性.【过程与方法】通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识.【情感、态度与价值观】发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实,培养学生进行深入思考的能力和质疑精神.教学重难点【重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.【难点】体会数学推理的重要性和必要性.教学过程一、创设情境,引入新课师:在以前的学习过程中,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?下面我们一起来感受几个例子!1.探究一:观察得到的结论正确吗?教师多媒体出示.(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法体验你观察到的结论.(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.学生凭着自己的观察和直观感觉说想法后,组织学生动手量一量、算一算,验证结论是否正确.(图1中的两条线段相等;图2是正方形;图3中假设地球半径是R,则赤道长2πR,铁丝长(2πR+1)米,那么这个铁丝围成的半径是(R+)米,所以铁丝与赤道之间的间隙为米≈16厘米,能放进一个拳头).然后引导学生回答下列问题:(1)由观察得到的结论正确吗?(2)你还能举出日常生活中的例子吗?2.探究二:归纳得到的结论正确吗?(1)听故事“公鸡归纳法”:某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.天天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,该主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.第1天有食吃,第2天有食吃……第99天有食吃,一定能推出第100天有食吃吗?从这个故事中你明白了什么道理?同桌之间相互交流.(2)算一算验证“归纳法”:①出示代数式n2-n+11,让学生分别计算当n=1,2,3,4,5时,代数式的值是多少,提问它们的值都是质数吗?②追问学生:我们是不是可以由此得出结论,当n为任意自然数时,n2-n+11的值一定是质数呢?③让学生再多取几个数代入代数式中,验证结论是否正确.(不正确,比如当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数.)④思考:由归纳得到的结论一定正确吗?(3)再次验证“归纳法”.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.(DE与BC平行,且等于BC长度的一半;引导学生尝试猜想:连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边,且是第三条边长度的一半;组织学生进行归纳并验证结论,发现这样的结论对所有的三角形都成立.)小结:归纳得到的结论有的正确有的不正确.3.交流与发现.通过上述几类问题的分析,你有什么发现吗?(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢?(2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.二、例题讲解【例1】观察图1中的两条线段a与b,你认为哪条线段长些?图1分析:观察往往会产生错觉,得出的结论不一定正确,想要判断两条线段是否一样长,最科学、合理的方式是量一量,组织学生动手操作量一量.【答案】两条线段一样长【例2】图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用三角尺验证一下.【答案】线段b与线段d在同一直线上三、课堂小结1.通过本节课的学习,我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确,从而明白证明的意义和必要性.2.让学生反思自己在本节课学习中的优缺点、不足之处以及改进的方法,并能积极地参与与总结性的发言.。

初中-数学-打印版1.你以前是如何对一些事实进行说理的？2.对于说理的依据，你觉得有哪些？完成教材162页的引例，完成下面问题：（1）图7-1中两条线段a,b 的长度相等吗？图7-2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。

（2）完成引例第（2）题（3）通过前面的结论，请大家思考：仅凭实验、观察和归纳得到的结论一定正确吗？（4）如果x 2>y 2，则x>y 吗？为什么？科目 北师大版八年级数学上册 授课时间 课题 授课教师 学习 目标 经历对事物及数学结论的猜想、判断，感受猜想和实际之间的差距，体验推理、证明的必要性。

旧知回顾 自主预习初中探究点：认识事物的方法问题1：下图中的两条线段AB 与CD 哪一条长一些？先猜一猜，再量一量。

问题2：你感觉图2A 、B 中间的圆一样大吗？量一量，结果与你的感觉是否相同？思考：通过问题1、2，你发现了什么？探究点：检验数学结论常用的方法问题1：代数式n 2-n+11的值是质数吗？取n=0，1,2,3,4,5试一试，你能否由此得出结论：对于所有自然数n ，n 2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流。

思考：什么是质数？如何验证自己的结论，采用了怎样的方法，请同学们将自己或小组交流的过程写下来。

问题2：如右图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中新知探究A BCDA B点，连接DE。

DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想，你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？思考1：同一平面内的两条直线有哪几种位置关系？思考2：线段的数量关系怎样表示？思考3：如何判断两条直线是否平行？学以致用当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？达标检测1.通过观察你能判断的是（）A．图形中线段是否相等 B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交 D．图形中线段是否垂直2.太平中学八年级（4）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n 的取值（n=1，2,3，…，39）代入式子n2+n+41,结果发现式子n2+n+41的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子n2+n+41的值都是质数。

第七章平行线的证明7．1 为什么要证明1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．初步了解数学中推理的重要性，了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．(重点)阅读课本P162～163的内容，完成预习内容．(一)知识探究实验、观察、归纳得到的结论不一定正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．(二)自学反馈观察右图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下．解：一样大．活动1 小组讨论例1 有人认为，对于所有自然数n，代数式n2－n＋11的值都是质数．你怎么看待这个结论？同学们试着做一做：(1)当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2－n＋11的值是质数还是合数？(2)是否说明：对于所有自然数n，代数式n2－n＋11的值都是质数呢？与同伴讨论交流．解：(1)当n＝0时，n2－n＋11＝11；当n＝1时，n2－n＋11＝11；当n＝2时，n2－n＋11＝13；当n＝3时，n2－n＋11＝17；当n＝4时，n2－n＋11＝23；当n＝5时，n2－n＋11＝31.由此可知：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2－n ＋11的值都是质数．(2)由(1)我们可以得到：当n ＝0，1，2，3，4，5时，代数式n 2－n ＋11的值都是质数．但当我们继续往后计算，计算到n ＝11时，n 2－n ＋11＝121，此时为合数．所以“对于所有自然数n ，代数式n 2－n ＋11的值都是质数”这种说法是错误的．例2 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE.DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗？解：通过测量猜想DE ∥BC ，DE ＝12BC.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明．活动2 跟踪训练1．我们知道：2×2＝4，2＋2＝4.试问：对于任意数a 与b ，是否一定有结论a ×b ＝a ＋b?解：3×2＝6，而3＋2＝5，因为6≠5，所以不是任意数a 与b ，都有结论a ×b ＝a ＋b.2．已知n 是正整数，你能肯定2n ＋4－2n 一定是30的倍数吗？为什么？ 解：2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝15×2n ，由n 为正整数，得到2n 为2的倍数，则15×2n 为30的倍数，即2n ＋4－2n一定是30的倍数． 3．如图，AB ∥CD ，且AB ＝CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，试问DF 与BE 的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．解：DF ∥BE ，DF ＝BE.理由：由DF ⊥AC ，BE ⊥AC ，可知∠DFC ＝∠BEA ＝90°.故DF ∥BE.因为AB ∥CD ，所以∠A ＝∠C.又因为AB＝CD，所以△DCF≌△BAE.所以DF＝BE.活动3 课堂小结1．体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．初步了解数学中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．。

第七章平行线的证明
7.1 为何要证明
一、自主（感知）
前采集有关哥德巴赫猜想的有关料，上与伙伴沟通
二、合作研究（理解）
1、某学小，当 n=0， 1， 2，3 ，代数式 n2-n+11 的都是数，于是获得：于全部自
然数 n， n2-n+11 的都是数．你呢？与伙伴沟通．
提示：可列表
n01234567891011⋯n2-n+11
能否
数
2、如，若是用一根比地球的赤道 1 米的将地球赤道起来，那么与地球赤道之的
隙能有多大（把地球当作球形）？能放一个？能放一个拳？
三、松（运用）
1.如中两条段 a 与 b 的度相等？你先察，再胸怀一下.
第 1小第2小
2.如中三条段 a、 b、 c,哪一条段与段 d 在同向来上？你先察，再用三角尺一
下 .
3.当 n 正整数， n2+3n+1 的必定是数？
四、拓展延长（提升）
五、收获清点（升华）
要判断一个数学结论是正确，仅察看、猜想、实验还不够，一定经过一步一步，有根有据的推理
六、当堂检测（达标）
教材 P164页，习题 7.1 1 ，2，3
七、课外作业（稳固）
1、必做题：①整理导教案并达成下一节课导教案中的预习案。

②达成《学练优》中的本节内容。

2、思虑题：。