24.5三角形的内切圆
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(沪科版)九年级数学下册课件：24.5三角形的内切圆
内切圆的性质
01
02
03
内心性质
三角形的内心是三角形内 切圆的圆心，内心到三角 形三边的距离相等。
切线性质
内切圆的半径垂直于三角 形的三边，即内切圆的半 径是三角形的角的平分线。
面积性质
三角形的面积等于其内切 圆半径与三角形周长的乘 积的一半。
与三角形的关系
内切圆与三角形的边长关系
内切圆的半径与三角形的边长之间存在一定的关系，可以通 过公式计算。
05
练习与巩固
基础练习
基础概念理解
通过简单的题目，让学生理解三角形 的内切圆的基本概念和性质，如半径、 圆心等。
简单计算
让学生掌握如何计算三角形的内切圆 半径，以及如何利用内切圆半径解决 简单的几何问题。
提高练习
复杂计算
在基础练习的基础上，增加一些需要复 杂计算的题目，如求多个三角形的内切 圆半径等。
已知三角形一边和这边上的高作内切圆
总结词
利用三角形面积公式求出内切圆的半径，然后确定圆心和圆的位置。
详细描述
首先，根据三角形面积公式计算出已知边上的高所对应的三角形的面积。然后，根据公式 $r=sqrt{frac{2S}{l}}$，其中S为三角形面积，l为已知边上的高，计算内切圆的半径r。最后，根据圆心在 高的延长线上且与相对的顶点距离等于半径，确定圆心和圆的位置。
已知三角形一边和这边所对的角作内切圆
总结词
利用三角函数求出内切圆的半径，然后确定圆心和圆的位置。
详细描述
首先，根据三角函数计算出已知边所对的角的正弦值。然后，根据公式$r=frac{2Rsinfrac{A}{2}}{2}$，其中R为 三角形的外接圆半径，A为已知边所对的角，计算内切圆的半径r。最后，根据圆心在角的平分线上且与相对的边 距离等于半径，确定圆心和圆的位置。
沪科版数学九年级下册《第24章 圆 24.5 三角形的内切圆 24.5 三角形的内切圆》教学课件
半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数.
解：过点A作AD⊥BC交BC与点D
A
∴AD=2cm，∵AB=4cm
∴sin∠ABD= AD = 2 = 1 ∴∠ABD=30°AB 4 2
B
Байду номын сангаас
D
C
∵AB=AC，∴∠ACD=∠ABD=30°
∴∠BAC=180°-（∠ABD+∠ACD）
=180°-（30°+30°）=120°
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢 大家
郑重申明
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24.5 三角形的内切圆
沪科版 九年级下册
新课导入
如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一 块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
作圆,使它和已知三角形的各边都相切.
已知:△ABC(如图). 求作:和△ABC的各边都相切的圆.
作法:
A
1.作∠ABC,∠ACB的平分线 BM和CN,交点为I.
∴AB+BC+AC=12cm
A
∵S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB
O
=1
2
r·BC+
1 2
r·AC+ 12
r·AB
1
=2
r（BC+AC+AB）=6
B
C
∴1 r×12=6 ，∴r=1cm
2
课后小结
1.与三角形三边都相切的圆叫做三 角形的内切圆； 2.三角形的内心到三角形的三边距 离相等.
沪科版九年级数学下册教学设计：24.5三角形的内切圆
沪科版九年级数学下册教学设计：24.5 三角形的内切圆一. 教材分析本节课的主题是三角形的内切圆，这是沪科版九年级数学下册的教学内容。
内切圆是圆与三角形的位置关系中的一个重要概念，它与三角形的内心、角平分线、切线等知识密切相关。
通过学习本节课，学生可以加深对圆与三角形的位置关系的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆和三角形的位置关系有一定的了解。
但是，对于内切圆的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生从已知的知识出发，逐步理解和掌握内切圆的性质和应用。
三. 教学目标1.理解三角形的内切圆的概念，掌握其性质。
2.会求解三角形的内切圆半径。
3.能够运用内切圆的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.内切圆的概念和性质。
2.求解三角形的内切圆半径。
3.内切圆在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生探索和发现内切圆的性质；通过案例分析，让学生了解内切圆在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备教学课件和板书设计。
3.准备练习题和作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆和三角形的位置关系，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现三角形的内切圆的定义和性质，通过动画演示内切圆的形成过程，让学生直观地理解内切圆的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和动手操作，发现内切圆的性质。
例如，通过折叠三角形纸片，让学生观察内切圆与三角形的关系。
4.巩固（10分钟）通过解决实际问题，巩固内切圆的知识。
例如，求解给定三角形的内切圆半径。
5.拓展（10分钟）引导学生思考内切圆在实际问题中的应用，例如，求解三角形的面积。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调内切圆的概念和性质。
24.5-1三角形的内切圆
A
r
D
C
O
E F B
例1如图24-53，在△ABC中，B=43,∠C=61°，
点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数．
解 连接IB,IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB,IC分别是∠B、 ∠C的平分线 在△IBC中，有
1 ∠BIC=180°- （∠IBC+∠ICB） 21
=180°- 2 （∠B+∠C） =180°-（43°+61°） =128°
图2
C
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法： 1、作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. N M
⊙I就是所求的圆 B
I
D C
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形 性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
证明：连接OD,OE,OF,OA,OB,OC
则S∆ABC=S∆OBC+S∆OAC+S∆OAB
1 =2 BC r
+
1 AC r 2
+
1 AB r 2
A
1 ( BC AC AB ) r Ｆ 2
Ｅ
O
2S r abc
1 Lr 2
B
D
C
三角形的外接圆
C
． o
B
内 三角形的内切圆 外 C 对 比
：
A
． o
A
B
内心：三角形三个内 角平分线的交点。 性质：到三角形三边 的距离相等。
r
D
C
O
E F B
例1如图24-53，在△ABC中，B=43,∠C=61°，
点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数．
解 连接IB,IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB,IC分别是∠B、 ∠C的平分线 在△IBC中，有
1 ∠BIC=180°- （∠IBC+∠ICB） 21
=180°- 2 （∠B+∠C） =180°-（43°+61°） =128°
图2
C
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法： 1、作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. N M
⊙I就是所求的圆 B
I
D C
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形 性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
证明：连接OD,OE,OF,OA,OB,OC
则S∆ABC=S∆OBC+S∆OAC+S∆OAB
1 =2 BC r
+
1 AC r 2
+
1 AB r 2
A
1 ( BC AC AB ) r Ｆ 2
Ｅ
O
2S r abc
1 Lr 2
B
D
C
三角形的外接圆
C
． o
B
内 三角形的内切圆 外 C 对 比
：
A
． o
A
B
内心：三角形三个内 角平分线的交点。 性质：到三角形三边 的距离相等。
2021春沪科版九年级数学下册 第24章 24.5 三角形的内切圆
【点拨】∵∠A＝66°，∴∠ABC＋∠ACB＝114°. ∵点 I 是内心，∴∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB， ∴∠IBC＋∠ICB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝57°， ∴∠BIC＝180°－57°＝123°.
【答案】C
3．[中考·河北]如图为 4×4 的网格图，A，B，C，D，O 均在格 点上，点 O 是( B ) A．△ACD 的外心 B．△ABC 的外心 C．△ACD 的内心 D．△ABC 的内心
(3)若 DE＝4，BE＝5，求 BI 的长．
解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA， ∴△DEA∽△DAB， ∴AD∶BD＝DE∶DA， 即 AD∶9＝4∶AD，∴AD＝6， ∴DI＝6，∴BI＝BD－DI＝9－6＝3.
13．[亳州期末]如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC ︵︵
1．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( B ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
2．[教材改编题]如图，在△ABC 中，∠A＝66°，点 I 是内心， 则∠BIC 的大小为( ) A．114° B．122° C．123° D．132°
沪科版 九年级下
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
提示：点击 进入习题
核心必知
相切；内心；外切三角形
答案显示
1B
2C
3B
4B
5B
6B
78
8 14
9 见习题 10 B
11 135° 12 见习题 13 见习题
与三角形三边都__相__切____的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆 心叫做三角形的__内__心____，这个三角形叫做圆的__外__切__三__角__形__．
九年级数学下册第24章圆24.5三角形的内切圆初中九年级下册数学
1.定义(dìngyì)
2.内心(nèixīn)的性质 3.画三角形的内切圆
4.初步应用
12/11/2021
第二十一页，共二十四页。
三角形的内切圆 （1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心 （2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点 （3）三角形内心到三边的距离(jùlí)相等
A
O
r
B
C
12/11/2021
圆心(yuánxīn)都在三角形内部,因为三角形的三条内 角平分线在三角形内部,且相交只有一个交点.
12/11/2021
第十页，共二十四页。
试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法(zuò fǎ)：
（1）作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点(jiāodiǎn)为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足(chuízú)为D.
第二十四章
24.5 三角形的内切圆
12/11/2021
第一页，共二十四页。
知识回顾
1.确定一个圆的位置与大小的条件(tiáojiàn)是什么？
①圆心(yuánxīn)与半 或②不在同一直线上的三点
径 2.叙述(xùshù)角平分线的性质与判定
性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：
到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
No 角形的内切圆。4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆。（1）作∠B、∠C的平分线。（3）以I为
圆心，ID为半径作⊙I.。解：∵点O是⊙O的内心。∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°。4.如图，在△ABC中， 点I是内心，
Image
12/11/2021
第二十四页，共二十四页。
A
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计一. 教材分析《三角形的内切圆》是沪科版数学九年级下册第24.5节的内容。
本节内容主要介绍三角形的内切圆的概念、性质及其在几何中的应用。
通过本节的学习，学生能够理解三角形的内切圆的定义，掌握其基本性质，并能运用内切圆的知识解决一些几何问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的相关知识，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，逐步引入内切圆的概念，并引导学生探索内切圆的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形的内切圆的概念，掌握其基本性质，并能运用内切圆的知识解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，学生能够培养自己的空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂讨论，培养自己的合作意识和团队精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的内切圆的概念及其性质。
2.教学难点：内切圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等教学方法，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观地展示三角形的内切圆的性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的相关知识，引导学生回顾已学的三角形性质，为新课的学习做好铺垫。
2.探究内切圆的概念：通过展示几何画板上的三角形，引导学生观察和操作，让学生自己发现三角形的内切圆的性质，并引导学生总结出内切圆的定义。
3.证明内切圆的性质：引导学生运用已学的三角形性质，证明内切圆的性质，如切线定理、角平分线定理等。
4.运用内切圆的知识解决几何问题：通过一些具体的例题，引导学生运用内切圆的知识解决一些几何问题，如求三角形的面积、证明几何定理等。
2024-2025学年沪科版初中数学九年级(下)教学课件24.5三角形的内切圆
知识讲解做一做
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。
⊙ O是△ABC的 外接 圆， 点O叫△ABC的 外心，
它是三角形 三边中垂线
的交点。
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形，
⊙I是△DEF的 内切 圆， 点I是 △DEF的 内 心， 它是三角形 三条角平分线的交点。
A
．O
B
C
图1
D
．I
则△ABC的内切圆的半径 r＝
2S a＋b＋c
知识讲解
跟踪训练
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆, ∠C是直角, AC=3,BC=4.求⊙O的半径r .
A
c
b
O
●
B
aC
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径
r＝
a＋b－c
2
或r＝
ab
a＋b＋c
知识讲解
2.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇
A M
O
NC
A
O
B
C
圆心O在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的 交点上。
知识讲解
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的 外切三角形。
性质：1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；
知识讲解 名称
E
F
图2
3. 三角形的内切圆能作__1__个,圆的外切三角形有__内__部_ 个,三角形的内 心在三角形的_无___数___.
知识讲解
A
N
M
I●
沪科版9数学下册第24章三角形的内切圆
知2－讲
方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC， 又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r， ∴四边形OECD是正方形 ． ∴EC＝CD＝r . ∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD
＝(AC－EC)＋(BC－CD) ＝3－r＋4－r＝7－2r .
又易知AB＝ AC 2 BC 2 32 42 5,
②AO平分∠BAC.
③∵点O为△ABC三个角的平分线的交
点，O到BC边的距离为2，
∴点O到三边的距离相等，均为2，
∵△ABC的周长为30，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC
＝
1 2
(AB＋BC＋
AC)×2＝30.
总结
知2－讲
本题运用数形结合思想及面积法．求距离和差的最值 问题，一般通过轴对称作图，化折线为直线，最终转 化为利用两点之间线段最短求解的问题．高不离面积， 出现垂线段时，可联想到利用面积法求解问题．
径是唯一确定的)，而任意多边形不一定有内切圆． (2)一个圆有无数个外切三角形． (3)一般地，若I是△ABC的内心，则有
∠BIC＝90°＋ 1∠A. 2
知1－讲
例1 如△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E， F，则O是△DEF的( D ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
知识点 2 三角形内切圆的性质
知2－讲
三角形的内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
拓展：
(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ 1 lr.
2
(2)直角角形内切圆的半径r＝
1
(直角边长a＋直角
2
边长b－斜边长c)．
沪科版九年级数学下册课件：24.5 三角形的内切圆教学课件
2.AO、BO、CO分
D
别平分∠BAC、
F ∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内
O
部．
B
EC
例题讲解
例1 如图,在 △ABC 中，∠B=43°，∠C =61°， A
点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
解：连接IB，IC.
I
因为点I是△ABC 的内心，所以IB，
B
C
IC分别是∠B、∠C的平分线.
思路：与三角形三边都相切，说明圆心到三边的距离
相等，所以圆心为三条角平分线的交点
A
作法：
1. 作∠ABC，∠ACB的平分线BE，
CF，设它们交于点O. 2. 过点O作OD⊥BC于点D. 3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O.
则☉O即为所作.
F
E
O
B
D
C
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形.
2.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说 法正确的是（ A ） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
3. 如图,在△ABC中,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切 于点D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF= 55 °.
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID．
课堂小结
三角 形内 切圆
有关概念 内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上， 从而建立方程求解.
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例题选讲 例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 x E A x O F 9﹣ x B D 13﹣x C
13﹣x
9﹣ x
随堂训练 1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。 A
A
O P
M B
C
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。 ∠C＝50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
P
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。 A O F B E D P
abc r . 2
●
O
┓
┗ F
B
E
C
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为 a,b,c. A 求内切圆⊙O的半径r. D F
●
O
2S r . abc
1 S r a b c . 2
B
E
┓
C
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为—— 3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
F
C
（1）找出图中所有相等的线段 N D C DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM P O M
A
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
（2）填空：AB+CD = AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
N
O A P Q
B
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
A
D
O
E
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点 为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝ 13cm。求AF，BD，CE。
x F y
B O
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 A AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm x+y=13
O
1 ∠ BOC= 90°+ ∠ A 2
B
C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内 心，求∠ BOC的度数。
知识拓展 拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
A
A
b
C B
c
O B
a 斜边中点 ， 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半 半径为___________. 三角形内部， 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________ a+b-c 半径r=___________. 2
24.5三角形的内切圆
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A
· O ·
B
·
P
切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上 的一条线段的长，可以度量。
· O ·
B
A
·
P
切线长定理 从 圆外一点可以引 圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这一点和圆 心的连线平分两 条切线的夹角。
C
知识拓展 4.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半 径是_______. 1 5.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_______. 22cm
课前训练 1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、 B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 A OA的长.
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm, AC= 6cm AB= 9cm 2 A E 4 C
F
B
7
D
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。 D M C
一、判断
练习
）
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， APB 连结PO，则 APO 25 度。 A O P
50
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
A 16cm C 12cm A B D D C E B P 14cm 8cm
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． A
O B P
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
E
O
C B
D
P
知识拓展 2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为 切点。求证：AC=BD A
证明：连接OP ∵PA、PB是大圆的两条切线 ∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB ∵PC、PD是小圆的两条切线 ∴PC＝PD，∠OPC＝∠OPD ∵∠APC＝∠OPA-∠OPC、 ∠BPD＝∠OPB-∠OPD ∴∠APC＝∠BPD ∴△APC≌△BPE
y+z=14 x+z=9
z
C
y
D z
X+y+z=18 x+y=13
解得: Z=5
AF、BD、CE的长分别是4cm、 9cm、 5cm。
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
D
A