2012高考数学考点总动员 考点4 数形结合,灵活多变,畅游平面向量的世界新课标版

第9讲 平面向量及其应用1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用．复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视．2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等．会用向量解决某些简单的几何问题．1. 在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)2.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.3.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a －b |＝________.4.已知向量P ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，则|P |的取值范围是________．【例1】 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1sinx ，－1sinx ，b ＝(2，cos2x)．(1) 若x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？(2) 若x∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，求函数f(x)＝a·b 的最小值．【例2】 设向量a ＝(4cosα，sinα)，b ＝(sinβ，4cosβ)，c ＝(cosβ，－4sinβ)． (1) 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2) 求|b ＋c |的最大值；(3) 若tanαtanβ＝16，求证：a∥b .【例3】 在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC 2，求角A ，B ，C 的大小．【例4】 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2) .(1) 若m∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积 .1. (2008·安徽)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.2.(2011·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.3.(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________.4.(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)． (1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．6.(2011·陕西)叙述并证明余弦定理．(2010·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1) 设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，若z∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2) 已知a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b. 解：(1) 由题意：x ＋y ＝(sinB ＋cosB ，sinC ＋cosC)，(1分) ∵ z∥(x ＋y )，∴ cosB(sinC＋cosC)＝－cosC(sinB ＋cosB)， ∴ cosBsinC＋cosCsinB ＝－2cosBcosC ，(3分)∴ cosBsinC ＋cosCsinB cosBcosC＝－2，即：tanB ＋tanC ＝－2. (6分) (2) ∵ sinAcosC＋3cosAsinC ＝0，∴ s inAcosC ＋cosAsinC ＝－2cosAsinC ，(8分) ∴ sin(A＋C)＝－2cosAsinC ， 即：sinB ＝－2cosAsinC.(10分) ∴ b＝－2c·b 2＋c 2－a22bc ，(12分)∴ －b 2＝b 2＋c 2－a 2，即：a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ，∴ 2b 2＝8b ，∴ b＝0(舍去)或4.(14分)向量及其应用1. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，BC>CA>AB ，则OA →·OB →，OA →·OC →，OB →·OC →的大小关系为________．【答案】 OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →解析： 0＜∠AOB＜∠AOC＜∠BOC＜π，y ＝cosx 在(0，π)上单调减，∴ cos∠AOB＞cos∠AOC＞cos∠BOC,∴ OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →.2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tanA tanB ＝2cb .(1) 求角A ；(2) 若m ＝(0，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cosB ，2cos 2C 2，试求|m ＋n|的最小值． 解： (1) 1＋tanA tanB ＝2cb 1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB， 即sinBcosA ＋sinBcosB sinBcosA ＝2sinCsinB，∴ sin A ＋B sinBcosA ＝2sinC sinB ，∴ cosA＝12.∵ 0＜A ＜π， ∴ A＝π3.(2) m ＋n ＝(cosB,2cos 2C2－1)＝(cosB ，cosC)，∴ |m ＋n|2＝cos 2B ＋cos 2C ＝cos 2B ＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.∵ A＝π3，∴ B＋C ＝2π3，∴ B∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.从而－π6＜2B －π6＜7π6.∴ 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1，即B ＝π3时，|m ＋n|2取得最小值12.所以，|m ＋n|min ＝22. 基础训练1. －14a ＋14b 解析：MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b.2. －0.5 解析：a ＋λb ＝m[－(b －2a )]，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝1，λ＝－m λ＝－12.3. 3 解析： |a －b|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋4－2×1×2×co s π3＝ 3.4. [0,2] 解析：设a 与b 的夹角为θ，则|P|＝1＋1＋2cosθ＝2＋2cosθ(θ∈[0，π])．例题选讲例1 解：(1) 若a 与b 平行，则有1sinx ·cos2x＝－1sinx ·2，因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，sinx≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2) 由于f(x)＝a·b ＝2sinx ＋－cos2x sinx ＝2－cos2x sinx ＝1＋2sin 2x sinx ＝2sinx ＋1sinx ，又因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以sinx∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32， 于是2sinx ＋1sinx ≥22sinx ·1sinx＝22，当2sinx＝1sinx ，即sinx ＝22，x ＝π4时取等号，故函数f(x)的最小值等于2 2. 变式训练 已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0. (1) 求tanA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x∈R )的值域．点拨： 平面向量与三角结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．解： (1) m·n ＝sinA －2cosA ＝0tanA ＝2.(2) f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋32， ∵ x∈R, ∴ sinx∈[－1,1]，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 例2 (1)解：b －2c ＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，a 与b －2c 垂直，∴ 4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.(2) 解：b ＋c ＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b ＋c|＝sinβ＋cosβ2＋16cosβ－sinβ2＝17－15sin2β≤17＋15＝42，|b ＋c|的最大值为4 2.(3) 证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ， 即4cosα4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.变式训练 已知向量a ＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b ＝(1,2)． (1) 若a∥b ，求tanθ的值；(2) 若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解： (1) 因为a∥b ，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ， 于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.(2) 由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或3π4.例3 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bccosA ＝3bc ，所以cosA ＝32，又A∈(0，π)，因此A ＝π6.由 3|AB →|·|AC →|＝3BC 2得bc ＝3a 2，于是sinC·sinB＝3sin 2A ， 所以sinC·sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，sinC·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosC ＋32sinC ＝34，因此2sinC·cosC＋23sin 2C ＝3，sin2C －3cos2C ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3<2C －π3＜4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.例4 (1) 证明：∵ m∥n ，∴ asinA＝bsinB.即a·a 2R ＝b·b2R，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ，∴ △ABC 为等腰三角形．(2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴ a＋b ＝ab ，由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0.∴ ab ＝4或－1(舍去)，∴ S＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.高考回顾1. (－3，－5) 解析：取A(0,0)则B(2,4)，C(1,3)．由BC →＝AD →得D(－1，－1)．即BD →＝(－3，－5)．2. 152 解析：AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·AB →＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos 2π3＝152.3. 54 解析：a·b ＝0，(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，k －52＋k ＝0，k ＝54. 4. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 解析：|α||β|sinθ＝12，sinθ＝12|β|≥12，又θ∈(0，π)，∴ θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.5. 解：(1)(解法1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ， 则：E 为B 、C 的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)，故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210； (2) 由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 或者：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3,5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.6. 解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，则有a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ； b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.证明： 如图 a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC 2→－2|AC →||AB →|cosA ＋AB →2＝b 2－2bccosA ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.同理可证b 2＝a 2＋c 2－2accosB ， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.。

2012高考数学考点总动员 考点4 数形结合，灵活多变，畅游平面向量的世界新课标版一.专题综述平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点． 二．考纲解读1.理解平面向量的概念和向量相等的含义．理解向量的几何表示．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.理解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 三．2012年高考命题趋向1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题.2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度,为中、高档题. 3．在复习中要把知识点、训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性． 四．高频考点解读考点一 向量的几何运算例1 [2011·某某卷] 如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图1－2A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →【答案】D【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D. 【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM =-(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．考点三 向量平行与垂直例4[2011·某某卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.例5[2011·课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________. 【答案】1【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1. 考点四 向量的数量积、夹角与模例6[2011·某某卷] 若向量a ，b ，c 满足a∥b 且a⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D【解析】 因为a∥b 且a⊥c ，所以b⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.例7[2011·某某卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.【答案】－14【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，D (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，36，故AD→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14. 例8[2011·某某卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．【答案】 π3【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.例9[2011·课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 【答案】A【解析】 因为||a ＋b >1⇔||a 2＋2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b >－12⇔||a ||b cos θ＝cos θ>－12⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题．又因为||a －b >1⇔||a 2－2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b <12⇔||a ||b cos θ＝cos θ<12⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题． 【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a ·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a ·b=x 1x 2+y 1y 2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便. 考点五 向量的应用例10[2011·某某卷] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】 若C 、D 调和分割点A ；B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于A ：若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于C ：若C 、A 同时在线段AB 上，则0<λ<1,0<μ<1⇒1λ＋1μ>2，C 选项错误；对于D ：若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则λ>1，μ>1⇒1λ＋1μ<2，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．例11[2011·某某卷] 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值X 围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2] 【答案】C【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， 又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴z 的取值X 围是[0,2]，即OA →·OM →的取值X 围是[0,2]，故选C. 例12[2011·某某卷] 叙述并证明余弦定理．【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法一：如图1－9，a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法二：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2 ＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面． 考点六 与向量相关的最值问题例12[2011·全国卷] 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B.3C.2D ．1 【答案】A【解析】 设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2，故选A.例13[2011·某某卷] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 B 【解析】 |a ＋b －c |＝a ＋b －c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，由于a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·a ＋b ≤1，故选B.例14[2011·某某卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】5【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )，(0≤y ≤h ) 则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴||PA →＋3PB→＝25＋3h －4y 2≥25＝5.例15[2011·某某卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值X 围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6【解析】 由题意得：||α||βsin θ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sin θ＝12||β≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【解题技巧点睛】平面向量中的最值和X 围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、X 围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的X 围等．最值和X 围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、X 围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、X 围问题的另一个基本思想是数形结合．针对训练一．选择题1.【某某省某某市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】 设向量31(,cos ),(sin ,),//,23a b a b θθθ==向量且则锐角为（ ） A ．60° B ．30°C ．75°D ．45°答案：D .解析：31,cos sin 0,sin 2 1.(0,90),290,45.23a b θθθθθθ∴⨯-⨯=∴=∈∴=∴=∥2.【2012届某某省重点中学协作体高三第一次联考】已知()()2,1,1,3-=-=b a ，若()()b k a b a ++-∥2，则实数k 的值是( )A. -17B.21-C.1819D.35答案：B解析： 由已知得2(7,4)a b -+=-，(3,12)a kb k k +=-+-，又因为两向量平行，所以7(12)4(3)k k -=--+，计算可得实数k 的值是12-。

2019高考新资料数学考点总动员考点4数形结合，灵活多变，畅游平面向量的世界平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法那么，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法那么，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合、向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定的重点、二、考纲解读1.理解平面向量的概念和向量相等的含义、理解向量的几何表示、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义、2、掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义、了解向量线性运算的性质及其几何意义、3.理解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算、理解用坐标表示的平面向量共线的条件、4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系、5、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、6、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题、 三、2018年高考命题趋向1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题.2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题那么有一定难度,为中、高档题. 3、在复习中要把知识点、训练目标有机结合、重点掌握相关概念、性质、运算公式、法那么等、明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换、在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以表达向量的工具性、四、高频考点解读考点一向量的几何运算例1[2017·四川卷]如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝()图1－2A 、0B.BE →C.AD →D.CF → 【答案】D【解析】BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D. 【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法那么进行，特别是减法法那么很容易使用错误，向量MN ON OM =-(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法那么就是终点向量减去起点向量、考点三向量平行与垂直例4[2017·广东卷]向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)、假设λ为实数，(a ＋λb )∥c ，那么λ＝() A.14B.12C 、1D 、2【答案】B【解析】因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.例5[2017·课标全国卷]a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，假设向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，那么k ＝________. 【答案】1【解析】由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1.考点四向量的数量积、夹角与模例6[2017·广东卷]假设向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，那么c ·(a ＋2b )＝()A 、4B 、3C 、2D 、0 【答案】D【解析】因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0.例7[2017·湖南卷]在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，那么AD →·BE →＝________.【答案】－14【解析】由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，D (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，36，故AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14.例8[2017·江西卷]|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，那么a 与b 的夹角为________、【答案】π3【解析】设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3. 例9[2017·课标全国卷]a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 其中的真命题是()A 、p 1，p 4B 、p 1，p 3C 、p 2，p 3D 、p 2，p 4 【答案】A【解析】因为||a ＋b >1⇔||a 2＋2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b >－12⇔||a ||b cos θ＝cos θ>－12⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题、又因为||a －b >1⇔||a 2－2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b <12⇔||a ||b cos θ＝cos θ<12⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题、 【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a ·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a ·b=x 1x 2+y 1y 2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.考点五向量的应用例10[2017·山东卷]设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，那么称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，那么下面说法正确的选项是() A 、C 可能是线段AB 的中点 B 、D 可能是线段AB 的中点 C 、C 、D 可能同时在线段AB 上D 、C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】假设C 、D 调和分割点A ；B ，那么AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于A ：假设C 是线段AB 的中点，那么AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于C ：假设C 、A 同时在线段AB 上，那么0<λ<1,0<μ<1⇒1λ＋1μ>2，C 选项错误；对于D ：假设C 、D 同时在线段AB 的延长线上，那么λ>1，μ>1⇒1λ＋1μ<2，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确、例11[2017·福建卷]O 是坐标原点，点A (－1,1)，假设点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，那么OA →·OM →的取值范围是() A 、[－1,0]B 、[0,1]C 、[0,2]D 、[－1,2] 【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， 又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →的取值范围是[0,2]，应选C. 例12[2017·陕西卷]表达并证明余弦定理、 【解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍、或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法一：如图1－9，a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法二：△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，那么C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)， ∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2 ＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要表达在三角函数和平面解析几何中、在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面、考点六与向量相关的最值问题例12[2017·全国卷]设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，那么|c |的最大值等于() A 、2B.3C.2D 、1 【答案】A【解析】设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，那么点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2，应选A. 例13[2017·辽宁卷]假设a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，那么|a ＋b －c |的最大值为() A.2－1B 、1C.2D 、2 【答案】B【解析】|a ＋b －c |＝a ＋b －c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，由于a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·a ＋b ≤1，应选B.例14[2017·天津卷]直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC上的动点，那么|PA →＋3PB →|的最小值为________、 【答案】5【解析】建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，那么A (2,0)，B (1，h )、设P (0，y )，(0≤y ≤h )那么PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴||PA →＋3PB →＝25＋3h －4y 2≥25＝5.例15[2017·浙江卷]假设平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α与β的夹角θ的取值范围是________、【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6【解析】由题意得：||α||βsin θ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sin θ＝12||β≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等、最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)、在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合、针对训练一、选择题1.【湖北省孝感市2017—2018学年度高中三年级第一次统一考试】设向量31(,cos ),(sin ,),//,23a b a b θθθ==向量且则锐角为 〔〕A 、60°B 、30°C 、75°D 、45°答案：D .解析：31,cos sin 0,sin 2 1.(0,90),290,45.23a b θθθθθθ∴⨯-⨯=∴=∈∴=∴=∥2.【2018届江西省重点中学协作体高三第一次联考】()()2,1,1,3-=-=b a ，假设()()k ++-∥2，那么实数k 的值是()A.-17B.21- C.1819D.35 答案：B解析：由得2(7,4)a b -+=-，(3,12)a kb k k +=-+-，又因为两向量平行，所以7(12)4(3)k k -=--+，计算可得实数k 的值是12-。

2014高考新课标数学考点总复习一.专题综述平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点．二．考纲解读1.理解平面向量的概念和向量相等的含义．理解向量的几何表示．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.理解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．三．2014年高考命题趋向1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题.2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度,为中、高档题. 3．在复习中要把知识点、训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性．四．高频考点解读考点一 向量的几何运算例1 [四川卷] 如图1－2，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图1－2A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →【答案】D【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D. 【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM =-(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．考点三 向量平行与垂直例4[广东卷] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1, 0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 【答案】B【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb )∥c ，所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.例5[课标全国卷] 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________. 【答案】1 【解析】 由题意，得(a ＋b )·(k a －b )＝k ||a 2－a ·b ＋k a ·b －||b 2＝k ＋(k －1)a ·b －1＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，因为a 与b 不共线，所以a ·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1.考点四 向量的数量积、夹角与模例6[广东卷] 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D【解析】 因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.例7[湖南卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.【答案】－14【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，0，E ⎝⎛⎭⎫13，36，故AD →＝⎝⎛⎭⎫0，－32，BE →＝⎝⎛⎭⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14.例8[江西卷] 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．【答案】 π3【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.例9[课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 【答案】A【解析】 因为||a ＋b >1⇔||a 2＋2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b >－12⇔||a ||b cos θ＝cos θ>－12⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题．又因为||a －b >1⇔||a 2－2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b <12⇔||a ||b cos θ＝cos θ<12⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题． 【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a ·b=|a||b|cos θ;二是坐标式a ·b=x 1x 2+y 1y 2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便.考点五 向量的应用例10[山东卷] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】 若C 、D 调和分割点A ；B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于A ：若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于C ：若C 、A 同时在线段AB 上，则0<λ<1,0<μ<1⇒1λ＋1μ>2，C 选项错误；对于D ：若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则λ>1，μ>1⇒1λ＋1μ<2，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．例11[福建卷] 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2] 【答案】C【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图1－2)， 又OA →·OM →＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线，当它经过点C (1,1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0； 当它经过点B (0,2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.∴ z 的取值范围是[0,2]，即OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C. 例12[陕西卷] 叙述并证明余弦定理．【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法一：如图1－9，a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2 ＝b 2－2bc cos A ＋c 2， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .证法二：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图1－10)，则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2 ＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【解题技巧点睛】平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中．在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面．考点六 与向量相关的最值问题例12[全国卷] 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 【答案】A 【解析】 设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2，故选A.例13[辽宁卷] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 B【解析】 |a ＋b －c |＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，由于a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·(a ＋b )，又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故选B.例14[天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】5【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )，(0≤y ≤h ) 则P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴||P A →＋3PB →＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.例15[浙江卷] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤π6，5π6【解析】 由题意得：||α||βsin θ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sin θ＝12||β≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.【解题技巧点睛】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等．最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)．在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．针对训练一．选择题1.设向量31(,cos ),(sin ,),//,23a b a b θθθ==向量且则锐角为（ ）A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°答案：D .解析：31,cos sin 0,sin 2 1.(0,90),290,45.23a b θθθθθθ∴⨯-⨯=∴=∈∴=∴=∥2.已知()()2,1,1,3-=-=，若()()k ++-∥2，则实数k 的值是( )A. -17B. 21- C. 1819 D.35 答案：B解析： 由已知得2(7,4)a b -+=-，(3,12)a kb k k +=-+-，又因为两向量平行，所以7(12)4(3)k k -=--+，计算可得实数k 的值是12-。

一 专题综述该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般是2～3个选择题或者填空题，一个解答题，选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点(如三角函数性质、平面向量的数量积等)，解答题一般有三个命题方向，一是以考查三角函数的图象和性质为主，二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇，三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用．由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知识，在试题的难度上不大，一般都是中等难度或者较为容易的试题．基于这个实际情况以及高考试题的相对稳定性.二 考纲解读1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π2±α，π±α的正弦、余弦、正切)，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x.结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx ＋φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，观察参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．4.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．三.2012年高考命题趋向1.在选择题或者填空题部分命制2～3个试题，考查三角函数的图象和性质、通过简单的三角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的2～3个方面．试题仍然是突出重点和重视基础，难度不会太大．2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题，考查综合运用该部分知识分析解决问题的能力，试题的可能考查方向如我们上面的分析．从难度上讲，如果是单纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题，则试题难度不会大，但如果考查解三角形的实际应用，则题目的难度可能会大一点，但也就是中等难度． 由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化，在复习中注意如下几点：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系．(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题．(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在指导解题中的应用．四．高频考点解读考点一 三角函数的定义例1 [2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【答案】B【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 例2 [2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【答案】－8【解析】 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.【解题技巧点睛】以三角函数的定义为载体，求三角函数的值.题目的鲜明特点是给出角的终边上的点的坐标，此时我们要联想到三角函数的定义求解所需三角函数值.考点二 三角恒等变换例3 [2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】D【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.例4[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 【答案】C例5 [2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值. 【解答】 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×54π－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝1665.【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: （1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan .αββαββααβαβαβ+++=+-=+，(4)三角函数次数的降升：降幂公式有21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式有21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=.(5)式子结构的转化：对角、函数名、式子结构化同. (6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ=== 等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±=±±=±等.考点三 三角函数的性质例6 [2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 【答案】A【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π， 所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ，所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减． 例7 [2011·安徽卷] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数； ④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 【答案】 ①③【解析】 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1.故φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝⎛⎭⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确； 对于②，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误； 对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6时，⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交．故⑤错． 【解题技巧点睛】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查.在众多的性质中，三角函数的图象的对称性是一个高考的热点.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象.考点四 三角函数的图像例8 [2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3 【答案】 B【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B. 例9[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则 ( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 【答案】A【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增． 例10 [2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称【答案】D【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值． 所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．【解题技巧点睛】1．根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提供的信息确定三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中各个字母的范围．2．进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1，在进行变换时变量的系数也参与其中，如把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移π12个单位时，得到的是函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π4＝sin2x ＋5π12的图象．3．解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究．考点五 与三角相关的最值问题例11[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 【答案】27【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27. 例12 [2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由 (1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 例13[2011·福建卷] 设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．【解答】 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.【解题技巧点睛】三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的下面三种类型：（1）可化为sin)y A x B ωϕ=++（型函数值域：利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到sin)y A x B ωϕ=++（的形式，然后借助题目中给定的x 的范围，确定x ωϕ+的范围，最后利用sin y x =的图象确定函数的值域. 如：s i n y a x b =+、sin cos y a x b x c =++22sin sin cos cos y a x b x x c x =++等.(2)可化为(sin )y f x =型求函数的值域： 首先借助三角公式，把函数化成(sin )y f x =型，然后采用换元法，即令sin [1,1]t x =∈-，构造关于t 的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如： 2sin sin y a x b x c =++、sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+可转化为二次函数求值域；xax y sin sin +=、tan cot y a x b x =+可转化为对号函数求值域. (3)利用数性结合思想求函数的值域：此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数图象画出来，直接观察确定函数的值域.如sin cos a x by c x d+=+，常转化为直线的斜率的几何含义求解.考点六 解三角形的相关问题例14 [2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 【答案】153【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.例15 [2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.【答案】255210【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210.例16 [2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________． 【答案】 2【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有 AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2.例17 [2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －ab. (1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B.所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2. 【解题技巧点睛】1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．考点七 三角化简与三角函数相结合例18 [2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 例19 [2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．【解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2.则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.【解题技巧点睛】解答三角综合问题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系. （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.考点八 三角化简和解三角形相结合例20 [2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎫32＋12.设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.例21 [2011·江西卷]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2， 由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.【解题技巧点睛】利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.针对训练一．选择题1.【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】若35sin ,,0,cos 524a πααπ⎛⎫⎛⎫=-∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则=（ ）A ．BC ．D 答案：C解析：由3sin ,(,0)52παα=-∈-得4cos 5α=，所以555cos()cos cos sin sin 444πππααα+=-=43()25510-+=-. 2.【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（ ）A ．22cos y x = B ．22sin y x =C ．)42sin(1π++=x y D ．cos 2y x =答案：A解析：sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位可得2sin 2()1sin(2)1cos 212cos 42y x x x x ππ=++=++=+=.3.【2012届四川自贡高三一诊】已知函数sin(2)3y x π=-，下列结论正确的个数（ ）①图像关于12x π=-对称；②函数在区间[0,]π上的最大值为1；③函数图像按向量(,0)6a π=- 平移后所得图像关于原点对称.A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：当12x π=-时，22()31232x ππππ-=⨯--=-，所以①正确；[0,]x π∈时72,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以②正确；函数图像按向量(,0)6a π=- 平移后所得的解析式为sin[2()]sin 263y x x ππ=+-=，所以③正确.4.【北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+ R 的部分图象如图所示，那么(0)f = （ ）（A ）12-（B ）-（C ）1- （D ）-答案：C解析：由图可知，(,2)3π为函数图象的最高点，2,()2,3A f π∴==2222sin()2,sin()1,2()3332k k Z ππππϕϕϕπ∴+=∴+=∴+=+∈12(),(0)2sin 2sin(2)2() 1.662k k Z f k ππϕπϕπ∴=-+∈∴==-+=⨯-=-故选C.5.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】若6x π=是函数()cos f x x x ωω=+图象的一条对称轴，当ω取最小正数时（ ）A ．()f x 在(,)36ππ--单调递减B ．()f x 在(,)63ππ单调递增C ．()f x 在(,0)6π-单调递减D ．()f x 在(0,)6π单调递增答案：A解析：化简函数的解析式为()2sin(),6f x x πω=+依题意可知:1()2sin()1,(),6(),6666623f k k Z k ππππππωωπω=⋅+=±∴⋅+=+∈∴=+ 当0,k =ω取得最小正数是2，故函数的解析式为()2sin(2),6f x x π=+由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,可知函数的单调递增区间为[,](),36k k k Z ππππ-+∈当0,k =函数的一个单调递增区间为[,],36ππ- 因(0,)[,],636πππ⊂-故正确答案为A. 6.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】若2230,sin cos sin cos βααβαβ=+︒++=则 （ ）A ．14B ．34C ．2cos βD ．2sin α答案：B解析：将30a β=+ 代入22sin cos sin cos αβαβ++整理为：2222sin cos (30)sin cos(30)sin (cos cos30sin sin 30)sin (cos cos30sin sin 30)a a a a a a αααα++++=+-+-211sin (sin )(cos sin sin )2222a a a a αα=+--+22222222211sin (sin )(sin )22221sin )(sin )23133sin cos sin (sin cos ).4444a a a a a a a a a αααα=+-+=+-=+-=+=故答案为B.7.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】已知()2sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的表达式为 （ ）A ．3()2sin()24f x x π=+B ．35()2sin()24f x x π=+C ．42()2sin()39f x x π=+D ．425()2sin()318f x x π=+答案：B解析：由函数的图像可知，35423(),==.46632T T T ππππω=--∴=∴ ，排除C 、D ；又因函数过点5(,2),6π代入验证B 满足条件.8.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】在A B C △中，3A π∠=，3B C =，AB ，则C ∠= A.4π或34π B.34π C.4πD.6π答案：C解析：由正弦定理sin C =，又3B C =，AB ，∴AC >，则C 为锐角，故4C π=. 9.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB =，则该函数图象的一条对称轴为A.2π=x B.2π=xC.2x =D.1x =答案：D解析：由c o s ()y x ωϕ=+为奇函数，得2k πϕπ=+()k ∈Z ，又0ϕπ<<，∴2πϕ=.结合图象知14T =，∴2πω=，∴c o s ()s i n 222y x xπππ=+=-，当1x =时，sin 12y π=-=-，∴1x =是其一条对称轴. 10.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】 已知函数()2cos()f x x ωϕ=+(0)ω>的图像关于直线12x π=对称，且()03f π=，则ω的最小值为( ） A.2 B.4 C. 6 D.8答案：Ａ 解析：由题设12,,1232k k ωπωππφπφπ+=+=+，于是21(),42k k ωπππ=-+ω最小可以取2.11．【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，则函数()sin cos g x a x x =+的最大值是（ ）A ．3 B C ．43 D 答案: A解析:由函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=2a =，解得a =，所以函数()sin cos g x a x x =+ 的最大值是3==.12．【2012届河北正定中学高三上学期第二次月考】若ABC∆的内角,,A B C所对的边,,a b c满足22()4a b c+-=，且060C=，则a b+的最小值为（）A．43B．8-CD答案：D解析：由余弦定理可得：222222cos()3()4,c a b ab C a b ab a b=+-=+-=+-所以有24(),323a bab ab+=≤∴≥二．填空题13.【2012大同市高三学情调研】在中，内角A、B、C 依次成等差数列，，则外接圆的面积为_____.答案：493π解析：由题意可得B=600，由余弦定理得：222012cos606425285492AC AB BC AB BC=+-=+-⨯⨯⨯=，所以7AC=,由正弦定理可得22,sin60ACR R R==∴=22493S Rπππ===.14【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】已知21cossin=-αα，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos2sin4πα⎛⎫α-⎪⎝⎭的值为答案：214-解析：由21cossin=-αα，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，得sin cos2αα+=，所以cos2sin4πα⎛⎫α-⎪⎝⎭222====-.15.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】 在ABC ∆中，60,C AB AB =︒边上的高为4,3则AC+BC= .解析：依题意，利用三角形面积相等有:11sin 60,22AB h AC BC ⨯=1418sin 60,.2323AC BC AC BC ∴=∴= 利用余弦定理可知222223cos60,cos60,8223AC BC ABAC BC AC BC+-+-=∴=⨯解得：2217.3AC BC +=又因2221716()211,33AC BC AC BC AC BC AC BC +=++=+=∴+= 16.【2012届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图，两座相距60m的建筑物AB 、CD 的高度分别为20m 、50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是 ． 答案:45解析:考查解三角形及和差角公式;60tan tan 3,20ADC DAB ∠=∠== 60tan tan tan 2,tan tan()50201tan tan ADC DCADCA DAC ADC DCA ADC DCA π∠+∠∠==∴∠=-∠-∠=---∠∠231123+=-=-⨯,而tan 45,tan 45ADC DCA ∠>∠> ,45DAC ∴∠=三、解答题17.【北京市海淀区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试】 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =，sin B =. （Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积.解：（Ⅰ）因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-. ………………………………………2分因为sin B =，所以11cos 1233A =-?. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =， ………………………………………10分3=.所以a =. ………………………………………11分所以1sin 2ABC S ab C ∆==. ………………………………………13分 18.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试】如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．⑴如果A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求co s α和sin β； ⑵在⑴的条件下，求c o s ()βα-的值；⑶已知点C (1-，求函数()f O A O Cα=⋅的值域． 解：（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=，12sin 13β=．又α是锐角，所以3cos 5α=． ( 4分)（2）由（1）知12sin 13β=．因为β是钝角，所以5cos 13β=-．所以5312433c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565βαβαβα-=+=-⨯+⨯=． ( 8分)（3）由题意可知，(c o s s i n)O A αα= ，，(O C．所以()i nc o s 2s i n ()6f O A παααα=⋅-=- ，因为02πα<<，所以663πππα-<-<，1s i n ()26a π-<-从而1()f α-<，因此函数()f O A O C α=⋅的值域为(1-． ( 12分)19【湖北省八校2012届高三第一次联考】已知幂函数222()(21)(0,)nf x n n x -=-++∞在上是增函数，(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，2()(sin cos ).g x f x x x =++ （1）当a b ⊥时，求()g θ的值；（2）求()g x 的最值以及()g x 取最值时x 的取值集合.解：（1）依题设得22,().n f x x == a b ⊥，tan 2θ∴=2()2sin cos 1g θθθθ=++1==6分）20.【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ．（Ⅰ）若322==b a ,．求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．解：（1）1cos ,sin 22B B =-∴=Q 由三角形正弦定理可得：21sin sin 32sin 2==A B A ,， 6π=∴A ，6π=C ……5分3sin 21==∆C ab S ABC ……7分 （2）41)62sin(21sin )3sin(sin sin -+=⋅-=⋅ππC C C C A ……11分(0,)3C π∈Q ，)65,6(62πππ∈+∴C]1,21()62sin(∈+∴πC ……12分 则]41,0(sin sin ∈⋅C A ……14分21.【惠州市2012届高三第二次调研考试】已知函数44sin cos cos y x x x x =+-， （1）求该函数的最小正周期和最小值； （2）若[]0,x π∈，求该函数的单调递增区间.解：（1）()442sin cos 2cos22sin 26x x x x x x π⎛⎫+--- ⎪⎝⎭= ………… 4分 所以 min ,2T y π==- ………… 6分 （2）226263x x πππππππππ≤-≤+∈≤≤+∈令2k -2k ,k Z ，则k -k ,k Z………… 8分令0,1k =，得到[,]63x ππ∈-或54[,]63x ππ∈，………… 10分 与[0,]x π∈取交集, 得到[0,]3x π∈或5[,]6x ππ∈,所以，当[0,]x π∈时，函数的536πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦递增区间是0，和， . ………… 12分22.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos 4B =．（Ⅰ）求2sin 2cos 2A CB ++的值；（Ⅱ）若b =ABC ∆面积的最大值.解析：（I ）因为3cos 4B =，所以sin B =. …………1分 又22πsin 2cos2sin cos cos 22A C BB B B +-+=+ 12s i nc o s (1c o s)2B B B =+-=324+18. ……………6分（II ）由已知得2223cos 24a cb B ac +-==， …………7分又因为b = 所以22332a c ac +-=. …………8分 又因为223322a c ac ac +=+≥，所以6ac ≤，当且仅当a c ==ac 取得最大值. …………11分此时11sin 622ABC S ac B ∆==⨯=.所以ABC ∆ ……………13分 23.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】在ABC ∆中，1BC =，cos 3B =，cos sin A C =，求sin A 及AC 的值. 解析：由cos sin A C =，得cos cos(),2A C π=-因为(0,),,2222A C ππππ⎛⎫∈-∈- ⎪⎝⎭， 所以,22A C A C ππ=-=-或，若2A C π=-，则,22A CB ππ+==，这与cos 3B =矛盾， 所以()22A C AB πππ=-=-+-，即22A B π=-………………………………5分所以1cos 2sin 3A B ===， 即112sin 23A -=，因为sin 0A >，所以sin 3A =……………………………………………………8分 由正弦定理，有sin sin AC BCB A=，所以sin sin 3BC B AC A ⋅==………………………………………………………12分本卷第21页（共21页）。

2012届新课标数学考点预测（26）数形结合的思想方法《2009年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。

其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。

数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。

高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。

《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。

而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。

“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。

” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。

在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。

数形结合的思想方法数形结合思想是一种很重要的数学思想，是数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。

2012年高考新课标数学考点总结：数形结合的思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合思想是一种很重要的数学思想，研究的对象是数量关系和空间形式，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。

特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。

1．集合问题中的数形结合例1.（北京卷,理1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤ 分析:不等式表示的集合通过数轴解答.解:在数轴上先画出{}14U B x x =-≤≤ð,再画出集合{}|23A x x =-≤≤,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合)(B C A U ,故选D答案:D评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算2.利用函数的图象解答问题例1. 若方程lg(－x 2＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。