2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

宜昌市2016年春高二数学期中联考试卷（理科有答案）宜昌市部分示范高中教学协作体2016年春期中联考高二（理科）数学试题命题人：高小丽审题人：叶兵（卷面满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的相关信息填写在规定的位置，并检查所持试卷是否有破损和印刷等问题。

若试卷有问题请立即向监考教师请求更换。

2．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上的无效。

3．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，集合，则集合()A．B．C．D．2.命题“”的否定是()A．B.C.D.3.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是()A．至多有1次中靶B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶4.已知两条直线,平行，则＝()A．－1B．2C．－1或2D．0或－25.若随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ2)＝0.8，则P(0ξ1)=()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.26.若，是夹角为的两个单位向量，则；的夹角为() A．B．C．D．7.变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0.若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()A．－2B．－1C．1D．28.过点且与圆相切的直线方程是（）A．B．C．D．9.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()A．B．C．D．10.已知为数列的前n项和，且，，，则（）A．B．C．D．11.已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则等于（）A．192B．448C．－192D．－44812.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13.执行如图所示的程序框图，输出的S值为________．14.在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于14的概率是________．15.某校6名同学进入演讲比赛的终极PK，要求安排选手A不是第一个上场也不是最后一个，选手B和C必须相邻则不同排法的种数是.16.定义在R上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求线性回归方程，其中；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本).18．（12分）已知函数.（1）求的最小正周期及对称中心；（2）当时，求的单调递减区间.19．（本小题满分12分）已知命题p:“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”.（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20.（12分）为了解某高中高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位：kg)情况，将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考体育专业学生的总人数n.(2)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况，现从该市报考体育专业的学生中任选3人．设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．21.（12分）如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝CD＝4，AD1＝5，M是B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值．22．（12分）如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：是定值．宜昌市部分示范高中教学协作体2016年春期中联考高二（理科）数学参考答案选择题：卷A题号123456789101112答案ABCCCDCDBABD填空题13）1014）15）14416）60517.解：(1)----------1分----------3分----------4分所求线性回归方程为：y^＝－20x＋250.----------5分(2)设工厂所获利润为，则由题意得：----------7分，取得最大值.----------9分当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.----------10分18.解：(1)-----------4分的最小正周期.-----------5分令，则的对称中心是-----------8分（2）令，则-------11分的单调递减区间是-----------12分19.解：（1）若为真：解得或-----------2分若为真：则解得或-----------4分若“且”是真命题，则解得或-----------7分（2）若为真，则，即由是的必要不充分条件，则可得或-----------9分即或-----------11分解得或-----------12分20.解：(1)由图可知，前3组的频率之和为：-------2分-------3分：-------5分(2)由(1)得：一个报考体育专业学生的体重超过60kg的概率为p＝p3＋(0.0375＋0.0125)×5＝58，-------6分由题意可知X～B3，58，-------7分∴P(X＝k)＝Ck358k(1－58)3-k，k＝0，1，2，3.-------8分则X的分布列为X0123P27512135512225512125512------10分∴E(X)＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×125512＝158或E（X）＝3×58＝158------12分21.解：(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，∵AD＝4，AD1＝5，∴--------1分建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AC的中点为N，联结ND1，根据题意得A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，B1(4，4，3)，D1(0，0，3)，B1D1的中点为M(2，2，3)，AC的中点为N(2，2，0)．∴BM→＝(－2，－2，3)，ND1→＝(－2，－2，3)，∴BM→∥ND1→，∴BM∥N D1.∵BM⊄平面D1AC，ND1⊂平面D1AC，∴BM∥平面D1AC.------5分(2)易得DD1＝(0，0，3)，AC→＝(－4，4，0)，AD1→＝(－4，0，3)，------7分设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，根据已知得nAC→＝－4x＋4y＝0，nAD1→＝－4x＋3z＝0，取x＝1，得y＝1，z＝43，∴n＝（1，1，43）是平面D1AC的一个法向量，------9分∴cos〈DD1→，n〉＝DD1→n|DD1→||n|＝23417，------11分∴直线DD1与平面D1AC所成角的正弦值等于23417.------12分22.解：（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为．-----4分（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．（*）由已知，则，，．由于，故当时，取得最小值为．-----8分(3)设，则直线的方程为：，令，得，同理：，故（**）又点与点在椭圆上，故，，代入（**）式，得：．所以，得证.-----12分。

湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

)1.下列命题正确的是（）A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数3. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（）A．B．C．D．与P点位置有关5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的图象可能是（）A． B．C．D．6. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A． B. C. D.27. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A．11.8万元B．11.4万元C．12.0万元D．12.2万元9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1410. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（）A．{t|} B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}12. 已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（）①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．其中正确命题的序号是A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为．14. 若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．15. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为．16. 点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②DP⊥BC1；③A1P∥面ACD1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人和成绩位于[]90,100分数段的人均被抽到的概率。

高二上学期期中考(理科)数学试题命题： 审题：一、选择题(每小题5分,共60分)1.命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．200,11x R x ∃∈+≤ C ．200,11x R x ∃∈+< D ．200,11x R x ∃∈+≥2.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.R x,则“|x 2|1-<”是“220x x +->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题，则( ) A.命题p 、q 均为假命题B.命题p 、q 均为真命题C.命题p 、q 中至少有一个是真命题D.命题p 、q 中至多有一个是真命题5.椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．86. 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件7.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）Ａ．310 Ｂ．15 Ｃ．110 Ｄ．112 8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为y ＝±33x, 若顶点到渐近线的距离为1, 则双曲线的方程为（ ）A.143422=-y xB. 144322=-y xC. 14422=-y x D.134422=-y x9.某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内为( ) A ．5?k > B ． 6?k > C ．4?k > D ．7?k > 10.在区间]2,0[上随机地取一个数x ,则事件“1)21(log 121≤+≤-x ”发生的概率为 A.32 B. 43 C.31 D.41 11. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O: x 2＋y 2＝4没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为 ( ) A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个12.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:C y 8x =的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) A.12 B.6 C.9 D.3二、填空题(每小题5分,共20分)13.如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ；第9题图14. 已知命题p:存在0],2,1[2≥-∈a x x 使得,命题q:指数函数xa y )(log 2=是R 上的增函数,若命题“p 且q”是真命题,则实数a 的取值范围是_______.15. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ；16.已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若12F MF ∠为钝角，则0y 的取值范围是 ；三、解答题(共6题,共70分)17．（本题满分10分）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19．（本题满分12分）(1)已知关于x 的二次函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f(x)在区间和上分别取一个数,记为a,b,求方程+=1表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率.20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值．21．（本题满分12分）如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．22．（本题满分12分）己知⊙O：x 2+y 2=6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且2PM NM =．（1）求点N 的轨迹C 的方程；（2）若A(2，1)，B(3，0)，过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点，则k AD +k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．Gy xBOAEFD高二上学期期中考试理科数学试题参考答案一、选择题(每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBADADAA.CBBD二、填空题(每小题5分,共20分) 13.____950_ 14.____ (2,4]___ 15._ ____ 16. 33(⋃17．满分10分解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.………………………4分化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}………………6分∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，………………8分解得m ≥34，或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.………………………10分18.满分12分19 .满分12分(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx＋1在区间,b∈,画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,………………………10分阴影部分的面积为,故所求的概率P==.………………………12分20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值． 20.：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px …………1分联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，……………3分所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，………5分所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . ……………6分(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，……………7分从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；……8分 设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．……………9分 又y 23＝8x 3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，……………11分 解得λ＝0，或λ＝2. ………………………………12分21. （1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c,0）代入圆F 的方程， 得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………2分 （2）在方程()222x c y a -+=中，令22220x y a c b ==-=得，可知点B 为椭圆的上顶点．由（1）知12c a =，得222,3a c b a c c ==-=，所以()03B c ，. 在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -． (4)分于是可得直线AB 的斜率33AB c k ==，而直线FB 的斜率33FB ck ==.………………………7分 1AB FD k k ⋅=-，∴直线AB 与圆F 相切．………………………8分（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==，22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=．………………………12分22. 解：(1)设()y x N ,,()00,y x P ,则()0,0x M ,()00,PM y =,()0,NM x x y =--由2PM NM =,得()⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yy x x 22000,⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y xx 200 ……………………3分由于点P 在圆6:22=+y x O 上,则有()6222=+y x ,即13622=+y x . ∴点N 的轨迹C 的方程为13622=+y x ………………………4分(2) 设()11,y x D ,()22,y x E ,过点B 的直线DE 的方程为()3-=x k y ,由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=136322y x x k y 消去y 得: ()061812122222=-+-+k x k x k ,其中0>∆ 12618,121222212221+-=+=+∴k k x x k k x x ;………………………6分()()213213212122112211-+-+-+-=--+--=+∴x k kx x k kx x y x y k k AE AD ()()()4212415221212121++-++++-=x x x x k x x k x kx()4121221261812412121512618222222222++⋅-+-+++⋅+-+-⋅=k kk k k k k k k k k 2224422-=-+-=k k AE AD k k +∴是定值2-.………………………12分。

长阳一中2015-2016学年度第一学期期中考试高二数学（理科）试卷考试时间：120分钟试卷总分： 150分一、选择题（每小题5分，计60分）1、已知,a b为实数，“100=ab”是“2lglg=+ba”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶 C．两次都不中靶 D．只有一次中靶3．(程序如右图）程序的输出结果为 ( ) A. 3，4 B． 7，7C． 7，8 D． 7，114．在区间[]0,2上随机地取一个数x,则事件“121-1log2x≤+≤（）1”发生的概率为( )A．13B．23C．34D．145．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )．A．588 B．480 C．450 D．1206. 若圆心在x5y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆的方程是( )A．(x52＋y2＝5 B．(x52＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5X＝3Y＝4X＝X＋YY＝X＋Y7. 执行右边的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于 A ( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]8.有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) A ．①③B ． ①④C ．②③D ． ②④10．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个11. 已知点、，是直线上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P ．记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是A ．与一一对应B ．函数是增函数 C ．函数无最小值，有最大值 D ．函数有最小值，无最大值12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -= 交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 3(0,]2B ．3(0,]4C ．3[,1)2D ．3[,1)4二、填空题（每小题5分，计20分）13. 用“秦九韶算法”计算多项式322434)(2345+--+-=x x x x x x f 的值，当x=3时,V 3=14. 某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．x2 4 5 6 8 y304060t70根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y^＝6.5x ＋17.5，则表中t 的值为 ．15. 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 16．在平面直角坐标系中，已知点A 在椭圆上，点P 满足，且，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 .三、解答题（共6大题，计70分，要求写出详细解答过程） 17．（10分）一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率.18.(12分）命题P:关于x 的不等式x 2+2ax+4>0，对一切实数x 恒成立, Q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数，若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，求a 的取值范围。

宜昌市一中2015年高二期中考试数学（理科）试题时间：120分钟 总分：150分 命题人：覃明富 审题人：卞自力一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. “若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( C )A ．若x 2≠1，则x ＝1B ．若x 2＝1，则x ≠1C ．若x 2≠1，则x ≠1D ．若x ≠1，则x 2≠12. 两条直线3)1(:1=-+y a ax l ，2)32()1(:2=++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是（ A ）A ．1 或3-B ．1C ．5-D ． 0 或 3-3. 下列四种说法中，正确的个数有①命题,"R x ∈∀均有"0232≥--x x 的否定是：“，使得”;②“命题p q 为真”是“命题p q 为真”的必要不充分条件； ③，使是幂函数，且在上是单调递增;④不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成1=+bya x 。

A.3个 B.2个C.1个D.0个【答案】B【解析】本题主要考查命题及其关系.①因为命题“，均有”的否定是：，使得，所以命题“，均有”的否定是：“，使得是错误的;②“命题p q 为真”是“命题p q 为真”的必要不充分条件,是正确的； ③使函数是幂函数，则，所以且在上是单调递增，所以③正确;④错误. 故答案选B.4. 若直线kx y =与圆1)2(22=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为 （ D ）A ．21-=k ，4=b B ．21-=k ， 4-=b C ． 21=k ，4=b D ．21=k ， 4-=b5.设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，由l ⊥β，l ⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l ⊂α不能推出l ⊥β.因此“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．6. 若和有公共点，则实数的取值范围为 （ B ） A.B.C.D.【答案】B7. 设F 1(－4，0)，F 2(4，0)为定点，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是A.椭圆B.直线C.圆D.线段【答案】D8. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ＝4FQ，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ＝4FQ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.9. 直线 ax+by =1(a ,b ∈R )与圆x 2+y 2=2相交于A ,B 两点,且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P (a ,b )与点(0,1)之间距离的最大值是A.417 B.4 C.37 D. 2【答案】D【解析】本题考查直线与圆的位置关系及求两点间距离的最大值.依题意△AOB 是直角三角形,得∠AOB =90°,|OA|=|OB|=,所以|AB|=2,则圆心O (0,0)到直线ax+by =1的距离为=1,即3a 2+b 2=1,从而b 2≤1.于是点P (a ,b )与点(0,1)之间的距离d=,因为b∈[-1,1],所以当b=-1时,距离最大,即d max=2,故选D.10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.由题意得, 双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离；关于渐近线的对称点为，与与渐近线交于点，可得；而为的中点，为的中点，所以，所以；在三角形中，，即，而，可得，所以离心率.选B.【备注】点到线的距离;双曲线，离心率，. 11.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查抛物线、双曲线的几何性质以及平面向量的数量积运算；将化为，则抛物线与双曲线的公共焦点为，则，即双曲线的标准方程为，设，则在单调递增，则当时，有最小值；故选A.12. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重心为G ，内心I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），椭圆C 的离心率（ B ）A.23B. 12C.13 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡的横线上）13. 已知直线和，则的充要条件是－1 .14. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]15. 如图所示，有一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面，水面宽，当水面下降后，水面宽为______．16. 若椭圆C 1：(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论： ①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②；③；④a 1－a 2＜b 1－b 2.其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①③④三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0). (Ⅰ)求集合B ；(Ⅱ)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }………………………………………………………4分 (Ⅱ)法一 若是的必要不充分条件， 则，由此可得， 而A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}……………………6分由，可得，………………………………………………………………………………8分∴，01<<-⇒a ……………………………………………………………..10分法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，C U A ＝{x |－2＜x ＜3}， 而C U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由是的必要不充分条件，可得，也即A C B C U U ⊆，∴，01<<-⇒a .【解析】明确是的必要不充分条件对应的推出关系是“”也可以利用与“”等价的推出关系“”求a 的范围.18. （本题满分12分）已知命题P ：“，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”，命题Q ：“关于x 的方程32||x mx m x =+-只有一个实数根” (Ⅰ)若命题P 是真命题，求实数m 的取值集合B ；(Ⅱ)若命题“P 且Q”为假，命题“P 或Q ”为真，求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ)命题：“，都有不等式x 2－x －m ＜0成立”是真命题，得x 2－x －m ＜0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m ＞(x 2－x )max ，得m ＞2，即B ＝{m |m ＞2}...............................................................................................................5分 (Ⅱ)m x x mx m x ≥⇒=+-32||，则………………………………………………6分0))(1)(1(=-+-m x x x 且m x ≥…………………………………………………….7分若命题Q 为真得1≥m ………………………………………………………………….9分 ①当命题P 为真，命题Q 为假时，∅∈⇒⎩⎨⎧<>m m m 12………………………………...10分②当命题P 为假，命题Q 为真时，2112≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤m m m ……………………………..11分综上所述，实数m 的取值范围为]2,1[……………………………………………………12分19. （本题满分12分）已知直线l 过点P (1,1),并与直线l 1:x －y +3=0和l 2:2x +y －6=0分别交于点A 、B ,若线段AB 被点P 平分.求: (Ⅰ)直线l 的方程;(Ⅱ)以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程.【答案】(Ⅰ)依题意可设A 、B ,则,解得.即,又l 过点P,易得AB 方程为……………………………………………………6分(Ⅱ)设圆的半径为R ,则,其中d 为弦心距,,可得,故所求圆的方程为…………………………………………………………………..12分20. （本题满分12分）如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。

湖北省长阳县第一高级中学2015届高三起点考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ． ．3 ． ．4． 如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是 （ ）A ．B ．C ．220|1|x dx -⎰ D ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率． ． ． ．6．执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=． ． ． ．7．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（ ） A ． B ． C ． ( 1 , 16 ) D ．8． 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A ．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为． ． ．6 ．410．已知()l n (1)l n (1)f x x x =+--，。

现有下列命题： ①；②；③。

其中的所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11．展开式中的系数为 (用数字作答)．12．若实数满足则的取值范围是13．过点P (－10，0)引直线l 与曲线y ＝－50－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ．14．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则 ．16． (选修4-4：坐标系与参数方程) 已知直线l的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为，则过直线上的点向圆所引切线长的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) 已知)1,sin 32cos 2(x x +=，，且（1）将表示为的函数，并求的单调增区间；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积．18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足：为数列的前项和，且 2，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；(2) 若， 求数列的前项和．19． （本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率，在B 处的命中率为,该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分．（Ⅰ）求该同学投篮3次的概率；（Ⅱ）求随机变量的数学期望．第15题图20．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥P -ABCD 是底面边长为2的菱形，且∠ABC =60°，P A =PB =2，PC =2．（1）求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A -PC -B 的正弦值。

2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A．6，12，18B．7，11，19C．6，13，17D．7，12，17 2．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．1234．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．（5分）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25B．（x+1）2+（y+2）2=25C．（x+1）2+（y+2）2=100D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1006．（5分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）A．2B．6C．2（+）D．2（+）+2 7．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①对立事件一定是互斥事件；②A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；③若事件A、B、C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件．A．0B．1C．2D．38．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件9．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A．B．C．D．10．（5分）已知平面区域Ω={（x，y）|}，M={（x，y）|}，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°12．（5分）如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．14．（5分）已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=；若O、A、B、C四点共面，则x=．15．（5分）已知抛物线y2=﹣4x的焦点F和点A（3，﹣3），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值等于．16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18．（12分）已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．19．（12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F是PC上的一点．（1）若PB∥平面AEF，试确定F点位置；（2）在（1）的条件下，若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．22．（12分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k AE与直线AF的斜率k AF满足k AE+k AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A．6，12，18B．7，11，19C．6，13，17D．7，12，17【解答】解：由题意知：老年人应抽取人数为：28×≈6，中年人应抽取人数为：54×≈12，青年人应抽取人数为：81×≈18．故选：A．2．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：D．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．123【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选：B．4．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．5．（5分）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25B．（x+1）2+（y+2）2=25C．（x+1）2+（y+2）2=100D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=100【解答】解：由题意可得，圆心为线段AB的中点C（1，2），半径为r=AB==5，故要求的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，故选：A．6．（5分）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）A．2B．6C．2（+）D．2（+）+2【解答】解：根据三视图画出直观图，得出：PA=2，AC=2，AB=，PB=，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，∴这个四棱锥的侧面积为2××+2×××=2（），故选：C．7．（5分）下列命题中是错误命题的个数有（）①对立事件一定是互斥事件；②A、B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；③若事件A、B、C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④若事件A、B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故①正确；②A、B为两个互斥事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B），故②不正确；③若事件A、B、C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1，故③不正确；④若事件A、B是独立事件，且满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件，故④不正确．故选：D．8．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，命题p的否定￢p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；故选：C．9．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A．B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．10．（5分）已知平面区域Ω={（x，y）|}，M={（x，y）|}，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如下图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M，由面积比知P=．故选：C．11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°【解答】解：不妨设BB1=1，则AB=，•=（）•（）=+++=0+cos60°﹣12+0=0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B．12．（5分）如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得A（0，b），C（0，﹣b），B（﹣a，0），F（﹣c，0），=2．∴BF=c﹣a=a，BD 的方程为，即bx﹣ay+ab=0，DC的方程为，即bx+cy+bc=0，即bx+2ay+2ab=0，由得 D （﹣，﹣），又b==a，∴FD==，BD==，三角形BDF中，由余弦定理得cos∠BDF，∴cos∠BDF=，故选：C．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是 1.75百吨．【解答】解：==2.5，==3.5．∴3.5=﹣0.7×2.5+a，解得a=5.25．∴线性回归方程是y=﹣0.7x+5.25．当x=5时，y=﹣0.7×5+5.25=1.75．故答案为：1.75．14．（5分）已知O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），若OC⊥AB，则x=16；若O、A、B、C四点共面，则x=8．【解答】解：（1）∵=（x，﹣8，8），=（3，2，﹣4），若OC⊥AB，则•=0，∴3x﹣16﹣32=0，解得：x=16，；（2）∵O（0，0，0），A（﹣2，2，﹣2），B（1，4，﹣6），C（x，﹣8，8），∴=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x，﹣8，8），∵四点A，B，C，O共面，∴存在实数λ，μ使得，=λ+μ，∴（x，﹣8，8）=λ（﹣2，2，﹣2）+μ（1，4，﹣6），∴，解得x=8，故答案为：16；815．（5分）已知抛物线y2=﹣4x的焦点F和点A（3，﹣3），P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值等于5．【解答】解：因为A在抛物线外部，抛物线的焦点F（﹣1，0），∴当P、A、F共线时，|PA|+|PF|最小，此时|PA|+|PF|=|AF|==5，故答案是5．16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是2．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故答案为2．三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；（4分）因为双曲线的离心率e∈（1，2），所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15；…（8分）若p真q假，则m∈∅；若p假q真，则综上：m的取值范围为[，15）…（12分）18．（12分）已知直线l1：3x+4y﹣2=0和l2：2x﹣5y+14=0的相交于点P．求：（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程．【解答】解：由解得，即点P坐标为P（﹣2，2），直线2x ﹣y+7=0的斜率为2（Ⅰ）过点P且平行于直线2x﹣y+7=0的直线方程为y﹣2=2（x+2）即2x﹣y+6=0；（Ⅱ）过点P且垂直于直线2x﹣y+7=0的直线方程为即x+2y﹣2=0．19．（12分）某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞10”概率．【解答】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．（3分）（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x、y（5分）成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，（6分）若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，（7分）若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，（8分）若m，n分别在[50，60）和[90，100]内时，有共有6种情况，所以基本事件总数为10种，（9分）事件“|m﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种（10分）∴．（12分）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，F是PC上的一点．（1）若PB∥平面AEF，试确定F点位置；（2）在（1）的条件下，若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】解：（1）连结AF，EF，∵PB∥平面AEF，PB⊂平面PBC，平面PBC∩平面AEF=EF，∴PB∥EF．又在△PBC中，E是BC的中点，∴F为PC的中点．…（4分）（2）∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，∴AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．所以AE，AD，AP两两垂直．（6分）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（），∴=（，﹣1，﹣a），且=（，0，0）为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，由sinθ=|cos＜，＞|===（8分）解得a=2 所以=（，0，0），=（，，1）设平面AEF的一法向量为=（x1，y1，z1），则，因此，取z1=﹣1，则=（0，2，﹣1），（10分）∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴为平面AFC的一法向量．又=（﹣，3，0），∴cos＜，＞=．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．（12分）22．（12分）在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率k AE与直线AF的斜率k AF满足k AE+k AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）依题意知直线A1N1的方程为：①﹣﹣﹣（1分）直线A2N2的方程为：②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得由mn=3整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴轨迹M的方程为（x≠±2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为﹣﹣（8分）设k AE=k，则直线AE方程为：，代入并整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设E（x E，y E），F（x F，y F），∵点在轨迹M上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣③，④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又k AE+k AF=0得k AF=﹣k，将③、④式中的k代换成﹣k，可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线EF的斜率∵∴即直线EF 的斜率为定值，其值为﹣﹣﹣（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

阳一中2015—2016学年度第一学期第一次月考高二理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用“辗转相除法”求得459与357的最大公约数是( )A ．3B ．9C ．17D ．512.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石3.把二进制数1011001（2）化为“五进制”的数是 （ ）A. 224（5）B. 234（5）C. 324（5）D. 423（5）4.圆1C :2266480x y x y +-+-=与圆222:48440C x y x y ++--=公切线的条数是（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条5.一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.81 B. 71C.61D.51 6.已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+内异于圆心的一点，那么200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是 ( ) A ．相交但不经过圆心 B ．相交且经过圆心 C ．相切 D ．相离7.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-= 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的=aA. 0B. 2C. 4D. 14 9.x m =+无实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．[0,1)C ．(-,-1)(2,+)∞∞D ．)∞10.已知点(0,2)A ，点(,)P x y 坐标的(,)x y 满足801406x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则OAP z S =三角形（O 是坐标原点）的最值的最优解是A ．最小值有无数个最优解，最大值只有一个最优解B ．最大值、最小值都有无数个最优解C ．最大值有无数个最优解，最小值只有一个最优解D ．最大值、最小值都只有一个最优解11.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．612. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（第14题图）13.用秦九韶算法计算多项式642()=3+5+7+8+1f x x x x x ，当=0.4x 时的值时,需要做乘法和加法的次数共 次.14.某程序框图如图所示，则输出结果是______15. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.16. 从圆C:x 2+y 2-6x-8y+24 = O 外一点P 向该圆引切线PT ,T 为切点，且｜PT ｜＝｜PO ｜(0为坐标原点）,则(1)｜PT ｜的最小值为______；(2) |PT|取得最小值时点P 的坐标为_____.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知圆与y 轴相切，圆心在直线l :x -3y =0上，且被直线y =x 截得弦长为27，求该圆的标准方程.18. （本小题满分12分） 在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，面积C S cos ab 23=. （1）求角C 的大小；（2）设函数2cos 2cos 2sin3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值,及取得最大值时角B 的值.19. （本小题满分12分）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34a =，23S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()21n n b n a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T .20.（本小题满分12分）已知曲线C ：22240x y x y m +--+=，O 为坐标原点 （1）当m 为何值时，曲线C 表示圆；（2）若曲线C 与直线 230x y +-=交于M 、N 两点，且OM⊥ON，求m 的值．21. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,90ADC ∠=,1AB AD PD ===,2CD =. （1）求证:BC ⊥平面PBD ;（2）设Q 为侧棱PC 的中点,求三棱锥Q-PBD 的体积;（3）若N 是棱BC 的中点，则棱PC 上是否存在点M ，使MN 平行于平面PDA ？若存在，求PM 的长；若不存在请说明理由。

2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）直线x﹣y+3=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）A．13B．14C．15D．163．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4C．2D．24．（5分）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a 的值为（）A．B．C．﹣2D．25．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．1236．（5分）圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切7．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54B．27C．18D．98．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0）C．f（1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）9．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．10．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件11．（5分）函数f（x）=ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．0＜a＜C．＜a＜1D．a＞1 12．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．3二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（2，3，5），点B（3，1，4），那么A，B两点间的距离为．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．15．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．16．（5分）若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=1，CD=2．（1）求证：AB∥平面PCD；（2）求证：BC⊥平面PBD．19．（12分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN 的方程．21．（12分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣，0），B（，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点（1，0）作直线l交曲线C于M，N两点，若线段MN中点的横坐标为．求此时直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=e x（x3﹣x2﹣3x+a）．（1）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣2=0，求实数a的值；（2）若函数f（x）有三个极值点，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）直线x﹣y+3=0的斜率是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由x﹣y+3=0，得，即．∴直线x﹣y+3=0的斜率是．故选：A．2．（5分）某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；∴这组数据的中位数是=15．故选：C．3．（5分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4C．2D．2【解答】解：双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选：B．4．（5分）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a的值为（）A．B．C．﹣2D．2【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选：C．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3B．11C．38D．123【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选：B．6．（5分）圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．故选：D．7．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54B．27C．18D．9【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．8．（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f′（x），g′（x）且f′（x）＜g′（x）．则下列结论一定成立的是（）A．f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）B．f（1）+g（0）＞g（1）+f（0）C．f（1）﹣g（0）＞g（1）﹣f（0）D．f（1）﹣g（0）＜g（1）﹣f（0）【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，故F（x）=f（x）﹣g（x）在定义域上为减函数，故F（1）＜F（0），故f（1）﹣g（1）＜f（0）﹣g（0）；故f（1）+g（0）＜g（1）+f（0）；故选：A．9．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为bx+ay=0，∵双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，∴=2a，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故选：D．10．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，命题p的否定￢p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；故选：C．11．（5分）函数f（x）=ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．0＜a＜C．＜a＜1D．a＞1【解答】解：f′（x）=ax2﹣2x，函数f（x）=ax3﹣x2+5（a＞0）在（0，2）上不单调，即函数f（x）在（0，2）内有极值点，因为a＞0，且f′（0）=0，所以有f′（2）＞0，即4a﹣4＞0，解得a＞1．故选：D．12．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（2，3，5），点B（3，1，4），那么A，B两点间的距离为．【解答】解：∵点A（2，3，5），点B（3，1，4），∴A，B两点间的距离：|AB|==．故答案为：．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．【解答】解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG 与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°15．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是 1.75百吨．【解答】解：==2.5，==3.5．∴3.5=﹣0.7×2.5+a，解得a=5.25．∴线性回归方程是y=﹣0.7x+5.25．当x=5时，y=﹣0.7×5+5.25=1.75．故答案为：1.75．16．（5分）若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为．【解答】解：∵直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点，∴≤，解得﹣1≤a≤3，∴在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为=故答案为：．三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17．（10分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=1，CD=2．（1）求证：AB∥平面PCD；（2）求证：BC⊥平面PBD．【解答】（本小题满分13分）证明：（1）∵AB∥CD，…（2分）AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD…（5分）∴AB∥平面PCD…（6分）（2）在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1，∴，…（7分）∴BC2=（CD﹣AB）2+AD2=2，在△CBD中，由勾股定理的逆定理知，△CBD是直角三角形，且CB⊥BD，…（9分）又PD⊥底面ABCD，CB⊂平面ABCD，∴CB⊥PD，…（11分）∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．…（13分）19．（12分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．【解答】解：（1）由各组的累积频率为1，可得：0.1+0.1+0.14+0.45+a=1，所以a=0.21，（2分）平均承受能力，即城市居民的平均承受能力大约为5070元；（5分）（2）用分层抽样的方法在这两组中抽5人，即[3.5，4.5）组中抽2人与[5.5，6.5）抽3人，设[3.5，4.5）组中两人为A1，A2，[5.5，6.5）组中三人为B1，B2，B2，从这5人中随机取2人，有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10中，符合两人承受能力不同的有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3共6中，所以所求概率为．（12分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN 的方程．【解答】（本题满分14分）（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．…（3分）得圆O的方程为x2+y2=4．…（6分）（2）由题意，可设直线MN的方程为2x﹣y+m=0．…（8分）则圆心O到直线MN的距离．…（10分）由垂径分弦定理得：，即．…（12分）所以直线MN的方程为：或．…（14分）21．（12分）在直角坐标系xOy中，已知A（﹣，0），B（，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k AC，k BC满足条件．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点（1，0）作直线l交曲线C于M，N两点，若线段MN中点的横坐标为．求此时直线l的方程．【解答】解：（1）设C（x，y）（2）解：当直线斜率不存在时，不满足题意．当直线斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=，∴k=±，∴直线l的方程y=±（x﹣1）．22．（12分）已知函数f（x）=e x（x3﹣x2﹣3x+a）．（1）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣2=0，求实数a的值；（2）若函数f（x）有三个极值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）已知函数f（x）=e x（x3﹣x2﹣3x+a）．则：f′（x）=e x（）+e x（3x2﹣3x﹣3）=e x（x3+﹣6x+a﹣3）f′（0）=a﹣3由于直线方程为x+y﹣2=0的斜率为﹣1，所以：a﹣3=﹣1解得：a=2．（Ⅱ）函数f（x）有三个极值点，即f′（x）=e x（x3+﹣6x+a﹣3）有三个不同的实数根．设k（x）=f′（x）=e x（x3+﹣6x+a﹣3）由于e x＞0，所以：只需满足g（x）=（x3+﹣6x+a﹣3）有三个不同的实数根即可．g′（x）=3x2﹣3x﹣6=3（x﹣2）（x+1）令g′（x）=0，解得：x=2或﹣1．①当x＜﹣1时，g′（x）＞0，所以g（x）为增函数．②当﹣1＜x＜2时，g′（x）＜0，所以函数g（x）为减函数．③当x＞2时，g′（x）＞0，所以函数g（x）为增函数．所以当x=﹣1时，函数g（x）取极大值，当x=2时，函数g（x）取极小值．即，解不等式组得：，即：实数a 的取值范围为：．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为A ．若x 2≠1，则x ＝1B ．若x 2＝1，则x ≠1 C ．若x 2≠1，则x ≠1 D ．若x ≠1，则x 2≠1【答案】C 【解析】试题分析：否命题是对原命题的条件和结论分别否定，所以其否命题为若x 2≠1，则x ≠1。

故选C 。

考点：写出已知命题的否命题。

2.两条直线3)1(:1=-+y a ax l ，2)32()1(:2=++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是 A ．1 或3- B ．1 C ．5- D ． 0 或 3- 【答案】A考点：直线垂直的充要条件。

【方法点睛】判断两条直线垂直的方法：①当两条直线中，其中一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直；②当两直线的斜率乘积等于-1时，两条直线垂直。

另外，当两条直线的方程是一般式时，即002221111=++=++C y B x A C y B x A l ,:时，0212121=+⇔⊥B B A A l l ,该法避免讨论，简单快捷。

3.下列四种说法中，正确的个数有①命题,"R x ∈∀均有"0232≥--x x 的否定是：,"R x ∈∃使得"0232≤--x x ； ②“命题Q P ∨为真”是“命题Q P ∧为真”的必要不充分条件； ③R m ∈∃，使mm mxx f 22)(+=是幂函数，且在),0(+∞上是单调递增；④不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成1=+bya x 。

A.3个 B.2个C.1个D.0个【答案】B考点：命题及其关系4.若直线kx y =与圆1)2(22=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为A ．21-=k ，4=bB ．21-=k ， 4-=b C ． 21=k ，4=b D ．21=k ， 4-=b 【答案】D 【解析】试题分析：依题意知，圆心（2，0）在直线02=++b y x ，所以代入得b=-4.同时，直线kx y =与直线02=++b y x 垂直，所以21=k 。