浙江省余姚中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(附解析)

余姚市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.2． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）A B ．12 C ．12- D ． 3． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54． 10y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60D ．305． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.6． 若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．27． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l ⊥m ，（2）α⊥β⇒l ∥m ， （3）l ∥m ⇒α⊥β，（4）l ⊥m ⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（2）与（4）D ．（3）与（4）8． 用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 、b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除9． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．￢p 或qD ．p 且￢q10．已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）A ．B ．C ．D ．11．函数y=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）A ． =B ．∥C ．D ．二、填空题13．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．14．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．16．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．17．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.18．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调；（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1＞0）是曲线f （x ）上的两点，试探究：当a ＜0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．20．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．（Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）=•，x ∈[0，]的值域．21．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()221ln f x ax a x x =+--，R a ∈．⑴若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1sin 8g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．22．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D （2，0）．（1）求该椭圆的标准方程； （2）设点，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．23．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .24．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．（1）若p=，求A ∩B ；（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．余姚市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B2． 【答案】D 【解析】试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=． 考点：余弦的两角和公式. 3． 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线方程为：x=﹣1，∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．4． 【答案】C 【解析】10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 5． 【答案】A6．【答案】B【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，可得：，可得a2=b2，c=a，e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．7．【答案】B【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．8．【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．9．【答案】C【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．10．【答案】A【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log23＞4∴f（2+log23）=f（3+log23）=故选A．11．【答案】D【解析】解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．12．【答案】D【解析】解：由图可知，，但不共线，故，故选D．【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．二、填空题13．【答案】必要不充分【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分14．【答案】{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}={（x，y）|xy＞0且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}故答案为：{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．15．【答案】5【解析】试题分析：'2'=++∴-=∴=．()323,(3)0,5f x x ax f a考点：导数与极值．16．【答案】．【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x ＞0时有解，所以3（a ﹣3）x 3+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，即f'（x ）=3x 2﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．17．【答案】()2212x y -+=或()2212x y ++=【解析】试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入()0,1-得02x =±，则()()2,1,2,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2212x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()2212x y ++=．1考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．18．【答案】 （，） ．【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2=1，① ∵点A （2，0），点B （0，3）， ∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b 时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…此时，（x＞0）．f'x=0x=1f x f'x（Ⅱ）（x＞0）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：）所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调．…（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…由，得．…令，，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增．且，，结合（*）式可得，，．令h（x）=p（x）+q（x），由以上证明可得，h（x）在区间[x1，x2]上单调递增，且h（x1）＜0，h（x2）＞0，…所以函数h（x）在区间（x1，x2）上存在唯一的零点x0，即成立，从而命题成立．…（注：在（Ⅰ）中，未计算b的值不扣分．）【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，）．∴tan θ=tan （α+）==，∴由解得，∴点A 的坐标为（，）．（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+cos2x=sin （2x+）由x ∈[0，]，可得2x+∈[，]，∴sin （2x+）∈[﹣，1]，∴函数f （x ）的值域为[﹣，]．【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．21．【答案】⑴2a =⑵11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⑶2【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）在点11f （，（））处的切线方程，代入点211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），分析可得必有()()215218f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：⑵()()()211'ax x f x x-+=，∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，410{ 610a a -≥∴-≥，得14a ≥；若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，410{ 610a a -≤∴-≤，得16a ≤，综上，实数a 的取值范围为11,,64⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，()max 128g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()min 158f x ∴≥，即()()21521ln 8f x ax a x x =+--≥，由()()()()()222112111'221ax a x ax x f x ax a x x x+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；当0a >时，由()'0f x =，得12x a=或1x =-（舍去）， 当102x a<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当12x a>时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 11528f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥，整理得，()117ln 2228a a -⋅≥， 设()1ln 2h x x x =-，()21102h x x x∴=+>'，()h x ∴单调递增，a Z ∈，2a ∴为偶数，又()172ln248h =-<，()174ln488h =->，24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

浙江省余姚中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．122． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x = B ．22y x = C ．24y x = D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．3． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x gB ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.4． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（ ）111]A ．4πB ．4π或34πC ．3π或23πD ．3π5． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 6． 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3||log xx y a =的图象大致是 （ ）【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 7． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．8． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A ．14 B ．12C ．D ． 9． 已知集合{}{}2|10,,|03,A x x x R B x x x R =-≥∈=≤<∈，则A B =（ ）A ．{}|13,x x x R <<∈B ．{}|13,x x x R ≤≤∈C ．{}|13,x x x R ≤<∈D ．{}|03,x x x R <<∈ 10．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 11．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个 12．下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设某双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .14．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 15．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 16．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018学年度余姚中学高二数学期中考试试卷第一学期命题老师：龚凤 审题老师：朱丽君一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆22132x y +=与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则PA PB k k ⋅=（ ▲ ） A.32 B.32- C.23 D.23- 2. 下列命题一定正确的是（ ▲ ）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面 3. 边长为（ ▲ ）A.4B. 1C.D. 8 4. 已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的（ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ▲ ） A.()1,2 B.()2,3 C.(),1-∞ D.()3,+∞6. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A. //,,//m m n m n βααβ⊂=⇒ B. ,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥C. ,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D. //,//m n m n αα⊂⇒ 7. 一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ．其中正确的个数为（ ▲ ）个A.1B.2C.3D.48. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD N B ==，G 为线段MC 的中点．则下列结论中不正确的是（ ▲ ）A.MC AN ⊥B.//GB 平面AMNC.平面CMN ⊥平面AMND.平面//DCM 平面ABN9. 已知,,A B C 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，直线AC 经过椭圆右焦点，若BF AC ⊥，且4BF CF =，则椭圆的离心率是（ ▲ ）A.2 B. C. D. 510. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点,M N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A. 若15θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 B. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 C. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分 D. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知原命题为“若01x <<，则21x <”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”) ． 12. 某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.13. 已知椭圆C ：2212x y +=，则其长轴长为___▲___；若为椭圆C 的右焦点，为上顶点，为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值___▲___.14. 已知椭圆C :22149x y +=与动直线3:2l y x m =+相交于,A B 两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦AB 的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为___▲___.15. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，，二面角S AC B --的余弦值是___▲___. 16. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___. 17. 已知0a >，b R ∈，若对任意的0x >，关于的不等式2(1)(4)0ax x bx -+-≥恒成立，则2b a+的最小值是___▲___.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知条件：实数满足使对数22log (275)t t -+-有意义；条件：实数满足不等式2(3)20t a t a -+++<.（1）若命题p ⌝为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ,90ABC BCD ∠=∠=︒,12PA PD DC CB AB ====,是线段PB 的中点. （1）求证： //EC 平面APD ；（2）求PB 与平面ABCD 所成的角的正切值； （3）求二面角P AB D --的余弦值.20. 设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F. （1）求椭圆方程；（2）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点，2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.21. 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥2AB BC CA AP ====，G 是ABC ∆重心，是线段PC 上一点，且CE CP λ=.（1）当//EG 平面PAB 时，求λ的值； （2）当直线CP 与平面ABE所成角的正弦值为7时，求λ的值.22. 如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心)P是椭圆上一点。

2019学年余姚中学高二上学期期中试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 双曲线2222x y -=的焦点坐标是A. ()1,0±B. ()0,1±C. (0,D.()2. 已知椭圆221168x y +=上的一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于6，那么点M 到椭圆的另一个焦点的距离等于A. 2B. 4C. 6D. 83. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角45 ，，上底长为2的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A. B. 6C.D. 4. 设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，下列正确的是 ①m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ②m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ③//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是 A.B. 50πC. D. 200π 6、已知抛物线2:8=C y x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若14=FP FQ ，则=QFA. 6B.52C. 3D. 2 7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①⊥AB EF ；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④ MN CD .其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48.在长方体1111-ABCD A B C D中，11,===AB BC AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BCD9.已知12、F F 分别是双曲线()222210,0-=>>x y a b a b 的左右焦点，以12F F 为直径的圆交渐近线=by x a于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于点Q ，若Q 是线段 1PF 的中点，则该双曲线的离心率为A.B. 1-C.D .1+10.如图，三棱柱111-ABC A B C 满足棱长都相等且1⊥AA 平面ABC ，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设=AE x ，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是A.先增大后减小B. 减小C. 增大D. 先减小后增大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分 11. 双曲线22:14x C y -=的渐近线方程为 ，设双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>经过点()4,1且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为 .12. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积是 ；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120︒，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ，体积为 .114. 方程112x y ++-=表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为 ，面积为 . 15. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若90AMB ∠=︒，则k =16.如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆上一动点，PA ⊥圆O 所在的平面，且2PA PB ==，过点A 作平面PB ⊥，交,PB PC 分别于,E F ，当三棱锥P AEF -体积最大时，tan BAC ∠= .17.已知椭圆22221(0)x ya b a bΓ+=>>：，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点，以线段MN 为直径的圆经过原点，若椭圆Γ，则a 的取值范围为 .俯视图侧视图正视图B三、解答题：本大题共5小题，共74分18.如图，已知三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，122AB BC PA PC ====，0120ABC ∠=.（I ）证明：PA BC ⊥；（II ）设点E 为PC 的中点，求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.19.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于,M N 两点，线段MN 的长度为1. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 经过定点(0,2)，且与椭圆C 交于,A B 两点，O 为原点，求三角形OAB 面积的最大值.20.已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)A .(1)求抛物线C 的方程； (2)如图，直线MN 与抛物线C 交于,M N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k 和2k ，且123k k +=，求证：直线MN 过定点，并求出定点.21.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，22BC CD AB ===，PAD ∆是等边三角形，M ，N 分别是BC ，PD 中点. (1)求证：//MN 平面PAB ； (2)若二面角P AD C --的大小为3，求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值.B22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的不同两点，点(4,0)D -，且满足DA DB λ= ，若31[,]82λ∈，求直线AB 的斜率k 的取值范围.。

2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x23+y22=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A. 32B. −32C. 23D. −232.下列命题一定正确的是（）A. 三点确定一个平面B. 依次首尾相接的四条线段必共面C. 直线与直线外一点确定一个平面D. 两条直线确定一个平面3.边长为22的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A. 24B. 1C. 22D. 84.设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知方程(m−1)x2+(3−m)y2=(m−1)(3−m)表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )A. (1,2)B. (2,3)C. (−∞,1)D. (3,+∞)6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A. m//β，m⊂α，α∩β=n⇒m//nB. α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC. α⊥β，m⊥α，n//β⇒m⊥nD. m//α，n⊂α⇒m//n7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③8.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A. MC⊥ANB. GB//平面AMNC. 面CMN⊥面AMND. 面DCM//面ABN9.已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A. 22B. 53C. 74D. 11510.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）A. 若θ=15∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分B. 若θ=30∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分C. 若θ=45∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分D. 若θ=60∘，则点Q的轨迹为椭圆的一部分二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式______，它是______（填写”真命题”或”假命题”）．12.某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于______；表面积等于______．13.已知椭圆C的方程为x22+y2=1，则其长轴长为______；若F为C的右焦点，B为C 的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为______．14.已知椭圆C：x24+y29=1与动直线l：y=32x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为______；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为______．15.在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是33，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是______．16.已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π12，π4]，则椭圆离心率的范围是______．17.已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0恒成立，则b+2a的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知：条件p ：实数t 满足使对数log 2（-2t 2+7t -5）有意义；条件q ：实数t 满足不等式t 2-（a +3）t +a +2＜0（1）若命题￢p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°，PA =PD =DC =CB =12AB ，E 是PB 的中点，（Ⅰ）求证：EC ∥平面APD ；（Ⅱ）求BP 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角P -AB -D 的余弦值．20. 设椭圆方程x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），F 1，F 2是椭圆的左右焦点，以F 1，F 2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为 3的正三角形． （I ）求椭圆方程；（II ）过F 1，F 2分别作直线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，设l 1与椭圆交于A ，C 两点，l 2与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．21.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为427时，求λ的值．22.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，P（2，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（2，1）作圆C：（x-2）2+y2=r2（0≤r≤12）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），则A（-，0），B（，0），所以k PA•k PB==-．故选：D．选取P为上顶点，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．2.【答案】C【解析】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：边长为的正方形，面积为=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2：1，所以这个正方形直观图的面积为：=2．故选：C．根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可．本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度．4.【答案】C【解析】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=-2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m），即，方程（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m-1＞3-m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m-1＞3-m＞0，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，将椭圆方程化为标准方程是解题的关键，考查解不等式的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7.【答案】D【解析】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选：D．将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD-A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD-A'NC'M中，二面角A-MN-C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD-A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD-A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：设椭圆的左焦点F1（-c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=4m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a-4m，|CF1|=2a-m由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF|2，则16m2+（2a-3m）2=（2a-m）2，整理得：m=，在Rt△AF1F中，16m2+（2a-4m）2=（2c）2，将m=，代入解得椭圆的离心率e==，故选：B．利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：直线DQ与MN所成角的最小值即为直线DQ与平面ABCD的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D 为顶点，母线与轴DD1夹角为90°-θ的圆锥侧面，对角面A1BCD1与底面ABCD夹角为45°故当θ＞45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分当θ=45°，则点Q的轨迹为抛物线的一部分当0°＜θ＜45°，则点Q的轨迹为双曲线的一部分故选：D．直线DQ与MN所成角的最小值即为直线DQ与平面ABCD的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D为顶点，母线与轴DD1夹角为90°-θ的圆锥侧面，结合圆锥曲线的几何定义，可得答案．本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．11.【答案】若x2≥1，则x≤0或x≥1 假命题【解析】解：原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式“若x2≥1，则x≤0或x≥1”，是假命题，故答案为：若x2≥1，则x≤0或x≥1，假命题，直接写出它的逆否命题即可，再判断其真假．本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题38+3+712.【答案】43【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥E-ABCD，其中底面ABCD为边长为2的正方形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，将底面放置到水平位置后，如图所示：由侧视图可知棱锥的高EM=，底面ABCD的面积为4，∴棱锥的体积为V=×4×=．侧面ECD的面积为：，侧面EBC和EAD的面积为2，侧面EAB的面积为：，∴棱锥的表面积S=故答案为：，作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据进行计算本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，难度中档．13.【答案】2232【解析】解：椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2a=2；若F为C的右焦点（1，0），B为C的上顶点（0，1），P为C上位于第一象限内的动点（cosα，sinα），则BF=，BF的方程为x+y=1，P到BF的距离为：=≤，其中tan，OBF的面积为：=，三角形BFP面积的最大值为：=，则四边形OBPF的面积的最大值为．故答案为：2；．利用椭圆方程真假求解椭圆的长轴长；求出BF的方程，设出P的坐标，利用顶点坐标的距离以及BF的距离，求出四边形OBPF的面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．14.【答案】（-3，3）y=3x，x∈[-3，3]【解析】解：由，得：18x2+12mx+4m2-36=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2-4×18（4m2-36）＞0，可得：-3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：x=y．故答案为：（-3，3）；y=3x，x∈[-3，3]．直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．15.【答案】6π【解析】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2-AD2=22-12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×=2，满足SB2=SD2-BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．审题后，二面角S-AC-B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．16.【答案】[22，63]【解析】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17.【答案】4【解析】解：根据题意，对于（ax-1）（x2+bx-4）≥0，设f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，对于f（x）=ax-1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx-4，必有g（）=+-4=0，即b=4a-，则b+=（4a-）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．根据题意，f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+-4=0，变形可得b=4a-，据此可得b+=（4a-）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．18.【答案】解：（1）条件p：实数t满足使对数log2（-2t2+7t-5）有意义，则-2t2+7t-5．＞0，解得1＜t＜52，+∞)．若命题￢p为真，∴p为假，∴t∈（-∞，1]∪[52（2）条件q：实数t满足不等式t2-（a+3）t+a+2＜0，化为（t-1）[x-（a+2）]＜0．（*）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴必然a+2＞1，（*）化为：1＜x＜a+2．且5＜a+2．2．联立解得：a＞12∴实数a的取值范围是a＞1．2【解析】（1）条件p：实数t满足使对数log2（-2t2+7t-5）有意义，kd-2t2+7t-5＞0，解得t 范围，根据命题￢p为真，可得p为假，即可得出t的范围．（2）条件q：实数t满足不等式t2-（a+3）t+a+2＜0，化为（t-1）[x-（a+2）]＜0．根据命题p是命题q的充分不必要条件，可得必然a+2＞1，进而得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且EF=12AB，又∵DC∥AB，DC=12AB，∴EF−//DC，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，DC=CB=12AB 设AB=2a，则BD=a，在△ABD中，∠DBA=45°，∴AD=a，PH= PD2−DH2= a2−12a2=22a．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴HB= DH2+DB2=12a2+2a2=102a，∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=PHHB =22a102=55，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为55．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，HA=22a，又∠HAB=450∴HG=12a，在Rt△PHG中，tan∠PGH=PHHG =22a12a=2，∴二面角P-AB-D的余弦值大小为33．【解析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由此能求出二面角P-AB-D 的余弦值大小．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解（I ）由题设可得：a =2c bc = 3，∵a 2-b 2=c 2， ∴a 2=4，b 2=3，故椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，S =6当直线斜率存在时，设直线l i ：y =k （x +m ），代入椭圆方程得：（3+4k 2）x 2+8k 2mx +4k 2m 2-12=0， 则x 1+x 2=−−8k 2m 3+4k 2，x 1⋅x 2=4k 2m 2−123+4k 2；所以弦长= 1+k 2|x 1−x 2|= 1+k 2 (−8k 2m 3+4k 2)2−44k 2m 2−123+4k2=4 3 2 4k −k m +3(3+4k 2)2，设直线AC 的斜率为k ，不妨设k ＞0， 则|AC |=12(k 2+1)4k +3，|BD |=12(k 2+1)4+3k ，∴S ABCD =12⋅12(k 2+1)4k +3⋅12(k 2+1)4+3k =72(k 2+1)212+25k +12k =72(k 2+1)2k +12(k +1)=72k 222+12=721(k +1k )2+12∈[28849，6)综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[28849，6]． 【解析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，计算可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD 面积，综合即可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在．21.【答案】解：（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD ，∵AB =BC =AC ，G 是△ABC 重心， ∴G 是CD 的三等分点，且CG =23CD ，∵EG ∥平面PAB ，EG ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面PAB =PD ， ∴EG ∥PD ，∴CECP =CGCD =23，即λ=23．（2）以A 为坐标原点，以AC ，AP 为y 轴，z 轴作空间直角坐标系 A -xyz ，如图所示：则A （0，0，0），B （ 3，1，0），C （0，2，0）， P （0，0，2），E （0，2-2λ，2λ）， ∴CP =（0，-2，2），AB =（ 3，1，0），AE =（0，2-2λ，2λ），设平面ABE 的法向量为n =（x ，y ，z ），则n ⋅AB =0，n ⋅AE =0， ∴ 3x +y =0(2−2λ)y +2λz =0，令x =1可得，y =- 3，z = 3(1−λ)λ． ∴n=（1，- 3， 3(1−λ)λ），∴cos ＜n ，CP ＞=n ⋅CP |n ||CP |=2 3+2 3(1−λ)λ 4+3(1−λ)22⋅2 2= 32 7λ2−6λ+3， ∴当直线CP 与平面ABE 所成角的正弦值为 427时，32 7λ2−6λ+3= 427， ∴2 7λ2−6λ+3= 7，即28λ2-24λ+5=0．解得λ=12或λ=514． 【解析】（1）取AB 的中点D ，连结PD ，CD ，根据线面平行的性质可得EG ∥PD ，从而得出λ的值；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE 的法向量，根据夹角公式得出λ的值． 本题考查了线面平行的性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，P （ 2，1）是椭圆E 上一点．∴ e =ca = 222a +1b =1a 2=b 2+c 2，解得a =2，b = 2， ∴椭圆E 的方程为x 24+y 22=1．（2）由题意：切线PA ，PB 斜率相反，且不为0，令PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ．PA 的方程：y -1=k （x - 2），即y =kx +（1- 2k ），联立 y =kx +(1− 2k )x 24+y 22=1，∴（1+2k 2）x 2+4k （1- 2k ）x +2（1- 2k ）2-4=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有 2+x 1=-4k (1− 2k )1+2k 2，解得x 1=2 2k 2−4k− 21+2k 2，代入y =kx +（1- 2k ），得y 1=−2k2−22k +11+2k 2，同理x 2=2 2k 2+4k− 21+2k ，y 2=−2k2+22k +11+2k ，∴AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4 2k 8k= 22，故AB 的斜率为定值 22．【解析】（1）由椭圆离心率为，P （，1）是椭圆E 上一点．列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E 的方程．（2）令PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ．PA 的方程：y=kx+（1-），联立，得（1+2k 2）x 2+4k （1-）x+2（1-）2-4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1=，y 1=，同理，y 2=，由此能求出AB 的斜率为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程、切线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A．B．1C．D．84．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB 与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点Q为对角面A1BCD1内一动点，点M、N分别在直线AD和AC上自由滑动，直线DQ与MN所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（）A．若θ=15°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分B．若θ=30°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分C．若θ=45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分D．若θ=60°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式，它是（填写”真命题”或”假命题”）．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为．15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．（I）求椭圆方程；（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知椭圆=1与x轴交于A、B两点，P为椭圆上一动点（不与A、B重合），则k PA•k PB=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】选取P为上顶点，然后求解即可．【解答】解：由题意，本题是选择题，选项是常数，所以，选取P为上顶点（0，），则A（﹣，0），B（，0），所以k PA•k PB==﹣．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，选择题的解法的应用，可以直接求解，间接求解快速得到结果．2．下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次首尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面【分析】根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴A错误；对于B，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，∴B错误；对于C，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；对于D，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，∴D错误．故选：C．【点评】本题考查了确定平面的条件与应用问题，是基础题．3．边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）A．B．1C．D．8【分析】根据斜二测画法所得的直观图与原平面图形的面积比是常数，求解即可．【解答】解：边长为的正方形，面积为=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为2：1，所以这个正方形直观图的面积为：=2．故选：C．【点评】本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积比问题，牢记结论能够提高解题速度．4．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．5．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）【分析】将椭圆方程化为标准方程，由题意可得m﹣1＞3﹣m＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，将椭圆方程化为标准方程是解题的关键，考查解不等式的能力，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A．【点评】本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB 与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选：D．【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．MC⊥AN B．GB∥平面AMNC．面CMN⊥面AMN D．面DCM∥面ABN【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；对于B，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确故选：C．【点评】本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．9．已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆右焦点F，若BF⊥AC，且|BF|=4|CF|，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的定义及勾股定理求得a和c的关系，根据椭圆的离心率即公式即可求得椭圆E的离心率．【解答】解：设椭圆的左焦点F1（﹣c，0），连接AF1，BF1，CF1，设|CF|=m，由对称性可知：|AF1|=|BF|=4m，由椭圆的定义可知：|AF|=2a﹣4m，|CF1|=2a﹣m由AF1∥BF，则AF1⊥AC，则△AF1C中，由|AF1|2+|AC|2=|CF|2，则16m2+（2a﹣3m）2=（2a﹣m）2，整理得：m=，在Rt△AF1F中，16m2+（2a﹣4m）2=（2c）2，将m=，代入解得椭圆的离心率e==，故选：B ．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆位置关系，考查勾股定理的应用，考查转化思想，属于中档题．10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 为对角面A 1BCD 1内一动点，点M 、N 分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若θ=15°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分B ．若θ=30°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分C ．若θ=45°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分D ．若θ=60°，则点Q 的轨迹为椭圆的一部分【分析】直线DQ 与MN 所成角的最小值即为直线DQ 与平面ABCD 的夹角，则空间中所有满足直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ的点，构成一个以D 为顶点，母线与轴DD 1夹角为90°﹣θ的圆锥侧面，结合圆锥曲线的几何定义，可得答案． 【解答】解：直线DQ 与MN 所成角的最小值即为直线DQ 与平面ABCD 的夹角，则空间中所有满足直线DQ与MN所成角的最小值为θ的点，构成一个以D为顶点，母线与轴DD1夹角为90°﹣θ的圆锥侧面，对角面A1BCD1与底面ABCD夹角为45°故当θ＞45°，则点Q的轨迹为椭圆的一部分当θ=45°，则点Q的轨迹为抛物线的一部分当0°＜θ＜45°，则点Q的轨迹为双曲线的一部分故选：D．【点评】本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）已知原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式若x2≥1，则x≤0或x≥1，它是假命题（填写”真命题”或”假命题”）．【分析】直接写出它的逆否命题即可，再判断其真假．【解答】解：原命题为“若0＜x＜1，则x2＜1”，写出它的逆否命题形式“若x2≥1，则x ≤0或x≥1”，是假命题，故答案为：若x2≥1，则x≤0或x≥1，假命题，【点评】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题12．（6分）某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于；表面积等于．【分析】作出直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入数据进行计算【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，其中底面ABCD为边长为2的正方形，顶点E在底面的射影M为CD的中点，将底面放置到水平位置后，如图所示：由侧视图可知棱锥的高EM=，底面ABCD的面积为4，∴棱锥的体积为V=×4×=．侧面ECD的面积为：，侧面EBC和EAD的面积为2，侧面EAB的面积为：，∴棱锥的表面积S=故答案为：，【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，难度中档．13．（6分）已知椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2；若F为C的右焦点，B为C的上顶点，P为C上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值为．【分析】利用椭圆方程真假求解椭圆的长轴长；求出BF的方程，设出P的坐标，利用顶点坐标的距离以及BF的距离，求出四边形OBPF的面积的最大值．【解答】解：椭圆C的方程为+y2=1，则其长轴长为2a=2；若F为C的右焦点（1，0），B为C的上顶点（0，1），P为C上位于第一象限内的动点（cosα，sinα），则BF=，BF的方程为x+y=1，P到BF的距离为：=≤，其中tan，OBF的面积为：=，三角形BFP面积的最大值为：=，则四边形OBPF的面积的最大值为．故答案为：2；．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．14．（6分）已知椭圆C：=1与动直线l：y=x+m相交于A、B两点，则实数m的取值范围为（﹣3，3）；设弦AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为y=3x，x∈[﹣3，3] ．【分析】直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．【解答】解：由，得：18x2+12mx+4m2﹣36=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△=144m2﹣4×18（4m2﹣36）＞0，可得：﹣3＜m＜3．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：x=y．故答案为：（﹣3，3）；y=3x，x∈[﹣3，3]．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力．15．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．【点评】本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．16．已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|A F′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．17．已知a＞0，b∈R，当x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则b+的最小值是4．【分析】根据题意，f（x）=ax﹣1，g（x）=x2+bx﹣4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+﹣4=0，变形可得b=4a﹣，据此可得b+=（4a﹣）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0，设f（x）=ax﹣1，g（x）=x2+bx﹣4，对于f（x）=ax﹣1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx﹣4，必有g（）=+﹣4=0，即b=4a﹣，则b+=（4a﹣）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．【点评】本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知：条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义；条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0（1）若命题￢p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义，kd﹣2t2+7t﹣5＞0，解得t范围，根据命题￢p为真，可得p为假，即可得出t的范围．（2）条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0，化为（t﹣1）[x﹣（a+2）]＜0．根据命题p是命题q的充分不必要条件，可得必然a+2＞1，进而得出．【解答】解：（1）条件p：实数t满足使对数log2（﹣2t2+7t﹣5）有意义，则﹣2t2+7t﹣5＞0，解得1＜t＜．若命题￢p为真，∴p为假，∴t∈（﹣∞，1]∪．（2）条件q：实数t满足不等式t2﹣（a+3）t+a+2＜0，化为（t﹣1）[x﹣（a+2）]＜0．（*）∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴必然a+2＞1，（*）化为：1＜x＜a+2．且＜a+2．联立解得：a．∴实数a的取值范围是a．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且，又∵，∴，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在△ABD中，∠DBA=45°，∴，．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴，∴在Rt△PHB中，，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由，又，在Rt△PHG中，，∴二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（14分）设椭圆方程=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的左右焦点，以F1，F2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形．（I）求椭圆方程；（II）过F1，F2分别作直线l1，l2，且l1⊥l2，设l1与椭圆交于A，C两点，l2与椭圆交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得，计算可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD面积，综合即可得答案．【解答】解（I）由题设可得：，∵a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=3，故椭圆方程为；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，S=6当直线斜率存在时，设直线l i：y=k（x+m），代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2mx+4k2m2﹣12=0，则；所以弦长==，设直线AC的斜率为k，不妨设k＞0，则，，∴=综上，四边形ABCD面积的取值范围是．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB=BC=CA=AP=2，G是△ABC重心，E是线段PC上一点，且CE=λCP．（1）当EG∥平面PAB时，求λ的值；（2）当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．【分析】（1）取AB的中点D，连结PD，CD，根据线面平行的性质可得EG∥PD，从而得出λ的值；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE的法向量，根据夹角公式得出λ的值．【解答】解：（1）取AB的中点D，连结PD，CD，∵AB=BC=AC，G是△ABC重心，∴G是CD的三等分点，且CG=CD，∵EG∥平面PAB，EG⊂平面PCD，平面PCD∩平面PAB=PD，∴EG∥PD，∴，即λ=．（2）以A为坐标原点，以AC，AP为y轴，z轴作空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，2﹣2λ，2λ），∴=（0，﹣2，2），=（，1，0），=（0，2﹣2λ，2λ），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令x=1可得，y=﹣，z=．∴=（1，﹣，），∴cos＜，＞===，∴当直线CP与平面ABE所成角的正弦值为时，=，∴2=，即28λ2﹣24λ+5=0．解得λ=或λ=．【点评】本题考查了线面平行的性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2=r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．【分析】（1）由椭圆离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）令PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．PA的方程：y=kx+（1﹣），联立，得（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1=，y1=，同理，y2=，由此能求出AB的斜率为定值．【解答】解：（1）∵椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为=1．（2）由题意：切线PA，PB斜率相反，且不为0，令PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．PA的方程：y﹣1=k（x﹣），即y=kx+（1﹣），联立，∴（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有=﹣，解得x1=，代入y=kx+（1﹣），得y1=，同理，y2=，∴AB的斜率k AB===，故AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆方程、切线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

余姚中学高二数学第一次质量检测（理科实验班）满分150分时间120分钟一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1. 对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观 ( )图，其直观图面积是原三角形面积的A. 2倍倍倍 D.12倍2.圆的方程是(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0，则圆心的坐标是 ( )A．(1,－1) B．(12,－1)C.(－1,2) D．(－12,－1).3.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为21则该几何体的俯视图可以是（）4、已知抛物线方程为24y x=，直线l的方程为40x y-+=，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为1d，P到直线l的距离为2d，则12d d+的最小值为（）A．22+B．12+C．22-D．12-5、过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c->，作圆2224ax y+=的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若()12OE OF OP=+，则双曲线的离心率为（）A B C D6、P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．47.已知异面直线错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

所成的角为错误！未找到引用源。

，P 为空间一定点，则过点P 且与直线a,b 所成角都是错误！未找到引用源。

的直线有且仅有几条 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8、已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足1()2OR OP OQ =+，R 在抛物线准线上的射影为S ，设αβ、是PQS ∆中的两个锐角，则下列四个式子中 不一定．．．正确的是（ ）A ．tan tan 1αβ=B ．sin sin αβ+C ．cos cos 1αβ+>D ．|tan()|tan2αβαβ+->9.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°10.已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：（x ﹣错误！未找到引用源。

余姚中学高二实验班数学期中试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置上) 1.设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是 （ ）①若α⊥l ，则l 与α相交 ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．42. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k3．方程2212sin 6sin 2x y θθ+=+-所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线4.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是 （ ）正视图侧视图俯视图A ．B ．C ．D ． 5.已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ． 8D ．96．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ⑴BM 与ED 平行 ⑵CN 与BE 是异面直线 ⑶CN 与BM 成60︒ ⑷DN 与FN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A.⑴⑵⑶ B.⑵⑷ C.⑶⑷ D.⑵⑶⑷7．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为（ ）A ．恒等于2aB ．恒大于2aC ．恒小于2aD ．不确定8.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源A ，1AA 与球相切，16,AA =球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）A ．12 B．2 C．3 D．29.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为 （ ） A ．103B ．53C ．203 D．310．已知双曲线200822=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且 21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ）A ．12πB ．36πC ．18π D 无法确定二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 12将直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，则所得到的直线方程为 。