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2015-2016学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共36分）1．（3分）方程x（x+）=0的根是（）A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=22．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠04．（3分）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）5．（3分）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°7．（3分）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2 8．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2）10．（3分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC 的面积的比值为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC 的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣2二.填空题：共18分.13．（3分）坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=．14．（3分）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为15．（3分）请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y随x增大而增大；它的解析式可以是16．（3分）若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为cm．17．（3分）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：．18．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc ＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19．（8分）（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）（2）2x2+1=3x（配方法）20．（8分）二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．21．（10分）如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．（1）求∠COB的度数；（2）求CD的长．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．23．（10分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．24．（10分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）25．（10分）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S 的最大（小）值．2015-2016学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共36分）1．（3分）方程x（x+）=0的根是（）A．x1=0，x2=B．x1=0，x2=﹣C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【解答】解：方程x（x+）=0，可得x=0或x+=0，解得：x1=0，x2=﹣．故选：B．2．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选：B．3．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0【解答】解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．故选：D．4．（3分）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l 上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）【解答】解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选：B．5．（3分）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．6．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【解答】解：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选：A．7．（3分）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y=（x+2）2﹣2．故选：B．8．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2；④使y≤3成立的x的取值范围是﹣3≤x≤1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵二次函数的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确；②∵当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；③∵抛物线与x轴的交点分别是（﹣3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之和=﹣3+1=﹣2，故③正确；④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤﹣2，故④错误．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2）【解答】解：如图所示：结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．故选：A．10．（3分）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个正实数根．∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选：A．11．（3分）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC 的面积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；如图：设圆的半径为R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AO=OD•=R，即AB=2R；同理可求得：A1B1=R，∴==，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（）2=．故选：C．12．（3分）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC 的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．3 B．4﹣C．4 D．6﹣2【解答】解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin∠B=，∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A的坐标为（0，6）∴OA=6∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣故选：B．二.填空题：共18分.13．（3分）坐标平面内的点P（m，2）与点Q（3，﹣2）关于原点对称，则m=﹣3．【解答】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），所以m=﹣3．14．（3分）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为m＞0【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+（m+1），∴顶点坐标为（m，m+1），∵顶点在第一象限，∴m＞0，m+1＞0，∴m的取值范围为m＞0．故答案为：m＞0．15．（3分）请写出一个二次函数，使其满足以下条件：①图象过点（2，﹣2）；②当x＜0时，y随x增大而增大；它的解析式可以是y=﹣2x2+6【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大，∴设解析式为：y=﹣2x2+b，∵图象经过点（2，﹣2），∴﹣2=﹣2×22+b，解得：b=6．∴解析式为：y=﹣2x2+6（答案不唯一）．故答案为：y=﹣2x2+6（答案不唯一）．16．（3分）若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm、深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为14.5cm．【解答】解：根据题意，画出图形如图所示，由题意知，AB=10，CD=2，OD是半径，且OC⊥AB，∴AC=CB=5，设铅球的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，根据勾股定理，OC2+AC2=OA2，即（r﹣2）2+52=r2，解得：r=7.25，所以铅球的直径为：2×7.25=14.5 cm．17．（3分）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．【解答】解：∵去年对实验器材的投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2；∵预计今明两年的投资总额为8万元，∴2（1+x）+2（1+x）2=8．18．（3分）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc ＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）【解答】解：如图，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①的结论正确；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜﹣＜，∴+=＞0，∴a+b＞0，所以②的结论正确；∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，所以③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，∴am2﹣a+bm+b=0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0，∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确；∵＜c，而c≤﹣1，∴＜﹣1，∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误．故答案为③⑤．三．解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19．（8分）（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（适当方法）（2）2x2+1=3x（配方法）【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，可得x﹣2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=﹣1；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=1，x2=．20．（8分）二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．21．（10分）如图，在圆O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60°．（1）求∠COB的度数；（2）求CD的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∴，∴∠COB=∠DOB=∠COD，∴∠CFD=∠COB=60°；（2）Rt△COE中，OC=6cm，∠COE=∠CFD=60°；∴CE=OC•sin60°=3cm；∴CD=2CE=6cm．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=2．求证：CD是⊙O的切线．【解答】证明：连接OD，如图，CD=OD=OA=AB=2，OC=2，∵22+22=（2）2，∴OD2+CD2=OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴OD⊥CD，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．23．（10分）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，求建成的饲养室总面积的最大值（墙体厚度忽略不计）．【解答】解：设中间隔开的墙EF的长为x米，建成的饲养室总面积为S平方米，根据题意得AD﹣2+3x=28，解得AD=30﹣3x，则S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，故当中间隔开的墙长为5米时，饲养室有最大面积75平方米．24．（10分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于2，线段CE1的长等于2；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【解答】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1==2，E1C==2；故答案为：2，2；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵，∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BFA=∠CFP，∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1；（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，故∠ABP=30°，则PB=2+2，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．25．（10分）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S 的最大（小）值．【解答】解：（1）如答图1，连接CB．∵BC=2，OC=1∴OB===∴B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得：，解得：，∴y=﹣x2+x+；（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P1，P2．∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为y=，代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=，解得x1=1+或x2=1﹣，∴P1（1﹣，）或P2（1+，）；（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，设M（x m，y m），则S=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB△MAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB=（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×=x m+y m﹣，∵y m=﹣x m2+x m+，=x m+（﹣x m2+x m+）﹣∴S△MAB=﹣x m2+x m=﹣（x m﹣）2+，∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2015年-2016年天津市九年级数学上册各重点初中第一次月考真题
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2015〜2016学年度第一学期期中考试九年级数学试题卷2015.11・选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）1.下列方程是一元二次方程的是2,若关于x 的一元二次方程kx 2—2x —1=0有两个不相等的实数根，则3 .如图，/ADE=/ACD=/ABC,图中相似三角形共有（▲）A.1对B.2对C.3对D.4对4 .如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，则4DEF 与4ABC 的面积比是（▲）A.1：2B,1：4■C.1：5D.1：65 .如图，在Rt^ABC 中，/C=90°,D 是AC 边上一点，AB=5,AC=4,若△ABCs^BDC,则CD 的值为6 .下列命题：①圆周角的度数等于圆心角度数的一半；② 个圆；④同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.其中正确的是（▲）A.①②B.②③C.②④D.①④7 .如图，AB 是。
的直径，AB 垂直于弦CD,/BOC=70°,则/ABD 的度数为(▲)A.20°B,46°C.55°D,70°8 .9,若关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个本是—1,则a=▲10 .若x ：y=2：3,刃B 么x:（x+y ）=-▲11 .若关于x 的方程（m —3）x |m |—1+2x —7=0是一元二次方程，则m=▲A.x+2y=1B.x 2+5=0C.x 2+3=8 xD.3x+8=6x+2B.k>—1且kw0C.k<1D.kv1且kwo3B.2C. D. 二.填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共20分.）90。
的圆周角所对的弦是直径；③三个点确定 PQ 的最小值为C.4D.5（第3题） （第4题） （第5题） （第8题）（第7题） A,电 如图，OO 的半径为3,点O 到直线l 的距离为4,点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切。
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:一元二次方程x(x+5)=0的根是( )A.x1=0,x2=5B.x1=0,x2=-5C.x1=0,x2=D.x1=0,x2=-试题2:下列四个图形中属于中心对称图形的是( )试题3:已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为( )A. B.C.3D.4 试题4:抛物线y=-3x2+12x-7的顶点坐标为( )评卷人得分A.(2,5)B.(2,-19)C.(-2,5)D.(-2,-43)试题5:由二次函数y=2(x-3)2+1可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为x=-3C.其最大值为1D.当x<3时，y随x的增大而减小试题6:如图中∠BOD的度数是( )A.1500B.1250C.1100D.550试题7:如图，点E在y轴上，圆E与x轴交于点A，B,与y轴交于点C，D,若C(0,9),D(0，-1),则线段AB的长度为( )A.3B.4C.6D.8试题8:如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点,且OC//BD,AD分别与BC、OC相交于点E、F.则下列结论：①AD⊥BD;②∠AOC=∠ABC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF.其中一定成立的是( )A.①③⑤B.②③④C.②④⑤ D.①③④⑤试题9:《九章算术》中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少步”( )A.3步B.5步C.6步 D.8步试题10:如图，在△ABC中，∠CAB=650.将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB/C/的位置，使CC///AB,则旋转角度数为( )A.350B.400C.500D.650试题11:以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )A. B. C.D.试题12:如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别从B、C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC、CD运动，到点C、D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )试题13:点P(2，-1)关于原点的对称点坐标为P/(m,1),则m= .试题14:如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，4),将OA绕坐标原点O逆时针转900至OA/,则点A/的坐标是 .试题15:关于x的二次函数y=x2-kx+k-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数解析式：。
2015-2016 年度南开区九年级期末考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分。
每小题的四个选项中只有一个选项是正确的）1. 下列事件中是必然事件的是A. 平安夜下雪B. 地球在自转的同时还不停的公转C. 所有人15岁时身高必达到1.70米D. 下雨时一定打雷2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是3. 用配方法解方程，配方后的方程是A、＝3B、＝3C、＝5D、＝54. 下列关系式中：①y = 2x ;②= 5；③；④y = 5x +1；⑤y = x2−1；⑥⑦xy = 11，y是x的反比例函数的共有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2，BD=，则AB的长为A. 2B. 3C. 4D. 56. 对于函数，下列说法错误的是A. 这个函数的图像位于第一、第三象限B. 这个函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 当x<0时，y随x的增大而减小7. 在二次函数的图像中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是A. x>-1B. x<-1C. x>1D. x<18. 如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径为半圆，交弦AB 于点D，连接CD，则阴影部分的面积是A. π-1B. 2π-1C. －1D. －29. 已知两点A(5，6)、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为A. （2，3）B. （3，1）C. （2，1）D. （3，3）10. 如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若= 1: 3，则的值为A、B、C、D、11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = x经过点A，做AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B 逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为A. ( －1 )B. ( －2 )C. ( －，1)D. ( －，2)12. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + c与x 轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）（0，3）之间（包括端点），则下列结论：①当x>3时，y<0；②3a+b>0；③−1 ≤ a ≤ −;④3 ≤ n ≤ 4，正确的是A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④二、填空题（每小题3分，共18分）13. 在比例尺为1：1000000的地图上，量得甲、乙两地距离是15cm，则甲、乙两地的实际距离为km14. 如果两个相似三角形对应边的比为2:3，那么这两个相似三角形面积的比为15. 某口袋有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个。
天津南开区九年级上期中模拟数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．考点：旋转对称图形．【题文】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60【答案】C【解析】试题分析：根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，评卷人得分∴∠ACB=∠AOB=50°考点：圆周角定理．【题文】如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，则圆心O到弦AB的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解析】试题分析：过点D作OD⊥AB于点D，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理得出OD的值即可．过点D作OD⊥AB于点D．∵AB=8cm，∴AD=AB=4cm，∴OD===3cm．考点：(1)、垂径定理；(2)、勾股定理．【题文】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．2a+b=1D．方程ax2+bx+c=0有一个根是x=3【答案】D【解析】试题分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，得出ac＜0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据x=﹣=1，得出b=﹣2a，从而得出2a+b=0；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴ac＜0，故A选项错误；∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；∵x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，故C选项错误；∵对称轴x=1，一个交点是（﹣1，0），∴另一个交点是（3，0）∴方程ax2+bx+c=0另一个根是x=3，故D选项正确．考点：二次函数图象与系数的关系．【题文】已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．x＜1 D．x＞1【答案】C【解析】试题分析：根据y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，可得答案． y=（x﹣1）2+4， a=，当x＜1时y随x的增大而减小．考点：二次函数的性质．【题文】二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象（）A．向左平移1个单位，向上平移3个单位B．向右平移1个单位，向上平移3个单位C．向左平移1个单位，向下平移3个单位D．向右平移1个单位，向下平移3个单位【答案】C【解析】试题分析：根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），只需将函数y=﹣2x2+4x+1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=﹣ B．x=1 C．x=2 D．x=3【答案】D【解析】试题分析：由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；考点：二次函数的性质．【题文】如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【解析】试题分析：根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°考点：旋转的性质．【题文】如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）【答案】B【解析】试题分析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），∴旋转中心的坐标为（1，2）．考点：坐标与图形变化-旋转．【题文】如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，-）B．（﹣1，-）或（﹣2，0）C．（-，﹣1）或（0，﹣2）D．（-，﹣1）【答案】B【解析】试题分析：需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB==，∴∠AOB=30°．如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣1，﹣）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣2，0）；综上所述，点A1的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣2，0）；考点：坐标与图形变化-旋转．【题文】已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k>- B．k-且k≠0 C．k- D．k>-且k≠0【答案】B【解析】试题分析：直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系得出即可．∵二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，∴△=b2﹣4ac=25+20k≥0，k≠0，解得：k≥﹣，且k≠0．考点：抛物线与x轴的交点．【题文】如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：根据题意列出函数表达式，函数不是二次函数，也不是一次函数，又AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，用排除法做出解答．∵AB=4，AC=x，∴BC==，∴S△ABC=BC•AC=x，∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A、C，∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，即x=2时，y最大，故排除D 考点：动点问题的函数图象．【题文】如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．【答案】（2，0）【解析】试题分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．考点：(1)、垂径定理；(2)、点的坐标；(3)、坐标与图形性质．【题文】将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=．【答案】y=（x﹣2）2+1【解析】试题分析：将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．y=x2﹣4x+5， y=x2﹣4x+4﹣4+5， y=x2﹣4x+4+1， y=（x﹣2）2+1．考点：二次函数的三种形式．【题文】如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=20°，则∠C的度数是．【答案】65°【解析】试题分析：根据直角三角形定义可得∠BAC=90°，根据旋转可得AB=AB′，∠BAB′=90°，∠C=∠AC′B′，然后求出∠AB′C′，从而可得∠C的度数．∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC=90°，∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，∴AB=AB′，∠BAB′=90°，∠C=∠AC′B′，∴∠AB′B=45°，∵∠1=20°，∴∠AB′C′=45°﹣20°=25°，∴∠AC′B′=90°﹣25°=65°，∴∠C=65°考点：旋转的性质．【题文】如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为．【答案】65°【解析】试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B 的度数，即可求得∠BAD的度数．∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．考点：圆周角定理．【题文】初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：x…﹣2﹣112…y…﹣15.5﹣5﹣3.5﹣2﹣3.5…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=．【答案】﹣5【解析】试题分析：由点的坐标结合二次函数的对称性可以找出该二次函数图象的对称轴，找出与x=3对称的点的坐标，由此即可得出y值．试题解析：∵点（0，﹣3.5）、（2，﹣3.5）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，∴二次函数图象的对称轴为x==1，∵1×2﹣3=﹣1，且点（﹣1，﹣5）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，∴当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c中y=﹣5．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】如图，P是抛物线y=2（x﹣2）2对称轴上的一个动点，直线x=t平行y轴，分别与y=x、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=．【答案】或1或3【解析】试题分析：依题意，y=2x2﹣8x+8，设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），则AB=|t﹣（2t2﹣8t+8）|=|2t2﹣9t+8|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|t﹣2|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|t﹣2|；分别列方程求k的值．试题解析：∵y=2（x﹣2）2∴y=2x2﹣8x+8，∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=2x2﹣8x+8交于点A、B两点，∴设A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB=|t﹣（2t2﹣8t+8）|=|2t2﹣9t+8|，①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|t﹣2|，即|2t2﹣9t+8|=|t﹣2|，∴2t2﹣9t+8=t﹣2，或2t2﹣9t+8=2﹣t，解得t=或1或3；②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|t﹣2|，结果同上．考点：(1)、二次函数综合题；(2)、等腰直角三角形．【题文】如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在☉O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求弦AB的长．【答案】(1)28°；(2)8.【解析】试题分析：(1)、欲求∠DEB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；(2)、利用垂径定理可以得到AC=BC=AB=4，从而得到结论．试题解析：(1)、∵OD⊥AB，∴=，∴∠DEB=∠AOD=×54°=28°．(2)、∵OC=3，OA=5，∴AC=4，∵OD⊥AB，∴弧AD=弧BD=弧AB，∴AC=BC=AB=4，∴AB=8．考点：(1)、垂径定理；(2)、勾股定理；(3)、圆周角定理．【题文】小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大，最大面积是多少？【答案】(1)、S=x（30﹣x）(0＜x＜30)；(2)、x=15时，S有最大值为225平方米.【解析】试题分析：(1)、已知周长为60米，一边长为x，则另一边长为30﹣x．(2)、用配方法化简函数解析式，求出s的最大值．试题解析：(1)、S=x（30﹣x）自变量x的取值范围为： 0＜x＜30．(2)、S=x（30﹣x） =﹣（x﹣15）2+225，∴当x=15时，S有最大值为225平方米．即当x是15时，矩形场地面积S最大，最大面积是225平方米．考点：二次函数的应用．【题文】如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=S△BCD，求点P的坐标．【答案】(1)y=﹣（x﹣1）2+4；(2)C（﹣1，0），D（3，0）；6；(3)P（1+，），或P（1﹣，）【解析】试题分析：(1)设抛物线顶点式解析式y=a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解(2)令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；(3)、先根据面积关系求出点P 的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．试题解析：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4），∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，把点B（0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，∴x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）；∴CD=4，∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，∵S△PCD=S△BCD，∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，∴|yP|=，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴yP＞0，∴yP=，∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；∴=﹣（x ﹣1）2+4，∴x=1±，∴P（1+，），或P（1﹣，）．考点：二次函数综合题．【题文】设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．【答案】(1)、4；(2)、12【解析】试题分析：(1)、由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b2﹣4ac的值；(2)、当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=AB ，据此列出方程，解方程求出b2﹣4ac的值．试题解析：(1)、当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴|b2﹣4ac|=b2﹣4ac，∵AB=，又∵CD=（a≠0），∴，∴b2﹣4ac=，∵b2﹣4ac≠0，∴b2﹣4ac=4．(2)、如图，当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=AE=AB，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴，∴b2﹣4ac=12．考点：二次函数综合题．【题文】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．【答案】证明过程见解析【解析】试题分析：先根据圆周角定理得出∠DAC=∠DBC，再由角平分线的性质得出∠EAD=∠DAC，根据圆内接四边形的性质得出∠EAD=∠BCD，由此可得出结论．试题解析：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC．∵AD平分∠CAE ，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠DBC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．考点：(1)、圆内接四边形的性质；(2)、圆周角定理．【题文】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【答案】(1)、当1≤x＜50时，y==﹣2x2+180x+2000；当50≤x≤90时，y==﹣120x+12000；(2)、第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)、41【解析】试题分析：(1)、根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；(2)、根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；(3)、根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．试题解析：(1)、当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；(2)、当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)、当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．考点：二次函数的应用．【题文】正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB=∠（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ （3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．【答案】(1)、BF；∠AED；(2)、证明过程见解析；(3)、证明过程见解析【解析】试题分析：(1)、直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED；(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；(3)、根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2．试题解析：(1)、∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，∵DE=BF，∠AFB=∠AED．(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，∵∠PAQ=45°，∴∠PAE=45°∴∠PAQ=∠PAE，∴△APE≌△APQ（SAS），∴PE=PQ，而PE=PB+BE=PB+DQ，∴DQ+BP=PQ；(3)、∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°，如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，∴△BMK为直角三角形，∴BK2+BM2=MK2，∴BM2+DN2=MN2．考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质．【题文】如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0）和C，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）将x轴下方的抛物线图象关于x轴对称，得到新的函数图象C，若直线y=x+k与图象C始终有3个交点，求满足条件的k的取值范围．【答案】(1)、y=；(2)、＜m＜；(3)、1或【解析】试题分析：(1)、该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．(2)、首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．(3)、先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．试题解析：(1)、∵经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0），∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣4，(2)、由(1)知，抛物线解析式为yx2﹣x﹣4=（x2﹣7x）﹣4=（x﹣）2﹣，∴此抛物线向上平移个单位长度的抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线y=（x+m﹣）2﹣，∴抛物线的顶点P（﹣m+，﹣），对于抛物线y=x2﹣x﹣4，令y=0， x2﹣x﹣4=0，解得x=﹣1或8，∴B（8，0），∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），∴直线AB的解析式为y=﹣4x﹣4，直线AC的解析式为y=x﹣4，当顶点P在AB上时，﹣ =﹣4×（﹣m+）﹣4，解得m=，当顶点P在AC上时，﹣ =（﹣m+）﹣4，解得m=，∴当点P在△ABC内时＜m＜．(3)、翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+k知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点B（﹣1，0），∴0=﹣1+k，即k=1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=﹣x2+x+4（﹣1≤x≤8）的图象有一个公共点∴方程x+k=﹣x2+x+4，即x2﹣5x﹣8+2k=0有两个相等实根．∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k=．综上所述，k的值为1或．考点：二次函数综合题．。
南开区2015—2016学年度第一学期九年级期中试卷可能用到的相对原子质量H 1 C 12N 14O 16 F 19Cl 35.5K 39Mn 55I 127一．选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意）1．人们在不同季节的制作过程中，一定发生了化学变化的是（）A.春天花朵掰成花瓣B.夏天西瓜榨成汁C.秋天粮食酿成美酒D.冬天冰砖凿成冰雕2．规范的实验操作是化学实验成功的关键。
下列操作中正确的是（）3．地壳中含量最多的金属元素是（）A.OB.FeC.AlD.Si4．下列物质中属于纯净物的是（）A.洁净的空气B.冰水混合物C.汽水D.人呼出的气体5．大型客机 C919 是中国自主设计、研制的第二种国产新型客机，预计 2015 年底上市。
其部分机身采用了新型的铝锂合金，这种材料具有较高的强度和适宜的延展性。
铝锂合金中的铝（Al）元素与锂（Li）元素的本质区别是（）A.原子的质量不同B.原子的电子数不同C.原子的质子数不同D.原子的中子数不同6．化学实验中处处表现出颜色变化美。
下列化学实验中的颜色变化不符合实验事实的是（）A.铁钉放入硫酸铜溶液中，溶液由蓝色变为浅绿色B.将空气中燃着的硫伸入氧气瓶中，火焰由黄色变为蓝紫色C.鎂条在空气中燃烧，发出耀眼白光，生成白色固体D.高温加热木炭与氧化铜的混合物，固体由黑色变成红色7．著名科学家张存浩获 2013 年度“国家最高科学技术奖”，他研究的火箭燃料常用的氧化剂是高氯酸铵（NH4ClO4），高氯酸铵中氯元素的化合价是（）A.-1B.+3C.+5D.+78．右图为某化学反应的微观示意图，图中“”表示硫原子，“ ”表示氧原子。
下列说法中错误的是（）一定条件+甲乙丙A.甲是 SO2B.该反应属于化合反应C.反应前后，原子种类、原子数目均不变D.该反应中，甲、乙、丙三种物质的分子个数比为 1:1:1 9．下图是某元素的原子结构示意图和该元素在元素周期表中的单元格，下列说法不正确的是（）A.该元素属于金属元素B.该原子在化学变化中容易失去电子C.该原子的相对原子质量是 47.87gD.该原子的原子序数为 2210．X 和 Y 两种物质共 80g，在一定条件下恰好完全反应，生成 Z 与 W 的质量比为 11:9，且反应中消耗X的质量是生成W的质量的一半，则反应中消耗Y的质量为（）A.62g B.44g C.36g D.16g二．选择题：（本大题共5题，每小题2分，共十分。
新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB，∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴＝，∴AD2＝AF•AB．（2）∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB，∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD，∴AC＝BE，∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，∴AD•BE＝DE•AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP＝5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，∴△PAD≌△PBC，∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN可能是矩形．若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°设PA＝x，PB＝10﹣x，DP＝，CP＝．DP2+CP2＝DC216+x2+16+（10﹣x）2＝102x2﹣10x+16＝0x＝2或x＝8．故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.x=2不是下列哪一个方程的解（）A. B. C. D.4.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）A. B. 0 C. 或1 D. 17.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B.C. D.8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 当时，y的最大值为4D. 抛物线与x轴的交点为，9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A. 13B. 16C. 12或13D. 11或1610.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A. 点B和点E关于点O对称B.C. △ ≌△D. △与△关于点B中心对称11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论成立的有（）①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则△ABD为等腰三角形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；⑤4a＞c．其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象对应的解析式为______．18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）21.用适当的方法解下列方程（1）（y+3）2-81=0（2）2x（3-x）=4（x-3）（3）x2+10x+16=0（4）x2-x-=022.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、=，是一元二次方程，正确；D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．结合中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是A中方程的解；B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，则左边=右边，故x=2是B中方程的解；C，当x=2时，方程的左边=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是C中方程的解；D，当x=2时，方程的左边=22-2+2=4，右边=0，则左边≠右边，故x=2不是D中方程的解；故选：D．把x=2分别代入各个方程的两边，根据方程的解的定义判断即可．本题考查的是一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5.【答案】B【解析】解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．利用平方根的定义可确定m的范围．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6.【答案】D【解析】解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，∴m2+m=2，m+2≠0，解得：m=1．故选：D．直接利用二次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：把（0，-3）代入y=x2-2x+c中得c=-3，。
天津市南开区九年级数学上学期期中模拟试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．方程x2﹣4x﹣12=0的解为（）A．x1=2，x2=6 B．x1=2，x2=﹣6C．x1=﹣2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣62．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q（3，240°）B．Q（3，﹣120°）C．Q（3，600°）D．Q（3，﹣500°）3．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（）A．（x﹣）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=4．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（）A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°6．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④7．如图，函数y=ax 2﹣2x+1和y=ax ﹣a （a 是常数，且a ≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠BCE=70°，则∠A 的度数是（ ）A ．110°B ．70°C ．55°D ．35°9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=﹣1，点B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b 2﹣4ac ＞0；③ab ＜0；④a 2﹣ab+ac ＜0，其中正确的结论有（ ）个．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是（）A．B．5C．D．311．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（）A．（，）B．（）C．（0，﹣1）D．（）12．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为直线x=2；②当y≤0时，x＜0或x＞4；③函数解析式为y=﹣x2+4x；④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有种，它们分别是．14．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是．15．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽m．17．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则弦MN的长为．18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．20．（8分）已知一次函数y1=6x，二次函数y2=3x2+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1，y2，y3都有y1≤y2≤y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．21．（10分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．22．（10分）如图，点A、B、C均在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠ACB=45°，∠AOC=150°．（1）求证：CD=CB；（2）⊙O的半径为，求AC的长．23．（10分）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．（1）饲养场的长为米（用含a的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？24．（10分）如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．【解答】解：x2﹣4x﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，可得x+2=0或x﹣6=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选：C．2．【解答】解：∵P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，﹣120°），（3，600°），故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+=1+，∴（x﹣）2=．故选：D．4．【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选：C．5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABC=∠D′=90°，∴∠3=180°﹣∠2=68°，∴∠BAB′=90°﹣68°=22°，即∠α=22°．故选：D．6．【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．故选：D．7．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．8．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠BCE=70°，故选：B．9．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，∴ab＞0，所以③错误；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，而a＞0，∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．故选：C．10．【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′==5，∴MN最大=．故选：A．11．【解答】解：2017÷8=252…1，即第2017秒点P所在位置如图：过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO=90°，∵OP=1，∠POM=45°，∴PM=OM=1×sin45°=，即此时P点的坐标是（，），故选：A．12．【解答】解：由图象得抛物线的对称轴为直线x=2，所以①正确；当y≤0时，x≤0或y≥4，所以②错误；抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4），所以抛物线解析式为y=ax（x﹣4），把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+4x，所以③正确；当x≤0时，y随x的增大而增大，所以④正确．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．【解答】解：如图所示：当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，如直线a；当直线与圆有一个公共点A时，直线与圆相切，如直线b；当直线与圆有2个公共点B、C时，直线与圆相交，如直线c．故答案为：3，相离，相切，相交．14．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．15．【解答】解：过B1作B1C⊥y轴于C，∵把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O，∴∠BOB1=120°，OB1=OB=，∵∠BOC=90°，∴∠COB1=30°，∴B1C=OB1=，OC=，∴B1（﹣，）．故答案为：（﹣，）．16．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2=﹣0.5x2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，故答案为：4．17．【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN 设⊙A的半径为r．则AN=OA=r，AB=2，∵AB⊥MN，∴BM=BN，∴BN=4﹣r；则在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AB2+BN2=AN2，即：22+（4﹣r）2=r2，解得r=2.5，则N到y轴的距离为1，又∵点N在第三象限，∴N的坐标为（﹣1，﹣2）；∴MN=3；故答案为：3．18．【解答】解：两扇形的面积和为： =2π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，∴空白区域的面积为：×2×2=2，∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和=2π﹣4．故答案为：2π﹣4．三．解答题（共7小题，满分66分）19．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＞﹣3且k≠1．20．【解答】解：不存在这样的实数．设该实数是a．则y1≤y2，即6a≤3a2+3，解得（a﹣1）2≥0，∴a是任意实数，且当a=1时取“=”；当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y1≤y2≤y3，将点（1，6）代入二次函数y3=x2+bx+c，得6=1+b+c，①又∵二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），∴1=16﹣4b+c，②由①②解得，∴函数y3的解析式为：y=x2+4x+1；∴3a2+3≤a2+4a+1，解得，（a﹣1）2≤0，显而易见，这是错误的，所以点a不适合．所以，不存在这样的任意实数a，使y1≤y2≤y3成立．21．【解答】解：如图所示，△ABC为所求作22．【解答】证明：延长AO交⊙O于E点，连接CE∵AE是直径∴∠ACE=90°∵∠ACB=45°∴∠BCE=135°∵AO=OC=EO，∠AOC=150°∴∠OAC=∠OCA=15°，∠OEC=∠OCE=75°∵四边形ABCE是圆内接四边形∴∠EAB+∠ECB=180°，∠E+∠ABC=180°∴∠EAB=45°，∠ABC=105°，∴∠CAD=30°，∠CBD=75°∵CD是⊙O切线，∵∠OCA=15°，∠ACB=45°∴∠C BD=30°∵∠D+∠CBD+∠BCD=180°∴∠D=75°∴∠D=∠CBD∴CD=CB（2）连接OB，过点B作BF⊥AC于点F，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∴∠AOB=90°∴AB==2∵∠CAD=30°，BF⊥AC∴BF=1，AF=BF=∵∠ACB=45°，BF⊥AC∴∠ACB=∠CBF=45°∴CF=BF=1∴AC=+123．【解答】解：（1）由已知饲养场的长为57﹣2a﹣（a﹣1）+2=60﹣3a；故答案为：60﹣3a；（2）由（1）饲养场面积为a（60﹣3a）=288，解得a=12或a=8；当a=8时，60﹣3a=60﹣24=36＞27，故a=8舍去，则a=12；（3）设饲养场面积为y，则y=a（60﹣3a）=﹣3a2+60a=﹣3（a﹣10）2+300，∵2＜60﹣3a≤27，∴11≤a＜，∴当a=11时，y最大=297．24．【解答】解：（1）BG=EG，理由是：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形CFED是菱形，∴EF=CD，EF∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴∠A=∠GFE，∵∠AGB=∠FGE，∴△BAG≌△EFG，∴BG=EG；（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，由（1）知：△BAG≌△EFG，∴FG=AG=a，∵CD∥BH，∴∠HAD=∠ADC=60°，∵∠ADE=60°，∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AD=AH=2a+b，∴==；②如图3，连接EC交DF于O，∵四边形CFED是菱形，∴EC⊥AD，FD=2FO，设AG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=，∴OF=bcosα，∴DG=a+2bcosα，过H作HM⊥AD于M，∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，∴AH=HD，∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，Rt△AHM中，cosα=，∴AH=，∴==cosα．25．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．。
