江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=．2．=．3．函数y=ln（x+1）的定义域是．4．等比数列{a n}中，若a5=1，a8=8，则公比q=．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．6．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）=．9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为．10．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．11．设函数y=sin（ϖx+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数ϖ的值为．12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为．14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．20．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a n+k 2=a n•a n+2k成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．（1）若数列{a n}是“J2型”数列，且a2=8，a8=1，求a2n；（2）若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．2016-2017学年江苏省泰州市泰兴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）={4} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出并集的补集即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故答案为：{4}2．=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角的余弦公式即可求得．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，=cos=，故答案为：．3．函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0得答案．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1．∴函数y=ln（x+1）的定义域是（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．4．等比数列{a n}中，若a5=1，a8=8，则公比q=2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等比数列的通项公式求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a5=1，a8=8，得，∴q=2．故答案为：2．5．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：．6．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【考点】特称命题．【分析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．7．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π，则+与﹣的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知得，求出（+）•（﹣）=0得答案．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴，则（+）•（﹣）=，∴+与﹣的夹角为．故答案为：．8．已知函数f（x）=ax3+bx+1且f（m）=6，则f（﹣m）=﹣4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（m）的值求出f（﹣m）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣m）+f（m）=2．∵f（m）=6，∴f（﹣m）=﹣4．故答案为：﹣49．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把求|+|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．【解答】解：如图，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，则=，要使||取最小值，只需||取最小值，∵E为AB的中点，故当PE⊥CD时，||取最小值，这时PE为梯形的中位线，即（|BC|+|AD|）=，故=3．故答案为：3．10．若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P点处的切线倾斜角等于．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】把点P（，1）代入解析式求出k的值，由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角．【解答】解：因为f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），所以1=k•cos，解得k=2，则f（x）=2cosx，所以f′（x）=﹣2sinx，所以在点P（，1）处的切线斜率是﹣2sin=﹣，则在P点处的切线倾斜角是，故答案为：．11．设函数y=sin（ϖx+）（0＜x＜π），当且仅当x=时，y取得最大值，则正数ϖ的值为1．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数ω的值．【解答】解：因为函数y=sin（ωx+）在x=处取得最大值，所以ω+=2kπ+，k∈Z，所以ω=12k+1，k∈Z；又0＜x＜π时，当且仅当x=时y取得最大值；所以正数ω的值为1．故答案为：1．12．已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．故由f（m+1）＜f（2），可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为3+2．【考点】等比数列的性质．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=﹣a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+214．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC 为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）求（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）解指数不等式我们可以求出集合A，解对数不等式，我们可以求集合B，再由集合补集的运算规则，求出C R B，进而由并集的运算法则，即可求出（C R B）∪A；（2）由（1）中集合A，结合集合C={x|1＜x＜a}，我们分C=∅和C≠∅两种情况，分别求出对应的实数a的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：（1）A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}…B={x|log2x＞1}={x|x＞2}…（C R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}…（2）当a≤1时，C=∅，此时C⊆A…当a＞1时，C⊆A，则1＜a≤3…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3]…16．已知函数f（x）=．（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）证法一：设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，可得绪论证法二：求导，根据x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；（2）根据（1）中函数的单调性，求出函数的最值，进而可得函数的值域．【解答】（本题满分14分）（1）证法一：．设x1，x2是区间（﹣1，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，…于是=．…因为x2＞x1＞﹣1，所以x1+1＞0，x2+1＞0，x2﹣x1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x1）＜f（x2），…所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调增函数．…证法二：∵f（x）=．∴f′（x）=．当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；…（2）由（1）可知，函数在[0，2]上为单调增函数，…于是，当x∈[0，2]时，f（x）min=f（0）=1，…．…所以，当x∈[0，2]时，函数f（x）的值域为．…17．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若，且α∈（0，π），求角α的值；（2）若，求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）求得和的坐标，再根据以及α∈（0，π），求得tanα的值可得α的值．（2）由，求得sinα+cosα=，平方可得2sinαcosα=﹣，再根据=2sinαcosα，求得结果．【解答】解：（1）由题意可得=（cosα﹣2，sinα），=（cosα，sinα﹣2），∵，∴（cosα﹣2）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣2）2，且α∈（0，π）．整理可得tanα=1，α=．（2）若，则（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=，化简得sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴==2sinαcosα=﹣．18．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．19．设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．【考点】复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）∴，=，∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）∴，令g'（x）=0，得x=2，列表如下：∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．g（2）=2（1﹣ln2）+2a，∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，∴g（2）＞0证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0故f（x）在（0，+∞）上是增函数证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0∴x＞ln2x﹣2alnx+1故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+120．设数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a n +k 2=a n •a n +2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列．（1）若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2=8，a 8=1，求a 2n ；（2）若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用数列{a n }是“J 2”型数列，可得数列{a n }的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a 2=8，a 8=1，求出数列的公比，即可得到通项；（2）由题设知，当n ≥8时，a n ﹣6，a n ﹣3，a n ，a n +3，a n +6成等比数列；a n ﹣6，a n ﹣2，a n +2，a n +6也成等比数列，可得，进而可得，对任意n ≥2都成立，由此可得数列{a n }为等比数列．【解答】解：（1）∵数列{a n }是“J 2”型数列， ∴=a n •a n +4∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别组成等比数列设偶数项组成的等比数列的公比为q ，∵a 2=8，a 8=1，∴，∴q= ∴a 2n =8×=24﹣n ；（2）由题设知，当n ≥8时，a n ﹣6，a n ﹣3，a n ，a n +3，a n +6成等比数列；a n ﹣6，a n ﹣2，a n +2，a n +6也成等比数列．从而当n ≥8时，a n 2=a n ﹣3a n +3=a n ﹣6a n +6，（*）且a n ﹣6a n +6=a n ﹣2a n +2．所以当n ≥8时，a n 2=a n ﹣2a n +2，即于是当n ≥9时，a n ﹣3，a n ﹣1，a n +1，a n +3成等比数列，从而a n ﹣3a n +3=a n ﹣1a n +1，故由（*）式知a n 2=a n ﹣1a n +1， 即．当n ≥9时，设，当2≤m ≤9时，m +6≥8，从而由（*）式知a m +62=a m a m +12， 故a m +72=a m +1a m +13，从而， 于是． 因此对任意n ≥2都成立．因为，所以，于是．故数列{a n}为等比数列．2016年12月1日。

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B = _________.【答案】{}1 【解析】试题分析: 因为}1,0{},21|{},3,2,1{=∈<<-==Z x x x B A ,所以A B =}1{，故应填答案{}1.考点：集合的交集运算．2.函数()f x = _________.【答案】(【解析】试题分析:由题设0log 216≥-x ,即21log 6≤x ,也即60≤<x ,故应填答案(.考点：对数函数的性质及运用．3.已知角α的终边经过点(),6P x --，且4cos 5α=，则x 的值为_________. 【答案】8-考点：三角函数的定义及运用．4.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =_________. 【答案】8 【解析】试题分析: 因为)2,3(),2,4(-=-=+m ,所以由题设0)2(212=--m ,解之得8=m ,故应填答案8.考点：向量坐标形式的运算．5.已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1a ≤ 【解析】试题分析:由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤. 考点：含一个量词的命题的否定及二次方程有解的判定．6.函数()()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________. 【答案】,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：三角函数的图象和性质及运用．7.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析: 因为)1()1(22112212q q a q a a a n n n n +=+=+---,故当0<q 时, n n a a 212+-未必小于0,所以“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的非充分条件；当0212<+-n n a a ,则0)1(221<+-q qa n ,即01<-<q ,故“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的必要条件.应填答案必要不充分条件. 考点：充分必要条件的判定．8.在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为_________. 【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得0cos 3cos =+C ab B ac ,即C b B c cos 3cos -=,也即C B B C cos sin 3cos sin -=,故B C tan 3tan -=,由于C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,因此0tan tan 2tan tan 32=+-A B B A ,故0tan 1242≥-A ,所以33tan 33≤≤-A ,所以6max π=A ,应填答案6π.考点：向量的数量积公式及三角变换公式的综合运用． 9.已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________. 【答案】0考点：导数的几何意义及求导法则的运用． 10.已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最 大值是_________.【答案】【解析】试题分析:由题设可知1262==ππT ,则),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,所以2236,436,A RQ A PQ A PR +=+==,由余弦定理可得02222120cos 36236364+-++=+A A A A A ,解之得32=A ,故应填答案.考点：三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的周期及最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息求出周期1262==ππT ,再利用周期确定点),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,然后运用余弦定理再建立方程02222120cos 36236364+-++=+A A A A A 求出32=A ,从而使得问题获解.11.设数列{}n a 首项12a =,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈，则满足234163315n n S S << 的所有n 的和为_________. 【答案】412.已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭考点：函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以方程的解的个数为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息,将问题等价转化为两个函数x y -=2与|)(|x f y =的图象有两个交点的问题.解答时先画出函数|)(|x f y =的图象,再数形结合求出函数|)(|x f y =中参数a 取值范围是3231≤≤a 或43=a ,从而获得答案. 13.在平面内，定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-，动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最大值是__________.【答案】1-14.定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，xx x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________. 【答案】605二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,3m n c a =,求角A ； （2）若43sin ,cos 5m n b B A ==, 求cos C 的值. 【答案】(1)6π；(2)15283-. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的垂直及正弦定理等有关知识求解；(2)借助题设运用向量的数量积公式、正弦定理、三角变换等有关知识求解. 试题解析： （1）,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin 2sin 2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+=或.从而A C =（舍）或,22A CB ππ+=∴=.在Rt ABC ∆中，tan 6a A A c π===. （2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=,由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C B π+=++=∴+=.从而()143sin ,cos 0,0,,0,,sin .sin sin ,3525B A A A A A B a b ππ⎛⎫==>∈∴∈=>∴> ⎪⎝⎭,从而,A B B >为锐角,()cos cos cos cos cos sin sin B C A B A B A B =∴=-+=-+431553=-+⨯=考点：正弦定理、三角变换、向量的数量积公式等有关知识的综合运用.16.（本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1)12-=n a n ；(2)n n n S 2)32(3-+=.()0121122222...22212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---，()()()()11141212121242122321212n n n n n n n S n n n -++-∴-=+--=+---=----，()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用.17.（本小题满分14分）已知函数()221f x x x kx =-++,且定义域为()0,2. （1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围. 【答案】；(2)712k -<<-.考点：函数的零点及函数方程等有关知识的综合运用.18.（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数θ为锐角）. 拟用长 度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】(1)211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭；(2)224tan l S θ=；(3)应选择方案一.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f θ>, 所以()f θ在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增，所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有()()00f f θ>=.所以21110S S ->, 得12S S >. 答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.考点：余弦定理、导数、基本不等式、三角函数等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的湖边养殖区的面积问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用弧长公式直接建立函数关系使得问题获解；第二问的求解过程中则借助余弦定理和基本不等式进行求解；第三问则构造函数,然后再运用导数的知识研究出函数的单调性,从而使得问题最终获解.19.（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列. 记 n n n c b a =-.（1）求证: 数列{}1n n c c d +-+为等比数列；（2）已知数列{}n c 的前4项分别为9,17,30,53.①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合{}()12,,...,,4,k A n n n k k N*=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)①131,52n n n a n b -=--=；②不存在满足题意的集合A.考点：等差数列等比数列及推理论证的能力等有关知识的综合运用.20.（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求a 的值；（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有 ()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.【答案】(1)增区间x ⎛∈ ⎝；减区间⎫+∞⎪⎪⎭；(2)a e =-；(3)4. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用分类整合思想探求；(3)借助题设构造函数,运用导数的有关知识分析探求.试题解析： （1）()f x 的定义域是()0,+∞.()2222'2ax f x ax x x+=+=.当0a ≥时，()'0f x >,故()f x 在()0,+∞上是增函数; 当0a <时，令()'0f x =，则12x x ==（舍去）;当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >,故()f x在⎛ ⎝上是增函数;当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0f x <,故()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.②若01a <⎧≥, 即10a -≤<时, (]0,1⎛⊆ ⎝,则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③若01a <⎧<, 即1a <-时，()f x在⎛ ⎝上是增函数，在⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(]0,1上的最大值是12f =-+=-, 解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-. 考点：分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的最值运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围；第三问则运用等价转化的数学思想将问题转化为不等式恒成立的问题,从而使得问题简捷巧妙获解.：。

江苏省泰州中学2017届高三上学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．） 1.已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B = _________.【答案】{}1考点：集合的交集运算．2.函数()f x = _________.【答案】(【解析】试题分析:由题设0log 216≥-x ,即21log 6≤x ,也即60≤<x ,故应填答案(.考点：对数函数的性质及运用．3.已知角α的终边经过点(),6P x --，且4cos 5α=，则x 的值为_________. 【答案】8- 【解析】试题分析: 因为362+=x r ,所以54362=+-x x ,解之得8-=x ,故应填答案8-.考点：三角函数的定义及运用．4.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =_________. 【答案】8 【解析】试题分析: 因为)2,3(),2,4(-=-=+m ,所以由题设0)2(212=--m ,解之得8=m ,故应填答案8.考点：向量坐标形式的运算．5.已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1a ≤ 【解析】试题分析:由题设方程022=++a x x 有解,故044≥-a ,即1≤a ,故应填答案1a ≤. 考点：含一个量词的命题的否定及二次方程有解的判定．6.函数()()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________. 【答案】,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：三角函数的图象和性质及运用．7.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的_________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析: 因为)1()1(22112212q qa q a a a n n n n +=+=+---,故当0<q 时, n n a a 212+-未必小于0,所以“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的非充分条件；当0212<+-n n a a ,则0)1(221<+-q qa n ,即01<-<q ,故“0q <” 是“对任意的正整数212,0n n n a a -+<”的必要条件.应填答案必要不充分条件. 考点：充分必要条件的判定．8.在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为_________. 【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得0cos 3cos =+C ab B ac ,即C b B c cos 3cos -=,也即C B B C cos sin 3cos sin -=,故B C tan 3tan -=,由于C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,因此0tan tan 2tan tan 32=+-A B B A ,故0tan 1242≥-A ,所以33tan 33≤≤-A ,所以6max π=A ,应填答案6π. 考点：向量的数量积公式及三角变换公式的综合运用． 9.已知函数()2ay x a R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________.【答案】0考点：导数的几何意义及求导法则的运用． 10.已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________.【答案】【解析】试题分析:由题设可知1262==ππT ,则),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,所以2236,436,A RQ A PQ A PR +=+==,由余弦定理可得02222120cos 36236364+-++=+A A A A A ,解之得32=A ,故应填答案考点：三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式和图象性质为背景,考查的是三角函数的周期及最大值最小值等有关知识和综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息求出周期1262==ππT ,再利用周期确定点),8(),0,2(),,2(A Q R A P -,然后运用余弦定理再建立方程02222120cos 36236364+-++=+A A A A A 求出32=A ,从而使得问题获解.11.设数列{}n a 首项12a =,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈，则满足234163315n n S S << 的所有n 的和为_________. 【答案】4考点：数列的通项与前n 项和的关系及等比数列的公式及综合运用．【易错点晴】等差数列等比数列的有关知识是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查数列的通项n a 与其前n 项和n S 的关系)1(1>-=-n S S a n n n 及等比数列等有关知识的灵活运用.求解时先依据题设条件321+=+n n S S ,进而得到3)3(21-=-+n n S S ,即)3(2131-=-+n n S S ,故数列}3{-n S 是公比为21的等比数列,所以1)21)(32(3--=-n n S ,即1)21(3--=n n S .所以122)21(3--=n n S ,则nn n n n n n S S 223123)21(3)21(312121122-⋅-⋅=--=----,由此逐一验证1,2,3,4,n =⋅⋅,确定n 的值,从而使得问题巧妙获解.12.已知函数()()23,0(01)log 11,0a x a x f x a a x x ⎧+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程 ()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________.【答案】123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭2考点：函数的图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以方程的解的个数为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件信息,将问题等价转化为两个函数x y -=2与|)(|x f y =的图象有两个交点的问题.解答时先画出函数|)(|x f y =的图象,再数形结合求出函数|)(|x f y =中参数a 取值范围是3231≤≤a 或43=a ,从而获得答案. 13.在平面内，定点,,,A B C D满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-，动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最大值是__________. 【答案】1考点：向量的几何运算与坐标形式的运算等知识的综合运用．【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查平面向量的几何形式的运算和向量的数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的加法的几何形式运算,确定向量的模及夹角分别为0120,22,并充分利用这一隐含信息建立平面直角坐标系.从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解.14.定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=，当()1,4x ∈-时，xx x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________. 【答案】605考点：函数的零点、函数的图象、函数的周期性等知识的综合运用．【易错点晴】本题设置了一道以函数解析式所满足的条件为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在数形结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的条件16)5()(=++x f x f ,探求出其周期10=T ,由于函数)(x f y =在)4,1(-有三个零点.因此在一个周期内有3个零点,将问题等价转化为计算区间]2016,0[上零点的个数问题.最后求出零点为605个,从而获得答案.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,3m n c a =,求角A ；（2）若43sin ,cos 5m n b B A ==, 求cos C 的值. 【答案】(1)6π；(2)15283-.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的垂直及正弦定理等有关知识求解；(2)借助题设运用向量的数量积公式、正弦定理、三角变换等有关知识求解. 试题解析： （1）,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin 2sin 2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+=或.从而A C =（舍）或,22A CB ππ+=∴=.在Rt ABC ∆中，tan 6a A A c π===. （2）3cos ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=,由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=,从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C B A B C A C B π+=++=∴+=.从而()143sin ,cos 0,0,,0,,sin .sin sin ,3525B A A A A A B a b ππ⎛⎫==>∈∴∈=>∴> ⎪⎝⎭,从而,A B B >为锐角,()cos cos cos cos cos sin sin 3B C A B A B A B =∴=-+=-+431553=-+⨯=考点：正弦定理、三角变换、向量的数量积公式等有关知识的综合运用.16.（本小题满分14分）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 满足:1122,1b a b a ==-, 若数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)12-=n a n ；(2)n n n S 2)32(3-+=.（2）()11121,2,2,212n n n n n n b b b c a b n --==∴=∴==-,()()011121232...212,21232...212n n n n S n S n -=+++-=+++-.两式相减可得: ()0121122222...22212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---，()()()()11141212121242122321212n n n n n n n S n n n -++-∴-=+--=+---=----，()()1321223232n n n n S n n +∴=+--=+-考点：等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用.17.（本小题满分14分）已知函数()221f x x x kx =-++,且定义域为()0,2. （1）求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ，求k 的取值范围. 【答案】；(2)712k -<<-. （2）当01x <≤时,1kx =-, ① 当12x <<时，2210x kx +-=, ② 若0k =则①无解，②的解为()1,22x =±∉，故0k =不合题意.若0k ≠，则①的解为1x k =-.(i)当(]10,1k-∈时，1k ≤-时，方程②中280k ∆=+>，故方程②中一根在()1,2内，一根不在()1,2内.设()221g x x kx =+-，而12102x x =-<，则()()110,7202k g k g <-⎧<⎧⎪⎪⎨⎨>->⎪⎪⎩⎩，又1k ≤-，故712k -<<-.(ii) 当(]10,1k -∉时，即10k -<<或0k >时，方程②在()1,2须有两个不同解，而12102x x =-<，知道方程②必有负根，不合题意. 综上所述，故712k -<<-.考点：函数的零点及函数方程等有关知识的综合运用.18.（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数θ为锐角）. 拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】(1)211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭；(2)224tan l S θ=；(3)应选择方案一.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用弧长公式建立函数关系；(2)借助题设运用余弦定理与基本不等式求解；(3)依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）设OP r =，则2l r θ=，即12r θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭.（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,所以()221cos 2l ab θ≤-,当且仅当a b =时，“=”成立.所以()221sin 2sin 2241cos 24tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=- ,即224tan l S θ=.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.考点：余弦定理、导数、基本不等式、三角函数等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的湖边养殖区的面积问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用弧长公式直接建立函数关系使得问题获解；第二问的求解过程中则借助余弦定理和基本不等式进行求解；第三问则构造函数,然后再运用导数的知识研究出函数的单调性,从而使得问题最终获解.19.（本小题满分16分）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列. 记n n n c b a =-.（1）求证: 数列{}1n n c c d +-+为等比数列； （2）已知数列{}n c 的前4项分别为9,17,30,53. ①求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合{}()12,,...,,4,k A n n n k k N*=≥∈，使得数列12,,...,k n n n c c c 等差数列？证明你的结论.【答案】(1)证明见解析；(2)①131,52n n n a n b -=--=；②不存在满足题意的集合A .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的定义推证；(2)借助题设运用等差数列及分析推证法探求. 试题解析： （1）证明: 依题意，()()()()()1111110n n n n n n n n n n n c c d b a b a d b b a a d b q ++++-+=---+=---+=-≠, 从而()()121111n n n n n n b q c c d q c c d b q ++++--+==-+-, 又()21110c c d b q -+=-≠,所以{}1n n c c d +-+是首项为()11b q -，公比为q 的等比数列 .（2）① 由（1）得，等比数列{}1n n c c d +-+的前3项为8,13,23d d d +++, 则()()()213823d d d +=++,解得3d =-, 从而2q =, 且()111192317b a b a -=⎧⎪⎨--=⎪⎩, 解得114,5a b =-=,所以131,52n n n a n b -=--=.②假设存在满足题意的集合A ,不妨设(),,,l m p r A l m p r ∈<<<, 且,,,l m p r c c c c 等差数列, 则2m p l c c c =+, 因为0l c >, 所以2m p l c c c =+ ① 若1p m >+, 则2p m ≥+,结合①得, ()15231n n c n -=++, 则()()()11125231523152321m p m m p m --+⎡⎤++>++>+++⎣⎦, 化简得, 32105m m -<-<, ② 因为2,m m N *≥∈, 不难知3205m m->,这与②矛盾，所以只能1p m =+,同理2r p l m =+=+, 所以,,m p r c c c 为数列{}n c 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+,即()()()11222m m m m m m b a b a b a ++++-=-+-,又122m m m a a a ++=+.故122m m m b b b ++=+,又212m m m b b b ++=，故1q =， 这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A .考点：等差数列等比数列及推理论证的能力等有关知识的综合运用. 20.（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求a 的值；（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.【答案】(1)增区间x ⎛∈ ⎝；减区间⎫+∞⎪⎪⎭；(2)a e =-；(3)4. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用分类整合思想探求；(3)借助题设构造函数,运用导数的有关知识分析探求.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.②若01a <⎧≥, 即10a -≤<时, (]0,1⎛⊆ ⎝,则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③若01a <⎧<, 即1a <-时，()f x在⎛ ⎝上是增函数 ，在⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(]0,1上的最大值是12ln 2f =-+=-, 解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-.（3）()()21ln 1g x a x ax =+++, 则()2121'2a ax a g x ax x x+++=+=,当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ϕ=++++得: ()221'0ax kx a x x ϕ+++=≤,故()12a k ax x -+≤-+恒成立，()12a ax x-+-+≥ ()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，()()()124,24a h a h ax x-+∴≥-=∴-+≥,4k ∴≤.故当2a ≥-时，k 的最大值为4.考点：分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的最值运用导数知识逆向分析推证求出参数的取值范围；第三问则运用等价转化的数学思想将问题转化为不等式恒成立的问题,从而使得问题简捷巧妙获解.。

2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．2．（5分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M=．3．（5分）命题“任意偶数是2的倍数”的否定是．4．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）函数y=的值域为．7．（5分）已知f（+1）=lg x，则f（x）=．8．（5分）若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是．9．（5分）若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为．10．（5分）设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是．12．（5分）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为．13．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．14．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①若f（x）是奇函数，则c=0②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根③f（x）的图象关于（0，c）对称④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根其中正确的命题是（填序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）求下列函数的值域：（1）；（2）．16．（14分）已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．17．（14分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．18．（16分）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．2．（5分）（2010•奉贤区一模）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M={x|x＞2或x＜﹣2} ．【分析】由题意全集U=R，先化简集合M，然后根据交集的定义“两个集合A 和B 的交集是含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合”进行计算即可．【解答】解：因为M={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，全集U=R，所以C U M={x|x＜﹣2或x＞2}，故答案为：{x|x＞2或x＜﹣2}．【点评】本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识，属基础题．3．（5分）（2014•天心区校级模拟）命题“任意偶数是2的倍数”的否定是存在偶数不是2的倍数．【分析】分别对题设和结论进行否定即可．【解答】解：题设的否定为∀偶数，结论的否定为不是2的倍数∴原命题的否定为：存在偶数不是2的倍数．【点评】本题考查了命题的否定，注意题设和结论否定时的写法．4．（5分）（2014•邳州市校级模拟）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）（2016秋•泰州校级月考）函数y=的值域为{y∈R|y≠3} ．【分析】当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．【解答】分离常数法：解：化简函数∵∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=⇔y（x﹣2）=3x+1⇔x（y﹣3）=1+2y⇔分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．7．（5分）（2016秋•泰州校级月考）已知f（+1）=lg x，则f（x）=lg（x＞1）．【分析】用换元法令+1=t（t＞1）解x=代入f（+1）=lg x求得．【解答】解：令+1=t（t＞1），则x=，∴f（t）=lg，f（x）=lg（x＞1）．【点评】本题主要考查换元法求函数解析式．8．（5分）（2012秋•靖江市期中）若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．【分析】由f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，可求p，结合二次函数的性质可求函数的单调递减区间【解答】解：∵函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，∴p﹣1=0即p=1∴函数f（x）=﹣x2+2函数的单调递减区间是（0，+∞）故答案为（0，+∞）【点评】本题主要考查了偶函数的对称性的应用，及二次函数的单调区间的求解，属于基础试题9．（5分）（2015秋•丹阳市校级期中）若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为2．【分析】先在直角坐标系中分别画出函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，再利用函数f （x）的定义，取函数图象靠下的部分作为函数f（x）的图象，由图数形结合即可得f（x）的最大值【解答】解：如图，虚线为函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，粗线为f（x）的图象由图可知函数f（x）在x=0时取得最大值2故答案为2【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象的画法和新定义型函数图象的画法，数形结合求函数的最值10．（5分）（2016•湖南二模）设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=．【分析】通过表达式求出f（），然后求出函数的解析式，即可求解f（2）的值．【解答】解：因为，所以．，∴．∴=．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，灵活赋值的能力及观察判断的能力．11．（5分）（2016秋•泰州校级月考）函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是a≥1．【分析】二次函数解析式配方变形后，利用二次函数的性质确定出a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=x2﹣2ax+a2﹣a2+2=（x﹣a）2﹣a2+2，∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，且在区间（﹣∞，1]上递减，∴a的范围是a≥1，故答案为：a≥1【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．12．（5分）（2016秋•泰州校级月考）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为．【分析】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵．【解答】解：由题意，=∴，∴sinα=1，cosα=0，∴M=∵=1≠0，∴M﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵，属于基础题．13．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．14．（5分）（2012秋•徐州期中）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①若f（x）是奇函数，则c=0②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根③f（x）的图象关于（0，c）对称④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根其中正确的命题是①②③（填序号）【分析】由奇函数定义结合比较系数法，可得f（x）是奇函数时c=0，故①正确；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；取b=1，c=0时，利用函数单调性可证出方程f（x）=0只有一个实根，故④错．【解答】解：对于①，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c=﹣f（x）对任意x ∈R恒成立，可得c=0，故①正确；对于②，b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，所以方程f（x）=0有且只有一个实根，故②正确；对于③，因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；对于④，当b=1，c=0时，f（x）=x|x|+x在R上为增函数，此时方程f（x）=0有且只有一个实根，故④错．故答案为：①②③【点评】本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）（2011秋•泰兴市校级期中）求下列函数的值域：（1）；（2）．【分析】（1）由于函数y=1﹣，且0＜≤1，故有0≤1﹣＜1，由此求得函数的值域．（2）由于函数在它的定义域{x|x≥﹣1}内是增函数，当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，从而得到函数的值域．【解答】解：（1）由于==1﹣，∵0＜≤1，∴0≤1﹣＜1，故函数的值域为[0，1）．（2）由于函数的定义域为{x|x≥﹣1}，且函数在其定义域内是增函数，故当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，故函数的值域为[﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查利用常数分离法求函数的值域，以及利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．16．（14分）（2014•武进区校级三模）已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．【解答】解：（1）由=，得a+1=﹣3∴a=﹣4（2）由（1）知，则矩阵A的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3当λ=﹣1时二元一次方程∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为当λ=3时，二元一次方程∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．【点评】本题考查二阶矩阵，考查二阶矩阵的特征值的求法，考查二阶矩阵的特征向量的求法，因为是高等数学的内容，考查的比较简单，是一个中档题．17．（14分）（2014春•如皋市校级期末）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【分析】先圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：p2=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以=1，解得：a=2，或a=﹣8．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．18．（16分）（2013秋•徐州期中）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．【分析】（1）由题意可得函数的对称轴为x=1，结合已知函数在x轴上截得线段长为8，可得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），可设函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a ＜0），将（1，16）代入可求（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]，结合题意可得，代入可求【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），∴函数的对称轴为x=1∵在x轴上截得线段长为8，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），…（2分）又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0）…（4分）将（1，16）代入得a=﹣1，…（6分）∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+2x+15．…（7分）（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]…（9分）由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得，…（12分）即﹣2t+16＞0解得t＜8 …（14分）【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，解题的关键是利用对称轴找出二次函数与x轴的交点坐标19．（16分）（2011秋•苏州期末）已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），f min（x1）＞g min（x2）成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，需2m≥﹣4，且2m≠0．解得m≥﹣2 且m≠0．故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，故有f min（x1）＞g min（x2）成立．又函数f（x）=|x﹣m|=，故f min（x1）=．又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，故g min（x2）=．当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得1＜m＜3．当3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得3≤m＜4．当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得4≤m＜4+2．综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．20．（16分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．综上可得，g（a）=；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，则，由于0≤b﹣2a≤1，由此≤s≤（﹣1≤t≤1），当0≤t≤1时，≤st≤，由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2，得﹣≤≤9﹣4，所以﹣≤b≤9﹣4；当﹣1≤t＜0时，≤st≤，由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．。

江苏省泰州中学2016-2017学年度第一学期高三数学第二次质量检测2016.12一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. 已知R 为实数，集合{}(){}1,2,3,4,5,|40A B x x x ==-<，则()R AC B = 。

2. “1x >”是“()12log 20x +<"的一个条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要”、“既不充分也不必要"选择一个填写).3。

已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若132,12aS ==,则6a = 。

4。

设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a = .5．设实数,x y 满足条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则23z x y =+的最大值是.6。

已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，那么()9f -= 。

7。

直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于M ，N 两点,若23MN ≥实数k 的取值范围是 。

8.已知3sin 4cos 5αα+=，则tan α= 。

9.设平面向量()()(),0,,0,2,1a x b y c ===（其中0,0x y >>）若()()a c b c -⊥-,则a b +的最小值为 . 10。

已知函数()3sin 2cos2f x x x ωω=-（其中()0,1ω∈）,若()f x 的图象经过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,π区间上的单调递增区间为 。

11。

已知ABC ∆中，BC=2，G 为ABC ∆的重心,且满足AG BG ⊥，则ABC ∆的面积的最大值为 .12。

已知,,x y z 均为非负实数，且2x y z ++=，则3213xy z ++的最小值为 。

13。

数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分，共70分。

将答案填在答题纸上1。

已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈，则A B =_________。

2. 函数()612log f x x =-_________.3. 已知角α的终边经过点(),6P x --,且4cos 5α=，则x 的值为 _________。

4. 已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥,则m = _________。

5。

已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________。

6。

函数()()sin 30f x x x x π=-≤≤的单调增区间是 _________.7。

设{}na 是首项为正数的等比数列,公比为q ，则“0q <" 是“对任意的正整数212,0n n n aa -+<” 的 _________条件. （填“充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、即不充分也不必要条件” ） 8。

在ABC ∆中，()30AB AC CB -=，则角A 的最大值为 _________. 9. 已知函数()2ay xa R x=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________.10。

已知函数()sin 0,062f x A A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________。

11。

设数列{}na 首项12a=,前n 项和为n S ，且满足()123n n a S n N *++=∈,则满足234163315n n S S <<的所有n 的和为_________. 12。

2017-2018学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．2．（5分）已知集合A={x|＞0}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．3．（5分）函数f（x）=（x2+3x+2）lnx的零点的集合为．4．（5分），为非零向量，“⊥”是“函数f（x）=（x+）•（x﹣）为一次函数”的条件．5．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．6．（5分）已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，若g（1）=4，则f（﹣4）=．7．（5分）已知函数f（x）=，则函数f（x）在点（0，f（0））处切线方程为．8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=．9．（5分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．10．（5分）已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f （x）=3|x|﹣2，则函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数是．11．（5分）数列{a n}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：a m+n=a m+a n+mn，则+++…+=．12．（5分）在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1．则sinBcosC取得最小值时，角C等于．13．（5分）在△ABC中，过中线AD上一点E作直线分别交边AB，AC于M，N两点，且=2，设=x，=y（xy≠0），则9x+y的最小值为．14．（5分）设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx（a＞0）的图象由且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2，则=．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）如图，交A为钝角，且sinA=，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点．（1）若AP=5，PQ=3，求AQ的长；（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且c osα=，求sin（2α+β）的值．16．（14分）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|＜成立的n的最小值．17．（14分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．18．（16分）如图，A、B、C为某湖边三市区，A、B为两个粮食生产基地，C处有一大型超市，已知AC、BC相距均为50千米，∠ACB=90°，超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A、B两处的粮食运抵D处后，再统一运抵C处．由于A、B两处粮食的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发到D的运输费、从B处出发到D的运输费、从D处出发到C的运输费每吨每千米之比为2：1：2，若A、B两地粮食的总量均为m吨．（1）①设∠ADC=α，试将运输总费用S表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；②设AD=x千米，试将运输总费用S表示为x的函数S（x），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在AB何处时，运输总费用S最小？19．（16分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x n}表示x1，x2，…x n，这s个数中最大值的数．（1）若a n=2n，b n=3n﹣2，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）若a n=dn+1，b n=5dn﹣1，d为实数，证明：或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）设y=f（x）﹣g（x），试求y的单调区间；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2都有＞3恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．三、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题[选修4-1：几何证明选讲]21．（几何证明选讲）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M，N是圆上两点，直线MN交AD 的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM=MN=NC=1，求AB的长和⊙O的半径．四、[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，若矩阵B满足（BA）﹣1=，求矩阵B．五、[选修：4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且圆C经过极点和点P（，），以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数），且直线l是圆C的对称轴．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求实数m的值并化直线l的方程为普通方程．六、[选修4-5：不等式选讲]24．设a，b，c，d，e∈R+，求证：a2+b2+c3+d3+e3≥4+cde．七、[必做题]（本大题共2小题，共20分）25．已知数列{a n}满足a1=2，且对任意n∈N*，恒有na n+1=2（n+1）a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设区间中的整数个数为b n，求数列{b n}的通项公式．26．甲、乙两人进行一种摸球游戏，游戏规定：每一局比赛均从装有3个红球，2个黑球（5个球的形状、大小完全相同）的袋中轮流摸球，谁先摸到第二个黑球获胜，并结束该局比赛，游戏每三局为一轮．（1）若在第一局比赛中甲先摸，求甲获胜的概率；（2）若一轮比赛中每局均有甲先摸，求一轮比赛中甲获胜两局的概率；（3）若在一轮比赛中规定：第一局由甲先摸球，并且上一局比赛输的人下一局比赛先摸，每一局游戏先摸球且获胜的人得1分，后摸球并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求在一轮比赛中甲得分ξ的概率分布列及其期望E（ξ）．2017-2018学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：2．（5分）已知集合A={x|＞0}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|x＜0或x＞2}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={﹣1，3}．故答案为：{﹣1，3}．3．（5分）函数f（x）=（x2+3x+2）lnx的零点的集合为{﹣2，﹣1，1} ．【解答】解：令f（x）=0，即x2+3x+2=0或lnx=0，解得：x=﹣1或x=﹣2或x=1，故零点的集合是{﹣2，﹣1，1}，故答案为：{﹣2，﹣1，1}．4．（5分），为非零向量，“⊥”是“函数f（x）=（x+）•（x﹣）为一次函数”的必要不充分条件．【解答】解：当“⊥”时，•=0，故f（x）=（x+）•（x﹣）=（x2﹣1）•﹣x+x=（﹣）x，当||=||时，f（x）=0不是一次函数，充分性不成立；当f（x）=（x+）•（x﹣）=x2•﹣（﹣）x﹣•是一次函数时，•=0，且||≠||，必要性成立；∴是必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．5．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．6．（5分）已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，若g（1）=4，则f（﹣4）=﹣1．【解答】解：∵f（x）是奇函数，故f（﹣4）=﹣f（4），而f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，若g（1）=4，则f（4）=1．故f（﹣4）=﹣f（4）=﹣1，故答案为：﹣1．7．（5分）已知函数f（x）=，则函数f（x）在点（0，f（0））处切线方程为x+y﹣1=0．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）==∴f′（0）=﹣1，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1=0故答案为：x+y﹣1=08．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=31．【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故答案为31．9．（5分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．【解答】解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．10．（5分）已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f （x）=3|x|﹣2，则函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数是10．【解答】解：∵函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点，即为函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象的交点，又∵函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=3|x|﹣2，在同一坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，如下图所示：x=11时，f（11）=1，g（11）=lg11＞1，由图可知：两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象共有10个交点，故函数F（x）=f（x）﹣|lgx|有10个零点，故选：B．11．（5分）数列{a n}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：a m+n=a m+a n+mn，则+++…+=．【解答】解：由题意a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：a m+n=a m+a n+mn，=a1+a n+n，令m=1，可得a1+na n=a1+a n﹣1+n﹣1，a n﹣1=a1+a n﹣2+n﹣2，…a2=a1+a1+1，累加可得：a n=（n﹣1）a1+a1+1+2+…+n﹣1可得a n=．那么：=则则+++…+=2（1﹣++…﹣）=，故答案为：．12．（5分）在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1．则sinBcosC取得最小值时，角C等于．【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得：+sin2A=1，整理可得：sin2A﹣cos2A=1，∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得：sin（2A﹣）=1，∴sin（2A﹣）=，∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），∴sinB•cosC=sin（﹣C）cosC=cosC（cosC﹣sinC）=cos2C﹣sinCcosC=+cos2C﹣sin2C=﹣sin（2C﹣），∴当sin（2C﹣）=1时，sinB•cosC取得最小值，此时，2C﹣=2kπ+，k ∈Z，解得：C=kπ+，k∈Z，∵C∈（0，），∴C=．故答案为：．13．（5分）在△ABC中，过中线AD上一点E作直线分别交边AB，AC于M，N两点，且=2，设=x，=y（xy≠0），则9x+y的最小值为．【解答】解：∵在△ABC中，过中线AD上一点E作直线分别交边AB，AC于M，N两点，且=2，∴D是BC的中点，E是AD的中靠近点D的三等分点，∴==（）∵=x，=y（xy≠0），∴=+．x＞0，y＞0，∵M、E、N三点共线，∴=1，∴9x+y=（9x+y）（）=3++≥=．当且仅当时，取等号，∴9x+y的最小值为．故答案为：．14．（5分）设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx（a＞0）的图象由且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2，则=﹣2．【解答】解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程=ax2+bx即ax3+bx2﹣2=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；，那么：由x1＞x2，∴由图象知x1=d，x2=c，则：=﹣2．故答案为：﹣2．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．（14分）如图，交A为钝角，且sinA=，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点．（1）若AP=5，PQ=3，求AQ的长；（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=，求sin（2α+β）的值．【解答】解：（1）∵∠A是钝角，sinA=，∴cosA=﹣，在△APQ中，PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcosA，∴45=25+AQ2﹣2×5AQ•（﹣），解得AQ=2或AQ=﹣10（舍）即AQ=2；（2）由cosα=，得sinα=，又sin（α+β）=sinA=，cos（α+β）=﹣cosA=，∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=×=．16．（14分）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|＜成立的n的最小值．【解答】解：（1）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得，T n===1﹣．由|T n﹣1|＜得|1﹣﹣1|＜，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．17．（14分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2+（x﹣1）|x+1|，故有，当x≥﹣1时，由f（x）=1，有2x2﹣1=1，解得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1时，f（x）=1恒成立．∴方程的解集为{x|x≤﹣1或x=1}；（2），若f（x）在R上单调递增，则有，解得．∴当时，f（x）在R上单调递增；（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣3），则，不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．∵a＜1，∴当x∈（﹣∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2﹣2a+3，+∞），由于a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2≥2，∴g（x）≥0成立．当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知，g（x）在x=处取得最小值，令，解得﹣3≤a≤5，又a＜1，∴﹣3≤a＜1．综上，a∈[﹣3，1）．18．（16分）如图，A、B、C为某湖边三市区，A、B为两个粮食生产基地，C处有一大型超市，已知AC、BC相距均为50千米，∠ACB=90°，超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A、B两处的粮食运抵D处后，再统一运抵C处．由于A、B两处粮食的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发到D的运输费、从B处出发到D的运输费、从D处出发到C的运输费每吨每千米之比为2：1：2，若A、B两地粮食的总量均为m吨．（1）①设∠ADC=α，试将运输总费用S表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；②设AD=x千米，试将运输总费用S表示为x的函数S（x），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在AB何处时，运输总费用S最小？【解答】解：（1）设从B到D每千米每吨的运输费用a，①由题意可知A=B=，AB=50千米，∴∠ACD=﹣α．在△ACD中，由正弦定理得：，即，∴CD=，AD=，∴BD=50﹣．则S（α）=[50﹣]ma+2ma+4ma．∵0≤≤，∴≤α≤．即S（α）的自变量为[，]．②在△ACD中，由余弦定理得CD=，∴S（x）=2max+ma（50﹣x）+4ma（0≤x≤50）．（2）由（1）可知S（x）=ma（50+x+4）=ma（50+x+4），设x﹣25=t，则S=ma（t+75+4）（﹣25≤t≤25），令f（t）=t+75+4（﹣25≤t≤25），则f′（t）=1﹣，∴当t≤0时，f′（t）＞0，当0＜t≤25时，f′（t）=1﹣，∴f′（t）在（0，25]上单调递减，令f′（t）=0得t=．∴f（t）在[﹣25，]上单调递增，在（，25]上单调递减，又f（﹣25）=50+200，f（25）=100+200，∴当t=﹣25即x=0时，S（x）取得最小值．∴中转站D建在A处时，运输总费用最小．19．（16分）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x n}表示x1，x2，…x n，这s个数中最大值的数．（1）若a n=2n，b n=3n﹣2，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）若a n=dn+1，b n=5dn﹣1，d为实数，证明：或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M．【解答】证明：（1）a1=2，a2=4，a3=6，b1=1，b2=4，b3=7，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{﹣1}=﹣1，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣3，﹣4}=﹣3，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣5，﹣8，﹣11}=﹣5，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（3k﹣2）﹣2nk]﹣1+2n，=（3k﹣3）﹣2n（k﹣1），=（k﹣1）（3﹣2n），由k﹣1＞0，且3﹣2n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣2n，c n+1﹣c n=﹣2，∴c2﹣c1=﹣2，﹣c n=﹣2对∀n∈N*均成立，∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；证明：（2）设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，对于b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d2]﹣[a1+（i﹣1）d1]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1n），①若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）═（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n，C n=b1﹣a1n，此时，C n﹣C n=﹣a1，故数列{c n}是等差数列；+1②若d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2≤0，则对于给定正整数n，C n=b n﹣a n•n=b n﹣a1•n，﹣C n=d2﹣a1，此时，C n+1∴数列{C n}为等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）设y=f（x）﹣g（x），试求y的单调区间；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2都有＞3恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx，y′=x﹣=，a≤0时，y=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：0＜x＜，故函数y=f（x）﹣g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞3恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣3x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣3=x+﹣3≥0恒成立，可得a≥x（3﹣x）的最大值，由x（3﹣x）=﹣（x﹣）2+可得最大值，则a≥，即a的取值范围是[，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣=，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．三、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题[选修4-1：几何证明选讲]21．（几何证明选讲）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M，N是圆上两点，直线MN交AD 的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM=MN=NC=1，求AB的长和⊙O的半径．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC=90°，AB2=BM•BN．∵BM=MN=NC=1，∴2BM2=AB2，∴AB=．在Rt△BAC中，可得AB2+AC2=BC2，∴2+AC2=9，AC=．∵CN•CM=CD•CA，∴2=CD•，∴CD=．∴⊙O的半径为（CA﹣CD）=．四、[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，若矩阵B满足（BA）﹣1=，求矩阵B．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B满足（BA）﹣1=，→→，∴BA=．设B=，则BA===，∴，解得a=﹣5，b=2，c=3，d=﹣1．∴矩阵B=．五、[选修：4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系中，圆C的圆心在极轴上，且圆C经过极点和点P（，），以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数），且直线l是圆C的对称轴．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求实数m的值并化直线l的方程为普通方程．【解答】解：（1）∵圆C的圆心在极轴上，且圆C经过极点和点P（，），∴圆心是O（0，0）和P（1，1）的中点C（，），半径是r=|OP|==，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，即x2+y2﹣x﹣y=0，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣ρcosθ﹣ρsinθ=0，即ρ=cosθ+sinθ．（2）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴直线l的普通方程为x﹣2y﹣m﹣4=0，∵直线l是圆C的对称轴，∴直线l过圆心C（），∴，解得m=﹣，∴直线l的普通方程为：x﹣2y+=0．六、[选修4-5：不等式选讲]24．设a，b，c，d，e∈R+，求证：a2+b2+c3+d3+e3≥4+cde．【解答】证明：a，b，c，d，e∈R+，可得a2+b2≥2ab；当且仅当a=b时等号成立；c3+d3+e3≥3=3cde，当且仅当c=d=e时等号成立．所以a2+b2+c3+d3+e3≥2ab+2cde+cde≥2+cde=4+cde．等号成立的条件是a=b=，c=d=e．所以a，b，c，d，e∈R+，a2+b2+c3+d3+e3≥4+cde．七、[必做题]（本大题共2小题，共20分）25．已知数列{a n}满足a1=2，且对任意n∈N*，恒有na n+1=2（n+1）a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设区间中的整数个数为b n，求数列{b n}的通项公式．=2（n+1）a n，得，当n≥2时，，【解答】解：（1）由na n+1所以，当n≥2时，，此式对于n=1也成立，所以数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）由（1）知，，，…（8分）当n为奇数时，；当n为偶数时，．…（10分）26．甲、乙两人进行一种摸球游戏，游戏规定：每一局比赛均从装有3个红球，2个黑球（5个球的形状、大小完全相同）的袋中轮流摸球，谁先摸到第二个黑球获胜，并结束该局比赛，游戏每三局为一轮．（1）若在第一局比赛中甲先摸，求甲获胜的概率；（2）若一轮比赛中每局均有甲先摸，求一轮比赛中甲获胜两局的概率；（3）若在一轮比赛中规定：第一局由甲先摸球，并且上一局比赛输的人下一局比赛先摸，每一局游戏先摸球且获胜的人得1分，后摸球并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求在一轮比赛中甲得分ξ的概率分布列及其期望E（ξ）．【解答】解：（1）设黑球为A，红球为B，则这5个球的摸球顺序是AABBB，ABABB，ABBAB，ABBBA，BAABBB，BABAB，BABBA，BBAAB，BBABA，BBBAA共10种不同的事件；若甲先摸，甲获胜的事件是ABABB，ABBBA，BAABBB，BABBA，BBABA，BBBAA共6种；所以甲获胜的概率是P==；（2）若一轮比赛中每局均有甲先摸，则X～B（3，），所以一轮比赛中甲获胜两局的概率为P=••=；（3）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，5；ξ=0表示乙连胜两局，P（ξ=0）=××=，ξ=1表示第一局和第三局乙胜，第二局甲胜，P（ξ=1）=××+××+××=，ξ=2表示第一局甲胜，然后乙连胜两局，P（ξ=2）=××=，ξ=3表示第一局和第三局甲胜，第二局乙胜或第一局乙胜，然后甲连胜两局，P（ξ=3）=××+××=，ξ=5表示甲连胜两局，P（ξ=5）=××=，∴ξ的分布列为：数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+5×=．。

2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（文科）一．填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置1．命题“∃实数x，使x2+1＜0"的否定可以写成．2．已知集合A=｛1,cosθ｝，B={0，,1｝，若A⊆B,则锐角θ=．3．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为．4．若角α的终边经过点P(1，﹣2）,则tan2α的值为．5．函数（常数α∈Z）为偶函数，且在（0,+∞)上是单调递减函数，则α的值为．6．曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线方程为．7．方程3sinx=1+cos2x在区间［0，2π]上的解为．8．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是．9．已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角,则=．10．函数f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=﹣f(x），当x∈(0，2）时，f(x）=x+2，则f（7）=．11．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g(x）=cosx的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为．12．函数f(x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则y=f（x）的对称中心为．13．已知函数y=f（x)是定义在R上的奇函数,且当x＜0时，不等式f（x）+xf′（x)＜0成立，若a=30.3f（30.3)，b=（logπ3)f(logπ3），c=（log3）f(log3），则a，b，c间的大小关系是．14．设a，b∈R，c∈[0,2π)，若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．二．解答题:本大题共6小题,共计90分．15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2,y2）．记f（α）=y1+y2．（1）求函数f（α）的值域；(2）若f(C）=，求∠C．16．已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件,求实数m 的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣）的图象如图所示,直线x=,x=是其两条对称轴．(1)求函数f(x）的解析式及单调区间；（2）若f（α）=，且，求的值．18．已知函数f（x)=2sin（+）cos(+）﹣sin（x+π)．(1)求f（x)的最小正周期；(2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g(x）的图象，求g（x）在［0,π]上的最小值；(3）若f(α）=，α∈（,），求sin（2α+）的值．19．若函数f（x）满足下列条件:在定义域内存在x0，使得f(x0+1)=f（x0）+f(1）成立,则称函数f(x)具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．(1）证明：函数f（x）=3x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数h（x）=lg具有性质M，求a的取值范围．20．如图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上,G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB,交AB 于M,交EF于N，交圆弧AB 于P，已知OP=10，MP=6。

2017届江苏省泰州中学高三上学期第一次月考数学（理）试题高三数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B = ．2.命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 命题．（填“真”或“假”） 3.函数6()12log f x x =-的定义域为 ． 4.已知角α的终边过点(8,6sin 30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为 ． 5.函数()log (1)1a f x x =-+（1a >且1a ≠）恒过定点 ．6.函数2()2(1)2f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是 ．7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时()32xf x x m =-+（m R ∈，m 为常数），则(2)f = ．8.若(0,)2πα∈，cos()22cos 24παα-=，则sin 2α= ．9.已知函数321()213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为 ．10.已知函数ln 5,(01)()9,(1)1x x x f x x m x x ++<≤⎧⎪=⎨++>⎪+⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为 ． 11.设实数1a >，1b >，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的 条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）12.设函数22,0,(),0,x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．13.若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为 ．14.设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得()()f m g m =，则a b += ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数21y x =+，(0,)x m ∈的值域为B ．（1）当2m =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 16.已知函数2()3sin cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的值域和最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值． 17.已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数x 的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -． （1）当0a >时，解关于x 的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++； （2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于x 的函数1()3xx y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．18.为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE ⊥FH ．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点A ，B 放在弧EF 上，点C 、D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=． （1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．19.已知函数()ln ()||f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对任意(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x 处的切线分别为1l ，2l ，若12ax =-，2x c =，且12l l ⊥，求实数c 的最小值． 20.已知函数2()(ln )x f x e a x b x=++，其中a ，b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-，求实数a ，b 的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；②若2a =，2b ≥-，若()f x kc ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围（用b 表示）．江苏省泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测高三数学试卷（理科）答案一、填空题1.{}0,12.假3.(0,6]4.125.()2,16.(,0][5,)-∞+∞7.289- 8.1516 9.3(,4)210.1m ≤ 11.充要 12.2a ≤ 13.(0,)+∞ 14.4 二、解答题15.解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =， 又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+， 即2(,2)1B m =+，16.解：（1）因为31cos 2()sin 222x f x x +=-3cos 21sin 2222x x =--1sin(2)62x π=--， 所以()f x 的值域为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小正周期为22T ππ==． （2）因为()1f x =-，所以1sin(2)162x π--=-，即1sin(2)62x π-=-， 所以21cos(2)cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎡⎤-=--=-=-⎢⎥⎣⎦． 17.解：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]1,n -知，关于x 的方程2230mx x --=的两根为1-和n ，且0m >，由根与系数关系，得21,3(1),n mn m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩∴1,3.m n =⎧⎨=⎩所以原不等式化为(2)(2)0x ax -->，①当01a <<时，原不等式化为2(2)()0x x a -->，且22a <，解得2x a>或2x <； ②当1a =时，原不等式化为2(2)0x ->，解得x R ∈且2x ≠； ③当1a >时，原不等式化为2(2)()0x x a -->，且22a >，解得2x a<或2x >； 综上所述：当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或． （2）假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：1m =，2()23f x x x =--，12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-．令x a t =（2a t a ≤≤），则2(32)3y t a t =-+-，（2a t a ≤≤）， 对称轴322a t +=， 因为(0,1)a ∈，所以21a a <<，325122a +<<， 所以函数2(32)3y t a t =-+-在2,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减，所以当t a =时，y 的最小值为2223y a a =---5=-，解得512a -=． 18.解：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以()2AD BC AB S +⋅=2(1sin )cos θθ=+，其中02πθ<<．（2）记()2(1sin )cos f θθθ=+，02πθ<<，22'()2(cos sin sin )f θθθθ=--2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+（02πθ<<）．当06πθ<<时，'()0f θ>，当62ππθ<<时，'()0f θ<，所以()f θ在(0,)6π上单调递增，在(,)62ππ上单调递减， 所以max 33()()62f f πθ==，即6πθ=时，max 332S =． 19.解：函数22ln (),,()ln (),0,a x x c x c f x a x x c x c ⎧+-≥⎪=⎨--<<⎪⎩求导得2222,,'()22,0.x cx ax c xf x x cx a x c x ⎧-+≥⎪⎪=⎨-++⎪<<⎪⎩ （1）当34a =-，14c =时，228231,,44'()8231,0.44x x x x f x x x x x ⎧--≥⎪⎪=⎨-+-⎪<<⎪⎩①若104x <<，则2823'()04x x f x x -+-=<恒成立，所以()f x 在1(0,)4上单调递减；②若14x ≥，则(21)(43)'()4x x f x x +-=，令'()0f x =，解得34x =或12x =-（舍去）， 若1344x ≤<，则'()0f x <，()f x 在13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； 若34x >，则'()0f x >，()f x 在3(,)4+∞上单调递增； 综上，函数()f x 的单调减区间是3(0,)4，单调增区间是3(,)4+∞．（2）当x c >，12a c =+时，(1)(2)'()x x a f x x --=，而112ac =+<，所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增；所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为2(1)4a f =，所以2144a ≥恒成立，解得1a ≤-或1a ≥（舍去）， 又由102ac =+>，解得2a >-， 所以实数a 的取值范围是(2,1]--．（3）由12l l ⊥知，'()'()12a f f c -=-，而'()af c c=，则'()2a c f a -=-， 若2a c -≥，则2()222'()222a a c aa f c a---+-==--， 所以2c c a -=-，解得12a =，不合题意， 故2a c -<，则2()222'()8222a ac aa c f a c a a--+-+-==--+=--， 整理得821a ac a -=+，由0c >，得12a <-，令8a t -=，则28t a =-，2t >，所以232282814t tt c t t -⋅==--+，设32()28t g t t =-，则22222(12)'()(28)t t g t t -=-， 当223t <<时，'()0g t <，()g t 在(2,23)上单调递减； 当23t >时，'()0g t >，()g t 在(23,)+∞上单调递增；所以函数()g t 的最小值为33(23)2g =， 故实数c 的最小值为332． 20.解：（1）由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)f e =； 又因为222'()(ln )x a f x e a x b x x+=-++， 则有(1)(2)0,'(1)(),f e b f e a b e =+=⎧⎨=+=⎩解得3a =，2b =-．（2）①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()(2ln )0x f x e x b x=--+=， 若'()0f x =时，得222ln b x x=+， 设22()2ln g x x x =+（0x >）， 由2332424'()x g x x x x -=-=，得2x =，(2)1ln 2g =+．当02x <<时，'()0g x <，函数()y g x =在区间(0,2)上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x （12x x <）．x1(0,)x1x 12(,)x x2x 2(,)x +∞'()f x-0 + 0-()f x极大值极小值此时，函数()y f x =既有极大值又有极小值． ②由题意2(2ln )x e x b kx x++≥对一切正实数x 恒成立， 取1x =得(2)k b e ≤+． 下证2(2ln )(2)x e x b b ex x++≥+对一切正实数x 恒成立． 首先，证明x e ex ≥，设函数()xu x e ex =-，则'()xu x e e =-，当1x >时，'()0u x >；当1x <时，'()0u x <；得(1)0xe ex u -≥=，即x e ex ≥， 当且仅当都在1x =处取到等号．再证1ln 1x x +≥，设1()ln 1v x x x =+-，则21'()x v x x-=，当1x >时，'()0v x >； 当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v ≥=，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号． 由上可得2(2ln )(2)x e x b b ex x ++≥+，所以min ()()(2)f x b e x=+， 所以(2)k b e ≤+．。

2016—2017学年度第二学期期中考试高三数学试题（考试时间:120分钟 总分：160分） 命题人、审核:姜堰区高中数学工作室注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效。

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．．）1．设集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ▲ 。

2．函数()1f x x =-的定义域是▲ .3．函数||()2x f x =的值域为 ▲ 。

4．已知函数()ln f x x =，则导函数值'1()2f = ▲ .5．若3sin α=，则cos 2α= ▲ .6．在ABC ∆中,若1,2,30AB BC C ==∠=,则A ∠= ▲ 。

7．设向量(,1),(1,2)a m b ==,且//a b ，则m = ▲ . 8．已知{}na 为等差数列,nS 为其前n 项和，若1356,0aa a =+=，则6S = ▲ .9．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 的值为 ▲ . 10．函数1(),(1)1f x x x x =+>-的最小值为 ▲ 。

11．已知函数()f x 的导函数为'()fx ，若'()2f x y =的图象如图，则函数()f x 的单调增区间为 ▲ .12．在矩形ABCD 中，21AB AD ==，，边DC 上(包含端点）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足||||CP BQ =,则PA PQ ⋅的最小值是▲ 。

13．各项均为正数的等比数列{}na 满足1231,100,1000a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是▲ .14．若实数,,x y z 满足242,424xy z x y z +=+=,则z 的最小值为 ▲ 。

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。