“有理数”复习指南(正负数、数轴、相反数、绝对值)

有理数、数轴、相反数一、有理数是一个整数a和一个整数b的比，表示ab。

无理数：不能写作两个整数的比，也就是无限不循环小数。

如果一个数既不是整数，也不是分数，那么它一定不是有理数。

有理数的分类：正整数正整数正有理数整数0正分数负正数有理数0 有理数负正数正分数负有理数分数负分数负分数正数：大于0的数负数：在正数前加上“－”（读负号）的数。

0既不是正数，也不是负数。

二、数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。

在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向，选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上去点。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

三、相反数相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

性质：任何一个数都有且只有一个相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

特征：a与b互为相反数。

a＋b＝0化简：正号省略，负负得正。

正号的个数不影响最终结果。

负号的个数如果是偶数不影响最终结果；负号的个数如果是奇数个只保留一个负号。

不管是正数还是负数求它的相反数，只在它们前面加一个负号，然后化简符号。

例题：写出它们的相反数，并化简。

﹣6 ﹣（5）＋（﹣7）﹣（﹣4）＋9四、绝对值数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

记作a 。

正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；①如果a ＞0，那么a ＝a ②如果a ＜0，那么a ＝﹣a③如果a ＝0，那么a ＝0 ④若a,b 为有理数，a ＝b ，则a ＝±b五、有理数的大小（1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；六、有理数的加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.七、有理数的减法①减去一个数等于加上它的相反数。

一、自主学习： 1、 正数与负数：（1）含义： 叫正数； 叫负数； 既不是正数也不是负数。

（2）表示方法： 可以写也可以省略不写； 必须写上； 2、相反意义的量：（1） 数和 数是一对相反意义的量；（2）在一对相反意义的量中，若 ，则 ；若 ，则 ； 3、有理数的的概念及分类：（1） 统称有理数；（2）①按定义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩( )( )( )( )有理数( )( )( )②按正负性分：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩( )( )( )有理数( )( )( )( ) （3）注： 实质上是 ；非负数是指 ；非正数是指 ；4、数轴：（1）规定了 的 叫数轴， 是数轴的三要素；（2） 都可以用数轴上的点表示； 末必都是有理数； （3）常见的不规范的数轴作法：( )( )( )( )( )015、相反数：（1） 互为相反数；特例，0的相反数是 ； （2）注：①两个互为相反数的数在数轴上所表示的两个点分别在 的 ，并且与原点的 ； ②一般地说，数a 的相反数是 ；这里的a 表示 ；它可以是 ； ③求一个数的相反数就是 ； ④在任意一个数前加“-”，所得的数是 ； （3）若a 、b 互为相反数，则可转化为以下几种关系： ①a b += ； ②a b ； ③a b -、b a -； ④a b ba= ；（0;0a b ≠≠） 6、绝对值：（1）叫做a 的绝对值；记作： 读作： ；（2）绝对值规律：① ；② ； ③ ；可见一个数的绝对值一定是 ；即（绝对值非负性）；a =( )( ) ( )（3）求一个数的绝对值首先判断 ；然后根据 求出 ； 7、有理数的大小比较：（1）数轴上不同的两个点表示的数， ； （2）负数 0，0 正数，负数 正数；两个负数比较大小， ；8、最小的正整数是 ，最大的负整数是 ，绝对值最小的数是 ；相反数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ； 二、合作探究：1、某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。

正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数专题训练有理数第一讲 正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数一、梳理知识0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 注意：小数和百分数可看成分数，有理数中的小数是指有限小数或无限循环小数，π不是有理数，任何分数都是有理数.最小的正整数是____，最小的自然数是 ，最大的负整数是数轴的三要素: 原点、正方向和单位长度.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．相反数的意义：相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩有理数的绝对值都是非负数倒数：乘积是1的两个数互为倒数.有理数大小比较的法则：① 正数都大于0；② 负数都小于0；③ 正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．二、例题例1 把下列数分类23.14020140.3 1.2136910%3π--L ， ， ，， ， ， ， -1,正数：整数：负分数：有理数：正整数：自然数：例2 （1）有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b +++的结果是（ ）20A a b B b C D a + .2 .2 . . 2（2）有理数,a b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）①b ＜0＜a ； ②|b|＜|a|； ③0ab >； ④a b a b ->+A B C D .1个 . 2个 .3个 . 4个课堂练习：1、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ）-11a bA．a + b＜0 B．a + b＞0; C．a－b = 0 D．a－b＞02、有理数,a b在数轴上的对应点位置如图所示，则,,,a b a b-的大小关系为（）例3（1）在数轴上把-3对应的点移动5个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（）A B C D.2 . -8 .2或-8 .不能确定（2）一个数在数轴上所对应的点向左平移6个单位后，得到它的相反数的点，则这个数为（）A B C D.3 . -3 .6 . -6课堂练习：1、在数轴上与-3的距离等于5个单位的点表示的数是（）2、绝对值大于2而小于6的所有整数的和（）A B C D.0 . -12 .12 . 243、下列说法正确的有（）①最大的负整数是1-；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④在数轴上表示a-的点一定在原点的左边；⑤在数轴上7与9之间的整数是8．A B C D.2个 . 3个 .4个 . 5个A B C D.2 . -2 .2和-2 . -8和2例4 （1）若2,1a b ==，那么a b ⋅的值有（ ）A B C D .1个 . 2个 .3个 . 4个（2）若m 为有理数，则m m -的值为（ ）A B C D .大于0 . 大于等于0 .小于0 . 小于等于0课堂练习：1、若4,3a b ==，则a b -等于（ ）A B C D ± .7 . 1 .1 . 1或72、若3=2a -，则+3a 的值为（ ）A B C D .5 . 8 .5或1 . 8或4例5 （1） 用“>”连接032，，---正确的是 （ ）A 、032>-->-B 、302-->>-C 、023<-<--D 、203-<<--（2）有理数,,a b c 的大小关系为0c b a <<<，则下面的判断正确的是（）11000A abc a b c a c b <->-> . B. C.< D.（3）若0ab ≠，则等式a b a b +=+成立的条件是（ ）0,0000A a b B ab C a b D ab ><<+=> . . . .课堂练习：1、若a b >，则下列各式正确的为（ ）A a bB a bC a bD a b ><>> . . . .2、已知m 是正整数，则1,,m m m -的大小关系是（ ）1111A B C D m m m m ≤≤ .-m<<m . -m<m< .-m<m . -m<m例6 （1）若a b 与互为相反数，c 的绝对值为2，,m n 互为倒数，则243a b c mn ++-的值为（ ） 13A B C D .1 . .0 . 无法确定 （2）若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则2a+3cd+2b=（3）如果 1.210a b ++-=，那么()()1 1.8a b +-+-+的值为（4）已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，x 且的绝对值是5，试求：()3x a b cd a b cd -+++++-课堂练习：1、若a b 与互为倒数，当3a =时，代数式2()bab a -的值为（ ）23983289A B C D . . . .2、若a b 与互为倒数，,x y 互为相反数，则()()a b x y ab ++-的值为（）A B C D .0 . 1 .-1 . 无法确定3、若320x y -++=，则x y +的值为4、绝对值不小于1而小于3的整数的和为5、如果0ab ≠，则aba b +的值不可能为（ ）2A B C D -、0 、1 、2 、作业1、3-的倒数为（ ）1133A B C D . . - .3 . -32、如图所示，根据有理数a 、b 、c 在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ）3、有理数123,,555---的大小顺序是（ ）4、已知,a b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，a ＜|b|，则,,,a b a b --的大小顺序是（ ）.A b a a b <-<<- .a a b b -<<-<B .a b a b -<<<-C .b a a b -<<-<D 5、6、如果5x+3与－2x+9是互为相反数，则x －2的值是7、数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离是243，则这两个数是 8、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ）A ．0B ．7C ．14D ．289、已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，求mn mn b a -+)(的值。

正负数有理数知识点总结正负数，也称作有理数，在数学中占有重要的地位。

了解和掌握正负数的概念、性质和运算规则，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。

下面将对正负数的知识点进行总结。

一、正负数概念和表示方法1. 正数：是大于零的实数，用"+"号表示，如+3、+5.2等。

2. 负数：是小于零的实数，用"-"号表示，如-2、-6.7等。

3. 数轴：数轴是用来表示数值大小和位置关系的直线，数轴的中心是零点，正数在零点的右侧，负数在零点的左侧。

4. 相反数：两个数绝对值相等，但符号相反，称为相反数。

如+4和-4、+2.5和-2.5。

5. 绝对值：一个数的绝对值表示该数离零点的距离，无论该数是正数还是负数，它的绝对值都是正数。

二、正负数的运算规则1. 加法：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，绝对值取较大的绝对值减去较小的绝对值。

2. 减法：加上被减数的相反数，然后按照加法规则进行计算。

3. 乘法：同号相乘得正，异号相乘得负。

4. 除法：同号相除得正，异号相除得负。

5. 乘方：正数乘以正数、负数乘以负数，结果都是正数；负数乘以正数、正数乘以负数，结果都是负数。

三、正负数的性质1. 正数与正数相乘，结果仍为正数；负数与负数相乘，结果仍为正数。

2. 正数与正数、负数与负数相加，结果为正数；正数与负数相加，结果的绝对值小于两个数的绝对值。

3. 0是非负数，同时也是非正数。

0与任何非零数相乘等于0，0除以任何非零数等于0。

四、实际应用1. 温度计：温度计上的零点下方表示负温度，零点上方表示正温度，通过负数的概念和表示方法，可以更好地理解和使用温度计。

2. 涉及方向的问题：在计算方向相关的问题时，正数可以表示顺时针方向，负数可以表示逆时针方向。

3. 电子账户：银行账户中，正数代表存款，负数代表欠款，通过正负数的运算规则和性质，可以进行账户余额的计算和处理。

七年级上册数学知识点梳理（一有理数）1.1正数与负数，有理数知识点一：正数与负数的意义知识点二：有理数的分类1.2 数轴、相反数和绝对值知识点一：数轴三要素：知识点二：相反数（1）)0a的相反数为-a, 0的相反数为0。

(a（2）数轴上，原点两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数符号化简（奇数个“-”为“-”，偶数个“-”为“+”）知识点三：绝对值数轴上表示一个数的点离原点的距离=这个数的绝对值a(我是正数)的绝对值是aa(我是负数)的绝对值是-a0的绝对值是0知识点四：有理数比较大小1.3有理数的加减法注意符号！加减混合运算拆项法1.4有理数的乘除法乘法步骤：看零---确定符号---计算绝对值倒数：乘积为1的两个数互为倒数运算律：交换律 1. 0没有倒数结合律 2.分数倒数颠倒分子分母位置分配律 3.正数的倒数为正，负数的倒数为负4.倒数是本身的数为1和-1除法----转化为乘法（除以一个不为0的数=乘以这个数的倒数）注意：0除以任何不为0的数等于01.5有理数的乘方1.乘方n 个相同因数的积。

（底数、指数、幂）乘方的符号法则正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负；负数的偶次幂为正；0的任何正整数次幂为0混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；有括号先括，小-中-大2.科学记数法绝对值大于10的数---->n a 10⨯ （a 整数数位只有一位的数，n 正整数）101<≤a ； n=原数整数位-1 负数在前面加-绝对值小于1的数----->n a -⨯10 （a 整数数位只有一位的数，n 正整数）101<≤a n=a 前面小数点后面所具有的0的个数+13.近似数：把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了哪一位有效数字：一个数从左边第一个非0数字起，到末位数止，所包含的所有数字。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

在初中数学的学习中，有理数占据着基础且关键的地位。

接下来，我们将对有理数的知识点、考点和难点进行详细的总结归纳。

一、有理数的定义和分类有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

按照符号分类，有理数可以分为正有理数、零和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

需要注意的是，零既不是正数也不是负数，但它是有理数。

二、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，反过来，数轴上的点也都对应着一个有理数。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

利用数轴可以比较有理数的大小，也可以进行有理数的加减运算。

三、有理数的相反数只有符号不同的两个数互为相反数。

例如，5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3。

零的相反数是零。

互为相反数的两个数之和为零。

四、有理数的绝对值绝对值的定义是：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

例如，｜5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，｜0| ＝ 0。

绝对值具有非负性，即任何有理数的绝对值总是大于或等于零。

五、有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较－5 和－3 的大小，因为｜－5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，5 ＞ 3，所以－5 ＜－3。

六、有理数的加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同零相加，仍得这个数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2，0 ＋ 5 ＝ 5。

七、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数（数轴、相反数、绝对值）有理数（按定义分类）负整数 正整数 正有理数正分数有理数（按符号分类）零（零既不是正数，也不是负数）注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数; ⑷负整数和零统称为非正整数例题:【例1】⑴如果收入2000元，可以记作2000元，那么 支出5000元，记为 ________________________ .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300米，则海拔高度为 600米表示 ________________⑶某地区5月平均温度为20 C ,记录表 上有5月份5天的记录分别为2.7 ?0， 1.4， 3， 4.7，知识点：一、有理数: 正整数 整数 零自然数分数正分数 负分数负有理数负整数 负分数那么这5项记录表示的实际温度是 __________________________ .⑷向南走200米，表示 _______________ .【例2】⑴在下列各数：(2)， ( 22)， 2，( 2)2， ( 2)2中， 负数的个数为个.⑵①a 10:②a 21 :③a ［④(a 1)2一定是负数 的是 (填序号)■练习题:A 、一个数不是正数就是负数B 、整数又叫自然数C 、 正整数又叫自然数D 、整数与分数统称为有理数1、 下列说法正确的是(A . a —定是负数 就是负数C . 0是负数 号，就成了负数2、 下列说法正确的是()B .一个数不是正数D .在正数前面加“)3、下列说法正确的是（）A 、0 是正整数B、0 是正数C、0 是整数D、0 既不是奇数又不是偶数4、下列说法正确的是（）A ．a表示负有理数B •一个数的绝对值一定不是负数C •两个数的和一定大于每个加数D •绝对值相等的两个有理数相等二、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“ 1的'线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致•数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来•在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大•正数都大于0,负数都小于0，正数大于一切负数•注意：数轴上的点不都代表有理数，如•例题:【例3】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应 有理数m 、n ,那么以下结论正确的是（ )A. m 0 , n 0 , m nB. m 0, n0 , mnC. m 0 , n 0 , m nD. m 0 , n 0 , m n【例4】数a,b ，d 所对应的点A,B ,C,D 在数轴上的位 置如图所示，那么a c 与b d 的大小关系为（） A. a c b d B. a c b d C.a c b dD.不确定的【例5】在数轴上任取一条长度为1999*的线段, 则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的 个数为 练习题：1、如图，数轴上标出若干个点，每 相邻两点相距1个单位，点A, B,C,D 对 应的数分别为整数a ,b, cd ，并且b 2a 9，那么数轴的原点对应点为（ ）A ・A 点B ・B 点2、 数轴上有一点到原点的距离是 5.5，那么这个A D 0 C BC . C 点AB C D点表示的数 ____________3、已知数轴上有A,B两点，A,B之间的距离为1，点A与原点0的距离为3，那么点B所对应的数为_4、轴上表示整数的点称为整点。

初一数学有理数的知识点复习关于初一数学有理数的知识点复习在日复一日的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

那么，都有哪些知识点呢？下面是店铺精心整理的初一数学有理数的知识点复习，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

初一数学有理数的知识点复习1正数小学学过整数、分数(小数)的知识，即正有理数及0的知识，还学过用字母表示数。

将小学中的算术数扩充到有理数：①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.⑤能运用有理数的运算解决简单的问题.⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.⑦了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).负数利用具有相反意义的量引入负数有理数数轴为掌握平面直角坐标系做准备;数形结合的初步认识及应用通过描述位置的问题引出，并让学生通过温度计加深对数轴的认识，进而具体讲述绝对值借助数轴相反数借助数轴。

分别利用几何意义和代数意义让学生理解倒数乘积为1的'两个数把倒数的范围扩充到有理数范围内小学知识迁移有理数加法法则将两个数合并为一个数的运算初中阶段运算的基础首先通过实例明确有理数加法的意义;引入有理数加法的法则，接着举例说明小学阶段学过的加法运算律对有理数加法同样适用。

在此基础上，从有理数减法的意义得出有理数减法法则。

进一步根据减法法则，可以把加减法运算统一成加法。

有理数减法法则有理数乘法法则借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法则并通过例子说明，如何利用法则进行计算。

然后从具体运算的例子出发，指出乘法的运算律对有理数同样适用。

在乘法之后，从有理数除法的意义出发，结合具体例子引入有理数除法的法则，并通过例子说明如何利用法则进行计算。

正负数、绝对值、有理数加减法知识点第一篇：正负数、绝对值、有理数加减法知识点正负数、相反数、绝对值、有理数加减法知识点1.有理数由正数、负数、零组成，或者说由整数和分数组成。

非负数包括零和正数；非正数包括零和负数。

2.整数：正整数、负整数、零。

存在最小的正整数为1，不存在最大的正整数；存在最大的负整数为-1，不存在最小的负整数。

非负整数包括零和正整数；非正整数包括零和负正数。

3.分数：正分数、负分数。

不存在最大和最小的分数。

4.任意一个正数的相反数是负数；任意一个负数的相反数是正数。

如果a>0，相反数为−a<0;如果a<0,相反数−a>0。

任意一个数的绝对值与它的相反数的绝对值相等。

a = −a5.任意一个数的绝对值永远大于或等于0（加绝对值符号后），但这个数本身可以是正数、负数或零（绝对值符号里面的数）。

因此，根据以下规则去掉绝对值符号。

（1）任意一个正数和零的绝对值等于它本身，如果a≥0, a =a≥0（2）任意一个负数的绝对值等于它相反数，如果a<0, a =−a>06.数轴上任意两个点a，b的距离等于两个点相减的绝对值，公式：a−b =L>07.任意一个绝对值代数式ax+by+cz =m>0，则ax+by+cz=±m，其中a,b,c为自然数，x,y,z为未知数。

8.任意有理数的绝对值相加一定是正数或零，a + b + c +⋯+ n =m>0如果a=b=c…=n=0,则m=0.注意：去掉绝对值符号，根据知识点5，依据a,b,c,…n是否为正数或负数进行去掉绝对值符号。

如果题目中没有说明a,b,c,…n为正数或负数，需要分情况讨论去掉绝对值符号。

9.有理数加减法规则：任何加减式都能够化成加法的式子（1）相同符号有理数相加两个正数相加：5+3=8两个负数相加：（-5）+（-3）=−−5 + −3 =−8（2）相同符号的有理数相减两个正数相减：如果被减数绝对值大于减数可以直接减，5-3=2 如果被减数小于减数，3-5=3+ −5 =−−5 − 3 =−2 两个负数相减：−5−−3 = −5 +3=−−5 − 3 =−2（3）不同符号的两个有理数相加，谁的绝对值大结果就是谁的符号。