2017届一轮复习北师大版 直线的倾斜角、斜率 课件

直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角
为0°. [0°，180°) ． ②倾斜角的范围为____________
(2)直线的斜率
正切值 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的 ____________ 叫做这条直 线 的 斜 率 ， 斜 率 常 用 小 写来自字 母 k 表 示 ， 即 k ＝
只知直线上一 两点非原点 代入数 (2) 点，想办法求出 → 均在坐标轴上， → 据求出 直线上另一点 可用截距式 直线方程
[ 解析]
(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点，由两
y－1 x－2 点式得 BC 的方程为 ＝ ，即 x＋2y－4＝0. 3－1 －2－2 2－2 (2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x，y)，则 x＝ 2 ＝0，y 1＋3 ＝ 2 ＝2.BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)， D(0,2)两点， 由截距 x y 式得 AD 所在直线的方程为 ＋2＝1，即 2x－3y＋6＝0. －3
●双基自测
1 ． 下 列 结 论 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”. 导学号 25401862 (1)直线的倾斜角越大，其斜率越大．( ) y2 －y1 (2)斜率公式 k＝ ， 不适用于垂直于 x 轴和平行于 x 轴 x2 －x1 的直线．( )
(3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( x1)．( )
π 倾斜角为 α，则 tanα≤1，又因为 0≤α＜π，所以2＜α＜π 或 π 0≤α≤4，故选 B.
(2)如图所示，直线 l：x＋my＋m＝0 过定点 A(0，－1)，当 3 1 m≠0 时，kQA＝2，kPA＝－2，kl＝－m， 1 1 3 ∴－m≤－2 或－m≥2， 1 2 解得 0＜m≤2或－3≤m＜0； 当 m＝0 时，直线 l 的方程为 x＝0， 与线段 PQ 有交点． 2 1 ∴实数 m 的取值范围为－3≤m≤2. 2 1 [ 答案] (1)B (2)[－3，2]
[ 答案]
3
5．(必修 2P100T5 改编)一条直线经过点 A(2，－3)，并且 它的斜率等于直线 x＋ 3y＝0 的斜率的 2 倍，则这条直线的方 程为_________. 导学号 25401866
[ 答案] 2x＋ 3y－4＋3 3＝0
考点突破· 互动探究
直线的倾斜角与斜率
(1)(2015· 山西四校联考)直线 l 经过 A(2,1)，B(1， m2)(m ∈ R) 两 点 ， 那 么 直 线 l 的 倾 斜 角 α 的 取 值 范 围 是 导学号 25401867 ( A．0≤α＜π π C．0≤α≤4 ) π π B．0≤α≤4或2＜α＜π π π π D.4≤α＜2或2＜α＜π
的斜率 k 在两直线斜率之间，数形结合即可找到思路．
直线的方程
△ABC 的三个顶点分别为 A(－3,0)， B(2,1)， C(－ 2,3)，求： 导学号 25401871 (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程．
[ 分析] 已知直线 利用直线方 代入数据求 (1) → → 上两点 程的两点式 出直线方程
y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
y－y1 x－x1 两点式 _______ ＝ y2－y1 x2－x1
截距式 _______
x y a＋b＝1
Ax＋By＋C＝0 一般式 2＋B2≠0 A 其中要求____________
不含垂直于x轴、平行于 x轴和过原点的直线 适用于平面直角坐标系
内的所有直线
[解析] l1⊥l2⇔a·1＋(a＋2)a＝0，∴a＝0，或a＝－3. [ 点拨 ] 本题容易出现的错误是由 k1k2 ＝－ 1 ，得到 a ＝－
3，从而漏解．
4．(必修 2P89 练习 T2 改编)若过点 A(m,4)与点 B(1，m)的 直 线 与 直 线 x － 2y ＋ 4 ＝ 0 平 行 ， 则 m 的 值 为 ________. 导学号 25401865
(2)(2015· 辽宁沈阳四校联考)若 A(1，－2)，B(5,6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方 程为______________. 导学号 25401873
[答案] (1)D (2)x＋y－5＝0或2x－3y＝0
[ 解析]
(1)已知圆的圆心为(0,3)，直线 x＋y＋1＝0 的斜率
tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公 y2－y1 式为k＝______________. x2－x1
2．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 方程 适用范围 不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴和平行 于 x 轴的直线
1 b＝2 时，△AOB 面积 S＝2ab 有最小值为 4.此时，直线 l 的方 x y 程是4＋2＝1.
2k － 1 ②方法一：∵A( k ，0)，B(0,1－2k)(k＜0)， 2k－1 ∴截距之和为 k ＋1－2k 1 ＝3－2k－k ≥3＋2 1 －2k· －k ＝3＋2 2.
1 2 此时－2k＝－k ⇒k＝－ 2 . 2 故截距之和最小值为 3＋2 2， 此时 l 的方程为 y－1＝－ 2 (x－2)．即 x＋ 2y－2－ 2＝0.
(1)(2015· 天津模拟)直线 xsinα－y＋1＝0 的倾斜角的变化范 围是 导学号 25401869 ( π A．(0，2) π π C．[－4，4] ) B．(0，π) 3π π D．[0，4]∪[ 4 ，π)
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线 段有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为 _________. 导学号 25401870
1 1 当且仅当－k ＝－4k，即 k＝－2时，△AOB 面积有最小值 1 为 4，此时，直线 l 的方程为 y－1＝－2(x－2)，即 x＋2y－4＝ 0.
2 x y 方法二：设所求直线 l 的方程为a＋b＝1(a＞0，b＞0)，则a 1 ＋b＝1. 2 1 又∵a＋b≥2 2 1 2 1 1 ab⇒2ab≥4，当且仅当a＝b＝2，即 a＝4，
[ 规律总结] 骤
(1)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步
①求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为 90° )． ②利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象或单位圆 确定倾斜角的取值范围． (2)直线的斜率与倾斜角的关系 π π π ①当 α∈[0， k 由 0 增大到＋∞. 2)且由 0 增大到2(α≠2)时， π π π ②当 α∈(2，π)且由2(α≠2)增大到 π(α≠π)时，k 由－∞增 大并趋近于 0(k≠0)．
[ 解析]
①方法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，
2k－1 则可得 A( k ，0)，B(0,1－2k)． ∵与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A、B 两点， 2k－1 ＞0， k ∴ ⇒k＜0.于是 1－2k＞0 1 1 2k－1 S△AOB＝2· |OA|· |OB|＝2· k · (1－2k) 1 1 1 ＝2(4－ k－4k)≥2[4＋2 1 － k · －4k]＝4.
第八章 解析几何
第八章
第一讲 直线的倾斜角、斜率 与直线的方程
1
知识梳理· 双基自测
2
考点突破· 互动探究
3
课 时 作 业
知识梳理· 双基自测
●知识梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线 l与x轴相交时，我们取x 轴作为基准，把 x 向上 正向 轴 ____________ 与直线 l____________ 方向之间所成的角 α 叫做
为－1，则所求直线的斜率为 1.所以所求直线的方程为 y－3＝x －0，即 x－y＋3＝0. (2)方法一：设直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距均为 a.由题意 得 M(3,2)． 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， 2 ∴直线 l 的方程为 y＝3x，即 2x－3y＝0；
x y 若 a≠0，设直线 l 的方程为a＋a＝1， 3 2 ∵直线 l 过点 M(3,2)，∴a＋a＝1， x y ∴a＝5，此时直线 l 的方程为5＋5＝1，即 x＋y－5＝0. 综上，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
)
(4) 过点 P(x1 ， y1) 的直线方程一定可设为 y － y1 ＝ k(x － x y (5)直线方程的截距式a＋b＝1 中，a、b 均应大于 0.(
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
)
2． (2015· 天津武清区测试)直线 3x＋ 3y－1＝0 的倾斜角是 导学号 25401863 ( π A.6 2π C. 3 ) π B．3 5π D． 6
(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已
知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求 出直线方程．
(1)(2014· 福建)已知直线 l 过圆 x2＋(y－3)2＝4 的圆心， 且与 直线 x＋y＋1＝0 垂直，则 l 的方程是 导学号 25401872 ( A．x＋y－2＝0 C．x＋y－3＝0 B．x－y＋2＝0 D．x－y＋3＝0 )
方法二：易知 M(3,2)，由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在 且 k≠0，则直线 l 的方程为 y－2＝k(x－3)， 2 令 y＝0，得 x＝3－ k； 令 x＝0，得 y＝2－3k. 2 2 ∴3－k ＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝3. 2 ∴直线 l 的方程为 y－2＝－(x－3)或 y－2＝3(x－3)， 即 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
[ 答案]
C
[ 解析]