高中数学选修1-2同步练习题库：数系的扩充和复数的概念(选择题：较易)

一、选择题1．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-33．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π4．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 5．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．2 D6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知i 是虚数单位，复数212i z i +=-，则复数z =（ ） A ．1B ．1-C ．i -D ．i 8．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==； ②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2-B ．2i -C ．3D ．3i 10．复数1323i i+的共轭复数为（ ） A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -11．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ） A ．2- B ．1-C ．2D ．1 12．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1C ．0D ．2 二、填空题13．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 14．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 15．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.19．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．20．如果复数z =421i i-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________． 三、解答题21．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位）（1）求z ；（2）若2a i z+为纯虚数，求实数a 的值． 22．已知复数1z i =-. （1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值. 23．已知z 是复数，且z i +，2z 1+i 均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若z i a +=a 的值.24．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=.（1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值. 25．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值；（3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1z z +的模. 26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.2．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 4．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．D解析：D【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可．【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．6．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．D解析：D【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果. 详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i i z i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.8．B解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.9．A解析：A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数. 10．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323i i+的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．15．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-. ∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=---∵2z 的实部是1-∴2z 的虚部是1故答案为1.16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为ba bi -18．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-， 则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-，()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题． 19．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）34z i =+；（2）83a =-. 【分析】 (1) 设(),z x yi x y R =+∈，可得2040x y -=-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩从而可得结果；(2) 由（1）知()3864225a a i a i z ++-+=，利用2a i z +为纯虚数可得380640a a +=⎧⎨-≠⎩，从而可得结果.【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈， 由于23z i z i -=++23i x yi i =-++()240x y i -+-=2040x y -=∴-=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩34z i ∴=+ （2）由（1）知()()()()23422343434a i i a i a i z i i i +-++==++- ()386425a a i++-=又2a i z+为纯虚数， 380640a a +=⎧∴⎨-≠⎩ 83a ∴=- 【点睛】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.22．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩ 【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.23．（1）1z i ，=--（2）3a =或1a =-【解析】试题分析:（1）设R z x yi x y =+∈，、,根据复数为实数条件列方程组100y y x +=⎧⎨-=⎩,解得1x y ==-（2）根据复数模的定义得方程()()221+15a --=,解方程可得实数a 的值.试题解：（1）设R z x yi x y =+∈，、则()++1R z i x y i x y =+∈，、；()()221+1+x yi z x y y x i i i+==++- 2+1+z z i i，均为实数， 100y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 1x y ∴==- 1z i ∴=--，（2）由z i a +=得1i i a --+=()()221+15a ∴--= 3a ∴=或1a =-24．（1）1；（2）32+22-=m 且222-=n . 【解析】试题分析：（1）运用纯虚数的概念建立方程求解；（2）运用题设条件建立方程，再运用基本不等式求解.试题（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x又0232≠++x x ，所以1=x（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ， 所以223223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，当且仅当222m n =时等号成立，又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．25．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模.【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2-（2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则 (1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，12z z =+， 【点睛】 本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 26．（1）132z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()11122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()1112z i i ⎫-⋅=⎪⎪⎝⎭得112z i i -==+，所以132z i =. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+， ∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】 本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.。

一、选择题1．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）A ．3个元素B ．4个元素C ．5个元素D ．6个元素 2．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数（2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．直线 D ．线段 5．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-36．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-37．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 9．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=A ．3BC ．D ．10．已知复数z 满足|12||2|z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 11．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．5 12．若复数z 是方程2250x x -+=的一个根，则z =（ ） A ．2i ±B ．2i -±C ．12i -±D ．12i ± 二、填空题13．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 14．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.15．若02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，则0z 的取值范围是________. 16．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．17．已知()21,1x yi x y R i+=∈-，则x y +=__________． 18．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________．19．已知虚数z 满足等式，则z=________20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值.22．已知复数12215523,(2)i z i z i -=-=+，求下列各式的值： (Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z 23．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.24．设复数z 的实部为正数，满足10z =()12i z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若有2211z x x i =+，()()223z x a z =+-，对任意x ∈R 均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围.25．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值；（3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1z z +的模. 26．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.【详解】解：设复数z a bi =+(),a b R ∈z a bi ∴=-(),a b R ∈，z a bi z =+=(),a b R ∈，||222z a b =+，222||z a b =+，()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+()22222z a bi a b abi =+=-+222222z a b abi a b ∴=-+===+ 故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素，故选：A【点睛】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.2．C解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 3．B解析：B【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定．【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==， 则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220b b a b -=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确； z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个．故选B ．【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．4．D解析：D【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F ，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F ，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.5．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义．7．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限， 24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．8．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线．【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．9．B解析：B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -.故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.10．C解析：C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．11．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 12．D解析：D【分析】设出复数，代入方程进行求解即可.【详解】令(,)z a bi a b R =+∈，有2()2()50a bi a bi +-++=，整理为()2225(22)0a b a ab b i --++-=， 有22250220a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=±⎩， 则12z i =±.故选：D.【点睛】本题综合考查复数的运算，涉及复数为实数的转化关系，属复数基础题.二、填空题13．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．14．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5【分析】关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得：α，β=，则|||2αβ-==，解得5m =，经验证∆<0，符合要求，故答案为：5．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．15．【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于的条件再解不等式得的取值范围【详解】因为表示的动点的轨迹是椭圆所以复数所对应点距离小于4即故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义考查综合分析求解 解析：[)0,6【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于0z 的条件，再解不等式得0z 的取值范围.【详解】 因为02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，所以复数02,i z 所对应点距离小于4，即0000|2|4||||2||44||242||6z i z i z z -<∴-<∴-<-<∴-<< 00||00||6z z ≥∴≤<故答案为：[)0,6【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.16．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 17．【解析】分析：先化简复数代数形式再根据复数相等求即得结果详解：因为所以点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：2-.【解析】分析：先化简复数代数形式，再根据复数相等求x y ，，即得结果. 详解：因为211x yi i+=-， 所以点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．2【解析】分析：计算可得进而得到的模详解：即答案为2点睛：本题考查复数的运算及复数的模属基础题解析：2【解析】分析：计算可得z ，进而得到z 的模详解：()212,2z i i z =-=-∴=. 即答案为2.点睛：本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.19．【解析】试题分析：设则所以即考点：复数的相等解析：12i +【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则22()()316z z a bi a bi a bi i -=+--=+=+，所以1{36a b ==，12a b =⎧⎨=⎩，即12z i =+． 考点：复数的相等．20．【分析】先化简分母再分子分母同乘以从而可得结果【详解】故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部虚部的理解掌握纯虚数共轭复数复数的模这些重要概念复数的运算主要考 解析：i -【分析】先化简分母，再分子分母同乘以i ，从而可得结果.【详解】()222211211i i i i ii ====-+-+，故答案为i -. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题21．（1）34a b =-⎧⎨=⎩（21 【分析】（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由11z z -=判断出1z 对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【详解】解：（1）21z az b i ++=+，21i a ai b i ∴-+-+=+，(2)1a b a i i ∴+-+=+1(2)1a b a +=⎧∴⎨-+=⎩， 34a b =-⎧∴⎨=⎩； (2)设1,(,)z x yi x y =+∈R ，|()(1)|1x yi i ∴+--=即|(1)(1)|1x y i -++=，22(1)(1)1x y ∴-++=即1z 在平面对应点的轨迹为以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，max 11d ∴==【点睛】本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数0z 对应的点为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是：0z z r -=.22．(1)1279z z i =--;(2)121131010z i z =+. 【解析】【分析】由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【详解】(Ⅰ)因为()221552iz i -==+155(155)(34)3425i i i i ---==+=13i - 所以()()12231379z z i i i =--=--；(Ⅱ)122313z i z i -==-(23)(13)(13)(13)i i i i -+-+=1131010i +. 【点睛】复数代数形式的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.122222(0)z a bi ac bd bc ad i c di z c di c d c d ++-==++≠+++ 23．-2,-4,-1 2.a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 【解析】分析：将z=1+i ,z 1i =-代入条件式整理,根据两个复数相等的条件求a,b.详解：∵z=1+i,∴az+2()()bz a 2b a 2b i,=++-(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a 2+4a)+4(a+2)i.∵a,b ∈R,∴由复数相等,22a 4,-24(2).a b a a b a ⎧+=+⎨=+⎩得 ∴两式相加整理,-2,-4,-1 2.a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩得或 ∴所求实数-2,-4,-1 2.a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩为或 点睛：（1）本题主要考查复数相等的概念，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bic di a b cd R a c b d +=+∈⇔==且.24．（1）3z i =-（2）112a -<≤【分析】（1）设(Z a bi a =+，b R ∈且0)a >，由条件可得2210a b +=①，3a b =-②．由①②联立的方程组得a 、b 的值，即可得到z 的值．（2）首先可得()22z x a i =+，因为x ∈R 均有12z z >2x a >+，即22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立，对a 分类讨论可得； 【详解】解：（1）设()0,z a bi a b R =+>∈10z =，=，()()()()1222i a bi a b a b i ++=-++，且在一、三象限角平分线上，22a b a b ∴-=+②由①、②得31a b =⎧⎨=-⎩或31a b =-⎧⎨=⎩ 0a >，3a ∴=，1b =-，3z i ∴=-；（2）21z x =，()()223z x a z =+-，3z i =+， ()22z x a i ∴=+， x R ∈均有12z z >成立，∴2x a >+，即22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立，①12a =时，304>恒成立， ②12a ≠，212010a a ->⎧⎨->⎩，解得112a -<<， 综上所述，112a -<≤. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，不等式恒成立问题，属于中档题．25．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模. 【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2-（2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则(1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，1z z =+， 【点睛】本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 26．（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）设z m R =∈，由题意可得23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，即可得解； （2）假设z ni =（n R ∈，且0n ≠）时方程的解，转化条件得23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n -+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()230m a i m i -+-+=， 即()2310m am m i --+--=，则23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，故12m a =-⎧⎨=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()230ni a i ni i -+-+=，整理可得()2310n n an i -+-+--=， 则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.。

3.1 数系的扩充和复数的概念(包括3.1.1 数系的扩充和复数的概念,3.1.2 复数的几何意义)姓名:___________班级:______________________1.复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为( )A.0或－1B.0C.1D.－12.下列说法正确的是( )A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等B.ai是纯虚数(a∈R)C.如果复数x＋yi(x、y∈R)是实数,则x＝0,y＝0D.复数a＋bi(a、b∈R)不是实数3.若复数z1＝sin2θ＋icosθ,z2＝cosθ＋θ( ∈R),z1＝z2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ＋πk(k∈Z)C.2kπ±πk(k∈Z) D.2kπ＋π6(k∈Z)4.已知复数z的模为2,则|z－i|的最大值为( )A.1B.25.下列命题中,正确命题的个数是( )①若x,y∈C,则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1;②若a,b∈R且a＞b,则a＋i＞b＋i;③若x2＋y2＝0,则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.36.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为－1＋2i,若点A关于直线y＝－x的对称点为点B,则向量OB对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i7.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件8.两个不相等的复数z1＝a＋bi(a,b∈R),z2＝c＋di(c,d∈R),若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,则a,b,c,d之间的关系为( )A.a＝－c,b＝dB.a＝－c,b＝－dC.a＝c,b＝－dD.a≠c,b≠d10.i 为虚数单位,复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于原点对称,若z 1＝2－3i,则z 2＝________.11.已知z －|z|＝－1＋i,则复数z ＝______.12.已知复数z ＝22761a a a -+-＋(a 2－5a －6)i(a∈R ).试求实数a 分别为什么值时,z 分别为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？13.设复数z ＝2m ＋(4－m 2)i,当实数m 取何值时,复数z 对应的点:(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限？(3)位于以原点为圆心,以4为半径的圆上？14.已知z 为复数,若z 在复平面上对应的点在第四象限的角平分线上,且z =(1)求复数z ;(2)若复数z 满足1z ω-=,求ω的最小值.参考答案【答案】D【解析】∵z 为纯虚数,∴20,0,m m m ⎧+=⎨≠⎩∴m ＝－1,故选D.考点:复数的有关概念.【答案】A【解析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部的差与虚部的差都为0,故A 正确;B 中当a ＝0时,ai 是实数0;C 中x ＋yi 是实数,只需y ＝0就可以了;D 中当b ＝0时,复数a ＋bi 为实数.考点:复数的有关概念.【答案】D【解析】由复数相等的定义可知,sin 2cos ,cos ,θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩∴cos θ＝2,sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π,k ∈Z,故选D. 考点:复数的有关概念.【答案】D【解析】|z|＝2,复数z 对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上,|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离,则|z －i|的最大值为2＋1＝3.考点:复数的几何意义.5.A【解析】对①,由于x,y ∈C,所以x,y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部,故①是假命题; 对②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题;③是假命题,如12＋i 2＝0,但1≠0,i≠0.考点:复数的有关概念.6.B【解析】复数－1＋2i 对应的点为A(－1,2),点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B(－2,1),所以OB 对应的复数为－2＋i.考点:复数的几何意义.7.B【解析】ab ＝0时,a ＝0或b ＝0,复数a －bi 为纯虚数时,a ＝0且b≠0,那么“ab＝0”是“复数a －bi 为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.考点:复数的有关概念.8.A【解析】设z 1＝a ＋bi(a,b∈R )的对应点为P(a,b),z 2＝c ＋di(c,d∈R )的对应点为Q(c,d).∵P 与Q 关于y 轴对称,∴a＝－c,b ＝d.考点:复数的几何意义.9.1【解析】因为x,y∈R,所以利用两复数相等的条件有3,219,x y xx y y+=--⎧⎨-=-⎩解得4,5,xy=-⎧⎨=⎩所以x＋y＝1.考点:复数的有关概念.10.－2＋3i【解析】在复平面内,复数z＝a＋bi与点(a,b)一一对应.∵点(a,b)关于原点对称的点为(－a,－b),∴复数z2＝－2＋3i.考点:复数的几何意义.11.i【解析】解法一:设z＝x＋yi(x,y∈R),由题意,得x＋yi＝－1＋i,即(x)＋yi＝－1＋i.根据复数相等的条件,得1,1,xy⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得0,1,xy=⎧⎨=⎩∴z＝i.解法二:由已知可得z＝(|z|－1)＋i,等式两边取模,得|z|.两边平方,得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.把|z|＝1代入原方程,可得z＝i.考点:复数的有关概念.12.(1)a＝6(2)a∈(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6,＋∞)(3)实数a不存在【解析】(1)当z为实数时,有a2－5a－6＝0, ①且22761a aa-+-有意义, ②解①得a＝－1或a＝6,解②得a≠±1,∴a＝6,即a＝6时,z为实数.(2)当z为虚数时,有a2－5a－6≠0, ③且22761a aa-+-有意义, ④解③得a≠－1且a≠6,解④得a≠±1,∴a≠±1且a≠6,∴当a∈(－∞,－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6,＋∞)时,z为虚数.(3)当z 为纯虚数时,2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，， 无解,∴不存在实数a 使z 为纯虚数.考点:复数的有关概念.13.(1)m ＝0(2)m ＜－2或0＜m ＜2(3)m ＝0或m ＝±2【解析】(1)复数z 对应的点位于虚轴上,则220,40m m =⎧⎨-≠⎩⇒m ＝0.∴m＝0时,复数z 对应的点位于虚轴上.(2)复数z 对应的点位于一、三象限,则2m·(4－m 2)＞0⇒m(m －2)(m ＋2)＜0⇒m ＜－2或0＜m ＜2.∴m＜－2或0＜m ＜2时,复数z 对应的点位于一、三象限.(3)复数z 对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上,则|z|4⇒m ＝0或m ＝±2.∴m＝0或m ＝±2时,复数z 对应的点位于以原点为圆心,以4为半径的圆上.考点:复数的几何意义.14.(1)=44i z -(2)1【解析】(1)依题意设=i(,0)z a a a a -∈>R ,因为z =所以2232a a +=, 则4,a =±又0a >,所以4a =,故=44i z -.(2)由(1)知=44i z -,设i(,)x y x y ω=+∈R ,因为1z ω-=,所以22(4)(4)1x y -++=,又ω＝故ω的最小值为原点到圆22(4)(4)1x y -++=上的点距离的最小值,因为原点到点(4,4)-=圆的半径1r =,原点在圆外,所以ω的最小值即为1.考点:待定系数法,复数的几何意义,数形结合法.。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．适合x－2i＝(x＋y)i的实数x，y的值为A．x＝0，y＝2 B．x＝0，y＝－2 C．x＝2，y＝2 D．x＝2，y＝0 2．复数z＝a2＋b2＋(a－|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b C．a＞0且a≠b D．a≥03．设i是虚数单位，若复数(a－3)＋i(a∈R)是纯虚数，则实数a的值为A．－3 B．－1C．1 D．34．已知z1＝5－3i，z2＝5－4i，下列选项中正确的是A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2| D．|z1|＜|z2|5．当23-＜m＜5时，复数z＝(3m＋2)＋(5－m)i在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知026a<<，复数z的实部为a，虚部为1，则||z的取值范围是A．(1，5) B．(1，26)C．(15D．(1，25)7．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是A．直线B．圆心在原点的圆C．椭圆D．圆心不在原点的圆8．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．已知i 为虚数单位，复数x 2－6x ＋5＋(x －3)i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数x 的取值范围是________________．10．若复数z 对应的点在直线y ＝－2x 上，且|z |z ＝________________．11．已知i 为虚数单位，复数12,z z 在复平面内对应的点关于坐标原点对称，且123i z =-，则2z =________________．12．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若OC ＝x OA ＋y OB (x 、y ∈R)，则x －y 的值是________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．已知复数1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=-，且12512i 1313z z -=+，其中i 为虚数单位，求cos()αβ+的值．14．已知复数22(56)(3)i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位，m ∈R ．（1）若复数z 是实数，求实数m 的值； （2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值．15．当实数a 取何值时，复平面内，复数22(4)(6)i z m m m m =-+--的对应点满足下列条件？（1）在第三象限； （2）在虚轴上；（3）在直线60x y -+=上．。

数学·选修1－2(人教A版)3．1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的相关概念►达标训练1. 如果C，R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，那么有()A．C＝R∪I B．R∩I＝{}0C．R＝C∩I D．R∩I＝∅2．(2013·广州一模)已知i是虚数单位，则复数1－2i的虚部为()A．2 B．1C．－1 D．－2答案：D3．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列结论正确的是()A．a＝0，则a＋b i为纯虚数B．a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3C．b＝0，则a＋b i为实数D．1的平方等于i答案：C4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为() A．－1 B．0C．1 D．－1或1答案：A5．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i，a∈R，i是虚数单位}，若A⊆R，则a＝()A．1 B．－1C．±1 D. 0答案：C6．设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是()A．a＝0 B．a＝0且b≠0C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0►素能提高1．i是虚数单位，1＋i3等于()A．i B．－i C．1＋i D．1－i答案：D2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－b i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“ab＝0”则a＝0或b＝0，“复数a－b i为纯虚数”则a ＝0且b≠0，那么“ab＝0”是“复数a－b i为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.答案：B3．m ＝______________时，复数lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是实数．答案：－24．若x ，y ∈R ，且3x ＋y ＋3＝(x －y －3)i ，则x ＝________，y ＝________.解析：由题意，得⎩⎨⎧3x ＋y ＋3＝0，x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－3.答案：0 －35．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x ＝________.解析：由于含有虚部的复数不能比较大小，所以虚部必须为0且x有定义，故有x2－3x－2＞0且x2＋2x＋1＝1，得x＝－2，有log28＝3＞1，显然成立，故x＝－2.答案：－26．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{1，－1，4i}，若M∪P＝P，求实数m.解析：∵M∪P＝P，∴M⊆P.∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.若(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，则m＝1.若(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，则m＝2.经检验，m＝1或m＝2都符合题意．∴m＝1或m＝2.7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m的值．解析：因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．故有⎩⎨⎧m 2－1＞0，m 2－2m ＝0⇒⎩⎨⎧m ＞1或m ＜－1，m ＝0或m ＝2⇒m ＝2.∴m ＝2时，(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0.8．已知，关于实数x ，y 的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ， ①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ② 有实数解，求实数a ，b .解析：根据复数相等的充要条件有⎩⎨⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.(*)将(*)代入②式，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以有⎩⎨⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得a ＝1，b ＝2.►品味高考1．(2013·陕西卷)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0解析：举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.答案：C2．(2013·安徽卷改编)设i是虚数单位，若复数(a－3)－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．3解析：复数(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.故选D.答案：D。

一、选择题1．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D ．||22z =2．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ） A ．3个元素B ．4个元素C ．5个元素D ．6个元素4．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-35．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．2551i + 6．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．47．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==；②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >. 其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ）A ．2-B ．-1C ．0D ．210．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四11．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件12．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1i +B ．i -C ．iD ．0二、填空题13．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．14．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．15．已知复数z 满足1z =，且负实数a 满足2220z az a a -+-=，则a 的值为___________.16．已知复数z 和满足，且，则复数______．17．若复数是纯虚数(是虚数单位)，为实数，则复数的模为__________．18．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 19．若是实系数一元二次方程的一个根，则_______.20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．已知z 为复数，i 为虚数单位，且3z i +-和1zi+均为实数. （1）求复数z ；（2）若复数z ，z ，2z 在复平面上对应的点分别是A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 22．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.23．已知复数()()2256215z m m m m i =+-+--，（i 为虚数单位，m R ∈） （1）若复数z 在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M 的值； （2）当实数1m =-时，求1zi+的值. 24．已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.25．实数m 取什么值时，复数()2212z m m m i =-+--是 （1）纯虚数；（2）对应的点在直线22y x =-上.26．已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确. 【详解】 解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-， 其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误；42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i ii z i i i-+-++====-----，虚部为1，故C 正确；||z ==D 错误.故选：C. 【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．2．D解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.3．A解析：A 【分析】设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案. 【详解】解：设复数z a bi =+(),a b R ∈ z a bi ∴=-(),a b R ∈，z a bi z =+=(),a b R ∈，||222z a b =+，222||z a b =+，()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+()22222z a bi a b abi =+=-+222222z a b abi a b ∴=-+===+故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素， 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数()()()()()2155******** 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．B解析：B 【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案． 【详解】 由题意，复数12ii a bi i+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1255a b i=i -+，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．B解析：B 【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确. 只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个. 故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.8．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为9．A解析：A 【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限， 即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案. 【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a babi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D. 【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.12．D解析：D 【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1ix i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要 解析：[0,7)【分析】根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围. 【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<，根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部，数形结合可得07z <. 故答案为：[0,7) 【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14．【分析】根据系数方程有虚根则可得设方程的虚根为:则另一个虚根为:其模为1可得即可求得的取值范围【详解】设方程的虚根为:另一个虚根为:由韦达定理可得:故:实系数方程有一个模为1的虚根故若方程有虚根则可 解析：22a -<<【分析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =- 由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b=-⎧⎨+=⎩ 实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<. 【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用.15．【分析】由设代入后利用复数相等的定义求解【详解】因为故可设则即所以或若则时不是负数舍去时无实解则（舍去）故答案为：【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程常常设代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程【分析】由1z =，设cos sin ()z i R ααα=+∈，代入后利用复数相等的定义求解．【详解】因为1z =，故可设cos sin ()z i R ααα=+∈，则22222(cos sin )2(cos sin )0z az a a i a i a a αααα-+-=+-++-=， 即222(cos sin 2cos )2sin (cos )0a a a a i ααααα--+-+-=，所以2222sin (cos )0cos sin 2cos 0a a a a ααααα-=⎧⎨--+-=⎩， 2sin (cos )0sin 0a ααα-=⇒=或cos a α=，若sin 0α=，则cos 1α=±，cos 1α=时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-2310a a =-+=，35a ±=，不是负数，舍去．cos 1α=-时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-210a a =++=，35a ±=，无实解．cos a α=，则22222222cos sin 2cos (1)210a a a a a a a a a a ααα--+-=---+-=--=， 152a （15a +=舍去）． 故答案为：152-． 【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程，常常设(,)z m ni m n R =+∈，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．16．1+i 或-1-i 【解析】【分析】本题首先可以设z=a+bi(ab ∈R)由|z|-z=41-i 可得a=0b=22则z=2i 令ω=m+ni(mn ∈R)代入ω2=z 再由复数相等的条件求解【详解】设z=a+解析：或【解析】 【分析】 本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解。

数系的扩充和复数的概念（选择题：容易）1、复数，则在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2、若复数满足，则复数的虚部为( )A． B． C． D．3、如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、已知复数满足，是虚数单位，则复数的虚部是（）A． B． C． D．5、（）A． B．2 C． D．16、设是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数的值为（）A． B． C．3 D．7、复数的实部是（）A． B． C．1 D．8、已知复数，则z的共轭复数等于 ( )A． B． C． D．9、已知复数，则下列命题中正确的个数为（）①；②；③的虚部为；④在复平面上对应点在第一象限.A．1 B．2 C．3 D．410、己知．其中i为虚数单位，则（）A．-1 B．1 C．2 D．-311、若，，其中为虚数单位，则复数（）A． B． C． D．12、已知复数，（，为虚数单位），若，则的值是（）A． B． C．1 D．13、已知复数满足为虚数单位），则A． B． C． D．14、设复数满足，则（）A． B． C． D．15、已知，为虚数单位，若，则（）A． B． C． D．16、已知，为虚数单位，若，则（）A． B． C． D．17、已知复数（为虚数单位），则的虚部（）A．1 B．-1 C．i D．-i18、已知复数满足，则复数的虚部为A． B． C． D．19、已知，为虚数单位，，则 ( ) A． B． C． D．120、复数（是虚数单位），则复数的虚部为（）A． B． C．1 D．-121、已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数（）A．-1 B．0 C．1 D．222、复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限23、复数的实部与虚部之和为( )A．1 B．-1 C．5 D．-524、已知（），其中为虚数单位，则（）A．-3 B．-2 C．-1 D．125、复数（为虚数单位）的虚部是（）A． B． C． D．26、在复平面，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限27、在复平面，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限28、设（为虚数单位），则（）A．2 B． C． D．29、若复数（）在复平面内对应的点在直线上，则的值等于（）A．1 B．2 C．5 D．630、若为虚数单位且则复数的模等于A． B． C． D．31、复数，则在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限32、已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则A． B． C．1 D．233、已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝()A． B．1 C． D．234、若复数满足（为虚数单位），则=（）A．1 B．2 C． D．35、实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限36、若为第二象限角，则复数（为虚数单位）对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限37、已知，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限38、已知复数（其中，是虚数单位）是纯虚数，则的值为（）A． B． C． D．39、若为虚数单位，，且，则（）A． B．1 C． D．240、若复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．41、复数的共轭复数的虚部是（）A． B． C． D．42、已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则（）A．1 B．-1 C． D．43、设复数满足，则A． B． C． D．44、复数为虚数单位）实部与虚部的和为（）A． B． C． D．45、若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z-1+i|的最大值为A．-1 B．2- C．+1 D．2+46、已知复数，则的虚部为（）A． B． C． D．47、已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．48、已知复数（是虚数单位），则的实部和虚部的比值为（）A． B． C． D．49、复数的虚部为（）A． B． C． D．50、设，其中，是实数，则（）A．2 B．4 C． D．51、复数的实部与虚部之和为( )A．1 B．-1 C．5 D．-552、在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）A． B． C． D．53、复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限54、已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z的虚部为（）A． B．﹣ C． D．55、复数，则在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限56、已知，若复数（为虚数单位）为纯虚数，则 ( )A． B． C． D．57、已知集合，，且（为虚数单位），则（）A． B． C．或 D．58、若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知（，）为“理想复数”，则（）A． B． C． D．59、已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．60、已知复数满足，则的取值范围是__________．61、复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限62、若是虚数单位，且，则的值为（）A．1 B．-1 C．3 D．-363、设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限64、已知复数的实部和虚部相等，且，则=A． B． C． D．65、（）A． B．2 C． D．166、复数的虚部为（）A．2 B． C． D．67、已知满足为虚数单位），则（）A． B． C． D．68、复数虚部为（）A．-3 B．-3 C．3 D．369、复平面内，复数对应的点为，则复数的共轭复数的虚部为（）A．1 B． C． D．70、已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案1、B2、B3、B4、B5、C6、C7、C8、D9、C10、D11、B12、B13、C14、C15、D16、D17、A18、B19、A20、C21、B22、C23、B24、A25、D26、B27、B28、C29、B30、C31、B32、B33、C34、C35、B36、D37、D38、B39、C40、C41、C42、C43、B44、A45、C46、D47、C48、A49、D50、C51、B52、A53、D54、A55、B56、A57、D58、C59、A60、61、C62、D63、D64、A65、C66、C67、A68、B69、B70、D【解析】1、复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点所在象限在第二象限，选2、依题意，故虚部为.3、∵点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选：B．4、由得，所以复数的虚部是，故选B5、.故选C.6、，又复数的实部与虚部是互为相反数，，故选C7、实部为1，故选C8、复数，共轭复数为；根据复数的共轭的概念；9、故正确；，也正确；的虚部为1，这是复数概念错误；在复平面上对应点是在第一象限，故正确；故选C.10、,所以故选D11、 ,根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于需部，得到：所以；故选B．12、，若，则表示实数，所以所以=-1故选B13、∵，∴故选：C14、由条件知，移项得故选C．15、，则,选D.16、，则,选D.17、,所以的虚部为1故选A18、设，由，，故选B.19、由，为虚数单位，，得：∴即，∴故选：A点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．20、故答案为C21、，又复数的实部与虚部相等∴，即，故选：B22、∵，其共轭复数为，对应点为在第三象限，故选C．23、，复数的实部和虚部之和是，故选B.24、因为（），所以，则；故选A.25、，所以虚部为，选D.点睛：本题主要考查复数的基本计算以及复数的形式，属于基础题。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A ∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1} D．∅解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i，1}, 又B＝{1，－1}故A∩B＝{1，－1}．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是() A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋|a|＝0，因此a≤0.答案：D3．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1 B．±iC．±2i D．±2i答案：C4．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m －6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z ＝m 2(1－i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________．解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或m ＝1.答案：0或17．已知M ＝{1，(m ＋3)i}，N ＝{1，2，3i}，若M ∩N ＝M ，则实数m 的值为________．解析：由M ∩N ＝M ，得M ⊆N ，所以(m ＋3)i ＝3i ，即m ＋3＝3，m ＝0.答案：08．设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R)有一实根为n ，则m ＝________．解析：关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R)有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎨⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1. 答案：1三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)由⎩⎨⎧m 2＋m －6＝0，m ＋3≠0，得m ＝2.所以当m ＝2时，z 是实数．(2)由⎩⎨⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎨⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.所以当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.所以当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎨⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.B 级 能力提升1．若sin 2θ－1＋(2cos θ＋1)i 是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z) B ．k π＋π4(k ∈Z) C ．2k π±π4(k ∈Z ) D.k 2π＋π4(k ∈Z) 解析：由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z)，所以θ＝k π＋π4，k ∈Z. 答案：B2．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的取值范围是________．解析：由log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，且x ∈R ，所以⎩⎨⎧log 2（x 2＋2x ＋1）＝0， ①log 2（x 2－3x －2）＞1.②由①得x ＝0或x ＝－2， 当x ＝0时，代入②式不成立，舍去．当x ＝－2时，代入②式，有log 2(4＋6－2)＝3＞1成立， 因此x ＝－2.答案：{x |x ＝－2}3．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围． 解：由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916. 因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，所以sin θ∈[0，1]．则当sin θ＝38时，λ取最小值－916.当sin θ＝1时，λ取最大值1. 因此，实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1.。

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3. 1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1．设z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ A ） A.3 B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______________________________________.解：0)1(2tan 2=+---i x x x θ原方程可化为， 4,10102tan 2ππθθ+=-=⎩⎨⎧=+=--k x x x x 解得 3．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限解：是实数时，或－。

即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++>--。

是纯虚数时，。

即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩⎪⎨⎧≠++--。

时，－或。

即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象限。

练习:一．选择题：1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是（ ）（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 （ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠63．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：4．复数2(2)(11)()a a a ia R --+--∈不是纯虚数，则有__________________. 5．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =三．解答题：6．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。

一、选择题1．已知复数2i 1i z =+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．3 B ．2 CD2．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i - 3．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．34．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-35．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 6．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 7．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 9．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-1 10．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5 BCD ．1311．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17- 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．17- B ．-1 C ．73- D ．-7二、填空题13．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 14．在复数范围内解方程23||()2i z z z i i-++=+（i 为虚数单位），z =________ 15．若复数2i 12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 16．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.17．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.18．已知复数131i z i+=-（i 是虚数单位），则z ____________． 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．20．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________．三、解答题21．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x 、n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n OZ OZ ；（3）求数列{}n n x y ⋅的前100项之和.22．设,m n R ∈，关于x 的方程20x mx n ++=的两个根分别是α和β.（1）当1i α=+时，求β与,m n 的值；（2）当2,4m n ==时，求||||αβ+的值.23．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值. 24．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值.25．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.26．已知复数2(1)(23)z m m m m i =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零；（2）复数z 是纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 化简复2i 11i z i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()21221112i i i i i i -+==++- ∴z=故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．C解析：C【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案.【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 4．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 8．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 9．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.11．A解析：A【分析】 根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案.【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ= 所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan 4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案. 【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=- 3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14．-【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算得到最简形式设出要求的复数的结果把设出的结果代入等式根据复数相等的充要条件写出关于x 的方程解方程即可详解：原方程化简为设z=x+yi （xy ∈R ）代入解析：-12±. 【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根据复数相等的充要条件写出关于x 的方程，解方程即可． 详解：原方程化简为()2||1z z z i i ++=-, 设z=x+yi （x 、y ∈R ），代入上述方程得x 2+y 2+2xi=1﹣i ，∴x 2+y 2=1且2x=﹣1，解得x=﹣12且∴原方程的解是z=﹣12±.故答案为﹣122±. 点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．15．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4【解析】 ∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a i i-+是纯虚数 ∴405a -=，即4a = 故答案为416．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根 解析：13【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解.【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =.故答案为13.【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.18．【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：【点睛】本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可.【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：131311i i z i i ++====++. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.20．1【解析】∵复数z 满足满足故z 的虚部是1解析：1【解析】∵复数z 满足满足()12i z -=，()()()2122211112i i z i i i i ++∴====+--+， 故z 的虚部是1. 三、解答题21．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--（2）证明见解析（3）10012-【解析】【分析】（1）利用1(1)n n z i z +=+，134z i =+，即可得出；（2）由已知1(1)n n z i z +=+，得11(1)n n z i z -=+，当41n k =+时，1(1)(4)n k i -+=-，即可证明；（3）由44(1)4n n n z i z z +=+=-，可得44n n x x +=-，44n n y y +=-，4416n n n n x y x y ++=，即可得出．【详解】（1）2(1)(34)17z i i i =++=-+，386z i =-+，4142z i =--；（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11(1)n n z i z -=+⋅，当41n k =+时，14(1)(1)(4)n k k i i -+=+=-，令(4)k λ=-，则1n z z λ=⋅，即则存在非零实数(4)kλ=-（*k ∈N ），使得1n OZ OZ λ=.所以，当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n O Z Z O ；（3）因为44(1)4n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=-， 所以4416n n n n x y x y ++=，又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =，1122331001001122334455667788()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++=+++++++979798989999100100()x y x y x y x y +++++25100116(1274828)12116-=--+⋅=--，所以数列{}n n x y 的前100项之和为10012-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）1i β=-，2m =-，2n =；（2）4【分析】（1）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数求解出β的值，再根据韦达定理求解出,m n 的值；（2）先通过∆<0判断出两个根为虚数根，然后求解出方程的两个根,αβ即可计算出||||αβ+的结果.【详解】（1）当1i α=+时，1i β=-，(11)2m m i i αβ+=-⇒=-++-=-，(1)(1)2n i i αβ==+-=.（2）依题意，2240x x ++=，其416120∆=-=-<得,1αβ=-， 所以||||4αβ+=.（或416120∆=-=-<，由4||||2αβαααβ==⇒==，所以||||4αβ+=）【点睛】（1）若()200++=≠ax bx c a 且240b ac ∆=-<，则方程有两个虚数根；x = （2）一元二次方程如果有两个虚根，那么这两个虚根互为共轭复数.23．（1）(6,2)-（2）1m =，6n =或5,6m n =-=-【解析】【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【详解】（1）αα==于是222i m i m i αβ+=-+-=+-=又2αβα+<<，解得：62m -<<.所以实数m 的取值范围为()6,2-.（2）由（1）知2i α=-，22m i αβ+=+-.因为22m i +-（m R ∈）是方程()2130x nx n R -+=∈的一个根， 22m i ++（m R ∈）也是此方程的一个根，于是()()()()2222222213m i m i n m i m i ⎧++++-=⎪⎨++⋅+-=⎪⎩解得16m n =⎧⎨=⎩或56m n =-⎧⎨=-⎩，且满足()24130,n ∆=--⨯< 所以1m =，6n =或5,6m n =-=-【点睛】本题考查了复数的运算以及方程的解的问题，以及复数模的计算，属于基础题．24．（1）34a b =-⎧⎨=⎩（21 【分析】（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由11z z -=判断出1z 对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【详解】解：（1）21z az b i ++=+，21i a ai b i ∴-+-+=+，(2)1a b a i i ∴+-+=+1(2)1a b a +=⎧∴⎨-+=⎩， 34a b =-⎧∴⎨=⎩； (2)设1,(,)z x yi x y =+∈R ，|()(1)|1x yi i ∴+--=即|(1)(1)|1x y i -++=，22(1)(1)1x y ∴-++=即1z 在平面对应点的轨迹为以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，max 11d ∴==【点睛】本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数0z 对应的点为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是：0z z r -=.25．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解．详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z 的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++， 而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d =⎧⎨=⎩． 26．(1) 1m = (2) 0m =【解析】分析：对于复数z=a+bi （a ，b ∈R ），（1）当且仅当a=b=0时，复数z=0；（2）当且仅当a=0，b≠0时，复数z 是纯虚数.详解：（1）∵z 是零，∴()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩， 解得1m =.（2）∵z 是纯虚数，∴()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩. 解得0m =.综上，当1m =时，z 是零；当0m =时，z 是纯虚数.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.。