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注意：导数为0的点不一定是极值点．
例题
1．求()31443
f x x x =-+的极值 填写下表并求极值 x (–∞, –2)
–2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) '()f x
f (x )
探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
2．求y =(x 2－1)3+1的极值
检测题
1．函数y =f (x )的导数y /与函数值和极值之间的关系为( )
A 、导数y /由负变正,则函数y 由减变为增,且有极大值
B 、导数y /由负变正,则函数y 由增变为减,且有极大值
C 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极小值
D 、导数y /由正变负,则函数y 由增变为减,且有极大值
2．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ．
3．求下列函数的极值:
（1）2()62f x x x =-- （2）3()27f x x x =- 作业题
1．已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1，
(1)试求常数a 、b 、c 的值；
(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
★2．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间．
★★3.已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040
C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生
产多少件产品？。
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课时提升作业二十三函数的极值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+的极值情况是( )A.当x=1时,极小值为2,但无极大值B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值C.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【解析】选D.令f′(x)=1-=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【解析】选B.f′(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R的单调区间与极值.【解析】因为f′(x)=e x-2,令f′(x)=0,解得x=ln2,当x<ln2时,f′(x)<0,函数单调递减;当x>ln2时,f′(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-∞,ln2),增区间为(ln2,+∞),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=e ln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f′(x)=2x ln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值. 【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则ab≤=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-,则f(2)= .【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.答案:7.(2016·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= .【解题指南】求出f′,解出方程f′=0的根,再根据不等式f′>0,f′<0的解集得出函数的极值点.【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2. 答案:28.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是.【解析】f′(x)=x2+2ax+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.答案:a<-1或a>1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·烟台高二检测)设f(x)=,其中a为正实数.(1)当a=时,求f(x)的极值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得f′(x)=e x.(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如表:所以x=是极小值点,x=是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合f′(x)与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,又a>0,故0<a≤1.10.a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根?【解析】令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定义域为R.方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数,f(x)=x3-3x2与y=a交点个数.由f′(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4,如图所示,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是( )A.1<a<2B.1<a<4C.2<a<4D.a>4或a<1【解析】选B.y′=3x2-3a,当a≤0时,f′(x)≥0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y′=3x2-3a=0⇒x=±,不难分析当1<<2即1<a<4时,函数y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.2.(2016·宁波高二检测)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解析】选C.当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),则f′(x)=e x(x-1)+(e x-1)=e x x-1,所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是极值.当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,则f′(x)=e x(x-1)2+2(e x-1)(x-1)=e x(x2-1)-2(x-1)=(x-1),所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0;在x=1附近的左侧,f′(x)<0,所以f(1)是极小值.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有三个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象得当-2<a<2时恰有三个不同的交点.答案:(-2,2)【补偿训练】已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1【解析】选A.若函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y′=3x2-3,令y′=3x2-3=0,解得x=±1,可知极大值为f(-1)=2+c,极小值为f(1)=c-2.由f(-1)=2+c=0,解得c=-2,由f(1)=c-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2.4.(2015·陕西高考)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.【解题指南】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.【解析】依题意得y′=e x+xe x,令y′=0,可得x=-1,所以y=-.因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=-.答案:y=-三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)当m=1时,f(x)=-x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.因为m>0,所以1+m>1-m.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=-m3+m2-.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=m3+m2-.6.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,所以g′(x)=-2a=.当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f′(1)=0.①当a≤0,f′(x)单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<,>1时,由(1)知f′(x)在内单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知a>.关闭Word文档返回原板块。
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
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课时自测·当堂达标1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.2.函数y=的最大值为( )A.e-1B.eC.e2D.【解析】选A.令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以y=的极大值为,因为y=在其定义域内只有一个极值,所以y max=.3.f(x)=x3-12x+8在上的最大值为M,最小值为m,则M-m= .【解析】f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=2或x=-2.又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,所以M-m=32.答案:324.函数f(x)=的最大值为.【解析】方法一:f′(x)==0⇒x=1.进一步分析,最大值为f(1)=.方法二:f(x)==≤,当且仅当=时,即x=1时,等号成立,故f(x)max=.答案:5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在上的最大值.【解析】f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下表:所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.所以当x=0时,f(x)取到最大值3.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
[A组学业达标]1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个．答案：C2．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处不一定有极值．所以“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件，选B.答案：B3．函数f(x)＝32x2－ln x的极值点为()A．0,1，－1 B.3 3C．－33 D.33，－33解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33⎝⎛⎭⎪⎫x＝－33舍去.当x>33时，f′(x)>0；当0<x<33时，f′(x)<0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝33，无极大值点．选B.答案：B4．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427 C ．极大值为0，极小值为－427 D ．极大值为－427，极小值为0解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎨⎧ f ′(1)＝3－2p －q ＝0，f (1)＝1－p －q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝－1， 所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0，故选A. 答案：A5．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．(－1,2) B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3. 答案：D6．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ>0，符合题意． 答案：97．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43， 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎨⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43. 故b ＝－1，c ＝3. 答案：－1 38．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________． 解析：由于函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，定义域为(0，＋∞) 则f ′(x )＝2f ′(1)×1x －1(x >0)， f ′(1)＝2f ′(1)－1，故f ′(1)＝1， 即f ′(x )＝2×1x －1＝2－x x . 令f ′(x )>0，解得0<x <2； 令f ′(x )<0，解得x >2，则函数在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，故f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2. 答案：2ln 2－2 9．求下列函数的极值： (1)f (x )＝－x 3＋12x ＋6；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2. 解析：(1)f ′(x )＝－3x 2＋12＝－3(x ＋2)(x －2)，x ∈R. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当当x ＝2时，f (x )有极大值，并且极大值为f (2)＝22. (2)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极大值f (1)＝－1.10．已知函数f (x )＝ax 4·ln x ＋bx 4－c (x >0)．在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间．解析：(1)由题意知f (1)＝－3－c ，∴b －c ＝－3－c ，∴b ＝－3. f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x ＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意，得f ′(1)＝0，∴a ＋4b ＝0，解得a ＝－4b ＝12. 经检验，a ＝12，b ＝－3符合题意． (2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．[B 组 能力提升]11．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a 处有极值，则ab 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．0D ．1解析：∵f (x )＝ax 3＋bx ，∴f ′(x )＝3ax 2＋b .由函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a 处有极值，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋b ＝0，∴ab ＝－3.故选B. 答案：B12．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e解析：由y ′＝e x ＋a ＝0，得e x ＝－a ， ∴x ＝ln(－a )．∵x >0，∴ln(－a )>0且a <0， ∴－a >1，即a <－1. 答案：A13．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时，有极值10，则a ，b 的值分别为________． 解析：由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －b .∵x ＝1是函数f (x )的极值点，且在x ＝1处的极值为10，∴f ′(1)＝3－2a －b ＝0，f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10.∴a 2＋a －12＝0，∴a ＝－4或a ＝3.若a ＝－4，则b ＝11；若a ＝3，则b ＝－3(当a ＝3，b ＝－3时，无极值，故舍去)． 答案：－4,11 14．已知函数f (x )＝1＋ln x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋23(a >0)上存在极值，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝1－(1＋ln x )x 2＝－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是函数f (x )的极大值点．又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋23(a >0)上存在极值，所以a <1<a ＋23，解得13<a <1，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，115．设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解析：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线的斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)，知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值． 16．已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋ke x (k ∈R)．(1)k 为何值时，函数f (x )无极值？ (2)试确定k 的值，使f (x )的极小值为0. 解析：(1)∵f (x )＝2x 2－kx ＋ke x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2ke x.要使f (x )无极值，只需f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立即可． ∵e x >0，∴f ′(x )与g (x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2k 同号． ∵g (x )的二次项系数为－2， ∴只能满足g (x )≤0恒成立， 即Δ＝(k ＋4)2－16k ＝(k －4)2≤0， 解得k ＝4，∴当k ＝4时，f (x )无极值． (2)由(1)知，k ≠4.令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝k2.①当k2<2，即k <4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＝0，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22－k ·k 2＋k ＝0，∴k ＝0，满足k <4. ②当k2>2，即k >4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0.。
高中数学选修精品教学资料第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3,f′(x)＝3x2,f′(0)＝0,不能推出f(x)在x＝0处取极值,反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x),x∈R,且仅在x＝1处,f(x)存在极小值,则( )A．当x∈(－∞,1)时,f′(x)＞0；当x∈(1,＋∞)时,f′(x)＜0B．当x∈(－∞,1)时,f′(x)＞0；当x∈(1,＋∞)时,f′(x)＞0C．当x∈(－∞,1)时,f′(x)＜0；当x∈(1,＋∞)时,f′(x)＞0D．当x∈(－∞,1)时,f′(x)＜0；当x∈(1,＋∞)时,f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值,所以x＜1时,f′(x)＜0,x＞1时,f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5,极小值－27B．极大值5,极小值－11C．极大值5,无极小值D．极小值－27,无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0,得x＝－1或x＝3,当x＜－1或x＞3时,y′＞0；当－1＜x＜3时,y′＜0.故当x＝－1时,函数有极大值5；x取不到3,故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值,则a的取值范围为( )A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0,解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R,若函数y＝e x＋ax,x∈R有大于零的极值点,则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0,e x＝－a,因为x＞0,所以 e x＞1,即－a＞1,所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________,极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0,得x＝－2或x＝2,所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42,f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42,a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值,在x＝3处取极小值,则a＝________,b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b,根据题意知,－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根,由根与系数的关系可求得a＝－3,b＝－9.经检验,符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx,其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示．则下列说法中不正确的是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点1和2,且当x ＝2时,函数取得极小值,当x ＝1时,函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ,求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0,得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此,当x ＝－1时,f (x )取得极大值,且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76,极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10,求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4,b ＝－11时,令f ′(x )＝0,得x 1＝1,x 2＝－113. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3,b ＝3时,f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0, 所以 f (x )在x ＝1处没有极值,不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1,a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点,则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6,且a 1,a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点,所以a 1,a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根,则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列,所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016,即a 2 016＝4,从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数,其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数,要使函数f (x )既有极大值又有极小值,需f ′(x )＝0有两个不等的实数根,所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a＋2)>0,解得a <－1或a >2.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞)3．设a 为实数,函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时,曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0,则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－3＝27＋a ,极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1, 由此可知,x 取足够大的正数时, 有f (x )＞0,x 取足够小的负数时, 有f (x )＜0,所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ,f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点, 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0, 即527＋a ＜0或a －1＞0,所以a ＜－527或a ＞1, 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1,＋∞)时,曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
第三章导数及其应用导数在研究函数中的应用函数的极值与导数级基础巩固一、选择题．可导“函数＝()在一点的导数值为”是“函数＝()在这点取得极值”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：对于()＝，′()＝，′()＝，不能推出()在＝处取极值，反之成立．答案：．已知可导函数()，∈，且仅在＝处，()存在极小值，则( )．当∈(－∞，)时，′()＞；当∈(，＋∞)时，′()＜．当∈(－∞，)时，′()＞；当∈(，＋∞)时，′()＞．当∈(－∞，)时，′()＜；当∈(，＋∞)时，′()＞．当∈(－∞，)时，′()＜；当∈(，＋∞)时，′()＜解析：因为()在＝处存在极小值，所以＜时，′()＜，＞时，′()＞.答案：．函数＝－－(－＜＜)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：由′＝－－＝，得＝－或＝，当＜－或＞时，′＞；当－＜＜时，′＜.故当＝－时，函数有极大值；取不到，故无极小值．答案：．已知()＝＋＋(＋)＋有极大值和极小值，则的取值范围为( )．－＜＜．－＜＜．＜－或＞．＜－或＞解析：′()＝＋＋(＋)，因为()既有极大值又有极小值，那么Δ＝()－××(＋)＞，解得＞或＜－.答案：．设∈，若函数＝＋，∈有大于零的极值点，则( )．＞－．＜－．＜－．＞－解析：′＝＋＝，＝－，因为＞，所以＞，即－＞，所以＜－.答案：二、填空题．函数()＝－＋的极大值为，极小值为．解析：′()＝－令′()＝，得＝－或＝，所以()极大值＝(－)＝＋，()极小值＝()＝－.答案：＋，－.．已知函数＝＋＋＋在＝－处取极大值，在＝处取极小值，则＝，＝．解析：′＝＋＋，根据题意知，－和是方程＋＋＝的两根，由根与系数的关系可求得＝－，＝－.经检验，符合题意．答案：－－．已知函数()＝＋＋，其导函数＝′()的图象经过点(，)，(，)，如图所示．则下列说法中不正确的是．①当＝时，函数取得极小值；②()有两个极值点；③当＝时，函数取得极小值；④当＝时，函数取得极大值．解析：由图象可知当∈(－∞，)时，′()>；当∈(，)时，′()<；当∈(，＋∞)时，′()>，所以()有两个极值点和，且当＝时，函数取得极小值，当＝时，函数取得极大值．故只有①不。
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课时提升作业二十三函数的极值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+的极值情况是( )A.当x=1时,极小值为2,但无极大值B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值C.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【解析】选D.令f′(x)=1-=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【解析】选B.f′(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R的单调区间与极值.【解析】因为f′(x)=e x-2,令f′(x)=0,解得x=ln2,当x<ln2时,f′(x)<0,函数单调递减;当x>ln2时,f′(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-∞,ln2),增区间为(ln2,+∞),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=e ln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f′(x)=2x ln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值. 【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则ab≤=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-,则f(2)= .【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.答案:7.(2016·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= .【解题指南】求出f′,解出方程f′=0的根,再根据不等式f′>0,f′<0的解集得出函数的极值点.【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2. 答案:28.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是.【解析】f′(x)=x2+2ax+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.答案:a<-1或a>1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·烟台高二检测)设f(x)=,其中a为正实数.(1)当a=时,求f(x)的极值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.【解析】对f(x)求导得f′(x)=e x.(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=.当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如表:所以x=是极小值点,x=是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合f′(x)与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,又a>0,故0<a≤1.10.a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根?【解析】令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定义域为R.方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数,f(x)=x3-3x2与y=a交点个数.由f′(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0.函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4,如图所示,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是( )A.1<a<2B.1<a<4C.2<a<4D.a>4或a<1【解析】选B.y′=3x2-3a,当a≤0时,f′(x)≥0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y′=3x2-3a=0⇒x=±,不难分析当1<<2即1<a<4时,函数y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值.2.(2016·宁波高二检测)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解析】选C.当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),则f′(x)=e x(x-1)+(e x-1)=e x x-1,所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是极值.当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,则f′(x)=e x(x-1)2+2(e x-1)(x-1)=e x(x2-1)-2(x-1)=(x-1),所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0;在x=1附近的左侧,f′(x)<0,所以f(1)是极小值.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有三个不同的交点,则a的取值范围是.【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象得当-2<a<2时恰有三个不同的交点.答案:(-2,2)【补偿训练】已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1【解析】选A.若函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y′=3x2-3,令y′=3x2-3=0,解得x=±1,可知极大值为f(-1)=2+c,极小值为f(1)=c-2.由f(-1)=2+c=0,解得c=-2,由f(1)=c-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2.4.(2015·陕西高考)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.【解题指南】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.【解析】依题意得y′=e x+xe x,令y′=0,可得x=-1,所以y=-.因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=-.答案:y=-三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)当m=1时,f(x)=-x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.因为m>0,所以1+m>1-m.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=-m3+m2-.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=m3+m2-.6.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.(2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,所以g′(x)=-2a=.当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f′(1)=0.①当a≤0,f′(x)单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<,>1时,由(1)知f′(x)在内单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知a>.关闭Word文档返回原板块。
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3．3.2函数的极值与导数1.函数的极值点、极值是什么？导思2．如何求函数的极值？1.极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)．(2)f′(a)＝0.(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0.则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(1)函数的极小值点是点吗？(2)函数的极小值唯一吗？提示：(1)函数的极小值点不是点，它是函数极小值对应的自变量的值．(2)不一定，有的函数无极小值，有的函数有唯一一个极小值，有的函数有多个极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≤f(a)．(2)f′(a)＝0.(3)在x＝a附近的左侧f′(x)>0，在x＝a附近的右侧f′(x)<0.则点a叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极大值．函数的极大值一定大于它的极小值吗？为什么？提示：不一定．函数的极值是函数的局部性质，极大值是局部达到极大，但在整个定义域内也许值不是很大．3．极值点、极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极小值、极大值统称为极值．极值点的分布有规律吗？有什么规律？提示：有规律．如果函数y＝f(x)既有极大值又有极小值，那么①函数y＝f(x)在极值点处导数为0；②极大值点与极小值点交替出现，相邻两个极大值点之间一定有一个极小值点，相邻两个极小值点之间一定有一个极大值点．4．求函数y＝f(x)极值的方法函数f(x)的导函数为f′(x)，解方程f′(x)＝0，得到x＝x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，附近的右侧f′(x)<0，那么f(x0)为函数的极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，附近的右侧f′(x)>0，那么f(x0)为函数的极小值．若f′(x0)＝0，函数y＝f(x)在x＝x0处一定取得极值吗？提示：不一定．例如f(x)＝x3，x＝0时，f′(0)＝0，但由于在x＝0两侧导数同号，因此函数f(x)＝x3在x＝0不取得极值．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(×)提示：导数值为0的点不一定是函数的极值点．(2)函数的极小值一定小于它的极大值．(×)提示：有的函数的某个极小值大于它的某个极大值．(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．(×)提示：有的函数只有一个极大值或极小值；有的函数有一个极大值和一个极小值；有的函数有多个极小值和极大值；也有的函数无极值．(4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(√) 提示：若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)极值点的两侧附近其单调性一定相反，所以它在(a，b)内不是单调函数．2．函数f(x)＝x3－12x的极小值点为________．【解析】因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝－2，所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增；所以f(x)在x＝2时取得极小值．答案：23．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】选A.由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值点；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值点；在x＝2处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值点；所以f(x)的极小值点的个数为1.类型一求函数的极值点(数学运算)1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】选D.由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0，则函数f(x)有极大值f(－2).又当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2).2．(2021·南阳高二检测)函数f(x)＝x ln x－ax＋1在点A(1，f(1))处的切线斜率为－2.(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间和极值．【解析】(1)函数f(x)＝x ln x－ax＋1的导数为f′(x)＝ln x＋1－a，在点A(1，f(1))处的切线斜率为1－a，所以f′(1)＝－2，即1－a＝－2，所以a＝3；(2)由(1)得，f′(x)＝ln x－2，x∈(0，＋∞),令f′(x)>0，得x>e2，令f′(x)<0，得0<x<e2,即f(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫0，e2.e2，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫在x＝e2处取得极小值1－e2，无极大值．函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．【补偿训练】设函数f(x)＝x 3－x 2＋2x ，则( )A.函数f(x)无极值点B.x ＝1为f(x)的极小值点C.x ＝2为f(x)的极大值点D.x ＝2为f(x)的极小值点【解析】选A.由函数f(x)＝x 3－x 2＋2x 可得：f′(x)＝3x 2－2x ＋2＝321x 3（－）＋53 ＞0， 所以函数f(x)在R 上单调递增．所以函数f(x)＝x 3－x 2＋2x 的单调递增区间为(－∞，＋∞).所以函数f(x)无极值点．类型二 与参数相关的极值问题(数学运算)【典例】已知函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点，求实数a 的取值范围．【思路导引】只需说明函数f(x)＝x(ln x －ax)的导数有两个根．【解析】由题意得f(x)＝x ln x －ax 2()x>0 ，则f′(x)＝ln x ＋1－2ax ，令g(x)＝ln x ＋1－2ax ，因为函数f(x)＝x ⎝⎛⎭⎫ln x －ax 有两个极值点，则g(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，＋∞ 上有两个实数根， g′(x)＝1x －2a ＝1－2ax x ，当a≤0时，g′(x)>0，则函数g(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，＋∞ 上单调递增，因此g(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，＋∞ 上不可能有两个实数根，应舍去；当a>0时，令g′(x)＝0，解得x ＝12a ，令g′(x)>0，解得0<x<12a ，此时函数g(x)单调递增，令g′(x)<0，解得x>12a ，此时函数g(x)单调递减，所以当x ＝12a 时，函数g(x)取得极大值，当x 趋近于0与x 趋近于＋∞时，g(x)→－∞，要使g(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，＋∞ 上有两个实数根，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a >0， 解得0<a<12 ，所以实数a 的取值范围是0<a<12 .已知函数的极值情况求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．1．(2021·驻马店高二检测)已知函数f(x)＝ax 3＋bx ＋1的图象在点⎝⎛⎭⎫1，a ＋b ＋1 处的切线斜率为6，且函数f(x)在x ＝2处取得极值，则a ＋b ＝( )A ．－263B ．7C ．223D ．263【解析】选C.由题可知：f′(x)＝3ax 2＋b ，则⎩⎨⎧3a ＋b ＝6，12a ＋b ＝0， 解得a ＝－23 ，b ＝8.经检验，当a ＝－23 ，b ＝8时，f(x)在x ＝2处取得极大值，所以a ＋b ＝223 .2．设函数f(x)＝ax 2＋e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，－e 2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2 C ．⎝⎛⎭⎫－e ，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e ，－e 2【解析】选B.因为函数f(x)＝ax2＋e x(a∈R)有且仅有两个极值点，所以f′(x)＝0在R上有两个不同的解，即2ax＋e x＝0在R上有两解，即直线y＝－2ax与曲线y＝e x的图象有两个交点，设直线y＝g(x)＝kx与曲线y＝h(x)＝e x的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数y＝e x的图象，因为h′(x)＝e x，则ex0＝k，所以y0x0＝ex0x0＝k＝ex0，解得x0＝1，即切点为(1，e)，此时k＝e，由图象知直线y＝g(x)＝kx与曲线y＝e x的图象有两个交点时，有k>e即－2a＞e，解得a＜－e2.类型三函数极值的综合应用(直观想象、数学运算)由极值点确定参数【典例】设定函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1，4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式．(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．【思路导引】(1)先求出函数的导数f′(x)＝ax 2＋2bx ＋c ，根据方程f′(x)－9x ＝0的两个根分别为1，4得到关于a ，b ，c 的方程组，再依据a ＝3且曲线y ＝f(x)过原点，分别求出a ，b ，c ，d 的值，从而求得函数f(x)的解析式．(2)函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，＋∞ 内无极值点，再依据a>0可知f′(x)＝ax 2＋2bx ＋c≥0在⎝⎛⎭⎫－∞，＋∞ 内恒成立，可以得到⎩⎨⎧Δ≤0，a>0，解出a 的取值范围即可．【解析】由f(x)＝a3 x 3＋bx 2＋cx ＋d ()a>0 ，得f′(x)＝ax 2＋2bx ＋c.由于f′(x)－9x ＝ax 2＋⎝⎛⎭⎫2b －9 x ＋c ＝0的两个根分别为1，4，所以⎩⎨⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎨⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0解得⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f(x)过原点，所以d ＝0， 故f(x)＝x 3－3x 2＋12x.(2)由于a>0，f(x)＝a 3 x 3＋bx 2＋cx ＋d 在⎝⎛⎭⎫－∞，＋∞ 内无极值点，所以f′(x)＝ax 2＋2bx ＋c≥0在⎝⎛⎭⎫－∞，＋∞ 内恒成立．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a ，又Δ＝()2b 2－4ac ＝9⎝⎛⎭⎫a －1 ⎝⎛⎭⎫a －9 .解⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9⎝⎛⎭⎫a －1⎝⎛⎭⎫a －9≤0，a>0得a ∈⎣⎡⎦⎤1，9 ，即a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，9 .本例题(2)条件“f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”，改为“f(x)在(－∞，＋∞)内有两个极值点”，试求a 的取值范围．【解析】由于a>0，f(x)＝a 3 x 3＋bx 2＋cx ＋d 在⎝⎛⎭⎫－∞，＋∞ 内有两个极值点，所以f′(x)＝ax 2＋2bx ＋c ＝0在⎝⎛⎭⎫－∞，＋∞ 内有两个不等实根．由例题解析知2b ＝9－5a ，c ＝4a ，又Δ＝()2b 2－4ac ＝9⎝⎛⎭⎫a －1 ⎝⎛⎭⎫a －9 . 解⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9⎝⎛⎭⎫a －1⎝⎛⎭⎫a －9>0，a>0得0<a<1或a>9.求含参数的函数极值【典例】已知函数f(x)＝x －a ln x(a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程． (2)求函数f(x)的极值．【思路导引】(1)求导，点斜式求切线方程．(2)求导，对a讨论判断导数符号求极值．【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x>0)，则f(1)＝1，f′(1)＝－1，故y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0可知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．1.三次函数有极值的充要条件三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac>0.2．三次函数单调性与极值(设x1<x2)(1)当Δ≤0时，①若a>0，则f(x)在R上是增函数；②若a<0，则f(x)在R上是减函数．(2)当Δ>0时，①若a>0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；②若a<0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值．(如图所示)Δ＞0 Δ≤0a＞0a＜01．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间．(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a).当a<0时，对x∈R，f′(x)>0恒成立，即当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－ a 或x> a ，由f′(x)<0，解得－ a <x< a ，即当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－ a )，( a ，＋∞)，单调递减区间为(－ a ， a ).(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3，1).2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值．(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．【思路导引】(1)x ＝±1是导函数的零点，结合f(1)＝－1列方程组，求a ，b ，c 的值． (2)求导，确定极大值点还是极小值点． 【解析】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，3a －2b ＋c ＝0. 又f(1)＝－1，即a ＋b ＋c ＝－1. 解得a ＝12 ，b ＝0，c ＝－32 . (2)f(x)＝12 x 3－32 x ，所以f′(x)＝32 x 2－32 ＝32 (x －1)(x ＋1)； 当x<－1或x>1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，在(－1，1)上为减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，x ＝－1是极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1，x ＝1是极小值点．1．已知函数f(x)＝13 x 3－4x ，则f(x)的极大值点为( ) A ．x ＝－4 B ．x ＝4C ．x ＝－2D ．x ＝2【解析】选C.由f(x)＝13 x 3－4x ，得：f′(x)＝x 2－4. 由f′(x)＝x 2－4>0，得：x<－2或x>2. 由f′(x)＝x 2－4<0，得：－2<x<2.所以函数f(x)的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2 ，⎝⎛⎭⎫2，＋∞ . 函数f(x)的减区间为⎝⎛⎭⎫－2，2 .所以，x ＝－2是函数的极大值点，x ＝2是函数的极小值点． 2．如图是函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A.在⎝⎛⎭⎫－2，1 上f(x)是增函数 B ．在⎝⎛⎭⎫3，4 上f(x)是减函数C ．在x ＝3处取得极小值D ．在x ＝1处取得极大值【解析】选B.由题图可知，函数在⎝⎛⎭⎫－2，－1 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1，1 上单调递增，故A 错误；在⎝⎛⎭⎫3，4 上f(x)是减函数，故B 正确；因为在⎝⎛⎭⎫2，4 上单调递减，故在x ＝3处不能取得极值，故C 错误；在⎝⎛⎭⎫0，2 上单调递增，故在x ＝1处不能取得极值，故D 错误．3．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R ).若x ＝－1为函数y ＝f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f(x)图象的是( )【解析】选D.因为[f(x)e x ]′＝f′(x)e x ＋f(x)(e x )′＝[f(x)＋f′(x)]e x ，且x ＝－1为函数y ＝f(x)e x 的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D 中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.4．函数f(x)＝x －ln x 的极小值为________． 【解析】f′(x)＝x －1x ，当0<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时f′(x)>0.故f(x)的极小值为f ()1 ＝1. 答案：15．(教材二次开发：例题改编)函数f(x)＝x 3－3x 的极大值为________．【解析】因为f′(x)＝3x 2－3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋1 ⎝⎛⎭⎫x －1 ， 令f′(x)>0，得x<－1或x>1； 令f′(x)<0，得－1<x<1，所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－1 上是增函数， 在⎝⎛⎭⎫－1，1 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，＋∞上是增函数，所以函数f(x)＝x3－3x在x＝－1时取得极大值2.答案：2关闭Word文档返回原板块。
课时作业28函数的极值与导数知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析易知选项A，B，C均不正确．对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)内的极小值点，则在x0附近，当x<x0时，f(x)>f(x0)，当x>x0时，f(x)>f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.2．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是()①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④D．①③答案 B解析①④为单调函数，不存在极值.知识点二求函数的极值3.函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)的极值情况是()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值答案 C解析y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y ′＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当－2<x <－1时，y ′>0； 当－1<x <2时，y ′<0.所以当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值． 4．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( ) A ．2 B ．2，－1 C ．－1 D ．－3答案 C解析 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值.知识点三 已知函数极值求参数5.若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．解 f (x )＝2x 3－6x ＋k ， 则f ′(x )＝6x 2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1， 可知f (x )在(－1,1)上是减函数，f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， f (x )的极大值为f (－1)＝4＋k ， f (x )的极小值为f (1)＝－4＋k . 要使函数f (x )只有一个零点， 只需4＋k <0或－4＋k >0(如图所示)，即k <－4或k >4.∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞). 易错点 对函数取极值的充要条件把握不准6.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 易错分析 应注意f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，尽管f ′(0)＝0，但由于f (x )是增函数，故f (x )在x ＝0处不存在极值．所以应对所得结果进行检验．解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， ∴f (x )没有极值，不符合题意． 综上可知f (2)＝18.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f (x )≥f (x 0)，则称f (x 0)为f (x )的极小值B ．若f (x )≤f (x 0)，则称f (x 0)为f (x )的极大值C ．若f (x 0)为f (x )的极大值，则f (x )≤f (x 0)D ．极值点一定出现在定义区间的内部 答案 D解析 A 不正确，反例：f (x )＝x ，f (x )≥f (0)＝0，因为0是区间[0，＋∞)的端点，所以f (0)不是f (x )的极小值；B 不正确，反例：f (x )＝－x ，f (x )≤f (0)＝0，同理f (0)不是f (x )的极大值；C 不正确，由极值的定义知极大值不一定比定义域内的所有函数值都大；D 正确．2．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)答案 B解析 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，所以有f ′(2)＝0，而f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，代入得a ＝－15.现令f ′(x )>0，解得x >3或x <2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．3．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 C解析 f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b .由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，则有0<b <1，当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是(0,1)．4．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出命题： ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.故①②错，③④对．二、填空题5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．答案－19解析y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.6．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为________．答案 1解析因为f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又f(－1)＝－3<0，f(0)＝5>0，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点．7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 其中正确的结论为________． 答案 ③解析 由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数， 故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数， 所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤. 三、解答题8．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1.由题意可知f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16. (2)由(1)，知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ， f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0. 故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56. 在x ＝2处函数f (x )取得极大值43－23ln 2.∴x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 9．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，当a >0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a )．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3,1)．。
