重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(理科)

重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．±12．（5分）若函数y=f（x）在点x=1处的导数为1，则=（）A．2 B．1 C．D．3．（5分）如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个数是正数D．两个都是负数4．（5分）小花老师从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，她有（）种备选方案．A．4 B．6 C．10 D．125．（5分）若抛物线y=ax2在点x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则a=（）A．1 B．C．﹣D．﹣16．（5分）（2x+1）n的展开式中的各项系数和为729，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）有这样一段演绎推理：“有些整数是自然数，﹣2是整数，则﹣2是自然数”，这个结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（5分）把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入图中的表格，从上到下，从左到右依次增大，当3，4固定在图中位置时，余下的数的填法有（）种．34A．6 B．12 C．18 D．249．（5分）若函数f（x）=x2﹣2bx+1在区间（0，1）内有极小值，则b的值为（）A．B．C．D．110．（5分）若函数f（x）=x3﹣mx2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m=1 C．m≤1D．0＜m＜111．（5分）对任意实数x，y定义运算x⊗y=设a=，b=，c=．则b⊗a⊗c的值是（）A．a B．b C．c D．不确定12．（5分）设M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若方程x2﹣ax﹣b=0满足a，b∈M且方程至少有一根c∈M，则称该方程为“气质方程”，则“气质方程”的个数为（）A．3 B．9 C．12 D．21二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．（5分）已知复数z=则它的模|z|=．14．（5分）函数f（x）=lnx﹣x+1的极值点是x=．15．（5分）将A，B，C三种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5的五个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若A，B必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有种．16．（5分）若方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在（x2+）6的展开式中．求：（Ⅰ）第3项的二项式系数；（Ⅱ）常数项．18．（12分）为了庆祝5月18日“世界博物馆日”，重庆白鹤梁水下博物馆对外宣传组需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的横向张贴的海报，要求版心（图中的阴影部分）面积为162dm2，上、下两边各空1dm，左、右两边各空2dm，如何设计版心的尺寸，才能使四周空白面积最小？19．（12分）已知x=3是函数f（x）=ax3﹣x2+2的一个极值点（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式b＜f（x），x∈时恒成立，求b的取值范围．20．（12分）在数列{a n}中，a n=（n∈N x），记b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）（I）试求b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）根据（I）中的计算结果，猜想数列{b n}的通项公式并用数学归纳法进行证明．21．（12分）在△ABC中，∠BCA=90°，BC在BA的投影为BD（即CD⊥AB），如图，有射影定理BC2=BD•BA．类似，在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，点P在底面ABC的射影为点O（即PO⊥面ABC），则△PAB，△ABO，△ABC的面积S1，S2，S3也有类似结论，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．22．（10分）已知函数f（x）=ln（x+m+1），m∈R．（I）若直线y=x+1与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；（Ⅱ）当m≤1时，求证f（x）＜e x．重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．±1考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由于z为纯虚数，可得，解出即可．解答：解：∵复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，∴，解得x=1．故选：B．点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）若函数y=f（x）在点x=1处的导数为1，则=（）A．2 B．1 C．D．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的定义即可得出．解答：解：∵函数y=f（x）在点x=1处的导数为1，∴=f′（1）=1．故选：B．点评：本题考查了导数的定义，属于基础题．3．（5分）如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个数是正数D．两个都是负数考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由题意可得，这2个实数一定不会都是负数，即这2个实数中至少有一个数是正数，也不会是一个负数和零，从而得出结论．解答：解：如果两个实数之和为正数，则这2个实数一定不会都是负数，也不会是一个负数和零，即这2个实数中至少有一个数是正数，故选：C．点评：本题主要考查推理与证明，属于基础题．4．（5分）小花老师从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，她有（）种备选方案．A．4 B．6 C．10 D．12考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分析可得从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员是排列问题，运用排列数公式计算即可得答案．解答：解：根据题意，从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，是排列问题，即有A42=4×3=12种不同的选法；故选：D．点评：本题考查排列数公式，关键要分析题意，认清是排列还是组合问题．5．（5分）若抛物线y=ax2在点x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则a=（）A．1 B．C．﹣D．﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：先求出已知函数y在x=1处的斜率；再利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．解答：解：∵y'=2ax，∵x=1，∴y′=2a即切线斜率为k=2a，∵切线与直线x+2y=0垂直，∴k=﹣，∴2a×（﹣）=﹣1即a=1．故选A．点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率；两直线垂直的条件：斜率乘积为﹣1．属于基础题．6．（5分）（2x+1）n的展开式中的各项系数和为729，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在（2x+1）n中，令x=1可得，其展开式的各项系数的和，又由题意，可得3n=729，解可得n=6，即可得答案．解答：解：在（2x+1）n中，令x=1可得，其展开式的各项系数的和为3n，又由题意，可得3n=729，解可得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式的各项系数的和时，一般用特殊值法，即求x=1时二项式的值．7．（5分）有这样一段演绎推理：“有些整数是自然数，﹣2是整数，则﹣2是自然数”，这个结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：演绎推理的意义．专题：综合题；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误．解答：解：大前提：整数包含自然数与负整数．故大前提错误．故选：A．点评：本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．8．（5分）把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入图中的表格，从上到下，从左到右依次增大，当3，4固定在图中位置时，余下的数的填法有（）种．34A．6 B．12 C．18 D．24考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，1只能在3左边，2只能在4的左边，9只能在第三行第三列，从而得到结果．解答：解：∵由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，∴1只能在3左边，2只能在4的左边，9只能在第三行第三列．余下的有6种，故选：A．点评：本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题9．（5分）若函数f（x）=x2﹣2b x+1在区间（0，1）内有极小值，则b的值为（）A．B．C．D．1考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值，进而求出b的值．解答：解：∵f′（x）=2x﹣2b，令f′（x）＞0，解得：x＞b，令f′（x）＜0，解得：x＜b，∴函数f（x）在（0，b）递减，在（b，1）递增，∴f（x）极小值=f（b）=b2﹣2b2+1=，解得：b=，故选：C．点评：本题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数的应用，是一道基础题．10．（5分）若函数f（x）=x3﹣mx2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m=1 C．m≤1D．0＜m＜1考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：求导数f′（x）=3x2﹣2mx﹣1，所以根据题意便有3x2﹣2mx﹣1≤0在（0，1）上恒成立，这样解关于m的不等式组即得实数m的取值范围．解答：解：f′（x）=3x2﹣2mx﹣1，f（x）在（0，1）上单调递减；∴f′（x）≤0在（0，1）上恒成立；即3x2﹣2mx﹣1≤0，在（0，1）上恒成立．分离参数m，易知，函数为增函数，所以=1．故选：A点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，要熟悉二次函数的图象，并会运用．属于简单题型．11．（5分）对任意实数x，y定义运算x⊗y=设a=，b=，c=．则b⊗a⊗c的值是（）A．a B．b C．c D．不确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：比较对数值的大小．利用新定义求解即可．解答：解：因为ln29＞ln34，所以a＞b，对任意实数x，y定义运算x⊗y=设a=，b=，b⊗a=，因为ln225＞ln54，所以a＞c，b⊗a⊗c=⊗==a．故选：A．点评：本题考查对数值的大小比较，新定义的应用，基本知识的考查．12．（5分）设M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若方程x2﹣ax﹣b=0满足a，b∈M且方程至少有一根c∈M，则称该方程为“气质方程”，则“气质方程”的个数为（）A．3 B．9 C．12 D．21考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据题意用十字相乘法，先把b分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是a，进而可以确定方程，再依次分析c等于2、3、…10，分别分析、列举其“气质方程”的个数，由加法原理，计算可得答案．解答：解：用十字相乘法，先把b分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是a；b=2 时，有2×1=2，a=2﹣1=1，则“气质方程”为x2﹣x﹣2=0；b=3时，有3×1=3，a=3﹣1=2，则“气质方程”为x2﹣2x﹣3=0；b=4时，有4×1=4，a=4﹣1=3，则“气质方程”为x2﹣3x﹣4=0，另外4=2×2，a=2﹣2=0∉M，不符合条件，故排除；b=5时，有5×1=5，a=5﹣1=4，则“气质方程”为x2﹣4x﹣5=0；b=6时，有6×1=6，a=6﹣1=5，则“气质方程”为x2﹣5x﹣6=0，同时，有2×3=6，a=3﹣2=1，则“气质方程”为x2﹣x﹣6=0；b=7时，有7×1=7，a=7﹣1=6，则“气质方程”为x2﹣6x﹣7=0，b=8时，有8×1=8，a=8﹣1=7，则“气质方程”为x2﹣7x﹣8=0，同时，有2×4=8，a=4﹣2=2，则“气质方程”为x2﹣2x﹣8=0；b=9时，有9×1=9，a=9﹣1=8，则“气质方程”为x2﹣8x﹣9=0，另外9=3×3，a=3﹣3=0∉M，不符合条件，故排除；b=10时，有10×1=10，a=10﹣1=9，则“气质方程”为x2﹣10x﹣9=0，同时，有2×5=10，b=5﹣2=3，则“气质方程”为x2﹣3x﹣10=0；综合可得，共12个“气质方程”，故答案为12．点评：本题考查方程的根的存在性及个数判断，分类计数原理的应用，注意分析题意，得到“气质方程”的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．（5分）已知复数z=则它的模|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数定义是法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z==﹣1﹣2i，则它的模|z|==．故答案为：．点评：本题考查了复数定义是法则、模的计算公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=lnx﹣x+1的极值点是x=1．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点．解答：解：∵f′（x）=﹣1=，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1是函数f（x）的极值点，故答案为：1．点评：本题考察了函数的单调性，考察了函数的极值问题，求出函数的导数得到函数的单调区间是解答本题的关键，本题是一道基础题．15．（5分）将A，B，C三种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5的五个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若A，B必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有24种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意知A，B分别看成一个元素，相应的抽屉看成4个，则2个元素在4个位置排列，共有A42种结果，看成一个元素的两部分还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．解答：24解：∵文件A、B必须放入相邻的抽屉内，∴A，B分别看成一个元素，相应的抽屉看成4个，则有2个元素在四个位置排列，共有A42种结果，组合在一起的元素还有一个排列，共有A22A42=24种结果，故答案为：24．点评：本题考查分步计数原理，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列，16．（5分）若方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（1，1+）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根可化为e x=有两个不相等的实数根，再化为函数y=e x与y=的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．解答：解：∵方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根，∴方程xe﹣x=a﹣1有两个不相等的实数根，而当a﹣1=0时，方程xe﹣x=a﹣1只有一个根0，故不成立；故a﹣1≠0；故e x=有两个不相等的实数根，作函数y=e x与y=的图象如下，设切点为A（x，e x）；则e x=；故x=1；即切线的斜率k=e；＞e；解得，1＜a＜1+；故答案为：（1，1+）．点评：本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了切线的斜率与导数的几何意义的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在（x2+）6的展开式中．求：（Ⅰ）第3项的二项式系数；（Ⅱ）常数项．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：（Ⅰ）第3项的二项式系数为；（Ⅱ）利用二项式展开式的通项公式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）第3项的二项式系数为=15…（4分）（Ⅱ）T r+1==…（8分）令12﹣4r=0，∴r=3，故常数项为T4==20…（12分）点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．18．（12分）为了庆祝5月18日“世界博物馆日”，重庆白鹤梁水下博物馆对外宣传组需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的横向张贴的海报，要求版心（图中的阴影部分）面积为162dm2，上、下两边各空1dm，左、右两边各空2dm，如何设计版心的尺寸，才能使四周空白面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：利用版心面积设出一边长为xdm，表示出海报的总面积，四周空白面积最小即为海报的总面积最小，求面积最小可以利用基本不等式的思想．解答：解：设“版心”的长为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为：S=（x+4）（+2）﹣162=2x++8≥2+8=80，当且仅当2x=，即x=18时四周空白面积最小．答：当版心长为18dm，宽为9dm时，海报四周空白面积最小…（12分）点评：本题考查建立函数模型解决实际问题的能力，考查基本不等式求函数最值的方法，考查学生的转化与化归能力，运算能力，方程思想，属于基本题型．19．（12分）已知x=3是函数f（x）=ax3﹣x2+2的一个极值点（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式b＜f（x），x∈时恒成立，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（3）=0，可得a，再令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）求出f（x）在的最小值，由恒成立思想可得b＜f（x）min，即可得到b的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3﹣x2+2，则f′（x）=3ax2﹣3x，又x=3是函数y=f（x）的一个极值点，f′（3）=0，即有27a﹣9=0，解得a=，此时f′（x）=x2﹣3x=x（x﹣3），由f′（x）＞0得x＜0或x＞3，f′（x）＜0得0＜x＜3，故f（x）的单增区间为（﹣∞，0）（3，+∞），单减区间为（0，3）；（Ⅱ）由（1）知：f（x）在上为减函数，在上为增函数，则当x∈时，f（x）min=f（3）=﹣，由b＜f（x），x∈恒成立，即b＜f（x）min，故b＜﹣．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．20．（12分）在数列{a n}中，a n=（n∈N x），记b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）（I）试求b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）根据（I）中的计算结果，猜想数列{b n}的通项公式并用数学归纳法进行证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：（1）由于a n=（n∈N x），b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由（1）的值归纳得：．用数学归纳法证明即可．解答：解：（1）∵a n=（n∈N x），b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），∴b1=1﹣a1=1﹣=，b2==，=，=．（2）由（1）的值归纳得：．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，b1==，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即．当n=k+1时，b k+1=b k（1﹣a k+1）====，即当n+1时，等式也成立．由①②知，对任何正整数n有得：成立．点评：本题考查了递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在△ABC中，∠BCA=90°，BC在BA的投影为BD（即CD⊥AB），如图，有射影定理BC2=BD•BA．类似，在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，点P在底面ABC的射影为点O（即PO⊥面ABC），则△PAB，△ABO，△ABC的面积S1，S2，S3也有类似结论，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可得出结论．解答：解：类似的结论是：S12=S2．S3…（4分）这个结论是正确的，证明如下：连接CO延长交AB于点D，连接PD、OA、OB∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P∴PC⊥面PAB∴PC⊥PD，PC⊥AB，又∵PO⊥面ABC，CD为PC在面ABC的射影∴AB⊥CD．在△PDC中，由射影定理有：PD2=DO•DC∴S12=（）2=AB2•DO•DC==S2．S3故结论正确…（12分）点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．22．（10分）已知函数f（x）=ln（x+m+1），m∈R．（I）若直线y=x+1与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；（Ⅱ）当m≤1时，求证f（x）＜e x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率，由点满足曲线和切线方程，解方程，可得m=1：（2）由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），要证f（x）＜e x，只需证ln（x+2）＜e x，令h（x）=e x﹣ln（x+2），求出导数，运用零点存在定理，可得∃x0∈（﹣1，0），使h′（x0）=0，求得h（x）的最小值，证明它大于0，即可得证．解答：解：函数f（x）=ln（x+m+1）的导数f′（x）=，（1）设直线y=x+1与函数f（x）的图象切于点（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+m+1），=1，解得x0=﹣1，y0=0，m=1；（2）证明：由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），要证f（x）＜e x，只需证ln（x+2）＜e x，令h（x）=e x﹣ln（x+2），则h′（x）=e x﹣，由h′（﹣1）=﹣1＜0，h′（0）=＞0，即有∃x0∈（﹣1，0），使h′（x0）=0，即=，ln（x0+2）=﹣x0，则h（x）在（﹣2，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，即有h（x）min=h（x0）=﹣ln（x0+2），则h（x）≥h（x）min=﹣ln（x0+2）=+x0=＞0，则有f（x）＜e x．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．。

重庆市重庆一中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设i 为虚数单位,则2(1)i -=( )A.2B.1i +C.2i -D.22i - 【答案】C 【解析】试题分析：利用复数的运算法则，2(1)i -=1-2i-1=-2i ． 考点：复数的基本运算2．设0,0a b <<.则下列不等式一定成立的是( ) A.0a b -<B.2|11|(1)(1)204b a a b π+≥--≤--≤> C.||a b ab +≤D.2a b+≤【答案】D 【解析】试题分析：由0,0a b <<得不到0a b -<，故A 错误.利用基本不等式得2b aa b+≥，故B错误；令a=-1,b=-1得|11|(1)(1)--≤--，即21≤，故C 错误；02a b+<0>，故选D.考点：不等式的基本性质；基本不等式。

3．某人将英语单词“apple ”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( )A.60B.59C.58D.57 【答案】B 【解析】试题分析：任意5个不相同的字母可排列成A 55个不同顺序的词，由于本题中出现两个p ，所以总个数应除以2，∴错误个数是12（5×4×3×2×1）-1=59个．故选B ． 考点：排列组合及简单的计数问题4．若一几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形,且其体积为12.则该几何体的俯视图可以是( )ABCD【答案】C 【解析】试题分析：若俯视图为A ，则V=1；若俯视图为B ，则V=π；若俯视图为C ，则V=12； 若俯视图为D ，则V=4π，根据几何体的体积为12，∴C 正确．故选C ． 考点：简单空间图形的三视图 5．设1212min{,,...,},max{||,||,...,||}(3)n n m x x x M x x x n ==≥,其中(1,2i x R i n ∈=.那么“12...n x x x ===”是“m M =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】B 【解析】试题分析：令12...n x x x ====-1，则m=-1,M=1，所以12...nx x x ===¿m M =，而m M =，则12...n x x x ===.故选B.考点：充要条件的判断方法.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y +=,则双曲线离心率e =( )A.54 B.53 C.43 D.45【答案】A 【解析】试题分析：：∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y=±b x a ，又∵渐近线方程为y=34x -，∴34b a =∴22916b a = ∵222b c a =-，联立得：222916a c a =-，化简得e=54.故选A考点：双曲线的性质及其方程;渐近线方程;离心率 7．若曲线12y x-=在点12(,)a a -处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则a =( )A.64B.32C.16D.8 【答案】A 【解析】试题分析：求导数可得3'212y x -=-，所以在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为：31221322y a x a --=-+，令x=0，得y ＝1232a -；令y=0，得x=3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S ＝1122139318224a a a -⨯⨯==，解得a=64故选A ．考点：导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程.8．设点,A P 为椭圆2212x y +=上两点.点A 关于x 轴对称点为B (异于点P ).若直线,AP BP 分别与x 轴交于点,M N , 则OM ON ⋅=( )【答案】D 【解析】试题分析：如图，取特殊值，令椭圆的上顶点为A ，下顶点为B ，左端点为P ，则A （0，1），B （0，-1），P)，M)，N)，∴()2,0OM ON ==,2OM ON ⋅=,故选：D ．考点：椭圆中向量的数量积的求法，椭圆的简单性质．9．若27270127(1)(2)(2)...(2)x x a a x a x a x ++=+++++++.则2a =( ) A.20 B.19 C.20- D.19- 【答案】C 【解析】试题分析：设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为2723 70123721t t a a t a t a t a t -+-=++++⋯+（）（），则2a 为左边展开式中2t 的系数．由r 1=r n r r n T C a b -+，左边展开式中2t 的系数为1+()5571C -=1-21=20-.故选：C ．考点：二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.10．有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )625321A.4320B.2880C.1440D.720 【答案】A【解析】试题分析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6543344320⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：A ．考点：乘法原理.二、填空题11．设随机变量2~(10,)5B ξ,则D ξ= . 【答案】125【解析】试题分析：：∵随机变量ξ服从二项分布，且2~(10,)5B ξ，∴D ξ=10×25×（1-25）=125,故答案为：125考点：二项分布的方差，二项分布与n 次独立重复试验的模型． 12．已知正态分布密度曲线22()2()x p x μσ--=,且max ()(20)p x p ==,则方差为 . 【答案】2 【解析】试题分析：正态分布密度曲线22()2()x p x μσ--=可知对称轴为μ=20,所以函数的最大值是(20)p =所以=，即σ2. 考点：正态分布曲线的特点; 正态分布曲线所表示的意义.13．在61(2)x x-展开式中,常数项等于 .【答案】160-【解析】试题分析：由通项公式r 1=r n r rn T C a b -+：设第r+1项为常数，则()6r 161=2rrr T C x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=()()()66612rr r rrC x x ---，所以6-r=r,即r=3;那么常数项为()()333621160C -=-，故答案为160-.考点：二项式定理系数的性质;二项式定理的应用．14．一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为23,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为 . 【答案】2027【解析】试题分析：有已知条件可知分为三类情况：第一次第一次答对的概率为224339⨯=； 第一次答对第二次答错第三次答对的概率为212433327⨯⨯=； 第一次答错第二次答对第三次答对的概率为122433327⨯⨯=；那么该生“通过面试”的概率为444202727927++=，故答案为2027. 考点：相互独立事件的概率. 15．若,(0,1)m n ∈.则(1)()(1)(1)mn m n m n m n --+--的最大值是 .【答案】18【解析】试题分析：只要考虑0＜m ，n ＜1，m+n ＜1的情形即可． 令x=m ，y=n ，z=1-m-n ，则x+y+z=1．(1)()(1)(1)mn m n m n m n --+--=()()()222xyz xyz xy yz xz x y y z x z ≤⋅⋅++⋅=+18 考点：基本不等式；换元法.三、解答题16．已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围. 【答案】(1)1[,)2A =-+∞ (2)(2,)+∞ 【解析】试题分析：(1)把不等式()0f x ≤转化为22(1)x x ≤+即可. (2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立转化为11m x >+,即max 1()21m x >=+. (1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ (2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立.max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞考点：绝对值不等式的解法；简单的不等式恒成立的问题.17．(13分)已知函数2()()4ln(1)f x x t x =+++的图象在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (1)求实数t 的值; (2)求()f x 的极值.【答案】(1)t=-2 (2)极大值为4极小值14ln 2+ 【解析】试题分析：(1)先求'()f x ，然后利用'(1)0f =即可； (2)由（1）知2(1)()(1)1x x f x x x -'=>-+，然后找出极值点，判断出单调区间，进而求出极值.(1)4()2(),1f x x t x '=+++ 由(1)02f t '=⇒=-. (2)∵2(1)()(1)1x x f x x x -'=>-+ 显见10x -<<时, ()0f x '>, 01x <<时, ()0f x '<. 1x >时,()0f x '> ∴()(0)4f x f ==极大值. ()(1)14ln 2f x f ==+极小值.考点：导数的几何意义;函数的单调性与极值. 18．某电视台“挑战60秒”活动规定上台演唱(I)连续达到60秒可转动转盘(转盘为八等分圆盘)一次进行抽奖,达到90秒可转两次,达到120秒可转三次(奖金累加).（2）转盘指针落在I 、II 、III 区依次为一等奖(500元)、二等奖(200元)、三等奖(100元),落在其它区域不奖励.（3）演唱时间从开始到三位评委中至少1人呜啰为止,现有一演唱者演唱时间为100秒. ①求此人中一等奖的概率;②设此人所得奖金为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】(1) 1564(2)200 【解析】试题分析：(1)由题意可知转一次奖获得一等奖的概率是18，分成三类情况：①两次都中中一等奖②第一次中一等奖，第二次未中；③第一次未中一等奖，第二次中； (2)分别计算出奖金为ξ每一种情况的概率，然后列出分布列，再计算出期望值即可.解 ①1117711588888864P =⨯+⨯+⨯= ②故12810020064E p ξξ=⋅=⨯=∑ 考点：相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列和数学期望19．如图,四棱柱1111ABCD A BC D -中,1DD ABCD ⊥底面.ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=︒, 12 2.3AB AD DD ===, ,EF 分别是AB 与1D E 的中点.C 1CA 1(1)求证CE DF ⊥;(2)求二面角A EF C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1) 先证明△ADE 为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE ⊥DE ，CE ⊥DD 1 ，最后得到CE ⊥平面DD 1E, 即可证明出CE ⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,然后根据点坐标求出法向量(0,m =-，(3,n =-，再利用夹角公式求出二面角A EF C --的平面角的余弦值cos θ=. (1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE 为正△ 在△CDE 中,由余弦定理可求又22212+=.由勾股定理逆定理知CE ⊥DE又DD 1⊥平面ABCD, CE ⊂平面ABCD. ∴CE ⊥DD 1 ∴CE ⊥平面DD 1E, 又DF ⊂平面DD 1E. ∴CE ⊥DF.(2)以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0),D 1(1,22), C 5(,,0)22可求平面AEF 的一个法向量为(0,m =-平面CEF 的一个法向量为(3,n =- ∴平面角θ满足||130|cos |13||||m n m n θ⋅==又θ为纯角 ∴cos 13θ=-注本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.考点：余弦定理；勾股定理逆定理；线面垂直的性质与判定定理；法向量；夹角公式. 20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为12.过点0(,0)A x 01()8x ≥ 作直线l 交抛物线C 与,P Q 两点(P 在第一象限内). (1)若A 与焦点F 重合,且||2PQ =.求直线l 的方程;(2)设Q 关于x 轴的对称点为M .直线PM 交x 轴于B . 且BP BQ ⊥.求点B 到直线l 的距离的取值范围.【答案】(1) 4410x y --=或4410x y +-= ；(2) 1)2d ∈ 【解析】试题分析：(1) 首先求出抛物线2:C y x = 再与1:()4l y k x =- 联立得到关于x 的一元二次方程，最后利用焦半径公式求出斜率即可.(2)先求出1PB k =，进而转换为21212()41y y y y +-=，再由l 与C 联立得200y my x --=，借助于根与系数的关系求出m 的取值范围，然后由点到直线的距离公式得到d 的表达式，最后根据基本不等式求出范围. 由题2:C y x =(1)A 与下重合,则1(,0)4A 设222221:()(1)04216l y k x k k k x x y x ⎫=-⎪⇒-++=⎬⎪=⎭又由焦半径公式有12121||22PQ x x p x x =++=++= 可求21k = ∴1k =±.所求直线l 为4410x y --=或4410x y +-=(2)可求0(,0)B x -.故△BQM 为等腰直角三角形,设1122(,),(,)P x y Q x y1PB k =. 即2121212121211()41y y y y y y y y x x +=⇒-=⇒+-=-.设0202:0l x x my y my x y x -=⎫⇒--=⎬=⎭ ∴201212040m x y y m y y x⎧=+>⎪+=⎨⎪⋅=-⎩ 从而2041m x +=, 即20140m x =->, 又018x ≥. ∴2102m <≤. 点0(,0)B x -到直线0:0l x my x --=的距离为2d ====∴1[)122d ∈ 考点：抛物线的性质；焦半径公式；根与系数的关系；点到直线的距离公式；基本不等式. 21．给定数列{n a (1)判断2a 是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数0M >.使n a M <对*n N ∈都成立? 若存在,找出M 的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.【答案】(1) 2a 是无理数 (2) 3M =(或4M =等).则对*n N ∀∈,均有3n a <成立.证明略.【解析】试题分析：(1) 设2a 是无理数, 利用反证法推出矛盾即可；(2)先设(1,2,...,)k b n k ==然后得到2n b n =，用放缩法证出1b 12341 (24822)n n n n -+≤+++++，再借助错位相减法得1b <3,即对*n N ∀∈,均有3n a <成立.解(1)2a 是无理数, 若不然,r Q =∈.则21r =21r =-必为有理数,.(2)设1,2,...,)k b k ==则2211, (1,2,...,1),n k k n b a b k b k n b n +==+=-=. 于是21221111222222b b b b ++≤=+=+ 23212123222244b b +≤+⋅=++ 234123123424422488b b +≤++⋅=+++ 523452481616b ≤++++ ...≤11234 (24822)n n n b n --≤+++++ 21112341 (248222)n n n b n --+≤+++++⋅ 12341 (24822)n n n n -+=+++++ 令12341 (24822)n n n n n S -+=+++++. 则3332n n n S +=-<. 从而可取3M =(或4M =等).则对*n N ∀∈,均有3n a <成立.考点：反证法；错位相减法；放缩法.。

重庆一中2014-2015学年春高二下学期期中考试（理）第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1.五个不同的点最多可以连成线段（ ） A.2条B.5条C.10条D.20条2.曲线的参数方程是（其中t 是参数），则曲线是（ ） A.直线 B.射线 C. 线段 D. 抛物线3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则下列各角中等于35°的是（ ）A. ∠NADB. ∠ACBC. ∠AOBD. ∠ABC4. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如图的2×2列联表： 由K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）n （ad －bc ）2，算得K 2＝60×50×60×50110×（40×30－20×20）2≈7.8 附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5. 设两个独立事件A和B同时不发生的概率是，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为( )A. B. C．D．6.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为．则实数m的值为( )A．8 B．8.2C．8.4 D．8.57.（原创）已知随机变量ξ∼N(2,σ2)，记事件“(ξ－2)(ξ2－4ξ+3)<0”为事件A，则P(A)＝( ) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．不确定，和σ的取值有关。

重庆市部分区县2014-2015学年度下期期末联考高二（理科）数学试题卷注意事项：1．高二（理科）数学试题卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．2．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．3．回答第Ⅰ卷选时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．4．回答第Ⅱ卷选时，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数34i -的模是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）7 （2）函数()sin 1f x x =+导数是（A ）cos x （B ）cos 1x -+ （C ）cos 1x + （D ）cos x -（3）已知一段演绎推理：“因为指数函数x y a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2x y =是增函数”，则这段推理的（A ）大前提错误 （B ）小前提错误 （C ）结论正确 （D ）推理形式错误 （4）从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有（A ）12种 （B ）24种 （C ）36种 （D ）48种（5）为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量2K 的观测值 6.080k =，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过（A ）0.001 （B ）0.005 （C ）0.010 （D ）0.025 附表：（6）已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有（A ）35种 （B ）38种 （C ）105种 （D ）630种 （7）若函数32()2f x x ax ax =+++没有极值，则实数a 的取值范围是（A ）[0, 3] （B ）(0, 3) （C ）(, 0)(3, )-∞+∞U （D ）(, 0][3, )-∞+∞U（8）若22199x x C C --= ，则x =（A ）1- （B ）4 （C ）1-或4 （D ）1或5 （9）若随机变量~(,)X B n p ，其均值是80，标准差是4，则n 和p 的值分别是（A ）100，0.2 （B ）200，0.4 （C ）100，0.8 （D ）200，0.6 （10）下列结论中，正确的是（A ）导数为零的点一定是极值点（B ）如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 （C ）如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值 （D ）如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值（11）一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A ，第2次抽出的彩票有奖的事件为B ，则()P B A = （A ）23 （B ）25 （C ）13（D ）14 （12）已知函数()f x 的导函数为2()2f x ax ax '=-，若0a <，则函数()f x 的图像可能是第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知R x ∈，若i x x =，i 是虚数单位，则x =____________． （14）若函数()x f x e x =+的导函数为()f x '，则(2)f '= _____________．（15）5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m 种，则m 的值为_______．（16）投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.4．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知9987123910(1)x a x a x a x a x a -=+++++L ． （Ⅰ）求1a 和4a 的值；（Ⅱ）求式子2410a a a +++L 的值．（18）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，且12=2nn n a a a ++*( N )n ∈． （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.（19）（本小题满分12分）已知1x =-是函数32()310f x x x mx =--+(R)m ∈的一个极值点． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[4, 3]-上的最大值和最小值．（20）（本小题满分12分）在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：对变量t 与y 进行相关性检验，得知t 与y 之间具有线性相关关系． （Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）预测该地区2016年的居民人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-（21）（本小题满分12分）某种证件的获取规则是：参加科目A 和科目B 的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A 考试的成绩为合格后，才能参加科目B 的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A 考试的成绩为合格的概率是23，每次参加科目B 考试的成绩为合格的概率是12，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X .（Ⅰ）求X 的所有可能取的值； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望．（22）（本小题满分10分）已知函数25()ln(1)22f x x x =+-. （Ⅰ）求此函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设25()ln()221xg x f x x x =+++．是否存在直线y kx =（R k ∈）与函数()g x 的图象相切？若存在，请求出k 的值，若不存在，请说明理由．重庆市部分区县2014—2015学年度下期期末联考高二（理科）数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）A （4）B （5）D （6）C （7）A （8）B （9）C （10）B （11）D （12）D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）0 （14）21e + （15）72 （16）0.648三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分． （17）（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由二项式定理，得9(1)x -的展开式的通项是919(1)k k k k T C x -+=-， …………………………………………………（2分）令0k =，3，得09919T C x x ==，336649(1)84T C x x =-=-．……………………………………（4分）∵9987123910(1)x a x a x a x a x a -=+++++L ， ∴11a =，484a =-．………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵9987123910(1)x a x a x a x a x a -=+++++L ，∴令1x =，得9123910(11)a a a a a -=+++++L ．……………………………………………（8分）令1x =-，得9123910(11)a a a a a --=-+-+-+L ．………………………………………（10分）∴092410(11)(11)222a a a -+--=+++L ．∴246810256a a a a a ++++=-．………………………………………………………………（12分）（18）（本题满分12分） 解：（Ⅰ）∵11a =，且12=2n n n a a a ++*( N )n ∈，∴1212222123a a a ===++， 2322221322223a a a ⨯===++，3431222212522a a a ⨯===++．……………………………………………（6分）（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式为21n a n =+（*N n ∈）．………………………………………（9分）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，左边1a =，右边12111a ===+，因此，左边=右边． 所以，当1n =时，猜想成立．…………………………………………………………………（10分）②假设n k =（1k >，*N k ∈）时，猜想成立，即21k a k =+， 那么1n k =+时，12222122(1)121k k k a k a a k k +⨯+===+++++.所以，当1n k =+时，猜想成立．………………………………………………………………（11分）根据①和②，可知猜想成立．……………………………………………………………………（12分）（19）（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵32()310f x x x mx =--+，∴2()36f x x x m '=--．…………………………………（3分）∵1x =-是函数32()310f x x x mx =--+(R)m ∈的一个极值点，∴(1)0f '-=．∴23(1)6(1)0m ⨯--⨯--=．∴9m =．………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知9m =．∴32()3910f x x x x =--+．……………………………………（7分）∴2()369f x x x '=--．……………………………………………………………………………（8分）令()0f x '=，得23690x x --=，解之，得11x =-，23x =．………………………………（9分）列表如下：…（10分）∴当1x =-时，()f x 取得极大值(1)f -；当3x =时，()f x 取得极小值(3)f ．而(4)66f -=-，(1)15f -=，(3)17f =-，且661715-<-<．∴函数()f x 在[4, 3]-上的最大值为15，最小值为66-．……………………………………（12分）（20）（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知表格的数据，得123456747t ++++++==，………………………………（2分）2.73.6 3.34.65.4 5.76.24.57y ++++++==，…………………………………………………（3分）71()()(3)( 1.8)(2)(0.9)(1)( 1.2)ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑00.110.92 1.23 1.7+⨯+⨯+⨯+⨯16.8=，…………………………………………………………………………（4分）7222222221()(3)(2)(1)012328ii tt =-=-+-+-++++=∑，……………………………………（5分）∴16.8ˆ0.628b==．…………………………………………………………………………………（6分）∴ˆ 4.50.64 2.1a=-⨯=．…………………………………………………………………………（7分）∴y关于t的线性回归方程是ˆ0.6 2.1yx =+．……………………………………………………（8分） （Ⅱ）由（Ⅰ），知y 关于t 的线性回归方程是ˆ0.6 2.1yx =+． 将2016年的年份代号9t =代入前面的回归方程，得ˆ0.69 2.17.5y=⨯+=． 故预测该地区2016年的居民人均收入为7.5千元．…………………………………………（12分）（21）（本题满分12分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取的值是2，3，4．…………………………………………………………（3分）（Ⅱ）[设i A 表示事件“参加科目A 的第i （1i =，2）次考试的成绩为合格”，i B 表示事件“参加科目B 的第i （1i =，2）次考试的成绩为合格”，且i A ，i B 相互独立（1i =，2），那么122()()3P A P A ==，121()()2P B P B ==．…………………………………………………………………………………（5分）111221224(2)()()()()(1)(1)32339P X P A P B P A P A ==+=⨯+-⨯-=，…………………………（6分）121112112(3)()()()()()()()()()P X P A P A P B P A P B P B P A P B P B ==++2212112114(1)(1)(1)(1)3323223229=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-=，……………………………（7分）12121212(4)()()()()()()()()P X P A P A P B P B P A P A P B P B ==+2211221111(1)(1)(1)(1)(1)3322332229=-⨯⨯-⨯+-⨯⨯-⨯-⨯=．………………………（8分）]（说明：上面中括号内的解答，仅供参考，其分值可累加到下面的分布列中．） ∴X 的分布列为：…（9分）∴44182349993EX =⨯+⨯+⨯=． 故X的数学期望为83．……………………………………………………………………………（12分） （22）（本题满分10分）解：（Ⅰ）∵25()ln(1)22f x x x =+-，∴25()21x f x x '=-+222521x x x -+=-+2(21)(2)1x x x --=-+．………………………………………（2分）令()0f x '≥，得2(21)(2)01x x x ---≥+，解之，得122x ≤≤；……………………………………（3分）令()0f x '<，得2(21)(2)01x x x ---<+，解之，得12x <，或2x >．…………………………（4分）∴函数()f x 的单调递增区间是1[, 2]2，单调递减区间是1(, )2-∞和(2, )+∞． ………………………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）∵25()ln(1)22f x x x =+-，25()ln ()221xg x f x x x =+++， ∴22555()ln ln(1)22ln 2122x g x x x x x x =++-+=+． ∴5()2g x x'=．……………………………………………………………………………………（6分）假设存直线y kx =与函数()g x 的图象相切于点00(, ())x f x （00x >）， 则这条直线可以写成000()()()y g x g x x x '-=-．………………………………………………（7分）∵005()ln 2g x x =，005()2g x x '=， ∴00055ln ()22y x x x x -=-．………………………………………………………………………（8分）即00555ln 222y x x x =+-． ∴05,255ln 0.22k x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩…………………………………………………………………………………（9分）解之，得05,2.k e x e ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以存在直线y kx =与函数()g x 的图象相切，k 的值是52e．………………………………（10分）注：解答题的其它解法参照本参考答案给分．。

2014—2015学年高二年级下期期中试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。

） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）A.i -B.i C ．－1 D.12、若32A 12n n C =，则n =（ ）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种D ．4种4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( )A.4xB.()44x -C.()41x + D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.()00,0x R f x ∃∈=使A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（ ） A. B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫⎪⎝⎭，， D.447333⎛⎫⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）211124x x <-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21x e x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。

2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（理科）一．填空题（5分×14）1．由1、2、3、4、5组成没有重复数字正整数，共有▲▲▲个三位数；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于▲▲▲；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第▲▲▲象限；4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为▲▲▲；5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的对角线长为将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为▲▲▲；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝▲▲▲；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得 ▲▲▲2n =；8．计算：234i i i i +++=▲▲▲；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为▲▲▲；10．用数学归纳法证明不等式“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n ”时，由n ＝k 到n＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是▲▲▲；11．二项式252(x展开式中的常数项是▲▲▲；12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为▲▲▲；13．在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有▲▲▲种；14．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有▲▲▲种.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知复数z 满足125()z i i +=.(1)求复数z ，并判断z 是否为方程2450x x -+=的一个根；(2)求复数5z z+的模.16．（14分）已知复数z＝362+--m mm＋imm)152(2--.(1) m取何实数值时，z是实数？(2) m取何实数值时，z是纯虚数？17．（14分）已知关于x的一元二次方程2220x ax b++=，满足a≥0且b≥0. （1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a=，b是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n n a a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有2个盒不放球，共有几种放法？20．（16分）已知2*,n nN ≥∈，试用数学归纳法证明：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n .高二数学试题（理科）参考答案1. 602. 223. 二4.236.37. ()13521...n ++++-8.09. 2310. 121+k ＋221+k －11+k (121+k －221+k 也正确) 11.10 12.25 13. 2 880 14. 120 15. (1)5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-， 方程2450x x -+=的根为2i ±，所以复数z 是该方程的一个根； (2)552422z i i z i+=-+=-+，∴5z z +. 16.(1)22150m m --=，解得3m =-或5,而3m =-时，实部没有意义，所以3m =-舍去，可得m=5； (2)226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪--≠⎩，解得2m =-或3.17.设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.当a ≥0且b ≥0时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有6个：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1）， 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含5个基本事件，事件A 发生的概率为P （A ）=56； （2）因为103,[,]a b =∈，所以当01b ≤≤时，满足a ≥b ，∴P （A ）=13.18.(1)2341212,,a a a ==-=； (2)∵111n na a +=-， ∴211111111111n n n n n n n a a a a a a a ++--====------， ∴()32111111n n n n n n n na a a a a a a a ++-====-------. 即3n n a a +=对任意的正整数n 都成立；(3)由前面的结论，可得201531a a ==-.19.（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22=144种.（2）确定2个空盒有C 24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有222224A C C ·A 22种方法. 故共有C 24( C 34C 11A 22+222224A C C ·A 22）=84种.20.证明：⑴ 当n ＝2时，左边＝1＋31＝34，右边＝25 ∵ (34)2＝916＝4964⨯＞(25)2＝45＝4945⨯ ∴ 不等式成立．⑵ 假设当n ＝k 时，不等式成立．即(1＋31)(1＋51)(1＋71) (1)121-k )＞2112+k 当n ＝k ＋1时，(1＋31)(1＋51)(1＋71)…(1＋121-k )(1＋121+k )＞ 2112+k ·(1＋121+k )＝21(12+k ＋121+k ) 要证21(12+k ＋121+k )＞211)1(2++k需证12+k ＋121+k ＞32+k 即证121+k ＞0 ， ∵ k ∈N *，∴ 121+k ＞0成立 ∴ 当n ＝k ＋1时，不等式成立．由⑴、⑵知，对任意n ∈N *，不等式成立．。

重庆南开中学高2016级高二（下)半期测试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合要求)1．在极坐标系中，已知两点⎪⎭⎫ ⎝⎛62π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-62π，B ，则AB =( ) A ．3 B ．2 C ．32 D ．42．设随机变量X 服从标准正态分布，己知P ( 1.88X ≤)=0.97，则P (X 1.88≤)=( )A ．0.94B ．0. 97C ．0.06D ．0.033．已知x R +∈，则24xx +的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知随机变量X B(n ，p)，若EX=4，DX=2.4，则n=( )A ．6B ．8C ．10D ．125．过抛物线C:y x 42=的焦点作垂直于对称轴的直线l ，在第一象限内与C 交于点P ，则抛物线在点P 处的切线方程为( )A ．20x y -=B ．230x y --=C ．10x y -+=D ．10x y --=6．现有l 位教师，2位男同学，3位女同学共6人站成一排，则2位男同学站首尾两端，且3位女同学中有且仅有两位相邻的概率为( )A ．101B ．201C ．301D ．601 7．半期考试结束后学校将安排高二年级到五云山寨社会实践，根据历年气冢统计贸科，五月中旬五云山寨刮大风的概率为0.4，下雨的概率为O0.5，既刮大风又下雨的概率为0.3，则在刮大风的条件下下雨的概率为( )A ．52B ．53C ．54D ．43 8．设正实数,,x y z 满足016722=-+-z y xy x ，则当xy z 取得最小值时，2x y z +-的最大值为( )A ．0B ．89C ．49 D ．2 9．已知A ，B 为椭圆13422=+y x 的左右顶点，P 为椭圆上异于A ， B 的任意一点，直线AP ，BP分别交椭圆的直线4=x l ：于点M ，N ，则AM ·的值为( ) A ．3 B ．3 C ．33 D ．910．正方形ABCD 中，M 为AD 中点，在线段AB 上任取一点P ，在线段DC 上任取一点Q ，则么PMQ ∠为锐角的概率为( )A ．42ln 23-B ．42ln 21+C ．163πD ．16316π- 第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二．填空题：(本大题4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．在极坐标系中，圆C ：θρcos 4=与直线()2cos sin 3=-θθρ：l 位置关系为(填“相交”、“相切”或“相离”) ．12．如图，圆O 是∆ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=102，AB=3，则BD 的长为 ．13．已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点1F 、2F 五都在x 轴上，记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 ．14．已知,a b R ∈，且()()14422222=-+-b a b a ，则224b a +的最小值为 ．三．解答题：(本大题7个小题，共80分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)15．(本小题满分10分)如图，已知AC=BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点．(Ⅰ)求证：BCD ACE ∠=∠；(Ⅱ)若BE=9，CD=1，求BC 的长．16．(本小题满分10分)己知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），直线l 过点()01，M ，倾斜角为a ． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程，并写出直线l 的参数方程；(Ⅱ)若直线l 曲线C 交于点A 、B ，且1=-MB MA ，求直线l 的方程．17．(本小题满分10分)已知函数()1+=x x f ，()42--=x m x g ，若()()x g x f ≥2恒 成立，实数m 的最大值为a ．(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)已知实数,,x y z 满足x y z a ++=，求222632z y x ++的最小值．18．(本小题满分13分)沙坪坝凯瑞商都于2015年4月24日重新装修开业，某调查机构通过调查问卷的形式对900名顾客进行购物满意度调查，并随机抽取了其中30名顾客(女16名．男14名)的得分(满分50分)，如下表：(Ⅰ)根据以上数据，估计这900名顾客中得分大于45分的人数；(Ⅱ)现用计算器求得这30名顾客的平均得分为40.5分，若规定大于平均分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：(Ⅲ)为顾客“性别”与“购物是否满意”有关?参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(Ⅱ)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同 学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及期望．(附：回归方程y bx a ∧=+中，121()(),()ni ii n ii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑)20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，右焦点()03，F ，M 、N 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于M 、N 的动点，且MND ∆面积的最大值为2．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设斜率为21的直线，与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△OAB 的面积的最大值，并写出此时直线l 的方程．21．(本小题满分12分)已知函数()2ln x bx x a x f -+=． (Ⅰ)当1a b ==时，求方程()0=x f 的解；(Ⅱ)当a=2时，f(x)的图象与x 轴交于两点()()()2121000x x x B x A ＜＜，，，，常数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210，p ，求证：()12'10f px p x +-<⎡⎤⎣⎦．。

2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学（时间：120分钟，满分：150分）一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.关于x 的方程2250x x -+=的一个根是12i -，则另一根的虚部为( ) A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. ()ln y x =-C. x y xe -=D. 2y x x=+ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111122341n -+-++=-11(24n n +++1)2n ++时，若已假设(2n k k =≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A.1n k =+时等式成立B. 2n k =+时等式成立C.22n k =+时等式成立D. ()22n k =+时等式成立 4．下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积S =πabD.以上均不正确5．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞ B .(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞6.在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( )A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1D.以上都不对7.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有( ) A.54种 B.48种 C.36种 D.72种 8．设dx x x m ⎰-+=112)sin (3，则多项式6)1(xm x +的常数项( )A.45-B.45C.1615- D.16159．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221113f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于( )A ．13B ．－13C ．53D ．－13或5310.已知()ln xf x x=，且3b a >>，则下列各结论中正确的是( ) A.()2a b f a f ab f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. )()2a b f ab f f b +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. ()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D. ()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭11.函数()()()2242,20,02x x f x x x x ⎧--≤<⎪=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π-12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解是( )A. ln 4x >B. 0ln 4x <<C. 1x >D. 01x <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．14.已知i 为虚数单位，则232015i i i i++++= ．15．已知函数()324()3f x x ax a a R =+-∈，若存在0x ，使()f x 在0x x =处取得极值，且()00f x =，则a 的值为 ．16．计算12323nn n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法： 构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导， 得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+= ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设,,,0.z a bi a b R b =+∈≠, 且1z zω=+是实数，且12ω-<<. (1)求z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；18.（本小题满分12分）从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？19.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274. （1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为2，求函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程；（2）若函数)(2)(x f xx g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中*n N ∈）. （1）求0a 及12n n s a a a =+++；（2）试比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+ （1）当92a =时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小；（3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.高二 理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13. 3π-14.1- 15.3± 16. ()221-+n n n三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【解析】（1）,,,0.z a bi a b R b =+∈≠22221()a b a bi a b i a bi a b a b ω⎛⎫∴=++=++- ⎪+++⎝⎭ω是实数，0b ≠，221a b ∴+=即||1z =,2,12a ωω=-<<z ∴的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；………………………………5分（2）()()()()()2222111112111111a bi a bi z a bi a b bi bu i z a bi a bi a bi a a b --+-------=====-++++++-+++ 1,1,02a b ⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭u ∴为纯虚数. ……………………………………………………10分 18.【解析】（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有144C =种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有246C =种． ∴有124410C C +=种． ……………………………………………………………………6分 (2)从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有2243464564227800C C C C A A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法． ……………………………………………12分19.【解析】 (1)由(0)0f =得0c =， ………………………………………2分2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =， ………………………………………4分∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为27[()]4af x dx --=⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. ………………………8分 （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：又(3)0f =,①当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；②当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………………11分综上可知：当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………12分20.【解析】（1）()22222a x a f x x x x +'=+=，由已知()22f '=，解得2a =-.……2分 ()24ln f x x x ∴=-,()42f x x x'=-()11f ∴=,()12f '=-……………………………4分∴函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程为()121y x -=--即230x y +-=. ……6分（2）由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g ′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x， ……………………7分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．…………8分 令h(x)＝1x －x 2，在[1,2]上h ′(x)＝－21x －2x ＝－(21x＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a ≤－72．……………11分故实数a 的取值范围为{a|a ≤－72}. …………………………………………………12分21.【解析】（1）取1x =，则02n a =； ………………………………………………2分 取2x =，013n n a a a +++=，1232n n n n s a a a ∴=+++=- ……………………4分（2）要比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，即比较3n 与()2122n n n -⋅+的大小. 当1n =时， ()23122n n n n >-⋅+； 当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+；当4,5n =时， ()23122n n n n >-⋅+； …………………………………………………6分猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：…………………7分 由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+成立. …………………………………………11分综上所述，当1n =或4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+；当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+.………………………………………12分22.【解析】（1）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，定义域是()0,+∞.()()()()()22212192121x x f x x x x x --'=-=++ 令()0f x '=，得12x =或2x =.……………………………………………………………2分 当102x <<或2x >时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. …………………4分∴()f x 的极大值是132ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值是()32ln 22f =+.当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，∴当()()g x f x k =-仅有一个零点时，实数k 的取值范围是()3,ln 23ln 2,2⎛⎫-∞+-+∞⎪⎝⎭.……………………………………………………………5分（2）当2a =时，()2ln 1f x x x =++，定义域是()0,+∞. 令()()21ln 11h x f x x x =-=+-+，则()()()222121011x h x x x x x +'=-=>++ ()h x ∴在()0,+∞上是增函数. …………………………………………………………7分 当1x >时，()()10h x h >=，即()1f x >；当01x <<时，()()10h x h <=，即()1f x <； 当1x =时，()()10h x h ==，即()1f x =；………………………………………………9分 （3）根据（2）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令*1k x k N k +=∈，，则有2ln 11x x +>+，即1111ln1211k k k k k k k+-+>=+++ ()231111ln 1ln ln ln123521n n n n +∴+=+++>++++， 即()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.…………………………………………12分。

重庆市名校联盟2014～2015学年下期半期联合考试高2016级 数学试题卷（文史类）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。

3. 所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

4. 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。

一、选择题（共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3i z =-的虚部是 ( )A ．1B ．iC ．1-D ．i -2.“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”．上面推理的错误在于 ( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错 3.命题：“方程x 2-2=0的解是x =2±”中使用逻辑联系词的情况是 ( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“或”D ．使用了逻辑联结词“非” 4. 设i 为虚数单位，则复数2+ii等于 ( ) A ．1255i + B ． 1255i -+ C ．1255i - D ．1255i -- 5.曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线平行于直线x y 4=，则点0P 的坐标是 ( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．)4,1(--D ．）或（0,1)4,1(--6.函数()|2|ln f x x x =--的零点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 37.定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y =极小值,则下列说法正确的是 ( )A ．函数)(x f 在],[b a 上不一定有最小值B ．函数)(x f 在],[b a 上有最小值,但不一定是)(0x fC ．函数)(x f 在],[b a 上有最小值)(0x fD ．函数)(x f 在],[b a 上的最大值也可能是)(0x f 8.已知一组样本点(x i ，y i )，（其中i ＝1,2,3，…，30），变量y x 与线性相关，且根据最小二乘法求得的回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，则下列说法正确的是 ( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上 B ．若y ^＝b ^x ＋a ^斜率b ^>0，则变量x 与y 正相关C ．对所有的解释变量x i (i ＝1,2,3，…，30)，b ^x i ＋a ^的值与y i 有误差 D ．若所有样本点都在y ^＝b ^x ＋a ^上，则变量间的相关系数为19. 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22015的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 10．函数x x x x f cos sin cos )(23-+=的最大值等于 ( )A ．2732 B ． 2716 C ．278D ． 27411.函数32()f x x bx cx d =+++的图像如图所示，则函数222()log ()33b cg x x x =++的单调递减区间是 ( )A. 1(,)2+∞B. 1(,)2-∞C. (2,3)-D. (,2)-∞-12．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是 ( )A ．a1,0－2,41,2(e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．第11题图重庆市名校联盟2015年春第一次联考 高2016级 数学（文史类）答案一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CACADCCBDADB二、填空题:13．充分不必要； 14．95％ ； 15．9； 16．c>a>b ；三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. 解：(1) 由已知得⎩⎨⎧≠-+=-0320)2(2m m m m …………………………3分20==∴m m 或时z 为纯虚数………………………………………6分 (2)由已知得⎩⎨⎧>-+<-0320)2(2m m m m …………………………9分解得m 的范围是21<<m …………12分 18．解：(1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，………………1分∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2，∵(1,2)在y ＝f (x )上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，………………3分又f ′(1)＝－1，∴a 2－2a ＋1＝0，………………4分 解得a ＝1，b ＝83.………………6分(2)∵f (x )＝13x 3－x 2＋83，∴f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点，所以有x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值9分 ∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8，∴在区间上的最大值为8.---------12分19．解：(1)由已知数据有x ＝4，y ＝5，---------2分23.1ˆ=∴b，--------7分 ∴=aˆ5－1.23×4＝0.08， ∴回归直线方程为＝1.23x ＋0.08. ---------9分(2)当x ＝10时，维修费用＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元) ---------12分20．解：(1)设日销售量q ＝k e x ，则ke30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销售量q ＝100e 30ex ，---------4分∴y ＝100e 30(x －20－t )e x (25≤x ≤40)．---------6分(2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)e x ，y ′＝100e 30(26－x )e x .由y ′≥0得x ≤26，由y ′≤0得x ≥26， ∴y 在上单调递增，在上单调递减，---------10分 ∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元．---------12分 21．解：(1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴f (5)＝25＋4×4＝41. ．---------5分 (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1. f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4.由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ．---------8分 ∴f (2)－f (1)＝4×1，f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3， ……f (n －1)－f (n －2)＝4(n －2)，f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，（n ≥2,n ∈ N +时） ∴ f (n )－f (1)＝4＝2n (n －1)，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(n ≥2且n ∈ N +) ．---------12分又 f(1)=1满足上式∴f(n)=2n 2-2n+1 (n ∈N +)22．解：(1)f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在上恒成立令h (x )＝2x 2＋ax －1，x ∈，∴h (x )≤0在上恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧h (1)＝1＋a ≤0h (2)＝7＋2a ≤0得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a ≤－72，∴a ≤－72. --------5分 (2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－x 2，x ∈(0，e ，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x①当a ≤0时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e 上，g ′(x )>0 ∴g (x )在(0，1a上单调递增∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，∴a ＝e 2满足条件 ③当1a ≥e 即0<a ≤1e 时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e hslx3y3h 上单调递减g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1e(舍去)综上所述：a ＝e 2 --------10分。

淮南二十四中2014-2015学年第二学期期中考试数学试卷（理科）姓名____________得分____________一、选择题：每题4分，共40分1.复数212i i +-的共轭复数是3.5A i - 3.5B i .C i - .D i2.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 .12A 种 .10B 种 .9C 种 .8D 种3.在 ()61x x + 的展开式中，含3x 项的系数为.30A .20B .15C .10D4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1.8A 3.8B 5.8C 7.8D 5. 凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2 6.曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率等于.2A e .B e .2C .1D7. 甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 A ．150种 B.180种 C.300种 D.345种 8.若()()201522015012201512x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则20151222015222a a a ++⋅⋅⋅+的值为A ．2B 。

0C 。

1-D 。

2-9.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a = .0A .1B .2C .3D 10.函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，()'2f x >，则()24f x x >+的解集为().1,1A - ().1,B -+∞ ().,1C -∞- ().,D -∞+∞二、填空题：每题4分，共16分11.若复数1111i iz i i-+⋅=+-，则复数z= ___ __ 12. 为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有3种不同颜色可供选择，则共有_______种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.13.设二项式6x ⎛⎝()0a >的展开式中的系数为A ，常数项为B ，若4B A =，则a 的值是14. 已知函数()()2x f x e ax a R =-∈，若函数()f x 为R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是三、解答题15.（本题满分11分）已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）点A 位于第三象限？16.（本题满分11分）已知在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，（1）求展开式中的有理项；（即次数为整数的项）（2）求二项式系数最大的项。