2013年广州高二数学竞赛试题

秘密★启用前2011－2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数 学本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 本次考试不允许使用计算器.5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则AB 等于A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒的值是A . B. 12- C. 12D. 3. 不等式2230x x --<的解集是A . ()3,1- B. ()1,3-C. ()(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 12- D. 2- 5. 函数sin 2y x =是A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 97. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为A . 1 B. 53C. 2D. 38. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图 是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为A . B.C.D.9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列 结论中正确的是A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. D. ()+⊥a b b 10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有 A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0xy aa -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则12m n+的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分） 编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x >()100mx ny mn +-=>正视图 侧视图俯视图图1()()1122x f x x f x <（1）完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,c o s 3a b A ===．（1）求sin B 的值； （2）求c 的值.17．(本小题满分14分)如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点， 平面PAC ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得DE E 的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由; （2）求证：PA BC ⊥.18. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n n T S S S =+++，求证：34n T <.19. （本小题满分14分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求的取值范围.121d d -20. （本小题满分14分）已知113a≤≤, 若函数()22f x ax x=-在[]1,3上的最大值为()M a,最小值为()N a,令()()()g a M a N a=-.（1）求()g a的表达式;（2）若关于a的方程()0g a t-=有解, 求实数t的取值范围.2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12. ()1,2,3-- 13. 72 14.3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:………4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分所以()80.810P B ==. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．（1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==． ………2分 由正弦定理得：sin sin a bA B=， ………4分∴2sin 3sin 39b A B a===. ………6分 （2）解：∵13,2,cos 3a b A ===， ∴222123b c a bc +-=. ………8分 ∴222231223c c +-=⨯， 解得3c =. ………12分17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//DE 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//DE 平面PAC :取线段AB 的中点E , 连接DE ， (3)∵点D 是线段PB 的中点，∴DE 是△PAB 的中位线. ………4 ∴//DE PA . ………6 ∵PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，∴//DE 平面PAC . ………（2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===,∴222AB BC AC =+.∴AC BC ⊥. ………10分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面PAC . ………12分∵PA ⊂平面PAC ，∴PA BC ⊥. ………14分18．本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分 解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+⨯-=+. ………6分 （2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+， ………8分 ∴ 12111n nT S S S =+++ ()11111324352n n =++++⨯⨯⨯+ =11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ………10分 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ =31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ ………12分 34<.………14分 19．本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证 能力．满分14分．(1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l 的距离d ==………2分 ∵ MN =2,∴ 2=.………3分 ∴2=. ………4分 解得r =………5分∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=. ………6分 (2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====.………8分 又点(),0A t 到直线l 的距离2d ==. ………9分∴121d d-()121t t -+==-………10分m =，则1t -= ………11分∵1t ≠，∴1m >. ∴121d d -21m =-121m m -=+2211m =-+. ………12分 ∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+. ∴20111m <-<+. ………13分∴0<2211m -+< ∴121d d -的取值范围是(0. ………14分20．本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．(1) 解: ()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ………1分∵113a ≤≤, ∴113a ≤≤.① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a =时, 函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭.∴ ()()()g a M a N a =-=196a a+-. ………3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a =时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴ ()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分 综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a a a a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，()()1212121122g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121a a a a a a --=. ………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <， ∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<. ∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12g a g a >. ∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分 任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()34343491a a a a a a --=. ………9分11∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34g a g a <.∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12, ………11分 又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解，∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………14分。

2011年广州市高二数学竞赛试题2011．5．15 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数()3sin 1f x x x =++()x ∈R ，若()2f a =，则()f a -的值为( )． A ．2- B ．1- C ．0 D ．12．已知数列{}n a 的通项公式2log 1n na n =+()*n ∈N ,设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的自然数n 有（ ）． A ．最大值15 B ．最小值15 C ．最大值16 D ．最小值163．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为（ ）．A ．3B ．1C ．1-D ．3-4．设o o o sin(sin 2011),sin(cos2011),cos(sin 2011)a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ( )． A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若过定点()1,0M -且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是* ．6．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于1的概率为 * ．7．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足PM AP 2=，则()PC PB PA +⋅等于 * ．8．在△ABC 中，若tan tan 1A B =，则sin 12C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭* ．9．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围是 * ．10．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若31241234a a a a k ====，则412()i i Sih k ==∑． 类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则41()i i iH ==∑ * ．三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分15分）已知向量()sin ,cos x x =a ，()6sin cos ,7sin 2cos x x x x =+-b ，设函数()2f x =⋅-a b ． （1）求函数()f x 的最大值，并求取得最大值时x 的值；（2）在A 为锐角的ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()4f A =且ABC ∆的面积为3，2b c +=+求a 的值．12．（本小题满分15分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACDAC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2a ，AB ＝a ，F 为CE 的中点． （1）求证BF ⊥平面CDE ； （2）求多面体ABCDE 的体积；（3）求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小．13．（本小题满分20分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．（1）若2e =（2）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点． 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围．14．（本小题满分20分）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有()33k k S S =成立．15．（本小题满分20分）定义在R 上的函数2()1x bf x ax +=+(,a b ∈R 且0a ≠） 是奇函数，当1x =时，)(x f 取得最大值．（1）求a b 、的值；（2）设曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线l 与y 轴的交点为(0,)t ，求实数t 的取值范围．2011年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分．1．C 2．D 3．C 4．B二、填空题：每小题6分，满分36分．5．()50， 6．6π 7．49- 8 9．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321， 10．3V K简答与提示：4．因为o o o o 2011536018031=⨯++，所以o o sin(sin31)sin(sin31)0a =-=-<，o o sin(cos31)sin(cos31)0b =-=-<，o o cos(sin31)cos(sin31)0c =-=>，又因为o o 0sin31cos311<<<，所以b a c <<，选（B ）．三、解答题：满分90分．11．解：（1）()()()2sin 6sin cos cos 7sin 2cos 2f x x x x x x x =⋅-=++--a b 226sin 8sin cos 2cos 2x x x x =+--…()1cos 264sin 21cos 22xx x -=+-+ 4sin 24cos 2x x =-24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+（k ∈Z ）时，()f x 有最大值为（2）()4f A = ，244A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭．可得：sin 24A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，32,444A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，244A ππ∴-=，解得4A π=．1sin 324ABC S bc A ∆===，可得bc =2b c +=+2222cos a b c bc A =+-()222cos b c bc bc A =+--(2222cos104π=+-⨯⨯=，a ∴=12．（1）证明：取CD 的中点G ，连AG ，FG ，则有12FG AB DE ∥∥＝＝．∴AG ∥＝BF ． 又△ACD 为正三形，∴AG ⊥CD ． 又DE ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥AG ．∴AG ⊥平面CDE ． ∴BF ⊥平面CED ． （2）解：ABCDE B ACD B CDE V V V --=+2111332CD AB DE CD BF =⋅+⋅⋅⋅⋅()()()2111222332a a a a =⋅+⋅⋅⋅333=． （3）解：由（1）知12AB DE ∥＝， 延长DA ，EB 交于点P ，连PC ，则可证得A ，B 分别为PD ，PE 的中点， ∴PC ∥BF ∥AG ， ∴PC ⊥平面CDE ．∴∠DCE 为平面BCE 和平面ACD 所成二面角的平面角． 又∠DCE ＝45°，所以平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角为45°．13．解：（1）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a =结合222a b c =+，解得212a =，23b =．所以，椭圆的方程为131222=+y x ． （2）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，所以2212122220,a b x x x x b a k +==-+，进而22221212222k a b y y k x x b a k==-+． 因为点M 、N 的坐标分别为113,22x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭、223,22x y N +⎛⎫⎪⎝⎭， 依题意OM ON ⊥， 所以1OM ON k k ⋅=-，即1212133y yx x ⋅=-++． 即121290y y x x ++=，即222222(1)90a b k a k b +-+=+， 因为22229b a c a =-=-，所以 222222(9)(1)90(9)a a k a k a -+-+=+-． 将其整理为()42224242218818181111818981a a k a a a a a -+==--=---+---． 因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<． 所以218k ≥，即,44k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭．14．解：设无穷等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)222k k k d d S ka d k k a -⎡⎤⎛⎫=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以333122k d d S k k a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，且()333122k d d S k k a ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 233233211133842222d d d d d d k k a k a k a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．因为()33k k S S =对于一切正整数k 都成立，所以32121311,823()0,423()0,22().22d dd d a d d a d d a a ⎧=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎪⎪-=-⎪⎩①②③④由①，可得0d =或2d =±．当0d =时，由④得10a =，或11a =±，且同时满足②③．当2d =时，由②得112da ==，且同时满足③④． 当2d =-时，由②得112da ==-，且同时满足③④．综上所述，共有5个满足条件的无穷等差数列： ①{}n a ：0,0,0,⋅⋅⋅； ②{}n a ：1,1,1,⋅⋅⋅； ③{}n a ：1,1,1,---⋅⋅⋅； ④{}n a ：1,3,5,⋅⋅⋅； ⑤{}n a ：1,3,5,---⋅⋅⋅．15．解：（1）∵函数)(x f y =是奇函数，∴()()f x f x =--， 即221()1x b x bax a x +-+=-+-+， 化简得2211x b x bax ax +-=++对于任意x ∈R 都成立．∴0b =．∴2()1xf x ax =+．若0a <， 则函数2()1xf x ax =+的定义域不可能是R ， 故0a >．当0x ≤时，()0f x ≤； 当0x >时，()2111x f x ax ax x==≤=++，当且仅当1ax x =即x =时，()f x1=， 即1a =． （2）依题意得2()1xf x x =+……①， 2221'()(1)x f x x -=+……② 又∵曲线2()1xf x x =+在00(,())x f x 处切线方程为 000()'()()y f x f x x x -=-，切线与y 轴交于点(0,)t ，∴000()'()(0)t f x f x x -=-，化简得000'()()t x f x f x =-+，①②代入化简得3002202,(1)x t x x =∈+R ．又∵2223200000222006(1)22(1)2'[(1)]x x x x x t x +-+==+ 令'0t =，解得0x =，列表如下当00x ≥时，302202(1)x tx =+0≥．∴0x 时，函数302202,(1)x t x x =∈+R 取得唯一的极大值，也是最大值．3max22281t ⨯==⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．、 当00x ≤时，302202(1)x t x =+0≤ ∴0x =时，函数3002202,(1)x t x x =∈+R 取得唯一的极小值，也是最小值． ((3min22281t ⨯==-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． ∴t 的取值范围是88⎡-⎢⎣⎦．。

2014年广州市高二数学竞赛试题2014. 5. 10考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，是的共轭复数，则的值是A ．B ．C ．D ．2．已知向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．3. 已知函数，则下列不等式中恒成立的是A ．B ．C ．D ．4. 若实数满足，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5. 已知N ，，则数列的前项和 .6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数是”为事件，则事件、中至多有一件发生的概率是 .7. 函数的最大值是 .DC 1B 1A 1CBA 8. 设不等式组所表示的平面区域为，平面区域与关于直线对称，对于中的任意一点与中的任意一点，的最小值等于 . 9. 已知是表面积为的球面上三点，，为球心，则直线与平面所成角的余弦值是 .10．若将函数表示为其中为实数，则的值为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分） 已知函数R ，为常数，且是函数的零点.（1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值.12．（本小题满分15分） 已知直三棱柱的底面是正三角形，是的中点.（1）证明：∥平面； （2）若，，求三棱锥的体积.13. （本小题满分20分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、是直线上的两个动点，且.（1）设圆是以线段为直径的圆，试判断原点与圆的位置关系；（2）若椭圆的离心率为，的最小值为，求椭圆的方程.14. （本小题满分20分）设轴、轴正方向上的单位向量分别为、，为坐标原点. 坐标平面上点、N分别满足下列两个条件：①，且；②，且.（1）求向量及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数，对一切N，都有成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由.15．（本小题满分20分）已知函数，为自然对数的底数. （１）证明：；（２）若N，且，证明：.2014年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．A 2．C 3．A 4．B二、填空题：每小题6分，满分36分.5. 6. 7. 8. 9. 10.三、解答题：满分90分．11．（本小题满分15分）（1）解：∵是函数的零点，∴. …………2分解得. …………4分（2）解：由（1）得…………6分…………8分. …………10分∵，∴. …………11分OGFDC 1B 1A 1CBA ∴当，即时，取得最大值，其值为； …………13分当，即时，取得最小值，其值为.……15分12．（本小题满分15分） （1）证明：连接，与相交于点，连接，∵四边形是矩形， ∴点是的中点.∵是的中点， ∴∥. …………2分∵平面，平面，∴∥平面. …………4分 （2）解：取的中点，连接，∵△是正三角形，∴.∵平面平面，且平面平面，∴平面. …………6分∵平面，∴. ∵，，平面，平面，∴平面. …………8分 ∵平面， ∴.∵，∴.∵， ∴△～△. …………10分 ∴. ∴.∴. …………12分 取的中点，连接，则∥，且，由于平面，则平面.∴三棱锥的体积为.…15分 13. （本小题满分20分） 解：（1）设，则.∵，∴.∴，即. …………4分∵，∴为锐角.∴原点在圆外. …………8分（2）∵椭圆的离心率为，∴. …………9分∴，且. …………10分，当且仅当或时取等号.…………14分∴的最小值为. …………16分依题意得，，解得，从而. …………19分∴椭圆的方程为. …………20分14.（本小题满分20分）（1）解：，…………4分. …………8分（2）解：由（1）知，直线交轴于点，. …………12分（3）解：. …………14分当时，；当时，；当时，.故等等.即在数列中，是数列的最大项，…………18分所以存在最小的自然数，对一切N，都有成立. …………20分15．（本小题满分20分）（１）证明：要证，只要证明，由于，等价于证明，设，则，等价于证明. …………3分令，则.当时，，故函数在上单调递减.∴当时，.∴当，成立.故成立.…………8分（２）证明：∵，…………14分∴…………16分…………18分. …………20分。

2013年广东省广州市高二数学竞赛试题2013．5．11考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在下列函数中，既是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是 A ．x y 2cos = B ．x y 2sin = C ．cos y x = D ．|sin |x y =2．已知向量(,)x y =a ，其中{1,2,4,5}x ∈，{2,4,6,8}y ∈，则满足条件的不共线的向量共有 A ．9个B ．12个C ．13个D ．16个3．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是A ．1-1πB ．1-2πC ．1πD ．2π4．已知函数2()3f x x x =--，则函数()(())g x f f x x =-所有零点的和为 A ．2- B ．0 C ．2 D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5．若直线2m y =+与圆228x y +=相切，则m = * 。

526．已知集{}3,1122-+-=a a A ，，{}113+--=a a a B ，，，且{}2A B =-，则实数a 的值等于 * ．1-7．已知不等式1-x ax <1的解集是{x | x <1或x >2}，那么实数a = * ．218．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N M N c ⊂⊂=平面平面，给出如下命题：①若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交； ②若a //b , 则必有a //c ；③若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； ④若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.其中正确的命题的是 （请填上正确命题的序号）。

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）
18.(本小题满分14分）
等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足==EA CE DB AD 图3).将ΔADE 沿DE 折起到ΔA 1DE 的位置，使二面角A 1-DE-B 成直二面角， 连结A 1B 、A 1C (如图4).
(1) 求证：A 1D 丄平面BCED;
(2) 在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为600
？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由
19.(本小题满分W 分）
巳知a>0,设命题p:函数f(x)=x 2
-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与x 轴有两个不同 的交点；命题q: g(x) =|x-a|-ax 在区间（0, + ∞ )上有最小值.若q p ∧⌝)(是真命题，求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分14分）
经过点F (0，1)且与直线y= -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上， 且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.
(1) 求轨迹M 的方程；
(2) 证明：CAD BAD ∠=∠；
(3) 若点D 到直线AB 的距离等于
||22AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程. 21.(本小题满分14分）
设a n 是函数*)(1)(23N n x n x x f ∈-+=的零点.
(1)证明：0<a n <1；(2)2
3...21<+++<n a a a。

广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= ． 两数立方差公式：3322() ()a b a b a ab b -=-++．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的 l ．已知i 为虚数单位，若复数(1)(1)a a -++i 为实数，则实数a 的值为A ．-1B ．0C ． 1D ．不确定2．已知全集U A B = 中有m 个元素，()()U UA A痧中有n 个元索，若A B 非空，则A B 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ．n m -3．已知向量()sin ,cos a x x =，向量(b =，则a b +的最大值为A ．1BC ．3D ．94．若m ，n 是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若//m n ，//n α，则//m αC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥5．在如图1所示的算法流程图中，若()2x f x =，()3g x x =，则()2h 的值为(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“=”) A ．9 B ．8 C ．6 D ．46．已知点(),p x y 的坐标满足10,30,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点，则PO 的最小值为A．2B．2CD7．已知函数()sin f x x =，若12,[,]22x x ππ∈-且()()12f x f x <，则下列不等式中正确的是A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +<D ．2212x x < 8．一个人以6米／秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t 的速度为()v t t =米／秒．那么．此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一) 必做题 (9~13题)9．若函数()cos() cos() (>0)2f x x x πωωω=-的最小正周期为π，则m 的值为 ．10．已知椭圆C的离心率2e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重台，则椭圆C 的方程为 ．11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是． 12．图2是一个有n 层(2)n ≥的六边形点阵．它的中心是一个点，算作 第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第n 层 每边有n 个点，则这个点阵的点数共有 个．13．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中2x 的系数为 ． (二) 选做题 (14~15题．考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为142x ty t =+⎧⎨=-⎩(参数t R ∈)，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (参数[0,2]θπ∈)，则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．15．(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P ，OD BC ⊥，P 为AD 的中点，6BC =，则弦AD 的长度为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=．(1) 求tan α值；(2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值．17．(本小题满分12分)如图4，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=°．30CAB ∠=°，1BC =，AD CD =，把DAC ∆沿对角线AC 折起后如图5所示 (点D 记为点P )．点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ． (1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值．18．(本小题满分14分)一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比．每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足15(1) (04)s t t =+≤≤，每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中，则不再进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1) 在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率；(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：22 (0)x py p => 的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ．(1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数()32(,)f x x x ax b a b R =-++∈的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为α，()βαβ<，函数()f x 在区间[,]αβ上是单调的(1) 求a 的值和b 的取值范围；(2) 若1x ，2[,]x αβ∈证明：()()121f x f x -≤．21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意n N ∈*都有1n n a b +=，211n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式； (2) 证明：31324122341123...1 (1) ...n n n na a aa a a a a n nb b b b b b b b ++++++<+<++++．。