【名师导学】学年高中数学 第一章 1.5函数y=Asin(ωx+ψ)(二)课件 新人教A版必修4

2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2

函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象教学目标1．知识与技能（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的实际意义；（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数ϕω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．（3）考察参数A 、ϕ、ω对()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的联系.2．过程与方法（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力.（2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想．3．情感、态度、价值观（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象以及参数ϕω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象之间的变换关系.教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变换关系. 教学方法与技术支持问题教学法、合作学习法，多媒体课件，卡西欧图形计算器. 教学过程：课前准备：用“五点法”在同一坐标系用不同颜色的线画出下列几组函数的图象（要求有列表过程）： （1）x y sin =，y=2sin x ，y=21sin x （2）x y sin =，y=sin(x +3π)，y=sin(x 4π) （3）x y sin =，y=sin2x ，y=sin21x[设计意图]通过作三组不同函数的图象，进一步体会“五点法”作函数图象的基本方法,同时为本节课的图象变换做好准备. 一.创设情境,引出问题 1．借助PPT 演示物理实例：简谐振动中，位移与时间的关系()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 2．介绍其中几个量的物理意义A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；ωπ=2T 是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期； πω==2T 1f 是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ϕω+x 称为相位，x =0的相位ϕ称为初相. 问题: 函数x y sin =就是()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 在A=1,0,1==ϕω时的特殊情况，在0,1,1≠≠≠ϕωA 时函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与x y sin =的图象有何关系？[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联系,让学生体会到数学的应用价值. x y sin =为()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发求知欲望.二.互助探究,感受规律(分组讨论，寻求一般规律，每组选派代表汇报“研究成果”) 问题1 A 对图象的影响：寻找函数x y sin =，x y sin 2=，x y sin 21=三者图象之间的联系. 学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2) 借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x A y sin =)0(>A 的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)1,0(sin ≠>=A A x A y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．易知，函数函数x A y sin =的值域为],[A A -． 问题2：ϕ对图象的影响 寻找函数x y sin =，⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y ，三者图象之间的联系. 学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2)引导学生借助图象上的对应变化点横坐标之间的对应关系理解图象平移变换的实质 (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受)sin(ϕ+=x y 的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位而得到的．问题3 ω对图象的影响:寻找函数三者x y sin =，y=sin2x ，y=sin 21x 图象之间的联系.学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2)引导学生借助图象上对应变化点的坐标之间对应关系,理解图象周期变换的实质: (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x y ωsin =的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)10(sin ≠>=ωωω且x y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的．[设计意图]将ϕω,,A 对图象变换的影响进行分解,问题提出后,教师不急于讲解,而是有学生合作解决,教师适当引导.在探究过程中注重借助图形计算器辅助思维,并通过前后坐标的变化理解图象变换的实质. 问题4(难点突破)（1）函数x y 2sin =通过怎样变换可以得到函数)32sin(π+=x y 的图象?(2) 将函数y=sin(2x +3π)的图象向右平移3π个单位,所得到的图象的函数解析式为 (3)一般地，函数()0,0)sin(≠>+=ϕωϕωx y 的图象，可以看做是将函数x y ωsin =图象上所有点 (0>ϕ)或 (0<ϕ)平移 个单位而得到的． （4）函数)3sin(π+=x y 的图象通过怎样的变换可以得到函数)32sin(π+=x y 的图象？[设计意图]周期变换和相位变换的不同顺序对图象的影响是本课的难点. 不能广而告之, 鼓励学生在提出猜想的基础上,充分经历图象变换过程，共同发现规律,总结一般性结论,自然流畅,易于接受理解,从而突破难点. 三.典例分析，形成能力 例 若函数)32sin(3π-=x y ,xR 表示一个振动量:(1) 求这个振动的振幅,周期,初相;(2) 不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象． 解：(1) 函数)32sin(3π-=x y 的振幅为3,初相为3π-,周期为π.(2)方法一“五点法”周期T=,令X=2x -3π则x =6223ππ+=+x X 列表作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数x y 2sin =的图象；再将函数x y 2sin =的图象向右平移6π个单位长度，得到函数)32sin(π-=x y 的图象；再将函数)32sin(π-=x y 的图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)32sin(3π-=x y 的图象.)32sin(3)32sin(2sin sin ππ-=→-=→=→=x y x y x y x y方法三(先相位后周期)2作出正弦曲线，并将其向右平移3π个单位长度，得到函数)3sin(π-=x y 的图象;再将函数)3sin(π-=x y 图象上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)32sin(π-=x y 的图象;再将函数)32sin(π-=x y 图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)32sin(3π-=x y 的图象.)32sin(3)32sin()3sin(sin πππ-=→-=→-=→=x y x y x y x y[设计意图]互动探究部分将ϕω,,A 三元素对图象变换的影响进行分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点.四.回顾反思,拓展深化 1. “五点法”作图 2.图形变换过程两种方法殊途同归总结参数A ，ω，φ函数y ＝A （1）振幅变化，由A 的变化引起; （2）周期变化，由ω的变化引起; （3）相位变化，由ωϕ或ϕ的变化引起. [设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进行小结.培养学生及时总结,概括提升的能力,为在课后能继续独立探究思考埋下伏笔. 五.课后研究，突出重点作y=sinx （长度为2的某闭区间）（1）阅读书后链接内容并通过网络了解三角函数知识在简谐运动,波的传播,交流电中的应用; （2）书后习题4，5，6.课后思考：（1）函数x y sin =的图象通过怎样的变换可以得到函数x x y 3sin 3cos -=的图象？ （2）函数)(x f y =的图象经过怎样的变换可以得到)32(+=x f y 的图象？[设计意图]通过阅读让学生了解数学学科与人类社会发展间的相互关系,体会数学的科学价值和应用价值;通过思考题使知识更加完整,落实知识的掌握与思想方法的理解.。

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知识点四 函数y＝sin x图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象关系
正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变换过程： y＝sin x图象 —向—左平—移φ—＞|—φ0|个—或—单向—位右—长—φ度＜—0→y＝sin(x＋φ)图象 —所—有——点—的—横纵—坐坐—标标—变—不为—变原—来—的——w1 —倍→ y＝sin(ωx＋φ)图象 —所—有—点—的—纵——坐—标—变—y为＝—原A—s来i—n的(—ωAx—＋倍→φ)图象.
解析 答案 24/33
当堂训练
25/33
1.函数y＝cos x图象上各点纵坐标不变，把横坐标变为原来2倍，得到
图象解析式为y＝cos ωx，则ω值为
A.2
√B.12
C.4
D.14
12345
答案 26/33
2.要得到 y＝sin2x＋π3的图象，只要将函数 y＝sin 2x的图象 A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位
ω
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注意 两种路径变换次序不一样，其中变换量也有所不一样：(1)是 先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换， 平移 |φ| 个单位，这是很易犯错地方，应尤其注意.
ω 2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)图象也可由y＝cos x图象变换 得到.
答案 8/33
梳理
如图所表示，函数y＝sin(ωx＋φ)图象，能够看作是把y＝sin(x＋φ)图象 1
上全部点横坐标 缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)到原来 倍ω(纵 坐标 不)变而得到.
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知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象影响

令－π6≤x≤71π2，则π3≤2x＋23π≤116π， 当π3≤2x＋23π≤π2或32π≤2x＋23π≤116π， 即当－π6≤x≤－1π2或51π2≤x≤71π2时，函数 g(x)单调递增； 当π2≤2x＋23π≤32π，即－1π2≤x≤51π2时，函数 g(x)单调递减，
∴g(x)在－π6，71π2上的单调递增区间为－π6，－1π2，51π2，71π2；单调递减 区间为－1π2，51π2.
反思感悟
解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用 题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的 问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
2ωx－4×1－co2s
2ωx＋2
＝ 23sin 2ωx＋32cos 2ωx＝ 3sin2ωx＋π3，
∵T2＝π2，∴T＝π，∴T＝22ωπ＝π，解得 ω＝1， ∴f(x)＝ 3sin2x＋π3.
(2)若将 f(x)的图象向左平移 mm>0个单位长度得到的函数 g(x)的图象恰好 经过点－π3，0，求当 m 取得最小值时，g(x)在－π6，71π2上的单调区间.
(1)求函数y＝f(t)的解析式； (2)请根据(1)的结论，判断该商场的
中央空调应在本天内何时开启？何时
关闭？
由题图知，T＝2(14－2)＝24，
所以 T＝2ωπ＝24，解得 ω＝1π2. 由图知，b＝16＋2 32＝24，A＝32－2 16＝8， 所以 f(t)＝8sin1π2t＋φ＋24.
将点(2,16)代入函数解析式得，
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