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名师伴你行
3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值 范围分别为 (-∞,0) ， (1,+∞) ， (0,1) .
4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 的形状及函数的 奇偶性 作出.
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名师伴你行
学点一 幂函数的定义
已知函数y=(a2-3a+2) x a2 -5a5 (a为常数).
∵函数y= x 4 在(0,+∞)上是递增的，又
3
3
2
3
3
1.1 4 1.4 4 ;综上，1.1 3 1.1 4 1.4 4 .;
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学点三 奇偶性的判定
名师伴你行
判断下列函数的奇偶性：
1
2
（1）y = x3（; 2）y = x3（; 3）y = x ；-2 （4）y
1
= x2（; 5）y
由已知
3 k 1 k 2 22
>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又
3
∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)= x 2 不是偶函数；
当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， 3
f(x)= x 2不是偶函数,∴f(x)=x2.
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学点二 比较大小
名师伴你行
比较下列各组数的大小：
∵f(-x)=
1 (-x)2
1 x2
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
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名师伴你行
1
（4）∵f(x)= x2 = x 的定义域为{x|x≥0}，定义域不
关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数.
（5）∵f(x)=
x
3 2
=
1
3
x2
=
1 x3
,
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
∴f(x)为非奇非偶函数.
8
7 8
-(
数，又因为
1) 8
1 8
7
8，函数y=
1 ,则
9
(1) 8
7
x8
7
8 (
1 9
在(0,+∞)上为增函
7
)8
，从而
7
1
- 8 8 -( )
9
7
8.
（3）(
2 2 )3
3
2
2 2 ( )3 3
(
π) 6
π 2 ( )3 6
，
函数y= x 3 在(0,+∞)上为减函数，又因为
1
，5 而
4
5，
6
56
(
5)
1
5
即(4Biblioteka 1)5(
1
5) 5
5
6
5
6
5
6
（3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π,
∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1.
（4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的，
∵
3 4
2 3
3
3
2
, 1.1 4 1.13 ;
2 3
π 6,
所以
(
2
2
)3
(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
(
π
2
)3
即(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
3
3
6
6
3
6
【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特
别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进
行分组，常数0和1是常用的参数.
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名师伴你行
比较大小:
4
4
(1)(6.3) 3 与(6.2) 3 ;
（3）由题意得
a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0,
解得 a 4 解得 a3
名师伴你行
【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
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名师伴你行
已知幂函数f(x)=
x
3 2
k
1 2
k
2
(k∈Z)为偶函数,且在区
间(0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式.
3
= x 2.
【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义.
1
1
【解析】 （1）∵f(-x)=（-x）3=-x3=-f(x)，又∵定义域为R,
∴y=x
1 3
为奇函数.
2
2
（2）f(x)=x3 ,定义域为R，且f(-x)=(-x)3
1
2
=［(-x)2］3 =x3 为偶函数.
1
（3）∵f(x)=x-2= x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又
进入
学点一
学点二 学点三
学点四
学点五
名师伴你行
名师伴你行
1.一般地,函数y=xa叫做 幂函数 ，其中x是自变量,a是常数. 2.幂函数y=xa具有下面性质： （1）所有的幂函数在区间 (0,+∞) 上都有定义，并且 函数图象都通过 (1,1) 点. （2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点 (0,0) ，并且 在区间 ［0,+∞) 上是增函数. （3）如果a<0，则幂函数在区间 (0,+∞) 上是减函数， 当x从右边趋向于 y轴 时，图象在y轴右方无限地逼 近 y轴 ；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼 近 x 轴.
数值，根据幂函数的性质知函数y=x3 (x>0)是增函数，即
4
4
4
4
(6.3)3>(6.2)3, ∴(-6.3) 3 >(-6.2) 3 .
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名师伴你行
（2）则 (4
1 51
)5
0,(-
4 1 )5
5
5 (
(
4
)
1
5
,-(
5
1
)5
56
)
1
,5∴
(
4
)
1 5
(
5
)
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
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名师伴你行
判 定 下 列 函 数 的 奇 偶 性：
（1）y
3
= x 2；(2)y
1
4
= x 2 ;(3)y = x 3 .
3
（1）y= x 2 = x3 ,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,
（1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？
【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定 义可求.
【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0,
∴a= 3 5 . 2
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（2）由题意得
a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0,
（1）3
5
2和
5
3.1 2
;
（2）- 8
（3）(-
7 8
和
2 2 )3
3
17 -( )8
9 和 (-
;
π
6
2
) 3.
【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.
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【解析】（1）函数y=
5
32
在(0,+∞)上为减函数，名师伴你行
又 3<3.1，所以
5
32
5
3.1 2 .
（2）-
(2)
(
4
)
1 5
5
与
(
5
1
)5
6
;
3
3
2
(3)(a-1)π与 (b )-（1 其中a>b>0）; (4) 1.1 4 ,1.4 4 ,1.1 3 .
4
（1）∵(6.3) 3
4
4
(6.3) 3 , 4
4
(6.2) 3
4
(6.2) 3 且
4
4 3
>1,6.3>6.2,
∴(6.3) 3与(6.2) 3实际上是幂函数y=4 x3 在x=6.3与x=6.2的函
