§52 线线角与线面角(教案)

直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。

教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。

教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。

教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。

2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。

2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。

3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。

三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。

2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

3. 分析实例：墙角的直角。

4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。

四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。

2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。

教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。

结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。

六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。

线和角小学数学教案
主题：线和角
年级：小学三年级
教学目标：
1. 认识线和角的基本概念；
2. 能够辨别不同类型的线和角；
3. 掌握测量角度的方法；
4. 练习使用直尺和量角器进行实际测量。

教学内容：
1. 线的定义和分类：直线、射线、线段；
2. 角的定义和分类：锐角、直角、钝角、平角；
3. 角度的测量：使用量角器进行角度的测量。

教学步骤：
1. 师生互动：让学生观察教室中不同的线和角，并讨论它们的特点；
2. 理论讲解：介绍线和角的基本概念，以及不同类型的线和角；
3. 实践练习：让学生使用直尺和量角器进行实际测量，并练习书写各种线和角的名称；
4. 拓展应用：让学生在日常生活中寻找更多线和角的例子，并尝试用数学知识描述它们。

教学反馈：
1. 观察学生在练习中的表现，及时纠正错误并表扬正确的做法；
2. 帮助学生解决可能遇到的困难，鼓励他们勇于探索和发现。

教学资源：
1. 直尺、量角器、书本或练习册等教学工具；
2. 线和角的图片或实物示例。

教学评估：
1. 每节课结束时进行小测验，检查学生对线和角的理解程度；
2. 综合考察学生在课后作业中的表现，评估他们对知识的掌握程度。

教学反思：
1. 总结每节课的教学效果，找出不足之处并加以改进；
2. 鼓励学生在日常生活中多加练习，提高对线和角的敏感度和理解力。

以上是一份关于线和角的小学数学教案范本，希望能对您有所帮助。

祝教学顺利！。

高中数学线面角教案
教学目标：
1. 理解线面角的概念及其特点。

2. 掌握线面角的基本性质。

3. 能运用线面角的知识解决相关问题。

教学内容：
1. 线面角的定义。

2. 线面角的种类。

3. 线面角的性质及相关定理。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入线面角的概念，以实际生活中的角度为例，让学生对线面角有一个直观的认识。

二、讲解（15分钟）
1.讲解线面角的定义及性质。

2.讲解线面角的种类，如平面角、平行线面角等。

三、练习（20分钟）
1.提供一系列练习题，让学生巩固线面角的概念和相关性质。

2.指导学生完成相关练习题，并讲解解题思路。

四、拓展（10分钟）
引导学生拓展思维，探讨线面角在其他几何问题中的应用，如平行线、相似三角形等。

五、总结（5分钟）
要求学生总结本节课所学的知识点，并提出问题和疑惑。

六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生所学知识，并要求学生在课后复习相关内容。

教学资源：
1. 教材内容
2. 多媒体教学PPT
3. 练习题集
教学反思：
在教学过程中，应重点讲解线面角的概念及性质，并引导学生通过实际练习题来巩固所学知识。

同时，要引导学生拓展思维，将线面角的知识与其他几何知识进行联系，以提高学生的综合应用能力。

线线角和线面角[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。

[知识要点]：一、线线角1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.2、范围:(0,]3. 向量知识：对异面直线AB和CD(1)；(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角；(3)二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为，3、范围: [0,]。

4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

6、向量知识（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.[例题分析与解答]例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.解：∵，，∴∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴∴又∴∴所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）解法一：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））易知，∴BH//CD.∵G、H分别为ED、AD的中点，∴HG//AE则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，而，，，在ΔBHG中，由余弦定理，得，∴.∴异面直线AE、CD所成角的大小为.解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，（1）证明：∵∴∴∴（2）解：∵∴∴异面直线AE、CD所成角的大小为例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为4，则D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).则，∴，∵.∴∴BE1与DF1所成角的余弦值为点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。

第五单元线和角的认识（教案）-三年级下册数学青岛版（五四学制）一、教学目标1.学生能够了解线的基本概念，能够用不同的方式描述线；2.学生能够认识直线、射线、线段等不同类型的线，并能够进行分类；3.学生能够理解角的基本概念，能够用不同的方式描述角；4.学生能够认识直角、锐角、钝角等不同类型的角，并能够进行分类。

二、教学内容1.线的基本概念及其分类–直线、射线、线段2.角的基本概念及其分类–直角、锐角、钝角三、教学重点1.理解线的基本概念及其分类；2.理解角的基本概念及其分类。

四、教学难点1.理解直线、射线和线段的区别；2.理解什么是直角、锐角和钝角。

五、教学方式1.通过PPT讲解线的基本概念及其分类；2.通过实物展示让学生进行观察、感知，了解线的分类；3.通过图例演示角的基本概念及其分类。

六、教学过程1. 线的基本概念及其分类（1）引入老师出示几张图片，让学生观察、比较，让学生尽可能的描述图中的线条，引导学生认识线的基本概念。

（2）概念讲解介绍直线、射线、线段的概念及其特点，通过图例演示帮助学生理解。

（3）分类讨论让学生通过观察实物及图例进行分类练习，通过小组合作的方式，让学生进行交流、比较，共同归纳出不同种类线的特点。

2. 角的基本概念及其分类（1）引入通过展示几张图，让学生描述图中的角，引导学生认识角的基本概念。

（2）概念讲解介绍直角、锐角、钝角的概念及其特点，通过图例演示帮助学生理解。

（3）分类讨论通过观察实物及图例进行分类练习，通过小组合作的方式，让学生进行交流、比较，共同归纳出不同种类角的特点。

七、教学评价1.通过小组讨论、项目演示的方式，评价学生根据线的分类特点进行分类的能力；2.通过绘制图形、判断角度大小，评价学生对于角的分类和理解的能力。

八、家庭作业针对3-5个年级学生，老师会布置不同难度的作业，巩固学生对线和角的认识。

作业内容如下：1.编写两道线的分类题目，并作答；2.绘制一个包含3种不同角的图片，并标注出每种角的类型和角度大小；3.讲述一个实事例，说明直线、射线、线段在日常生活中的应用场景。

小学数学教案线角
主题: 线与角
教学目标:
1. 学生能够认识线和角的基本概念。

2. 学生能够运用线和角的知识解决简单的几何问题。

3. 学生能够在实际生活中观察并描述线和角的形状。

教学内容:
1. 线的概念及表示方法。

2. 角的概念及表示方法。

3. 不同类型的角: 直角、锐角、钝角等。

教学步骤:
1. 引入：让学生观察周围环境中的线和角，引发学生对线角的兴趣。

2. 探究：通过示意图和实物模型让学生理解线和角的概念，并介绍不同类型的角。

3. 实践：让学生在纸上画出不同类型的角，并尝试测量角的大小。

4. 运用：设计一些几何问题，让学生运用所学知识解决问题。

5. 总结：回顾本节课所学内容，并强调线和角在几何问题中的重要性。

教学方式:
1. 演示讲解
2. 小组合作
3. 图像展示
4. 问题解答
教学资源:
1. 黑板、彩色粉笔
2. 笔记本、铅笔、尺子
3. 实物模型、示意图
评价方式:
1. 参与度和表现评价
2. 课堂练习成绩
3. 学生互评
教学反思：
本节课设计的内容较为基础，对于理解线和角的基本概念起到了很好的引导作用。

在未来的学习中，可以通过更丰富的实例呈现，提高学生的学习兴趣，并进一步拓展角的相关知识。

DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且＝〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证：OAN OAM∠∠＝〔OAN OAM∠∠＝，所以AO为BAC∠的角平分线，所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNA PMA∠∠︒＝＝PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

《用空间向量求解线线角、线面角》
高二数学组
孟文静
《用空间向量求解线线角、线面角》教学设计
二、 新知探究 1.求异面直线所成的角 设两异面直线m ，n 所成的角为θ（θϵ ），它们的方向向量a →，b →所成的角为φ，如下图所示，
则θ与φ存在什么数量关系？
2.求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a →，平面α的法向量为n →，
所求直线与平面所成的角为θ，（θϵ ），a →与n →的夹角为φ，如下图所示，则θ与φ存在什么数量关系？
三、合作探究，问题解决
例1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=√3，求异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.
例2、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为√2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小.
例3、在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.若P A=PD=AB=DC，∠APD=90°，求AP与侧面PBC所成角的余弦值.。

§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法．二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？ 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。

问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角？如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。

三、例题探究例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.四、练一练（时间：5分钟）1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ， 直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A ．cos θ＝μ·v |μ||v| B ．cos θ＝|μ·v||μ||υ| C ．sin θ＝μ·v |μ||v| D ．sin θ＝|μ·v||μ||v|2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ， 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178D ．233．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长相等，则AC 1与面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ） A ．54 B ．104 C ．52 D ．1024．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为 ( ) A.32 B.52 C.105 D.10105．正四棱锥S —ABCD ，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO =OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角为 ．ABCD 1E 1F 1A 1B 1C 1D【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（4）向量法求线线角与线面角一、学习目标1．理解直线与平面所成角的概念．2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 用向量方法求空间中的角 角的分类 向量求法范围异面直线 所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a ，b ， 则cos θ＝ |cos 〈a ，b 〉| ＝ . |a·b ||a |·|b |(0，π2]直线与平面所成的角 设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos |〈a ，n 〉＝ . |a·n ||a ||n |[0，π2]二面角设二面角α—l —β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n 1，n 2，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 1〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.[0，π]设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，b 〉与θ相等或互补，∴cos θ＝|a ·b ||a |·|b |.2．求直线与平面所成的角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉，则sin φ＝|cos θ|＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.二、问题导学问题1：什么叫异面直线所成的角？它的范围是什么？怎样用定义法求它的大小？ 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角？设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。