高考数学定积分与微积分基本定理(理科专用)专题卷

专题06 定积分与微积分基本定理1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【答案】A【解析】联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选:A．2．设f（x）=|x﹣1|，则=（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为，故选D4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为A．B．C．1D．【答案】C【解析】直线与函数的图象围成区域的面积S dx＝∴故选：C5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )A．B．1C．D．【答案】B【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B.6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.7．（）A．B．-1C．D．【答案】C【解析】解：．故选：C．8．，则T的值为A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π，∴，∴．故选A．9．下列计算错误．．的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在A中，，在B中，根据定积分的几何意义，，在C中，，根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.10．定积分的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】表示以为圆心，以为半径的圆，定积分等于该圆的面积的四分之一，定积分，故选A.11．如果曲线与直线所围成的封闭图形的面积为,则以下正确的一个值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】如图，如果，则所围面积为，故，代入，则，矛盾，故A错.如果，则，代入，则，矛盾，故B错.代入，则，矛盾，故C错.代入，则，符合，故D正确.综上，选D.12．一物体以速度v=3t2+2t(v的单位:m/s)做直线运动,则它在t=0 s到t=3 s时间段内的位移是() A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【答案】B【解析】由题意物体在t=0s到t=3s时间段内的位移是：．故选：B．13．由曲线与直线所围成图形的面积等于__________．【答案】【解析】根据定积分的几何意义得到，面积S＝(e x＋x)d x＝故答案为：14．___________【答案】【解析】表示半圆夹在直线部分的面积S。

考点测试 17定积分与微积分基本定理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1．认识定积分的实质背景，认识定积分的基本思想，认识定积分的观点2．认识微积分基本定理的含义一、基础小题1．计算：1( e x＋ 2x) d x＝ ()A．1B． e－1 C． eD．e＋1答案C分析1( e x＋ 2x) d x＝ ( e x＋x2)10 ＝e．应选C．a 212．若x＋x d x＝3＋ ln2(a>1)，则 a 的值是 () 1A．2B．3 C．4 D．6答案A分析a2x＋1d x＝ (x 2＋ln x)a1＝ a2＋ln a －1＝ 3＋ln 2 ，即 a＝ 2．x13．设 f(x) ＝( e为自然对数的底数) ，则e f(x) d x＝ ()0 4224A．－3B．－3C．3D．3答案D分析依题意得，e f(x)2d x＋11314d x＝1xe d x＝x 10＋ln x e1＝＋1＝．x3330014．已知函数y＝ f(x)的图象为以下图的折线ABC，则1 －1[(x＋ 1)f(x)]d x＝()A．2B．－2C．1D．－1答案D分析由图易知 f(x)＝因此1－ 1[(x＋ 1)f(x)]d x＝0－1(x＋1)(－ x － 1)d x＋10(x＋1)(x－ 1) d x ＝0 －2－1) d x＋10(x2132－ x013121( － x － 2x－ 1) d x＝－ x－x－ 1＋ x － x10＝－－＝－ 1，应选D．3333 5．设 f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[ － a ，a] 上的定积分为 a －a f(x) d x，由定积分的几何意义和性质，得 a －af(x)d x可表示为()．－a－ f(x)x．2 0－ f(x)d xA a dB aC．1a f(x)d x D．0－ a f(x) d x2答案B分析偶函数的图象对于y 轴对称，故a－f(x)x 对应的几何地区对于y 轴对称，a d因此其可表示为 2 0－a f(x) d x，应选B．6．设函数 f(x)＝ ax 2＋b(a ≠0) ，若3f ( x)d x＝3f ( x0)，则 x0等于()A．±1B．2C．±3D． 2答案C分析3(x)d x＝3(ax2＋)d＝1a x3＋ bx 30＝9＋3，∴9a＋3b＝3(ax02＋b)，即x02f b x3 a b00＝3， x0＝± 3，应选C．7．给出以下命题：①a d x＝b d t ＝ b－ a(a，b为常数，且a<b) ；b a②0－11－x2d x＝11－x2d x＝π4；③a－ af ( x)d x＝2a f ( x)d x( a>0)．此中正确命题的个数为()A．0B．1 C．2 D．3答案B分析因为a d x＝ a－ b ，b d t＝ b － a，因此①错误；由定积分的几何意义知，0 －b a2121π1 1－x d x和1－x d x都表示半径为 1 的圆的4面积，因此都等于 4 ，因此②正确；只有当函数 f(x)为偶函数时，才有a－af (x)dx＝ 2a f(x)d，因此③错误．应选．x B8．由抛物线y＝－ x2＋ 4x－ 3 及其在点M(0，－ 3) 和点 N(3 ，0) 处的两条切线所围成的图形的面积为 ()997A．4B．2C．4D．2答案A2＝4x － 3；y′x＝ 3＝－ 2，在 N 点处的切线方程为y＝－ 2x＋ 6．又两切线交点的横坐标为y x3302＋ 4x－ 3)]d x＋2－ 3)]d x＝2，故所求面积S＝∫2[4x－ 3－ ( － x[ － 2x＋ 6－ ( － x ＋ 4x32213313239＝∫20x d x＋(x－ 6x＋9) d x＝3x20＋3x － 3x＋ 9x32＝4．9．曲线 y＝sin x， y＝x 与直线 x＝ 0， x＝π所围成的平面地区的面积为() cos2ππ( sin x－cos x) d x A．∫2 ( sin x－ cosx) dx B．2∫4．2∫π0(cos x－sin x)d x．∫π0(x－sin x) xC4D2cos d 答案C分析当 x∈ 0，π时，x≥sinx，当 x∈ππ时，sin x>cosx，故所求平面区，4cos42ππ ππ域的面积为∫4 0cos x－ sin x d x＋∫24 ( sin x －cos x) d x ，数形结合知∫ 4 0( cos x －sin x) d x＝∫π π( sin x－cos x) d x．应选C．245510．一列火车在平直的铁轨上行驶，因为碰到紧迫状况，火车以速度 v(t)＝ 5－ t ＋1＋t (t 的单位：s， v 的单位：m/ s) 紧迫刹车至停止．在此时期火车持续行驶的距离是()． 55ln 10．55ln11mA mBC．(12＋55ln 7)mD．(12＋55ln 6)m答案B55s；行驶的距离分析令 5－ t ＋1＋t＝ 0，注意到 t>0 ，得 t ＝ 10，即经过的时间为 10105512s＝∫0 5－ t ＋t＋1d t ＝ 5t－2t＋55ln t ＋ 1 100＝55ln 11，即紧迫刹车后火车运转的路程为 55ln 11 m．11．∫答案分析1＝x－2π0sin2xd x＝________．22π14－2∫π0sin2xπ1－cos xd x＝∫0d x22221xπ0＝π－1．2sin24212．由曲线y＝ 2－x2，直线 y＝ x 及 x 轴所围成的关闭图形( 图中的暗影部分) 的面积是________．答案432＋76分析把暗影部分分红两部分(y轴左边部分和右边部分) 求面积．易得S＝0－2(2 212x3x3x22311－ x )d x＋(2－ x－ x)d x＝2x－3 0－ 2＋ 2x－3－2 10＝2 2－3＋2－3－2＝4273＋6．二、高考小题13．(2014 ·山东高考 ) 直线 y ＝4x 与曲线 y ＝ x 3 在第一象限内围成的关闭图形的面积为()A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4答案D分析 由得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 或 x ＝－ 2( 舍 ) ．∴S ＝ 2(4x － x 3) d x ＝ 2x 2－1x 4 20＝ 4．414．(2014 ·湖北高考 ) 若函数 f(x) ，g(x) 知足 1－ 1f(x)g(x)d x ＝ 0，则称 f(x) ，g(x)为区间 [ － 1， 1] 上的一组正交函数．给出三组函数：11①f(x) ＝ sin 2x ， g(x) ＝ cos 2x ；② f(x)＝ x ＋1， g(x) ＝ x － 1；③ f(x) ＝ x ， g(x) ＝x 2．此中为区间 [ － 1， 1] 上的正交函数的组数是 ()A ． 0B ．1C ．2D ．3答案 C分析11 1 1－ 1f(x)g(x) d x ＝ 0，由①得 f(x)g(x) ＝ sin x cosx ＝ sin x ，是奇函数，因此2 22因此①为区间 [ － 1，1] 上的正交函数； 由②得 f(x)g(x)＝ x 2 －1，因此1－ 1f(x)g(x) d x ＝ 13－1(x 2－ 1) x ＝ x－ x 1－1＝－ 4 ，因此②不是区间 [ － 1，1] 上的正交函数； 由③得 f(x)g(x)d 3 3＝x 3，是奇函数， 因此1－1f(x)g(x)x ＝ 0，因此③为区间 [ －1，1] 上的正交函数． 应选 ．dC15．(2014 ·湖南高考 ) 已知函数 f(x) ＝sin (x － φ ) ，且∫ 2π 0 ( ) x ＝ 0，则函数 f(x)3 f x d的图象的一条对称轴是( )5π7πA ． x ＝ 6B ． x ＝ 12ππC ． x ＝ 3D ． x ＝ 6答案A分析由∫2πd x ＝∫ 2π2π 0＝－ cos 2π3 f(x) 3 sin (x －φ ) d x ＝－ cos (x － φ ) 3 3－ φ ＋33cos φ ＝ 0，得 2cos φ＝ 2 sin φ ．进而有 tan φ ＝ 3，则 φ ＝ n π ＋ π3 ， n ∈ Z ，π 进而有 f ( x ) ＝ sinx － n π－3＝ ( － 1) n·sin x －π，n ∈Z ． 3π π 5π令 x － 3 ＝ k π ＋ 2 ， k ∈ Z ，得 x ＝ k π ＋ 6 ， k ∈Z ，即 f ( x ) 的图象的对称轴是 x ＝k π＋5π， k ∈Z ．应选 A ．616．(2015 ·天津高考 ) 曲线 y ＝ x 2 与直线 y ＝ x 所围成的关闭图形的面积为________．1 答案6解 析曲 线 y ＝ x 2 与 直 线 y ＝ x 所 围 成 的 封 闭 图 形 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 由{ y ＝ x ， y ＝ x 2解得 x ＝ 0 或 x ＝ 1，因此 S ＝2) d x ＝1 21 3 1 1 11(x － x2x － x10＝－ ＝ ．323 617．(2015 ·陕西高考 ) 如图，一横截面为等腰梯形的沟渠，因泥沙堆积，致使沟渠截面界限呈抛物线型 ( 图中虚线所示 ) ，则原始的最大流量与目前最大流量的比值为________．6 答案5分析 成立直角坐标系，如图．过 B 作 BE ⊥x 轴于点 E ，∵∠ BAE ＝45°， BE ＝ 2，∴ AE ＝ 2．又 OE ＝ 5，∴ A(3， 0) ， B(5， 2) ．设抛物线的方程为 x 2＝ 2py(p>0) ，代入点 B 的坐标，得 p ＝ 254 ，故抛物线的方程为y ＝2x 2 ．25进而曲边三角形OEB 的面积为5 2x 2 x ＝ 2x 350＝10．25 d7531又 S △ABE ＝ 2×2×2＝ 2，4故曲边三角形 OAB 的面积为 3，8 进而图中暗影部分的面积为．3又易知等腰梯形ABCD 的面积为6＋10×2＝ 16，2则原始的最大流量与目前最大流量的比值为1668＝ 5．16－318．(2014 ·辽宁高考 ) 正方形的四个极点A( － 1，－1) ，B(1 ，－ 1) ，C(1，1) ，D(－ 1，1) 分别在抛物线y ＝－ x 2 和y ＝ x 2 上，以下图．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中暗影地区的概率是________．2答案38分析由对称性可知 S 暗影 ＝ S 正方形 ABCD － 422－4×13＝ 8，因此所求概率为 3 1x d x ＝ 2x 10＝33 42 ．3三、模拟小题19．(2018 ·安徽淮南一模) 求曲线y ＝ x 2 与 y ＝ x 所围成的关闭图形的面积S ，正确的选项是()A ． S ＝ 1(x 2－ x) d xB ． S ＝ 1(x － x 2) d xC ． S ＝ 1(y 2－ y) d yD ． S ＝ 1(y － y) d y答案 B分析两函数图象的交点坐标是(0 ，0) ，(1 ，1) ，故对 x 积分时，积分上限是1，下限 是 0，因为在 [0 ， 1] 上， x ≥x 2，故曲线 y ＝ x2与 y ＝x 所围成的关闭图形的面积S ＝ 1(x －x 2) x( 同理可知对 y 积分时， S ＝ 1(y － y) dy) ．de13－ e20．(2018 ·湖北孝感模拟 ) 已知x － m d x ＝ 2 ，则 m 的值为 ()1e －1 11A ． 4eB ． 2C ．－ 2D ．－ 1答案 B分析由微积分基本定理得e1lnx － mx) 1＝ m ＋ 1－m ，联合题意得 m ＋ 1－－ m x ＝ (x d e e13－ e1m e ＝ 2 ，解得 m ＝ 2．应选 B ．21．(2018 ·河南郑州一模 ) 汽车以 v ＝ (3t ＋ 2)/ 做变速运动时，在第 1s 至第 2sm s之间的 1 s 内经过的行程是 ()11 13A ． 5 mB ． mC ． 6 mD ． m22答案 D分析依据题意，汽车以 v ＝ (3t ＋ 2) m / s 做变速运动时，汽车在第1 s 至第2 s 之间的 1s 内经过的行程s ＝ 2(3t ＋ 2) t ＝ 3t 2 ＋ 2t21 ＝ 13 ，应选 ．1d 2 2 m D22．(2018 ·山西联考 ) 函数 y ＝ x 2－ 1 的图象以下图，则暗影部分的面积是( )A ． 1(x 2－ 1) d xB ． 2(x 2－ 1) d x．2|x2－ 1|d x C．1(x 2－ 1)d x＋2(1 －x2)dxD01答案C分析所求面积为1(1 － x2) d x＋2(x 2－ 1) d x＝012|x 2－1| d x．23．(2018 ·河北五校联考 ) 若 f(x) ＝f[f(1)]＝ 1，则 a 的值为 ()． 1． 2．－ 1．－ 2A B C D答案A分析因为 f(1) ＝lg 1＝0，f(0)＝a3t2d t＝t3a0＝ a3，因此由 f [ f (1)]＝ 1 得：a3＝ 1，a＝1，应选A．24．(2018 ·宁夏质检 ) 已知1＋1＝ 22，若φ ∈0，π，则tanφ ( x2－ 2x)d x＝sin φcos φ2－1()1122A．3 B ．－3 C．3 D ．－3答案C11π分析由sin φ＋cos φ＝22?sin φ＋ cos φ＝ 2 2sin φ ·cos φ ?2sin φ＋ 4＝ππtan φ2122sin2 φ，因为φ ∈ 0，2，因此φ ＝4，因此 tan φ＝1，故－ 1( x－2x)d x＝( x－－ 1x3222x)d x＝3－x1－ 1＝3．25．(2018 ·陕西模拟 )1(2 x＋1－x2)d x＝ ________．π答案1＋4分析1 1－x2d x表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的14，∴1 1－x2d x＝π4．又∵12x d x＝x210＝ 1，∴1(2x＋ 1－2)d x＝12 d ＋11－x2d ＝ 1＋π．000426．(2018 ·河北衡水中学六调) 曲线y＝x3－ 3x和直线y＝x所围成的图形的面积是________．答案8分析由得交点的坐标分别为(0 ，0) ，(2 ，2)，( － 2，－ 2) ，作出草图如图，可知曲线y ＝x3－ 3x和直线y＝x围成图形的面积＝ 22[x－ (x3－ 3x)]d x＝ 22 (4x－S003)dx ＝ 22x2－1420＝2×(8 － 4) ＝ 8．x4x一、高考大题本考点在近三年高考取未波及本题型．二、模拟大题1．(2018 ·云南月考) 用min{ a，b} 表示a， b两个数中的较小的数，设 f ( x)＝min{ x2，1x}，那么由函数y＝f ( x)的图象、 x 轴、直线 x＝2和直线 x＝4所围成的关闭图形的面积是多少？解以下图，所求图形的面积为暗影部分的面积，即所求的面积S ＝ x 2d x ＋131 23 7 14 119 x d x ＝ 3x 12＋ 3x 241＝24＋ 3 ＝ 24 ．2．(2018 ·甘肃天水月考 ) 在区间 [0 ， 1] 上给定曲线 y ＝ x 2．试在此区间内确立点t 的值，使图中的暗影部分的面积S 1 与 S 2 之和最小，并求最小值．解 面积 S 1 等于边长为 t 与 t 2 的矩形面积去掉曲线 y ＝x 2 与 x 轴、直线 x ＝ t 所围成的面积，即 S 1＝t · t 2－S 2 的面积等于曲线 为 t 2，1－ t ， t x 2d x ＝ 2t 3． 3 0 y ＝ x 2 与 x 轴， x ＝ t ， x ＝ 1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别1 22 23 2 1 即 S 2＝ x d x － t (1 － t ) ＝ 3t －t ＋ 3． t因此暗影部分面积 1 2 43 2 1 S ＝ S ＋S ＝ 3t － t ＋ 3(0 ≤ t ≤1) ． 2 － 11 令 S ′(t ) ＝ 4t － 2t ＝ 4t t2 ＝ 0 时，得 t ＝0 或 t ＝ 2．1 1 1 2t ＝ 0 时， S ＝ 3； t ＝ 2时， S ＝ 4； t ＝1 时， S ＝ 3． 因此当 t 1 S 最小，且最小值为 1 ．＝ 时， 4 2。

[第16讲 定积分与微积分基本定理](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1 B .π28－1C .π28 D .π28＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x<1，1，1<x≤2，则定积分⎠⎛02f(x)d x ＝( )A .83B ．2C .43D .134．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .12 C ．1 D ．2能力提升5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .7127．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J8．若y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．09．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝________．10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________．11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．(13分)计算下列定积分：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛01()e x －e －x 2d x.难点突破13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．课时作业(十六)【基础热身】1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1. 2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得． 3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x3⎪⎪⎪ )10＋x⎪⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积A ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－0＝12.【能力提升】5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝)⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )π3－π3⎪⎪⎪)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3， 故选D .6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k＝100，则W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x2⎪⎪⎪ )0.060＝0.18(J )．8．B [解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin 2t d t ＝(－cos t) ⎪⎪⎪ )x 0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2t⎪⎪⎪ )x 0＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛011－x 2d x ＋2⎠⎛013x 2d x ＝8π×π4＋2×x3⎪⎪⎪ )10＝4. 10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ， x≤0得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋a 3， x≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3＝1，∴a＝1. 11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x＝23(x ＋1)3⎪⎪⎪ )1－1＝163.12．解：(1)⎠⎛3π1－cos 2x d x ＝⎠⎛3π2sin 2x d x ＝2⎠⎛3π⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π3πs in x d x＝－2cos x⎪⎪⎪ )π0＋2cos x⎪⎪⎪ )2ππ－2cos x⎪⎪⎪ )3π2π＝22＋22＋22＝6 2.(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10 ＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x d x＝⎠⎛12x d x －2⎠⎛121d x ＋⎠⎛121xd x ＝12x 2⎪⎪⎪ )21－2x⎪⎪⎪ )21＋ln x⎪⎪⎪ )21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－12. (4)⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝⎠⎛01(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x)⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2. 【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2－1)，设切点Q 的坐标为(x ，x 2)，由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x2a －x＝2x ，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)S ＝⎠⎛a －1a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠⎛aa ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。

高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A .B . 3C .D .2. （2分）由直线，曲线及轴所围成的图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）若则S1S2S3的大小关系为（）A . S1<S2<S3B . S2<S1<S3C . S2<S3<S1D . S3<S2<S14. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·深圳月考) 设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（）A . ln2﹣B . ﹣ln2C . 1﹣ln2D . ln2﹣17. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A . 2B . 1C .8. （2分）如图，函数y=f（x）在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为（）A . f（x）dxB . f（x）dx﹣ f（x）dxC . ﹣f（x）dx﹣ f（x）dxD . ﹣f（x）dx+ f（x）dx9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）由曲线，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A .B . 4D . 611. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关12. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高二下·海淀期中) 如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．14. （1分）(2017·衡阳模拟) 直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________．15. （1分）的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．17. （1分）曲线y=+2x+2e2x ，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是________18. （1分） (2017高二下·宜昌期末) 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________．三、解答题 (共3题；共15分)19. （5分）求抛物线y2=2x与直线2x+y﹣2=0围成的平面图形的面积．20. （5分） (2016高二下·辽宁期中) 如图所示，抛物线y=1﹣x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元．（1）求等待开垦土地的面积；（2）求等待开垦土地的面积；（3）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．（4）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．21. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共15分)19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略20-4、答案：略21-1、答案：略。

吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·西安期末) 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A . 3﹣1B . 4﹣2C .D . 24. （2分）由直线，曲线及轴所围图形的面积为（）A . 3B . 7C .D .5. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）A . 3B .C .D .7. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A . 2B . 1C .D .8. （2分）由直线，曲线及x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）抛物线与直线y=2x围成的封闭图形的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关12. （2分）由曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________14. （1分）以曲线为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为________．15. （1分） (2015高二下·福州期中) 曲线y= 和直线y=x围成的图形面积是________．16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．17. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 曲线y=x2 ， x=0，y=1，所围成的图形的面积为________．18. （1分）（x2+ ）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为________．三、解答题 (共3题；共15分)19. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．20. （5分）求曲线y＝x2 ，直线y＝x ， y＝3x围成的图形的面积．21. （5分） (2016高二下·抚州期中) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共15分) 19-1、20-1、21-1、21-2、。

专练15 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A .－1B ．－13C ．13D ．13．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5.⎠⎛－11(1－x 2＋sin x)d x ＝( )A ．π4B ．π2C ．πD ．π2＋26．设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A .－1B ．0C ．1D ．2567．设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1），x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B ．π2＋3C ．π4＋43D ．π4＋38．如图是函数y ＝cos (2x －5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )A ．34B ．54C ．32D ．32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝e x，则⎠⎛01[f′(x)＋2x]d x________．11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________.13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的平面图形的面积为________．14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．15．[2022·宁夏石嘴山一模]⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝________．16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是________．专练15 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |21 ＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝(13x 2＋2mx)|10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)， ∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20 ＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20 ＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20 ＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛－11(1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛－11sin x d x ＝0，又⎠⎛－111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛－111－x 2d x＝π2， ∴⎠⎛－11( 1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x |π0 －sin x |π0 ＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛－12f(x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋(13x 3－x)|21 ＝π2＋43.故选A .8．B S ＝－∫π60cos (2x －5π6)d x ＋∫2π3π6cos (2x －5π6)d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （2x －5π6）|π60＋[12sin (2x －5π6)]|2π3π6＝－[12sin (－π2)－12sin (－5π6)]＋[12sin π2－12sin (－π2)]＝14＋1＝54.故选B .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0 ＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．e解析：因为f(x)＝e x， 所以错误!错误!0＝e ＋1－1＝e . 11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1，1). 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)|10 ＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得 －⎠⎛0－a f(x)d x ＝274，即－⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x ＝274，即－(14x 4＋a 3x 3)－a 0 ＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a3×（－a ）3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3. 13.163解析：由定积分知 S ＝⎠⎛4x －(x －2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|1＝(23×8－8＋8)－0＝163. 14.13解析：由题可知矩形面积为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝2x(0≤x≤1)， 抛物线及BD 围成的面积为2(1－⎠⎛01x d x)＝23，点落在阴影部分的概率为232＝13.15．e －1e＋1解析：⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝⎠⎛－1(e x－x)d x ＋⎠⎛01(e x＋x)d x ＝(e x－x 22)|0－1 ＋(e x ＋x 22)|10 ＝(e－0)[e －1－（－1）22]＋(e 1＋122)－[e 0＋0]＝1－1e ＋12＋e ＋12－1＝e －1e ＋1.16.43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设点P(x ，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2－z ， 因为BC⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ， 所以，BC⊥BP，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP →|＝（x －2）2＋z 2， 由已知可得（z －2）2＋z 2＝2－z ，化简可得z ＝x －x24，当x ＝2时，z ＝1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2，0，1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是⎠⎛02(x －x 24)d x ＝(12x 2－x 312)|20 ＝43.。

第13讲 定积分与微积分基本定理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题 1.⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(ex＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 答案 C2．(2014·济南质检)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32D. 3解析 由题意知S ＝＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3.答案 D3．(2014·广州模拟)设f (x )＝⎠⎛0x sin t d t ，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2的值等于 ( )．A ．－1B ．1C ．－cos 1D ．1－cos 1解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝＝1，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2＝f (1)＝⎠⎛01sin t d t ＝(－cos t )⎪⎪⎪10＝1－cos 1.答案 D4.如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )．A.23B.13C.12D.14解析 由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.答案 D5．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )．A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析 力F (x )所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J)．答案 B 二、填空题6．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围是________．解析 ∵⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝32k ＋1， ∴2≤32k ＋1≤4，∴23≤k ≤2.答案 ⎣⎡⎦⎤23，27.如图所示，是一个质点做直线运动的v －t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________ m.解析 由题图易知v (t )＝⎩⎨⎧34t ，0≤t ≤4，9－32t ，4<t ≤6.∴s ＝⎠⎛06v (t )d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46⎝⎛⎭⎫9－32t d t ＝38t 2⎪⎪⎪ 40＋⎝⎛⎭⎫9t －34t 2⎪⎪⎪64＝6＋3＝9.答案 98．(2013·江西卷改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________． 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73， S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)>e>73>ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 S 2＜S 1＜S 3 三、解答题9．已知f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求⎠⎛03f (x )d x 的值．解 ∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3.∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x ⎪⎪⎪30＝－18. 10．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3,9)，因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝x 2⎪⎪⎪ 1＋⎝⎛⎭⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝⎛⎭⎫32×32－13×33－⎝⎛⎭⎫32×12－13×13 ＝133.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A2．(2014·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是A.12B.16C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎛01(x －x 2)d x＝＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13.答案 D 二、填空题3．(2014·广州调研)若f (x )＝则f (2 014)＝________.解析 当x >0时，f (x )＝f (x －4)，则f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (2 014)＝f (2)＝f (－2)，又∵＝13，∴f (2 014)＝f (－2)＝2－2＋13＝712.答案712三、解答题4.如图所示，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S . 解 (1)由f (x )＝4x －8，∴f ′(x )＝1x －2. 又点A (6,4)为切点，∴f ′(6)＝12，因此切线方程为y －4＝12(x －6)，即x －2y ＋2＝0.(2)令f (x )＝0，则x ＝2，即点C (2,0)．在x －2y ＋2＝0中，令y ＝0，则x ＝－2，∴点B (－2,0)． 故S ＝⎠⎛6－2⎝⎛⎭⎫12x ＋1d x －⎠⎛264x －8d x。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x;(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

杭州市高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）曲线与坐标轴围成的面积是（）A . 4B .C . 3D . 23. （2分）由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（）A .B .C .D .4. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A . 2B . 1C .D .5. （2分） (2016高二下·宜春期末) 由曲线y= ，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A .B . 4C .D . 66. （2分）直线y=2x+4与抛物线所围成封闭图形的面积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·陆川月考) 直线y＝4x与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A . 2B . 4C .D .9. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关10. （2分） (2018高三上·晋江期中) 曲线，直线及x轴所围成的图形的面积为A .B .C .D .11. （2分）汽车以速度做直线运动时，在第1s到第2s间的1s内经过的路程为（）A . 5mB . 6.5mC . 8mD . 6m12. （2分）（1+x+x2）（x﹣）6的展开式中常数项为m，则函数y=﹣x2与y=mx的图象所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）由曲线y=sinx﹣ cosx与直线y=0，x= ，x=π所围成的图形的面积S是________．14. （1分）(2018·河北模拟) 定积分________．15. （1分）若（x+ ）n的展开式所有的系数之和为81，则直线y=nx与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为________．16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．17. （1分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________18. （1分） (2019高二下·荆门期末) 关于曲线C：，给出下列五个命题：①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C关于点对称；③曲线C上的点到原点距离的最小值为；④当时，曲线C上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 .上述命题中，为真命题的是________.（将所有真命题的编号填在横线上）三、解答题 (共3题；共15分)19. （5分）曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1 ,点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．20. （5分） (2020高二上·黄陵期末) 计算曲线与直线所围图形的面积．21. （5分）请按要求完成下列两题．（Ⅰ）求由直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积．（Ⅱ）求由直线y=x﹣4，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共15分) 19-1、20-1、21-1、。

备考2020年高考数学一轮专题：第15讲定积分与微积分基本定理（理科）一、选择题（共11题；共22分）1. ( 2分) 定积分的值为( )A. B. C. D.2. ( 2分) 设f（x）=2|x|，则f（x）dx=（）A. B. C. D.3. ( 2分) 已知（3x2+k）dx=16，则k=（）A. 1B. 2C. 3D. 44. ( 2分)的值是（）A. B. C. D.5. ( 2分) 下列值等于1的积分是（）A. B.C. D.6. ( 2分) 设曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是（）A. S=（x3﹣x）dxB. S=（x﹣x3）dxC. S=|x3﹣x|dxD. S=2（x﹣x3）dx7. ( 2分)( )A. 1B.C.D.8. ( 2分) 计算定积分（1+）dx=（）A. e﹣1B. eC. e+1D. 1+9. ( 2分)等于（）A. B. C. 1 D.10. ( 2分)(sinx-cosx)dx=（）A. 2B. 4C. πD. 2π11. ( 2分) a=3x2dx，函数f（x）=2e x+3x﹣a的零点所在的区间是（）A. （﹣2，﹣1）B. （﹣1，0）C. （0，1）D. （1，2）二、填空题（共7题；共7分）12. ( 1分) a= xdx，分别以3a，2a，a，为长，宽，高的长方体表面积是________．13. ( 1分) 已知函数f（x）为一次函数，其图象经过点（2，4），且f（x）dx=3，则函数f（x）的解析式为________．14. ( 1分) 已知2 （k+1）dx≤4，则实数k的取值范围为________ ．15. ( 1分) 若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是________ ．16. ( 1分) 设，则=________．17. ( 1分)（3x2+k）dx=10，则k=________．18. ( 1分) 在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为________．三、解答题（共2题；共10分）19. ( 5分) 已知F（x）= (t2+2t-8)dt，（x＞0）．（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．20. ( 5分) 求曲线y＝x2，直线y＝x ，y＝3x围成的图形的面积．答案解析部分一、选择题 1.【答案】C【考点】微积分基本定理 【解析】【解答】解：因为 ,所以 ，故答案为：C. 【分析】先求导数，再利用微积分基本定理即可求值. 2.【答案】 C【考点】微积分基本定理【解析】【解答】解：∵f （x ）=2|x|，则f （x ）dx=2﹣x dx+2x dx=﹣2﹣x •+2x •=﹣（1﹣4）+（16﹣1）=（3+15）=，故选：C ．【分析】原积分转化为=2﹣xdx+2x dx ，再根据定积分的计算法则计算即可．3.【答案】 D【考点】微积分基本定理【解析】【解答】解：由积分基本定理可得，（3x 2+k ）dx==23+2k=16∴k=4 故选D【分析】先求出被积函数，然后直接利用积分基本定理即可求解 4.【答案】A【考点】定积分，微积分基本定理【解析】【解答】解：=，设，则（x ﹣1）2+y 2=1，（y≥0），表示为圆心在（1，0），半径为1的上半圆的，所以由积分的几何意义可知 dx=×π×12=，而，所以= ．故选：A．【分析】根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可．5.【答案】C【考点】定积分的简单应用【解析】【解答】解：选项A， xdx= x2 = ，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（ x2+x） = +1= ，不满足题意；选项C， 1dx=x =1﹣0=1，满足题意；选项D， dx= x = ﹣0= ，不满足题意；故选C．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．6.【答案】D【考点】定积分的简单应用【解析】【解答】解：∵曲线y=x3和曲线y=x的交点为A（1，1）、原点O和B（﹣1，﹣1）∴由定积分的几何意义，可得所求图形的面积为S=2（x﹣x3）dx．故选：D．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数x3﹣x在区间[0，1]上的定积分的值的2倍，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．7.【答案】B【考点】定积分的简单应用【解析】【分析】函数的图像是圆心为，半径为1的圆的上半部分.由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的，也即是，故选B.【点评】简单题，利用定积分的几何意义计算定积分。