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专题讲座（1）——体积与表面积例1. 一种长方体木块，长5 cm，宽3 cm，高2 cm，用3个这样的长方体木块拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？解析：首先要知道把3个这样的木块怎样拼表面积才能最大，这里同学们动手拼一拼，结论可以一目了然。
要想拼出表面积最大的长方体，必须使拼接部分的面积最小，因此用宽×高的面拼接。
拼接后的长方体的表面积比原来的3个长方体表面积减少了4个宽×高的面积，所以得到的长方体表面积最大是：答：这个长方体的表面积最大是。
想一想：用3个这样的长方体木块拼成一个表面积最小的长方体，如何拼接？这个长方体的表面积是多少平方厘米？解析：首先同学们动手拼一拼，要想拼出表面积最小的长方体，必须使拼接部分的面积最大，因此用长×宽的面拼接。
拼接后的长方体比原来的3个长方体表面积减少了4个长×宽的面积，所以得到的长方体的表面积最小是：例2. 用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。
（如图）解析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍，从而可以得出：长＋宽＝（515－5）÷2＝255（cm），同样可以得出：长＋高＝（445－5）÷2＝220（cm）宽＋高＝（235－5）÷2＝115（cm）长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷2＝295（cm）长：295－115＝180（cm）宽：295－220＝75（cm）高：295－255＝40（cm）礼盒体积：答：这个礼盒的体积是540立方分米。
例3. 现在有空的长方体容器A和水深24cm的长方体容器B，要将容器B中的水倒一部分给A，使两容器内水的高度相同，这时水的高度是多少厘米？解析：可以这样想：容器A的底面积为40×30＝1200（）容器B的底面积为30×20＝600（）容器A的底面积是容器B的2倍：1200÷600＝2将容器B的水倒给A，容器A的水每上升1cm，容器B的水就要下降2厘米，当两个容器内水的高度相同时，容器B水的高度是：也可以这样想：把A、B两个容器拼在一起，形成一个底面长是40＋20＝60（cm）宽是30cm的一个大容器，它的底面积是60×30＝1800（）把容器B的水全部倒入到这个大容器中，大容器中水的高度是所求水面的高度：24×30×20÷1800＝8（cm）答：这时水的高度是8厘米。
长方体正方体的表面积和体积练习卷答案1. 长方体表面积的求法：长方体的表面积= （长×宽+长×高+宽×高）×2 。
如果用字母a、b、h分别表示长方体的长、宽、高。
S表示它的表面积，则S= （ab+ac+bc）×2。
长方体的体积= 长×宽×高。
字母表示： V=abc2. 正方体表面积的求法：正方体的表面积=棱长×棱长×6 。
如果用字母a表示正方体的棱长，S表示正方体的表面积，则正方体的表面积计算公式是：S= 6a 。
正方体的体积= 棱长×棱长×棱长。
字母表示：s=a*a*a 。
1、一个长方体有（6 ）个面,他们一般都是（长方）形，也有可能（ 2 ）个面是正方形.2、把长方体放在桌面上，最多可以看到（3 ）个面。
3、一个长方体，长12厘米，宽和高都是8厘米，这个长方体的表面积是（512平方厘米）。
4、一个长方体，长8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，这个长方体的表面积是（184平方厘米），棱长之和是（ 68厘米）。
5、一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是（ 7厘米），一个面的面积是（49平方厘米），表面积是（294平方厘米）。
6、把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（14平方厘米），比原来3个正方体表面积之和减少了（4平方厘米）。
7、把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（56平方分米），体积是（24立方分米）。
8、用棱长为1厘米的小正方体木块拼成一个较大的正方体，至少要（ 8 ）个这样的小木块才能拼成一个正方体。
9、一个正方体的棱长如果扩大2倍，那么表面积扩大（ 4）倍，体积扩大（8 ）倍。
10、一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（10 ）个面.11、有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高（ 3 ）厘米的长方体。
12、一个长方体的长宽高分别是a ,b, h，如果高增高3米，那么表面积比原来增加（）平方米，体积增加（）立方米。
第27讲表面积与体积（一）一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
二、精讲精练【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--1②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
图27--3练习1：1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？图27—4【例题2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。
第27周表面积、体积（一)专题简析小学阶段所学的立体图形主要有四种：长方体、正方体、圆柱和圆锥。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式做适当的变形，养成“数与形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
(2)把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于拼合面积的两倍。
(3)若把几个形状相同的长方体拼成一个表面积最大；的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个形状相 ;同的长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
王牌例题1从一个棱长为10 cm的正方体木块上挖去一个长10 cm、宽2 cm、高2 cm的小长方体，剩下部分的表面积是多少？【思路导航】这是一道开放题，方法有多种，先求出原来正方体的表面积为102×6 = 600(cm2)。
①按图27—1所示，沿一条棱挖，剩下部分的表面积为：600 — 22× 2 = 592(cm2)②按图27—2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为：600 + 10×2×2—22×2=632(cm2)③按图27—3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为：600+10×2×4-22×2=672(cm2)举一反三11. 从一个长10 cm、宽6 cm、高5 cm的长方体木块上挖去一个棱长为2 cm的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2. 把一个长为12 dm、宽为6 dm、高为9 dm的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3. 在一个棱长是4 cm的正方体上挖一个棱长是1 cm的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？王牌例题2把19个棱长为3 cm的正方体重叠起来，如图27 —4所示，拼成一个立体图形。
《不规则立体图形的表面积和体积（一）》配套练习题一、解答题1、如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？2、在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？3、从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）4、如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．5、如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．6、用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？7、有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成如图的形状，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．8、右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积（π＝3.14）．9、用铁皮做一个如图（单位：cm）所示的管道工件，需用铁皮多少平方厘米（π＝3.14）？10、如图所示，三个圆柱堆放在一起，求这个立体图形的表面积和体积（单位：米）（π＝3.14）．答案部分一、解答题1、【正确答案】600【答案解析】我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10×10×6＝600．【答疑编号10296776】2、【正确答案】15000【答案解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50×50×6＝15000（平方厘米）．【答疑编号10296777】3、【正确答案】592平方厘米；632平方厘米；648平方厘米；672平方厘米【答案解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【答疑编号10296778】4、【正确答案】214平方分米【答案解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5×5×2＝50（平方分米）；侧面：5×5×4＝100（平方分米），4×4×4＝64（平方分米）．这个立体图形的表面积为：50＋100＋64＝214（平方分米）．【答疑编号10296779】5、【正确答案】194【答案解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：（12＋22＋32＋52）×6＝39×6＝234（平方厘米），重叠部分的面积为：12×3＋（22×2＋12）＋（32＋22＋12）＋（32＋22＋12）＝3＋9＋14＋14＝40（平方厘米），所以，所得到的多面体的表面积为：234－40＝194（平方厘米）．（法2）三视图法．从前后面观察到的面积为52＋32＋22＝38平方厘米,从左右两个面观察到的面积为52＋32＝34平方厘米，从上下能观察到的面积为52＝25平方厘米．表面积为（38＋34＋25）×2＝194（平方厘米）．【答疑编号10296780】6、【正确答案】46【答案解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于（9＋7＋7）×2＝46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．【答疑编号10296781】7、【正确答案】56【答案解析】4×4＋（1＋2＋3＋4）×4＝56（平方米）．【答疑编号10296782】8、【正确答案】11768cm2，89120cm3【答案解析】表面积＝40×40×5＋3.14×40×40÷2＋3.14×（40÷2）2÷2×2＝8000＋2512＋1256＝11768cm2，体积＝40×40×40＋3.14×（40÷2）2×40÷2＝64000＋25120＝89120cm3．【答疑编号10296783】9、【正确答案】2355cm2【答案解析】将两个同样的工件可拼成下图的圆柱体，所以一个工件需铁皮3.14×15×（46＋54）÷2＝2355（cm2）【答疑编号10296784】10、【正确答案】262.19平方米；240.995立方米【答案解析】表面积：［3.14×（5÷2）2×2＋3.14×5×10］＋3.14×3×5＋3.14×2×3 ＝3.14×12.5＋3.14×50＋3.14×15＋3.14×6＝3.14×83.5＝262.19（平方米）体积：3.14×（5÷2）2×10＋3.14×（3÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×3＝3.14×62.5＋3.14×11.25＋3.14×3＝3.14×76.75＝240.995（立方米）【答疑编号10296785】。
专题二圆柱的表面积与体积1．圆柱的体积（1）有大、中、小三个圆柱形的水池，半径分别为10米，20米和30米。
把两堆碎石子分别倒入中、小两个池中，水面分别上升1米和2米。
问如果把这两堆碎石子都倒入大池中，水面上升多少米？（2）一堆圆锥形沙堆，底面积为12.56平方米，高是0.9米，现在把这堆沙子铺入长4.5米，宽是2米的长方体沙坑中，可以铺多厚？（3）一根圆柱形的木料底面周长为12.56分米，高为4分米。
（1）求圆柱的表面积？（2）它的体积？（3）把它截成4段小圆柱，要锯几次？表面积增加多少？【例1】一个底面半径为10厘米的圆柱形瓶中，水深为8厘米，要在瓶中放入一个长和宽都是8厘米，高15厘米的铁块，把铁块竖立放入，水面上升几厘米？正反比例（一）金牌专题三知识回顾：一、判断题1. 把两个大小相等的小圆柱拼成一个大圆柱后，表面积增加了。
（）2.两个侧面积相等的圆柱，它们的底面积半径一定相等。
（）3.如果两个圆柱体的底面半径和高都相等，那么它们的表面积也相等。
（）.4.圆柱体的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积也扩大到原来的2倍。
（）二、填空1. 4个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积是（）或（）平方厘米。
2.一个圆柱和一个圆锥等底底高，它们的体积之和为84立方厘米，这个圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米。
3.一个圆锥与圆柱的底面积相等，如果圆柱的高是圆锥高的9倍，那么圆锥体积是圆柱体积的（）倍。
【例1】个圆柱形玻璃缸容器，它的底面周长是12.56分米，若向该容器中注入1/4的水后,水面距缸口还有60厘米，这个玻璃缸容器的容积是多少？自我挑战1 把一个底面半径为6分米、高为5分米的圆锥形钢材锻造成一个高40分米的圆锥。
这个圆锥的底面积是多少平方分米？【例2】如图,一个酒瓶里面深30厘米,底面内直径10厘米,瓶里洒深15厘米,把酒塞紧后,使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，酒瓶的容积是多少毫升？自我挑战2 一个圆柱形量杯，底面直径为20厘米，将一块石头放入后，完全浸没，水面高度由5厘米上升到9厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？正反比例的异同：正比例是个除法的式子，比如Z= X/Y,当Z不变的情况下,X变大Y也变大；X变小Y也变小. 正比例的图象一定是一条直线。
第十一讲表面积和体积（一）第一部分：趣味数学小希帕蒂娅巧算箱子体积希帕蒂娅是历史上有记载的第一位女数学家,她岀生在埃及。
希帕蒂娅小时候很聪明,有一次,父亲的朋友来拜访,送给希帕蒂娅一件礼物,装在一个用绳子捆起来的箱子里。
小希帕蒂娅高兴地解开绳子,正要去打开箱子，父亲对她说：“别急,你先拿一把尺子量量绳子的长度。
”小希帕蒂娅用尺子量了量散落在地上的3根绳子,一根长210厘米,一根长250厘米,还有一根长290厘米。
父亲说:“假设这些绳子打结的时候,都用去了10厘米,希帕蒂娅,请你算一算,这个箱子的体积是多少?”“没问题,爸爸。
”小希帕蒂娅拿出一支笔,在地上列起式子来：长+宽=(290-10)÷2=140厘米,长+高=(250-10)÷2=120厘米宽十高=(210-10)÷2=100厘米。
怎么才能求出长、宽、高呢?小希帕蒂娅歪着头想了想,低头算了起来。
她用第2个式子减去第3个式子,得到:长一宽=20厘米,再加上第1个式子,就能求出长=80厘米。
知道了长,她很快就求出了宽=60厘米,高等于40厘米。
所以箱子的体积就是：长×宽×高=80×60×40=192000立方厘米。
算完了,父亲笑着点点头,说:“现在，你打开箱子拿出礼物吧!”父亲的朋友一直在旁边看着,不禁惊叹道:好聪明的小丫头,将来一定会成为有名的数学家！第二部分：习题精讲小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
