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一、反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称.三、反比例函数图象的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：⑴反比例函数ky x=(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．中考要求知识点睛反比例函数与一次函数综合一、反比例函数与一次函数综合【例1】 已知直线1y k x =(10k ≠)和双曲线2k y x=(20k ≠)的一个交点是(2-，5)，求它们的另一个交点坐标．【例2】 直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= ．【例3】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．【例4】 若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.【例5】 如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线()0ky x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AOBC =，则k =_________．【例6】 已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数m y x=(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===，（1）点A 、B 、D 的坐标；（2）求一此函数与反比例函数的解析式.【例7】 在平面直角坐标系Oxy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90︒得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图像的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式． 例题精讲【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()2A a ，，则k 的值等于 ． 【例9】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90的到直线l .直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式.【例10】 已知反比例函数ky x=(0k <)的图像经过点A(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且A O B∆（1）求k 和m 的值．（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求:AO AC 的值．【例11】 如图，反比例函数ky x=的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，，()1B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值 大于一次函数的值．【例12】 如图7，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标；（2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值 范围．【例13】 如图，已知()()424A B n --，，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的 取值范围．【例14】 如图，已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于A 、B 两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．【例15】 如图，已知()()424A n B --，，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积；（3）求方程0mkx b x +-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出答案）.A【例16】 用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6y x =-的图象（如图9所示），利用图象求方程630x x-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．【例17】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x=的图像， 则关于x 的方程2kx b x+=的解为（ ）A ．1212x x ==，B ．1221x x =-=-，C ．1212x x ==-，D ．1221x x ==-，【例18】 已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (3-，m )，Q (2，3-)．（1） 求这两个函数的函数关系式；（2）在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；（3）x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？（图9）（图9）【例19】 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．【例20】 知一次函数y x m =+与反比例函数1m y x+=(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3) （1）0x 的值．（2）一次函数和反比例函数的解析式.【例21】 直线y kx =(0k >)与双曲线4y x=交于A ()11x y ，，B ()22x y ，两点，求122127x y x y -的值.【例22】 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标分别为______________.。
