高二上学期第一次月考 数学文试题

重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．直线:1l y +的倾斜角为（ ） A ．0︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒2．已知直线1:50l x y ++=，2:10l x y ++=，则1l 与2l 的距离为( )A ．1B ．2C D ．3．已知(1,0)A -、(3,6)B ，则以AB 为直径的圆的一般方程为（ ） A ．222630x y x y +--+= B ．222630x y x y +---= C ．222630x y x y ++-+=D ．222630x y x y ++--=4．已知直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +--=，若12l l ⊥，则实数a =（ ）A B C ．-1 D ．-2 5．已知动点P 在椭圆22:143y x C +=上，(0,1)F -，(3,3)D -，则D |P PF -的最小值为（ ）A ．5BC ．2D ．16．已知直线1:12l y x =+与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于A 、B ，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．127．已知点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且AB 的中点M 在圆22:(2)1C x y -+=上，则弦长AB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的焦距为2c ，若直线()380kx y k c -++=恒与椭圆Γ有两个不同的公共点，则椭圆Γ的离心率范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知ABC V 的三个顶点(2,1)A -，(2,7)B -，(2,1)C -，则下列描述正确的有（ ） A ．直线BC 的倾斜角不存在 B ．直线AB 的斜率为-2C ．边AB 上的高所在直线的方程为240x y -+=D ．边AB 上的中线所在直线的方程为30x y -+=10．已知动点P 在直线:60l x y +-=上，动点Q 在圆22:(1)(1)4C x y -+-=上，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）A ．直线l 与圆C 相交B ．PQ 的最小值为2C ．四边形PACB 面积的最小值为4D ．存在P 点，使得120APB ︒∠=11．已知椭圆222:1(20)4x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，动点P 在椭圆C 上，则下列描述正确的有（ ）A ．若12PF F V 的周长为6，则b =B ．若当12π3F PF ∠=时，12PF F V b =C ．若存在P 点，使得12PF PF ⊥，则b ∈D ．若PB 的最大值为2b ，则b ∈三、填空题12．焦点在x 轴的椭圆C ，长轴长为10，离心率为35，则椭圆C 的标准方程为.13．经过点()0,0O 作直线l ，若直线l 与连接()1,1A -，()2,2B 两点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围为.14．已知点()0,1A ，()0,1B -，()0,2C -，动点P 满足：||||10+=PA PB ，且||2||PC PA ≥，则点P 的轨迹长度为.四、解答题15．已知点()2,1P -，直线:220l x y ++=. (1)求点P 到直线l 的距离；(2)求点P 关于直线l 的对称点Q 的坐标.16．已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程. 17．已知直线2y kx =+与椭圆2213x y +=相交于不同的两点,P Q . (1)求实数k 的取值范围；(2)若OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点，求实数k 的值.18．已知圆22:4x y Γ+=，点Q 在圆Γ上，过Q 作y 轴的垂线，垂足为Q '，动点P 满足23Q Q Q P ''=u u u u r u u u r ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)斜率存在且不过()0,2B 的直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，BM 与BN 的斜率之积为209. ①证明：直线l 过定点； ②求BMN V 面积的最大值.19．如图1，已知圆心C 在x 轴的圆C 经过点(3,0)D 和(E .过原点且不与x 铀重合的直线l 与圆C 交于A 、B 两点（A 在x 轴上方）.(1)求圆C 的标准方程；(2)若ABD △l 的方程；(3)将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AOD )与y 轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如图2，求折叠后AB的范围.。

【详解】解：（1）由题意得， ，
因为 ，所以解得 ，
所以 的方程为 ，
（2）由题意可得直线方程为 ，设直线与椭圆交于 ，
将 代入椭圆方程得， ，即 ，
所以 ，
所以
【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝ .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆 定义得： ，结合题意可得： ，再根据余弦定理可求得结果
【详解】解：（1）由已知设椭圆方程为 ，
【详解】由不等式 的解集为 ，得 无解，即对 , 恒成立，①当 时，显然满足题意，②当 时，有 ，解得： ，综上，
故答案为：
【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假．
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
15.若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出椭圆的焦点在 轴上，得出 的值，根据离心率的概念可得 ，解出 的值可得短轴长.
【详解】由椭圆 得焦点在 轴上， ， ， ，
10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )

2024－2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试题考试时间：120分钟 试题满分：150分一、单选题（共8小题）1. (5分)已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则实数x 的值是( )A . 3 B . 4 C . 5 D . 62. (5分)已知直线l 的一方向向量为，则直线l 的倾斜角为( )A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°3. (5分)如图，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A . k 1<k 3<k 2 B . k 3<k 1<k 2C . k 1<k 2<k 3 D . k 3<k 2<k 14. (5分)如图，在三棱锥S -ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 满足＝，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝( )A . a ＋b ＋cB . a －b ＋cC . －a －b ＋cD . a －b ＋c5. (5分)若直线与平行，则的值为（ ）A . 0 B . 2 C . 3 D . 2或36. (5分)已知a >0，b >0，直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0，l 2：x ＋2by ＋1＝0，且l 1⊥l 2，则＋的最小值为( )A . 2B . 4C . 8D . 97. (5分)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A . B . C . D . {k |k <2}8. (5分)若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则实数a 应满足的条件是( )A . a ＝1或a ＝－2B . a ≠±1C . a ≠1且a ≠－2D . a ≠±1且a ≠－2二、多选题（共4小题）9. (5分)已知空间三点A (1,0,3)，B (－1,1,4)，C (2，－1,3)．若 →AP ∥ →BC ，且||＝，则点P 的坐标为( )A . (4，－2,2)B . (－2,2,4)C . (－4,2，－2)D . (2，－2,4)10. (5分)已知直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A . 若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2 B . 若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2C . 若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2D . 若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α211. (5分)下列说法正确的是（）()1:240l a x ay -++=()2:2340l a x y -++=aA . 直线的倾斜角为B . 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C . 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D . 过两点的直线方程为12. (5分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，以D 为坐标原点，，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )A .B 1的坐标为(2,2,3) B .＝(－2,0,3)C . 平面A 1BC 1的一个法向量为(－3,3，－2)D . 二面角B -A 1C 1 -B 1的余弦值为三、填空题（共4小题）13. (5分)点到直线的距离为______．14. (5分)已知|a |=13,|b |=19,|a +b |=24,则|a -b |=________.15. (5分)已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.16. (5分)已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.四、解答题（共6小题）17. (10分)如图，在空间四面体OABC 中，2＝，点E 为AD 的中点，设＝a ，＝b ，＝c ．(1)试用向量a ，b ，c 表示向量；(2)若OA ＝OC ＝3，OB ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求·的值．18. (12分)已知直线l 经过点(1,6)和点(8，－8)．(1)求直线l 的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的图形面积．19. (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方20x y --=π420x y --=()1,4030x y -+=()()001,4,x y 、004141y x y x --=--()1,2P 3460x y +-=1:230l x y ++=2:20l x my m -+=m =1l 2l形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．20.(12分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．21.(12分)直线l经过两直线l1：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交点．(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．22.(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.数学参考答案1. 【答案】C【解析】因为a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，所以a ·b ＝－3＋2x －5＝2，解得x ＝5.2. 【答案】B【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tan θ＝，∴θ＝60°．故选B ．3. 【答案】A【解析】设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，即k 1<0，k 2>k 3>0.4. 【答案】B 【解析】＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋×＝－＋＝a －b ＋c ．故选B ．5. 【答案】B【解析】由题意，所以，解得，或，当时，，，此时，符合题意，当时，，，此时两直线重合，不符合题意，所以.故选：B .6. 【答案】C【解析】因为l 1⊥l 2，所以(a －1)×1＋1×2b ＝0，即a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以＋＝(a ＋2b )＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立，所以＋的最小值为8．故选C ．7. 【答案】A 【解析】∵k AP ＝＝2，k BP ＝＝，如图，12//l l ()()3220a a a ---=2a =3a =2a =1:20l y +=2:340l y +=12//l l 3a =1340:l x y ++=2:340l x y ++=2a=∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是.8. 【答案】D【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若l 1∥l 2，是由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1.②若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1.③若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1.当a ＝1时，l 1，l 2与l 3三线重合，当a ＝－1时，l 1，l 2平行．④若三条直线交于一点，由解得将l 2，l 3的交点(－a －1,1)的坐标代入l 1的方程，解得a ＝1(舍去)或＝－2.所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.9. 【答案】AB【解析】设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，∴＝，解得λ＝±1，∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则＝(x －1，y ，z －3)，∴或解得或故点P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．10. 【答案】BCD【解析】对于A ，若l 1∥l 2，且l 1与l 2的倾斜角均为，则直线l 1与l 2的斜率不存在，故A 错误；对于B ，若斜率k 1＝k 2，且直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则l 1∥l 2，故B 正确；对于C ，若倾斜角α1＝α2，且直线l 1与l 2为两条不重合的直线，由平行线的性质可得l 1∥l 2，故C 正确；对于D ，若l 1∥l 2，由平行线的性质可得倾斜角α1＝α2，故D 正确．故选B 、C 、D ．11. 【答案】AB【解析】对于A ，直线的斜率为，其倾斜角为，A 正确；对于B ，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B 正确；20x y --=1k =π420x y --=,x y ()()2,0,0,2-12222S =⨯⨯=对于C ，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C 错误；对于D ，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D 错误.故选：AB .12. 【答案】ABD【解析】因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，所以A 1(2,0,3)，B (2,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，所以＝(－2,0,3)，＝(0,2，－3)，故A 、B 正确；设平面A 1BC 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，所以{m ∙→A 1B =0,m ∙→BC 1=0,即令x ＝－3，则y ＝－3，z ＝－2，即平面A 1BC 1的一个法向量为(－3，－3，－2)，故C 错误；由几何体易得平面A 1B 1C 1的一个法向量为n ＝(0,0,1)，由于cos 〈m ，n 〉＝＝＝－，结合图形可知二面角B -A 1C 1 -B 1的余弦值为，故D 正确．故选A 、B 、D ．13. 【答案】1【解析】点到直线的距离.故答案为：.14. 【答案】22【解析】|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=132+2a ·b +192=242,∴2a ·b =46,|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=530-46=484,故|a -b |=22.15. 【答案】【解析】因为直线与互相平行，所以，解得，则，()1,4()0,04y x =()1,404y x =001,4x y =≠004,1y x =≠004141y x y x --=--()1,2P 3460x y +-=1d 14-1:230l x y ++=2:20l x my m -+=2123m m -=≠4m =-2:220l x y +-=所以与之间的距离.故答案为：；.16. 【答案】0　0【解析】因为 →AB ＝(λ－1，1，λ－2μ－3)， →AC ＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得 →AB ∥ →AC ，即λ―12＝－ 12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.17. 【答案】解　(1)∵2＝，∴＝＝(－)＝(c －b )，故＝＋＝b ＋(c －b )＝b ＋c ，∵点E 为AD 的中点，故＝(＋)＝a ＋b ＋c ．(2)由题意得a ·c ＝，a ·b ＝3，c ·b ＝3，＝c －a ，故·＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝－a 2＋c 2＋a ·c ＋b ·c －b ·a ＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－．18. 【答案】解　(1)因为直线l 的两点式方程为＝，所以＝，即＝x －1.所以y －6＝－2x ＋2，即2x ＋y ＝8.所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1.(2)如图所示，1l 2ld4-直线l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB ，且OA ⊥OB ，由 x 4+y8=1可知|OA |＝4，|OB |＝8，故S △AOB ＝×|OA |×|OB |＝×4×8＝16.故直线l 与两坐标轴围成的图形面积为16.19. 【答案】(1)证明　以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E (a ，a2，0)，P (0,0，a )，F(a 2，a 2，a2).∵ →EF · →DC ＝ (―a2，0，a2)·(0，a ，0)＝0，∴ →EF ⊥ →DC ，∴EF ⊥CD .(2)解　设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ∙→DF =0，n ∙→DE =0，即 {(x ，y ，z )∙(a2，a2，a2)=0，(x ，y ，z )∙(a ，a 2，0)=0，即{a 2(x ＋y ＋z )＝0，ax +a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2，1)是平面DEF 的一个法向量，∴cos 〈 →BD ，n 〉＝→BD ∙n|→BD |∙|n |＝a2a ∙6＝ 36.设DB 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈→BD，n〉|＝3.620.【答案】解　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1．由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．【解析】【知识点】根据直线的一般式方程求斜率、截距、参数值及范围21.【答案】解　(1)直线l1方程与l2方程联立得交点坐标为(－2,2)，设直线l的方程为3x＋y＋m＝0，代入交点(－2,2)得m＝4，所以l的方程为3x＋y＋4＝0．(2)当直线l的斜率不存在时，得l的方程为x＝－2，符合条件；当l斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，根据d＝＝5，解得k＝，所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0．综上所述，l的方程为12x－5y＋34＝0或x＝－2．22.【答案】(1)证明　直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1).(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k).依题意得解得k>0.∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，∴S min＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.。

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。